期末总复习讲义 07 规律探究2025-2026学年人教版七年级数学上册

七年级数学期末总复习讲义 第7课 规律探究 知识点梳理 知识点01——数字排列规律 知识点02——式子排列规律 知识点03——图形排列规律 知识点01 数字排列规律 1. 周期反复式 2. 递进式，常见类型如下： (1)正整数列规律：1,2,3,…,n(n为正整数); (2)奇（偶）数列规律： 1,3,5,7,9,…,2n-1(n为正整数); 2,4,6,8,…,2n(n为正整数); (3)平方规律： 1,4,9,16,…,n²(n为正整数); 2,5,10,17,…,n²+1(n为正整数); 0,3,8,15,…，n²-1(n为正整数); (4)连续两个数的积：2,6,12,20……n(n+1)(n为正整数) (5)斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,…从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和 (6)杨辉三角： 1、3、6、10……·(n为正整数) (7)求和规律 1+2+3+…+n=(n为正整数) 1+3+5+…+(2n-1)=n²(n为正整数) 2+4+6+…+2n=n(n+1)(n为正整数) 例题讲解 例1（山东省潍坊市2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）我们把称为的“哈利数”．如：4的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 ． 【分析】本题考查了数字的规律变化，根据“哈利数”的定义，计算序列的前几项，发现每4个数一循环．呈现周期性的规律. 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ． ∴这列数，每4个数一循环． ∵ ∴． 故答案为：． 例2（江西省赣州市经开区2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题）观察下面两行数： 第①行：，，，，，；…； 第②行：，，，，，；…； (1)第①行第个数是________；第个数是________；（用含的式子表示） (2)第②行的数与第①行的数有什么关系？ 第①行依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是________； 第②行第个起，依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是________； (3)若第①行前个数的和是，第②行前个数的和是，求． 【分析】本题主要考查规律型——数字的变化类，解答的关键是由所给的数总结出每行所存在的规律． （1）由所给的数可以看出呈偶数数列的规律，奇数项符号为正，偶为负，据此作答即可； （2）第二行数是第一行的相反数加一，第①行依次取两个数为一组，每一组两个数的和都是，第②行第个起，依次取两个数为一组，每一组两个数的和都是； （3）先分别根据第①行、第②行数的规律求出、，再求和即可． 【详解】（1）解：第①行第个数是， 第①行第个数是， 第①行第个数是， …… 第①行第个数是， 第①行第个数是， 故答案为：，； （2）第②行的数与第①行的数的关系：第二行数是第一行的相反数加一； 第①行依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是； 第②行第个起，依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是； 故答案为：，； （3） ， ， ． 变式训练1.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 变式训练2.（25-26七年级上·河南·期中）【阅读】求的值． 解：设．① 将等式①的两边同时乘2，得．② ②①，得， 即． 【运用】仿照上述方法计算：； 【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2025次，得到小正方形，，，，． 完成下列问题： （1）小正方形的面积等于_____； （2）直接写出正方形，，，，的面积和_____． 知识点02 式子的排列规律 题干所提供的式子都具有一定的规律，先用含字母的式子把这个规律表示出来再应用规律解题。 例题讲解 例3（25-26七年级上·山西临汾·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 请根据上述规律填空： (1)第6个等式为______． (2)第n（n为正整数）个等式为（______）×（______）=______．（用含n的代数式表示） 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）从前几个式子中找出规律，利用规律写出第6个式子； （2）用用含n的代数式表示规律即可． 【详解】（1）解：第6个等式为， 故答案为：； （2）第n（n为正整数）个等式为， 故答案为：，，． 例4（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图所示为由“※”组成的图案，现给出下列算式： ； ； ； ； … 观察并解答下列问题： (1)根据规律，猜想___________； (2)根据规律，猜想___________； (3)请用上述规律计算：． 【分析】本题主要考查了用代数式表示变化规律的问题， 对于（1），根据前四个等式变化规律可得，可得答案； 对于（2），根据（1）解答即可； 对于（3），将原式变为，即可得 ，再计算求值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 变式训练1.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：……请根据上述规律完成下列问题： (1)第5个等式为 ； (2)写出你猜想的第个等式： （用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：的值． 变式训练2.（25-26七年级上·全国·期中）拓展探究题 观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个： 第4个：； … (1)第5个等式为： ． (2)观察右边平方数的底数：1，3，6，10，…，它们是“三角形数”，第个为； 请猜想： ________________（用含的式子表示）． (3)利用（2）的结论，计算：． 知识点05 图形的规律 图形的变化中蕴含的等差、等比、乘方的规律，一般可从数和形两个角度来探寻. 例题讲解 例5（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）【探索发现】 如图1，将一张边长为的正方形纸片分割成部分，部分①的面积是边长为的正方形纸片面积的一半，即，部分②的面积是部分①面积的一半，即，部分③的面积是部分②面积的一半，即…依此类推． （1）阴影部分的面积是_____； （2）请根据（1）的结论计算． 【类比应用】 如图2，第次分割，把正方形的面积按分成两部分，较大部分①的面积是边长为的正方形纸片面积的，即；第次分割，把上次分割较小部分的面积继续按分成两部分，较大部分②的面积是边长为的正方形纸片面积的，即；第次分割，把上次分割较小部分的面积继续按分成两部分，较大部分③的面积，…根据以上信息解决问题： （3）_____； （4）计算． 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． 【详解】解：（1）观察图形可知： 部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， 部分④的面积为：， 部分⑤的面积为：， 阴影部分的面积是：， 故答案为：． （2）观察图形可知： ． 故答案为：． （3）根据题意：设正方形的面积为， 第次分割，把正方形的面积三等分，①部分的面积为，剩余部分面积为； 第次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，②部分的面积为，剩余部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，③部分的面积为． 故答案为：． （4）根据题意：设正方形的面积为， 第次分割，把正方形的面积三等分，①部分的面积为，剩余部分面积为； 第次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，②部分的面积之和为，剩余部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，③部分的面积之和为，剩余部分面积为……， 则第次分割部分的面积和为， 两边同时乘以，得， 故答案为：． 变式训练1.（25-26九年级上·重庆·期中）按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★……按照这一规律，则第个图中★的个数是（   ） A．52 B．53 C．68 D．69 变式训练2.（25-26七年级上·江苏扬州·月考）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔细观察，并回答下列问题． (1)第4个图案中有黑色纸片______张，有白色纸片______张； (2)求第n个图案中有白色纸片多少张（用含n的代数式表示）； (3)求第2025个图案有多少张白色纸片? 课后练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（    ） A．52 B．67 C．84 D．101 3．（25-26七年级上·四川泸州·期中）某学生活动区域按如图规律铺地砖，第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，，则第n个图案中有白色地砖（   ）块． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第10个图形中小圆圈的个数为（   ） A．27 B．33 C．30 D．32 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列三行数： ① ② ③ 取每行数的第n个数，这三个数中任意两数之差的最大值为，则n为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 6．（25-26七年级上·广东汕头·期中）某公司会议室第一排有42个座位，往后每一排多2个座位，则第n排的座位数用含n的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·北京大兴·期中）如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列等式：，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·内蒙古·月考）已知整数、、、…，满足下列条件：，，，…，依照这个规律，则（     ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 10．（2025·云南·模拟预测）根据规律，x的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 二、解答题 11．（25-26七年级上·河南信阳·月考）阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不化简）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 12．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；     …… (1)请写出第8个等式： ； (2)请写出第n个等式（n是正整数） ； (3)根据上述规律，计算： 13．（25-26七年级上·福建·阶段练习）下图是由棱长为1的几个小立方块所搭成的几何体示意图．已给出了从左面看到的形状图． (1)请画出从正面和上面这两个方向上看这个几何体看到的形状图； (2)依示意图摆放小立方块的方法类推，当它摆到5层时的表面积是多少？ (3)图中该几何体最多是由几个小立方块所搭成的？以这种摆法依此类推，当它摆到100层时，摆第100层需要多少个小立方块？ 14．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 15．（25-26七年级上·贵州六盘水·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢? 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_____，是第_____个数； （2）我们知道：，，，那么： 用含有的式子表示你发现的规律_____． 【方法展示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的.按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由． 16．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第7课 规律探究 知识点梳理 知识点01——数字排列规律 知识点02——式子排列规律 知识点03——图形排列规律 知识点01 数字排列规律 1. 周期反复式 2. 递进式，常见类型如下： (1)正整数列规律：1,2,3,…,n(n为正整数); (2)奇（偶）数列规律： 1,3,5,7,9,…,2n-1(n为正整数); 2,4,6,8,…,2n(n为正整数); (3)平方规律： 1,4,9,16,…,n²(n为正整数); 2,5,10,17,…,n²+1(n为正整数); 0,3,8,15,…，n²-1(n为正整数); (4)连续两个数的积：2,6,12,20……n(n+1)(n为正整数) (5)斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,…从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和 (6)杨辉三角： 1、3、6、10……·(n为正整数) (7)求和规律 1+2+3+…+n=(n为正整数) 1+3+5+…+(2n-1)=n²(n为正整数) 2+4+6+…+2n=n(n+1)(n为正整数) 例题讲解 例1（山东省潍坊市2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）我们把称为的“哈利数”．如：4的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 ． 【分析】本题考查了数字的规律变化，根据“哈利数”的定义，计算序列的前几项，发现每4个数一循环．通过计算2025除以4的余数，从而得到的值． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ． ∴这列数，每4个数一循环． ∵ ∴． 故答案为：． 例2（江西省赣州市经开区2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题）观察下面两行数： 第①行：，，，，，；…； 第②行：，，，，，；…； (1)第①行第个数是________；第个数是________；（用含的式子表示） (2)第②行的数与第①行的数有什么关系？ 第①行依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是________； 第②行第个起，依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是________； (3)若第①行前个数的和是，第②行前个数的和是，求． 【分析】本题主要考查规律型——数字的变化类，解答的关键是由所给的数总结出每行所存在的规律． （1）由所给的数可得出规律为，据此作答即可； （2）第二行数是第一行的相反数加一，第①行依次取两个数为一组，每一组两个数的和都是，第②行第个起，依次取两个数为一组，每一组两个数的和都是； （3）先分别根据第①行、第②行数的规律求出、，再求和即可． 【详解】（1）解：第①行第个数是， 第①行第个数是， 第①行第个数是， 第①行第个数是， 第①行第个数是， 故答案为：，； （2）第②行的数与第①行的数的关系：第二行数是第一行的相反数加一； 第①行依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是； 第②行第个起，依次取两个数为一组（即第、个数为一组，第、个数为一组，以此类推），每一组两个数的和都是； 故答案为：，； （3） ， ， ． 变式训练1.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应项的值．根据题目中差倒数的定义，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， … 由上可得，这列数依次以循环出现， 故答案为：． 变式训练2.（25-26七年级上·河南·期中）【阅读】求的值． 解：设．① 将等式①的两边同时乘2，得．② ②①，得， 即． 【运用】仿照上述方法计算：； 【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2025次，得到小正方形，，，，． 完成下列问题： （1）小正方形的面积等于_____； （2）直接写出正方形，，，，的面积和_____． 【答案】【运用】【延伸】（1）（2） 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 【运用】设，把等式两边都乘以5可得：，把两个等式的左右两边分别相减即可求出结果； 【延伸】（1）根据图形的分割规律可知； （2）设， 等式两边都乘以可得：，把两个等式两边同时相减即可得到结果． 【详解】解：【运用】设①， ②， ②①得：； 【延伸】（1）， ， ， ， 故答案为：； （2）设， ， ①②得：， ， 即． 故答案为：． 知识点02 式子的排列规律 题干所提供的式子都具有一定的规律，先用含字母的式子把这个规律表示出来再加以应用。 例题讲解 例3（25-26七年级上·山西临汾·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 请根据上述规律填空： (1)第6个等式为______． (2)第n（n为正整数）个等式为（______）×（______）=______．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）从前几个式子中找出规律，利用规律写出第6个式子； （2）用用含n的代数式表示规律即可． 【详解】（1）解：第6个等式为， 故答案为：； （2）第n（n为正整数）个等式为， 故答案为：，，． 例4（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图所示为由“※”组成的图案，现给出下列算式： ； ； ； ； … 观察并解答下列问题： (1)根据规律，猜想___________； (2)根据规律，猜想___________； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)10269 【分析】本题主要考查了用代数式表示，数字变化规律问题， 对于（1），根据前四个等式变化规律可得，可得答案； 对于（2），根据（1）解答即可； 对于（3），将原式变为，即可得 ，再计算求值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 变式训练1.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：……请根据上述规律完成下列问题： (1)第5个等式为 ； (2)写出你猜想的第个等式： （用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律的探索，通过观察等式特征，得出一般规律，并应用规律进行计算． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第5个等式为． （2）根据以上规律，第n个等式为． （3）∵ ， ∴ ． 变式训练2.（25-26七年级上·全国·期中）拓展探究题 观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个： 第4个：； … (1)第5个等式为： ． (2)观察右边平方数的底数：1，3，6，10，…，它们是“三角形数”，第个为； 请猜想： ________________（用含的式子表示）． (3)利用（2）的结论，计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的乘方计算； （1）根据规律写出第5个等式； （2）根据题意得出结论； （3）根据（2）的结论，代入数据，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式为， 故答案为：； （2）解：观察右边平方数的底数：1，3，6，10，…，它们是“三角形数”，第个为； ∴请猜想：， 故答案为：． （3）解：． 知识点05 图形的规律 图形的变化中蕴含的等差、等比、乘方的规律，一般可从数和形两个角度来探寻. 例题讲解 例5（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）【探索发现】 如图1，将一张边长为的正方形纸片分割成部分，部分①的面积是边长为的正方形纸片面积的一半，即，部分②的面积是部分①面积的一半，即，部分③的面积是部分②面积的一半，即…依此类推． （1）阴影部分的面积是_____； （2）请根据（1）的结论计算． 【类比应用】 如图2，第次分割，把正方形的面积按分成两部分，较大部分①的面积是边长为的正方形纸片面积的，即；第次分割，把上次分割较小部分的面积继续按分成两部分，较大部分②的面积是边长为的正方形纸片面积的，即；第次分割，把上次分割较小部分的面积继续按分成两部分，较大部分③的面积，…根据以上信息解决问题： （3）_____； （4）计算． 【答案】（１）；（２）；（３）；（４） 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． （1）根据题目规律进行计算即可； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）根据题目规律进行计算即可； （4）分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案． 【详解】解：（1）观察图形可知： 部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， 部分④的面积为：， 部分⑤的面积为：， 阴影部分的面积是：， 故答案为：． （2）观察图形可知： ． 故答案为：． （3）根据题意：设正方形的面积为， 第次分割，把正方形的面积三等分，①部分的面积为，剩余部分面积为； 第次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，②部分的面积为，剩余部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，③部分的面积为． 故答案为：． （4）根据题意：设正方形的面积为， 第次分割，把正方形的面积三等分，①部分的面积为，剩余部分面积为； 第次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，②部分的面积之和为，剩余部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中剩余部分的面积继续三等分，③部分的面积之和为，剩余部分面积为……， 则第次分割部分的面积和为， 两边同时乘以，得， 故答案为：． 变式训练1.（25-26九年级上·重庆·期中）按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★……按照这一规律，则第个图中★的个数是（   ） A．52 B．53 C．68 D．69 【答案】B 【分析】本题考查了根据图形个数找规律，解题的关键是分析每个图案中★个数的规律，推导公式． 先分析前几个图中★个数的规律，进而推导第个图中★个数的公式，最后将代入公式计算． 【详解】解：设第个图中★的个数为，则： 根据规律求和可得： 因此， 将代入： 故选B． 变式训练2.（25-26七年级上·江苏扬州·月考）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔细观察，并回答下列问题． (1)第4个图案中有黑色纸片______张，有白色纸片______张； (2)求第n个图案中有白色纸片多少张（用含n的代数式表示）； (3)求第2025个图案有多少张白色纸片? 【答案】(1)4；13 (2)第n个图案中有白色纸片张 (3)第2025个图案有6076张白色纸片 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，能够通过观察，掌握其内在规律是解决本题的关键． （1）依据图形找出其中的规律即可得解； （2）依据图形找出其中的规律即可得解； （3）由（2）中的结论代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图片可得，第一个图案中有黑色纸片1张，有白色纸片4张， 第二个图案中有黑色纸片2张，有白色纸片7张， 第三个图案中有黑色纸片3张，有白色纸片10张， ∴第四个图案中有黑色纸片4张，有白色纸片13张， 故答案为：4，13； （2）解：由（1）规律可得，第n个图案中有白色纸片张； （3）解：由（2）可得，第n个图案中有白色纸片张， ∴第2025个图案有张白色纸片． 课后练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，从符号和数值两个方面进行规律分析是解题关键． 该组数的规律从两方面分析：（1）符号：第奇数个数是负数，第偶数个数是正数；（2）分子和分母，据此即可得到答案． 【详解】解：∵该组数第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，第个数符号为， 分子是，第个数分子为， 分母是，第个数分母为， ∴第个数为， 故选：B． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（    ） A．52 B．67 C．84 D．101 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．第n个图形中，棋子数量为，从而可得答案． 【详解】解：第①个图形中，棋子数量为； 第②个图形中，棋子数量为； 第③个图形中，棋子数量为； ； 第n个图形中，棋子数量为； ∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是， 故选：C． 3．（25-26七年级上·四川泸州·期中）某学生活动区域按如图规律铺地砖，第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，，则第n个图案中有白色地砖（   ）块． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第1个图形中有白色地砖6块，后一个图形中白色地砖的数量比前一个图形中的白色地砖多4块，进行求解即可． 【详解】解：观察可知，第1个图形中有白色地砖6块，后一个图形中白色地砖的数量比前一个图形中的白色地砖多4块， ∴第个图形中有白色地砖（块）． 故选：B． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第10个图形中小圆圈的个数为（   ） A．27 B．33 C．30 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据前三个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：第①个图形中小圆圈的个数为， 第②个图形中小圆圈的个数为， 第③个图形中小圆圈的个数为， …… 归纳类推得：第n个图形中小圆圈的个数为（其中，为正整数）， 则第10个图形中小圆圈的个数为， 故选：B． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列三行数： ① ② ③ 取每行数的第n个数，这三个数中任意两数之差的最大值为，则n为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得第一行第n个数为，第二行第n个数为，第三行第n个数字为；再分n为偶数和n为奇数两种情况，确定对应情形下三个数的最大值和最小值，根据任意两数之差的最大值为3071列式求解即可． 【详解】解：∵ 第一行第n个数：， 第二行第n个数：， 第三行第n个数：， 当n为奇数时，， ∴ ， （∵ ，）， ， 最大值是 ，最小值是 ， ∴ 两数之差的最大值为 ， 设 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当n为偶数时，第一行和第二行的第n个数为正，第三行的第n个数为负， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当n为偶数时，无整数解 ∴， 故选：C． 6．（25-26七年级上·广东汕头·期中）某公司会议室第一排有42个座位，往后每一排多2个座位，则第n排的座位数用含n的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的探索与表达规律，解题的关键是能准确理解题意并能用代数式进行表示．第二排比第一排多2个座位，第三排比第一排多4个座位，第n排比第一排多个座位，由此即可得第n排的座位数． 【详解】解：第二排比第一排多2个座位， 第三排比第一排多4个座位， 第n排比第一排多个座位， 则第n排的座位数为个， 故选：D． 7．（25-26七年级上·北京大兴·期中）如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意得到第1，2，3个图形所用的火柴棍的数量，由此得到规律，即可求解． 【详解】解：第1个图形需要6根火柴棍， 第2个图形需要11根火柴棍， 第3个图形需要16根火柴棍， 拼第个图形需要火柴棍的根数是， 故选：C． 8．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列等式：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字规律．根据题意n个奇数相加，结果就等于，据此即可解答． 【详解】解：由题可知，n个奇数相加，结果就等于， 1到19，共10个奇数，故， 故选：B． 9．（25-26七年级上·内蒙古·月考）已知整数、、、…，满足下列条件：，，，…，依照这个规律，则（     ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】C 【分析】本题主要考查了式子规律题，解决此题的关键通过计算序列的前几项，发现规律；根据规律得到答案即可； 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ．．． ∴归纳得：对于正整数k，当为奇数时，； 当为偶数时，；． ∵2023为奇数， ∴， 故选C． 10．（2025·云南·模拟预测）根据规律，x的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解； 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， …… ∴，，， ∴，． 故选：D． 二、解答题 11．（25-26七年级上·河南信阳·月考）阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不化简）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)960 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，用代数式表示， 对于（1），仿照阅读内容解答； 对于（2），结合（1）解答即可； 对于（3），先根据（1）得，再根据题意求出，然后作差即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得（n为正整数）； （3）解：根据（1），得 ， 则，得. 12．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；     …… (1)请写出第8个等式： ； (2)请写出第n个等式（n是正整数） ； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确找到规律是解题的关键． （1）观察所给等式写出结论即可； （2）根据题目中给出的等式，结合（1）中结论找到规律得出即可． （3）根据（2）中得出的规律，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为； ； ； …， 所以第n个等式可表示为： 当时， 第8个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， 原式 ＝ ＝． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·福建·阶段练习）下图是由棱长为1的几个小立方块所搭成的几何体示意图．已给出了从左面看到的形状图． (1)请画出从正面和上面这两个方向上看这个几何体看到的形状图； (2)依示意图摆放小立方块的方法类推，当它摆到5层时的表面积是多少？ (3)图中该几何体最多是由几个小立方块所搭成的？以这种摆法依此类推，当它摆到100层时，摆第100层需要多少个小立方块？ 【答案】(1)见解析 (2)摆到5层时的表面积是90； (3)图中该几何体最多是由10个小立方块所搭成的；第100层需要5050个小立方块． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）画出从正面和上面看到的形状图即可； （2）每个方向上均有6个等面积的小正方形，据此求解即可； （3）根据各层的小正方体个数，相加即可求得该几何体最多是由10个小立方块所搭成的；找到规律，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：从正面和上面这两个方向上看这个几何体看到的形状图如图所示； （2）解：它摆到5层时的表面积是， 故摆到5层时的表面积是90； （3）解：， 图中该几何体最多是由10个小立方块所搭成的； 摆第100层，从上到下， 第1层，有1个， 第2层，有个， 第3层，有个， 第4层，有个， ∴第层，有个， ∴第100层，有个， 摆第100层需要5050个小立方块． 14．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，有理数混合运算的应用，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行计算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数，曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，地砖的总数为（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 15．（25-26七年级上·贵州六盘水·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢? 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_____，是第_____个数； （2）我们知道：，，，那么： 用含有的式子表示你发现的规律_____． 【方法展示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的.按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由． 【答案】 （1），11 （2） （3） （4）不能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字规律的探索以及运用裂项相消法进行求和，解决本题的关键是通过对数列各项的分析找到规律并应用到实际计算中． 【探索活动】（1）观察分数的分母，得到数字规律即可求解； （2）根据题目所给规律总结即可． 【实践应用】（3）运用裂项相消法进行求和即可． 【问题解决】（4）根据题意，依次表示出每次倒出的水量，然后将它们相加，看总和是否等于1升来判断水能否倒完即可． 【详解】解：【探索活动】 （1）观察这组分数， 分子都为1，分母分别为，，，，， ∴根据规律第6个数的分母是， ∴第6个数是， 由此发现规律是第n个数的分母为， 令，即， 解得或（为正整数，舍去）， ∴是第11个数； 故答案为：；11； （2）用含有n的式子表示规律为． 故答案为：． 【实践应用】 （3） ． 【问题解决】 （4）这1升水不能倒完，说明如下． 由题意可知，第一次倒出升水；第二次倒出升水； 第三次倒出升水；；第n次倒出升水； 那么总共倒出的水量为 ， ∵n为正整数， ∴，则， ∴这1升水不能倒完． 16．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $