专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.线段的双中点模型与多中点模型 5 模型2.双角平分线模型与角n等分线模型 9 16 双中点模型作为几何初步中的基础模型，其系统化的总结和教学应用，反映了几何学从直观到抽象、从具体到模型化的发展历程，其历史渊源与几何学的发展密切相关。几何学作为一门古老的学科，其模型化、系统化的过程在近代得到了显著发展‌。特别是在19世纪，随着几何学在工程、物理等领域的应用，几何模型的研究和教学得到了极大的促进。‌‌ 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． 综上所述，线段的长度是8．故选：A． （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，∴， ∵是的平分线，， ∴；故答案为： 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； 图1 图2 图3 ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上，如图3， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 3）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 图1 图2 图3 图4 4）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图2，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 5）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 6）角n等分线模型 条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.线段的双中点模型与多中点模型 例1如图，已知点C在线段的延长线上，线段，M，N分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵M，N分别是的中点，∴， ∴，故答案为：． 例2如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴设，，， ∵是的中点，是的中点，∴，， ∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 例3如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ． 【答案】 【详解】解：∵∴设，，， ∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∵的中点M与的中点N的距离是∴， ∴，∴．故答案为：． 例4已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ，∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴，∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,，∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴，∴， 综上所述，线段的长度是或，故答案为：或． 例5点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【答案】C 【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故选C． 例6已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵、分别为线段、的中点，，∴， ∵分别为线段的中点，∴， ∵分别为线段的中点，∴，， ∴，故答案为：． 例7学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 例8小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a． 模型2.双角平分线模型与角n等分线模型 例1如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分别平分和， ， ，故选：C． 例2如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵射线和分别平分和， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，故选：C． 例3如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 【答案】/77度 【详解】解：∵平分，，∴， ∵是直角，即，∴，∴， ∵平分，∴，故答案为：． 例4如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴ ∵射线，分别平分，∴， ∴ ∴．故选：B． 例5已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵，平分，，∴， ①当射线在内时，如图，； ②当射线在内时，如图，； ∴度数是或．故选：B． 例6如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解： 平分，，， ，， ∵是三等分线，∴①若， 则，； ②若，则，； 综上，的度数为或，故选：C． 例7如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3： 【详解】解：（1）∵，平分，平分， ∴，∴； （2）∵，，平分，平分， ∴， ∴；故答案为：； （3）平分，平分，∴， ∴， ∵，∴；故答案为：； 【拓展提问】如图2，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴； 如图3，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴． 例8如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴，∴， 则，故选：D． 例09如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，∴， 同理，， ∴， ∴． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．           2．（2025·河南·校考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点O为直线上一点，平分，平分， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，故C正确．故选：C． 3．如图所示，直线相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则，∵平分，∴， ∵， ∴，解得： ，∴， ∵，∴ ．故选：C． 4.如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， 平分，平分，，， ．故选：D． 5.已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解；设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为， ∵点始终为的中点，点始终为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，故选：A． 6．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，，∴，∴； 当点在线段上时，如图：则，， ∵，∴，∴；综上，线段的长是20或4．故选：D． 7．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 【答案】D 【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点， ①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）； ②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）． 所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：D． 8．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∴ ， 又，，∴，故选：C． 9．如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， 是的平分线，．故选：C． 10．已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 【答案】或 【详解】解：当射线在内时，如图1， ∵，，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴. 当射线在外时，如图2，∵，， ∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴.综上所述：或故答案为：或． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是的平分线，是的平分线，，则 ． 【答案】80 【详解】解：是的平分线，． 是的平分线，．． ，，．故答案为：． 12．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：①当时， 如图，，为的三等分线，， ，； ②当时，如图，，为的三等分线， ，； 综上，的度数为或，故答案为：或． 13.点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 【答案】 【详解】解：如图：由题意得，∴EC=AC，FC=BC， ∴EF=EC+CF=AC+BC=(AC+BC)=AB=，故答案为． 14.如图，点C是线段AB上一点，AC<CB，M、N分别是AB和CB的中点，，，则线段 ．    【答案】4 【详解】由N是CB的中点，NB=5，得：BC=2NB=10．由线段的和差，得：AB=AC+BC=8+10=18． ∵M是AB的中点，∴，由线段的和差，得：MN=MB-NB=9-5=4，故答案为：4. 15.已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 16．若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动，， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： 为中点，， ，，， 综上，的长为或，故答案为：或． 17．已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】(1)5(2)线段的长度为或 【详解】（1）解：，点是线段的中点，， 又，，，； （2）解：①当点在线段上时，如图， ，，，； ②当点在点的右侧时，如图， ，，，； ③当点在点的左侧时，此时，不存在符合题意的点．综上，线段的长度为或． 18．【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以2得： ② 将②式减去①式，得：，∴．故答案为：． （2）设① 将等式两边同时乘3，得：② 将②式减去①式，得 ∴，即 （3）∵，、是线段和的中点， ∴，同理可得…… ∴ 设① ∴② 将①式减去②式，得 ∴ 19．材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知： (1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________； (2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立． 【答案】(1)，(2)，， (3)存在和使等式成立 【详解】（1）根据定义可得：∵，则； ∵，∴,则；故答案为：．，； （2）∵∴ ∵∴ ∴∴ （3）①在点到达点之前 ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴ ②在点到达点返回之后 ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴ ∴存在和使等式成立． 20.【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，，所以．所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以． ②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以； （3）设，因为，所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为，所以， 所以，所以，，所以． 21．如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数．(2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)(2)正确，理由见解析 【详解】（1）∵，平分，∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴； （2）小明是说法正确，∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，，∴． 22．综合与探究 旧知回顾：（）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点．若厘米，则线段的长为_______厘米．设厘米，则线段的长为_______厘米． 知识迁移：（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究：（）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【详解】解：（）∵厘米，厘米，∴厘米， ∵点，分别是，的中点，∴厘米，厘米， ∴厘米，故答案为：； ∵厘米，厘米，∴厘米， ∵点，分别是，的中点，∴厘米，厘米， ∴厘米，故答案为：； （）∵射线平分，射线平分，∴，， ∵，，即的度数为； （）∵，，，， ，， ， ，，，， 即的度数为． 23．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变，的长不变； (2)【类比探究】小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 【答案】(1)①6；②，．(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①∵线段，，点、分别是、的中点． ∴，，∴ ，故答案为；； ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点，，， ， ，不变，的长不变； （2）解：， 理由如下：∵和分别平分和，∴， ∴ ； （3）解：， 理由如下：∵，，∴， ∴ ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.线段的双中点模型与多中点模型 5 模型2.双角平分线模型与角n等分线模型 9 16 双中点模型作为几何初步中的基础模型，其系统化的总结和教学应用，反映了几何学从直观到抽象、从具体到模型化的发展历程，其历史渊源与几何学的发展密切相关。几何学作为一门古老的学科，其模型化、系统化的过程在近代得到了显著发展‌。特别是在19世纪，随着几何学在工程、物理等领域的应用，几何模型的研究和教学得到了极大的促进。‌‌ 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； 图1 图2 图3 ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上，如图3， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 3）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 图1 图2 图3 图4 4）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图2，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 5）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 6）角n等分线模型 条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.线段的双中点模型与多中点模型 例1如图，已知点C在线段的延长线上，线段，M，N分别是的中点，则线段的长为 ． 例2如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 例3如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ． 例4已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 例5点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 例6已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 例7学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 例8小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 模型2.双角平分线模型与角n等分线模型 例1如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 例3如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 例4如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 例5已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 例6如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 例7如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 例8如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（   ） A． B． C． D． 例9如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 2．（2025·河南·校考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，直线相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 7．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 8．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是的平分线，是的平分线，，则 ． 12．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 13.点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 14.（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点C是线段AB上一点，AC<CB，M、N分别是AB和CB的中点，，，则线段 ．    15.已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 16．若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 17．已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 18．【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 19．材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知： (1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________； (2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立． 20.【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 21．如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数．(2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 22．综合与探究 旧知回顾：（）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点．若厘米，则线段的长为_______厘米．设厘米，则线段的长为_______厘米． 知识迁移：（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究：（）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    23．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变，的长不变； (2)【类比探究】小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $