精品解析：山东省潍坊市部分学校2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

高三阶段性诊断监测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 若，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，则（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示．则这20人年龄的60%分位数为（　　） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 6. 已知是定义域为的奇函数，若时，，则（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，设，则数列的前2026项和为（　　） A. B. C. D. 506 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，下列各项中，能使得“”一定成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数为奇函数 C. 若，则或， D. 若在区间上恰有3个零点，则 11. 已知是曲线的两条互相垂直的切线的交点，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则点不存在 B. 若，则点坐标为 C. 若，则点在直线上 D. 若，且点在图象上，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列，则___________． 13. 已知，则___________． 14. 已知锐角满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某人工智能算力中心通过AI训练效率评估模型优化算力资源配置．已知模型训练精度系数为 ，剩余训练周期为（单位：小时，），算力资源损耗效率为，满足评估模型：． （1）若，求的取值范围； （2）若，求 的最小值； （3）证明：当时，． 17. 已知函数． （1）当时，求的值域； （2）在中，是边的中点，已知的面积为，，求的长． 18. 已知函数． （1）若时，求曲线在处的切线方程； （2）若时，存在正实数，当且仅当，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，其中，证明：． 19. 某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为 ． （1）当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； （2）定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； （3）求使取得最大值的整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三阶段性诊断监测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定可得. 【详解】由题意可得命题“”的否定是“”. 故选：D. 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合 后，利用交集定义即可得. 【详解】由可得或，则或， 又，则. 故选：B. 3. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助复数运算法则及模长公式计算即可得. 【详解】， 则. 故选：B. 4. 已知随机变量，则（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得答案. 【详解】由题意可得该正态分布的图象关于轴对称，又， 所以. 故选：B. 5. 某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示．则这20人年龄的60%分位数为（　　） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】结合表格数据根据百分位数的概念求解即可. 【详解】因为，又， 这20人年龄的60%分位数为. 故选：C. 6. 已知是定义域为的奇函数，若时，，则（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求出时解析式可得. 【详解】由题意可得， 因为是定义域为的奇函数，若时，， 当时，，则， 因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项计算定义域内是否存在，使得成立即可得. 【详解】对A：令，则，若，则，矛盾， 故不是“互补函数”，故A错误； 对B：令，则，存在如，使其成立， 故是“互补函数”，故B正确； 对C：令，则，由， 则时，，矛盾，故不是“互补函数”，故C错误； 对D：令，则，由， 则，矛盾，故不是“互补函数”，故D错误. 故选：B. 8. 已知数列满足，设，则数列的前2026项和为（　　） A. B. C. D. 506 【答案】A 【解析】 【分析】先由等差数列的定义求出数列的通项，然后利用积化和差对数列的通项化简，再结合余弦函数的周期性计算可得. 【详解】因为数列满足， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， ， 所以， 又的最小正周期，一个周期内的和为， ， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，下列各项中，能使得“”一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合函数单调性可得A、C、D，举出反例可得B. 【详解】对A：由函数在上单调递增，若，则，故A正确； 对B：如，，此时，但，故B错误； 对C：由函数在上单调递增，若，则，故C正确； 对D：由函数在上单调递增，若，则，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数为奇函数 C. 若，则或， D. 若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：计算出结合值域即可得；对B：求出后结合奇函数定义即可得；对C：代入计算即可得；对D：结合余弦函数图象计算即可得. 【详解】对A：，由于， 故，故A正确； 对B：， 由， 故不为奇函数，故B错误； 对C：，则，， 则或，，故C正确； 对D：，当时，， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是曲线的两条互相垂直的切线的交点，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则点不存在 B. 若，则点坐标为 C. 若，则点在直线上 D. 若，且点在图象上，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：求导后可得斜率恒为正，即可得解；对B：求导后令，结合定义域可解出两切线方程，联立即可得解；对C：求导后令，可得与两切点横坐标有关等式，再分别求出两切线方程并联立求出交点横坐标，结合所得与两切点横坐标有关等式即可得解；对D：设出点及切点后可表示出切线方程，代入点坐标可因式分解得到切点横坐标与点横坐标的关系，再结合切线垂直可得其斜率之积有关等式，利用换元法与根的判别式计算即可得解. 【详解】对A：恒成立，故上的点的切线斜率恒为正， 不存在两切线斜率之积为，故点不存在，故A正确； 对B：，令且， 则，由，则、， 在及处的切线方程分别为：、， 联立，解得，故点坐标为，故B正确； 对C：，令且， 则， 在及处的切线方程分别为： 、， 化简得、， 联立，消去得， 整理得，则， 由，即， 故点在直线上，故C错误； 对D：，设点， 设点、点分别是两条互相垂直的切线的切点， 则点上的切线方程为， 化简得， 则有， 整理得， 因式分解可得，则或， 同理可得或，由，结合对称性，可取，， 则点的切线斜率， 点的切线斜率， 有，即， 整理得， 令，则关于的方程有解， 故，解得， 故的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助等比数列基本量计算即可得. 【详解】设该数列公比为，则，则， 故. 故答案为：. 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】令，则，即， 令，则，即， 故. 故答案为：. 14. 已知锐角满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 将左边括号展开移项后两边同除可得， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质结合已知等式求出公差，再由基本量法可得； （2）将数列项按奇偶分组分别由等比和等差数列的求和公式求解可得. 【小问1详解】 因为正项等差数列， 所以，， 因为正项等差数列，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，即， 奇数项和为， 偶数项和为， 所以数列的前项和. 16. 某人工智能算力中心通过AI训练效率评估模型优化算力资源配置．已知模型训练精度系数为，剩余训练周期为（单位：小时，），算力资源损耗效率为，满足评估模型：． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的最小值； （3）证明：当时，． 【答案】（1）且. （2）8 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入求解不等式即可； （2）代入,利用基本不等式求解; （3）将问题转化为证明当时，对任意恒成立.由变形为，令，分和两种情况，求解即可得证. 【小问1详解】 由题意得， 化简得，即，解得或 因为，所以且. 【小问2详解】 当且仅当即时等号成立 所以的最小值为8. 【小问3详解】 根据题意即要证，当时，对任意恒成立 记，对称轴 当时，在上单调递增， 最小值为. 当时，， 所以在上的最小值在或处. 所以对任意，恒成立. 综上，当时，对于恒成立. 17. 已知函数． （1）当时，求的值域； （2）在中，是边的中点，已知的面积为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦函数性质计算即可得； （2）由可解出，再利用面积公式计算可得，利用同角三角函数基本关系与三角形内角关系计算可得，则可由正弦定理得到，从而可计算出、，最后在中运用余弦定理计算即可得解. 【小问1详解】 ， 当时，，故； 【小问2详解】 由，即，则， 即，又，故， ，则， 由，，则， 则 ， 则由，有， 又，则，则，故， 在中，有， 即. 18. 已知函数． （1）若时，求曲线在处的切线方程； （2）若时，存在正实数，当且仅当，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，其中，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）确定切点纵坐标，求导确定切线斜率，从而可得曲线在处的切线方程； （2）不等式整理得，设，求导确定单调性验证是否当且仅当时，即可得实数的取值范围； （3）确定函数有两个极值点时的关系，根据可得，，从而可将所证不等式转化为，整理不等式设，则转化为证明，在上恒成立，设，求导确定单调性与最值即可得结论. 【小问1详解】 ，则， 又，则， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 不等式整理得， 因为，所以不等式化为， 设，则， 令得，则， ①当时，，则恒成立， 所以在上单调递减， 又，由此可得时，，符合题意； ②当时，，的两根分别为且均为正根， 由于函数的对称轴为，，故， 又，，单调递减，，，单调递增，，，单调递减， 所以，，故存在，使得， 则时，，时也有成立，不符合题意； 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 ，若函数有两个极值点，则的两根为， 设，则， ①当时，恒成立，单调递增，最多有一个根，使得函数最多一个极值点，不符合题意； ②当时，可得：， 则时，，递增，时，，递减， 则的两根为，，满足，且，可得， 由可得（1），（2）， 要证，即证， 由（1）（2）可得，， 所以，则， 要证，即证，即证， 设，则，所以，不等式转化为，即， 设，则恒成立， 所以在单调递增，所以， 所以时，，故， 即. 19. 某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为 ． （1）当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； （2）定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； （3）求使取得最大值的整数． 【答案】（1） （2）， （3） 当能被整除时，在和处达到最大值； 则当不能被整除时，在处达最大值. 【解析】 【分析】（1）先计算该研究员未获得邀请的概率，再借助对立事件计算即可得； （2）借助对立事件概率可求出，再结合期望公式计算即可得； （3）表示出基本事件总数与事件所包含的基本事件数可得，再解出不等式可得，则可分是否为整数进行讨论得解. 【小问1详解】 设事件表示“研究员甲即没被“理论组”邀请，也没有被“应用组”邀请”， 则； 【小问2详解】 ； 由， 则； 【小问3详解】 当时，只能取，有， 当，整数满足，其中是和中的较小者， “两组各自独立、随机的选择人发出邀请”所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到两组人邀请的人数恰为， 仅收到一组人邀请的人数为， 则事件所含基本事件数为， 此时， 当，，即， 即， 化简得， 即，则， 假如成立， 则当能被整除时， ， 故在和处达到最大值； 则当不能被整除时， 在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 下证：， 因为，所以， ，故，显然 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $