专题05 双角平分线模型与角高模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题05 双角平分线模型与角高模型 近年来在浙江中考考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就双角平分线模型与角高模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 9 ‌ 角平分线这个概念，其实源于人类对“对称”与“平分”的最朴素直觉。它并不是某位数学家在某一天突然发明的，而是在解决实际问题的过程中逐渐被定义和规范化的。 早在古埃及和古巴比伦时期，人们在丈量土地、建造金字塔或制作工具时，就发现了一个现象：把一个角对折，折痕正好把这个角分成了两个一模一样的小角。这条折痕就是最早的“角平分线”原型。它天然地满足了“等分”和“对称”这两个核心需求。 到了古希腊时期，欧几里得在 《几何原本》中，首次用严格的逻辑语言定义了角平分线，并给出了经典的尺规作图法。他利用圆规和直尺，通过构造全等三角形，证明了这条线确实能将角一分为二。这标志着角平分线从生活经验正式上升为严谨的数学公理。 三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 1、（东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE中，由于∠Q＝90°∠A，求出∠E∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可． 【解答】（1）解：∵∠A＝80°． ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°100°＝130°， （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） ＝90°∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ∠ABC∠MBC （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ③∠Q＝2∠E，则90°∠A＝∠A，解得∠A＝60°； ④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°∠A），解得∠A＝120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 2、如图，已知∠AOB＝n，P，Q两点分别是OA、OB上的两动点，QD，PE分别平分∠PQO和∠APQ，射线PE的反向延长线与射线QD相交于点D． （1）如图1，若n＝60°，求∠EDQ的度数； （2）如图2，作∠PQB的角平分线QE交射线PE于点E，求∠PEQ的度数； （3）如图3，M、N为线段PE和EQ上的两定点，若将△MNE沿MN翻折，点E对应点E'在△PEQ的内部，且满足∠E'PQ∠EPQ，∠E'QP∠EQP，请求出∠PE'Q与∠1，∠2的关系． 【分析】（1）设∠APE＝x，∠PQD＝y，根据∠APQ是△POQ的外角得∠APQ＝∠AOB+∠PQO；又因为∠APE是△PQD的外角得到∠APE＝∠PQD+∠EDQ，进而推出结论； （2）根据）∠APQ、∠PQB均为△POQ的外角，可得∠PQB+∠APQ＝∠AOB+180°＝180°+n，再由PE平分∠APQ，∠PQB的角平分线QE，所以∠PEQ＝180°∠APQ∠PQB，即可的结论； （3）设∠E′PQ＝α，∠E′QP＝β，由内角和定理∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°，则α+β＝180°﹣∠PE′Q；同理∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，得到∠PEQ＝180°﹣3α﹣3β＝3（α+β），从而∠PEQ＝180°﹣3（180°﹣∠PE′Q）＝3∠PE′Q﹣360°；根据三角形内角和定理和折叠的性质以及邻补角的定义可得∠PEQ（∠1+∠2），由内角和定理∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°，即可得结论． 【解答】解：（1）设∠APE＝x，∠PQD＝y， ∵PE、DQ分别平分∠APQ、∠PQD， ∴∠APE＝∠EPQ＝x，∠PQD＝∠OQD＝y， ∵∠APQ是△POQ的外角， ∴∠APQ＝∠AOB+∠PQO， ∵∠AOB＝n， 即2y＝n+2x， ∴y﹣xn， 又∵∠APE是△PQD的外角， ∴∠APE＝∠PQD+∠EDQ， 即y﹣x＝∠EDQ， ∴∠EDQn， 当n＝60°时，∠EDQ＝30°； （2）∵∠APQ、∠PQB均为△POQ的外角， ∴∠APQ＝∠AOB+∠POQ， ∠PQB＝∠AOB+∠QPO， ∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+∠POQ+∠AOB+∠QPO， ∵∠POQ+∠AOB+∠QPO＝180°， ∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+180°＝180°+n， ∵PE平分∠APQ，∠PQB的角平分线QE， ∴∠EPQ∠APQ， ∠EQP∠PQB， ∵∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP， ∴∠PEQ＝180°∠APQ∠PQB ＝180°（180°+n）吗， 即∠PEQ＝90°n； （3）设∠E′PQ＝α，∠E′QP＝β， ∵∠E'PQ∠EPQ，∠E'QP∠EQP， ∴3α＝∠EPQ，3β＝∠EQP， ∵∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°， ∴∠PE′Q＝180°﹣α﹣β， ∴α+β＝180°﹣∠PE′Q， ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°， ∴∠PEQ＝180°﹣3α﹣3β＝3（α+β）． ∴∠PEQ＝180°﹣3（180°﹣∠PE′Q）＝3∠PE′Q﹣360°， 由折叠可得∠EME′＝2∠EMN，∠ENE′＝2∠ENM， ∵∠1＝180°﹣∠EME′，∠2＝180°﹣∠ENE′， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM）， ∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠PEQ， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠PEQ）＝2∠PEQ， ∴∠PEQ（∠1+∠2）， ∴3∠PE′Q﹣360°（∠1+∠2）， ∴6∠PE′Q﹣∠1﹣∠2＝720°． 3、（2025•安徽校级模拟）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC∠A． 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴∠OCD（∠A+∠ABC）∠A∠ABC∠A+∠OBC， 又∵∠OCD是△BOC的一个外角， ∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC∠A+∠OBC﹣∠OBC∠A； （2）探究3：结论∠BOC＝90°∠A． 根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC∠DBC，∠OCB∠BCE， ∴∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠BCE）（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A； （3）拓展：结论∠BOC（∠A+∠D）． 在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D）， ∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠BCD）（360°﹣∠A﹣∠D）， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（360°﹣∠A﹣∠D）（∠A+∠D）， 即∠BOC（∠A+∠D）． 1）两内角平分线的夹角 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE, CF相交于点G,求∠BGC与∠A之间的关系 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G， ∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）； 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A， 即：∠BGC=90°+∠A． 2）一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点p，求∠P与∠A之间的关系 解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴∠ACP=∠ABC+∠A， ∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P， 即∠P=∠A． 3）两外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，△ABC的外角平分线BO, CO相交于点O,求∠O与∠A之间的关系 解：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°-∠A． 4）内角平分线和高线的夹角 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线(AE可能在AD的左侧或右侧)，求∠EAD与∠B、∠C 解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC=∠ADE=90°， ∴∠CDA=90°-∠C， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C）， ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）； 例1（2025秋•东宝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在的直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③∠E+∠BOC＝180°； ④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先根据角平分线定义求出把∠1+∠2，并用∠A表示出来，然后根据三角形内角和定理求出∠BOC，判断①的正误即可； 先根据外角角平分线的定义和邻补角的定义，把∠3用∠ACB表示出来，再根据三角形外角的性质，把∠D用∠1和∠3表示出来，最后根据三角形的内角和把∠D用∠A表示出来，然后判断②的正误即可； 根据角平分线定义、邻补角定义和对顶角的性质，分别把∠5和∠6用∠ABC和∠ACB表示出来，然后利用三角形内角和求出∠E，再根据①中所求∠BOC，求出∠E+∠BOC，判断③的正误即可； 根据角平分线的定义求出∠ABD，∠DCF，然后求出∠DCF﹣∠ABD，90°﹣∠E，最后根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：如图所示： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴， ∴∠1+∠2 ， ∵∠1+∠2+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2） ， 故①的结论正确； ∵∠ACB的外角平分线所在的直线与∠ABC的平分线相交于点D， ∴， ∵∠3＝∠1+∠D， ∴∠D＝∠3﹣∠1 ， 故②的结论正确； ∵BE是∠MBF的角平分线， ∴， 由②可知：， ∴， ∴∠5+∠6 ， ∵∠5+∠6+∠E＝180°， ∴∠E＝180°﹣（∠5+∠6） ， 由①可知∠BOC， ∴∠E+∠BOC ＝180°， 故③的结论正确； ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠1， 由②可知：∠DCF＝∠3， ∴∠DCF﹣∠ABD ， 由③得：， ∴90°﹣∠E ， ∴∠DCF﹣∠ABD＝90°﹣∠E，即∠E+∠DCF＝90°+∠ABD， 故④的结论也正确， 综上可知：结论正确的有4个， 故选：D． 例2如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点P；∠PBC和∠PCD的平分线交于点P1，…以此类推得到∠P2025，若∠A度数为α，则∠P2025的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠P＝∠PCD﹣∠PBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，整理即可求出，同理求出∠P1，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【解答】解：∵△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点P，∠PBC和∠PCD的平分线交于点P1，…以此类推得到∠P2025，∠A度数为α， ∴，， ∵∠P＝∠PCD﹣∠PBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴， 同理可得， 以此类推，得到， 故选：C． 例3如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝34°，则∠DAE＝　　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝34°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣34°＝76°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC∠BAC＝38°， ∵AD是高， ∴在Rt△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣34°＝56°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝56°﹣38°＝18°． 故答案为：18°． 例4△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D． （1）如图1，求∠BOD的度数； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝50°，求∠BAC的度数； ③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值． 【分析】（1）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案． （2）①根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．②结合角平分线的性质，根据三角形外角的性质即可得到答案．③求出∠ODB的度数即可解决 【解答】解：（1）∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）（180°﹣∠ABC）， ∵∠OBC∠ABC， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°∠ABC＝90°+∠OBC， ∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC， ∴∠BOD＝90°； （2）①∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠EBF∠ABE（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO， ∵∠ODB＝90°﹣∠OBD， ∴∠FBE＝∠ODB， ∴BF∥OD； ②∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠EBF∠ABE（∠BAC+∠ABC）， ∴∠FCB∠ACB， ∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF（∠BAC+∠ACB）∠ACB∠BAC， ∵∠F＝50°， ∴∠BAC＝2∠F＝100°； ③∵∠F＝∠ABC＝50°， ∴由②可知，∠BAC＝100°， ∴∠ACB＝30°， ∵OC平分∠ACB， ∴∠OCD＝15°，∠COD＝50°， ∴∠BDO＝∠COD+∠OCD＝65°，∠DOF＝130°， ∵将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′， ∴∠B'D'O＝∠BDO＝65°， ∵B'D'∥FC， ∴∠COD'＝∠B'DO＝65°， ∴∠DOD'＝∠COD'﹣∠COD＝15°， 即此时旋转角度为α＝15°， ∵BD'∥FC， ∴∠FOD'＝∠B'OD＝65°， ∴α＝∠DOF+∠FOD'＝130°+65°＝195°， ∴△BOD绕点O顺时针旋转15°或195°后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行． 例5如图，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝50°，求∠DAC和∠DAE的度数． 【分析】先根据三角形高的定义，求出∠ADB，再根据直角三角形的性质求出∠DAB，然后根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据∠CAB＝∠DAB+∠DAC求出∠DAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠DAB求出答案即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠DAB＝90°， ∵∠B＝70°， ∴∠DAB＝20°， ∵∠B+∠C+∠CAB＝180°， ∴∠CAB＝180°﹣70°﹣50°＝60°， ∵∠CAB＝∠DAB+∠DAC， ∴∠DAC＝60°﹣20°＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠DAB＝30°﹣20°＝10°． 1．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数． 【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC，， ∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A＝60°， ∴∠OBC+∠OCB（180°﹣60°）＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣60° ＝120°． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，∠F＝18°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A等于（　　） A．36° B．48° C．52° D．60° 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义求出∠E，利用三角形的内角和定理求出∠5+∠6+∠1，得到∠MBC+∠NCB，从而求出∠DBC+∠DCB，再次利用角平分线的性质与三角形的内角和定理进行解答即可． 【解答】解：如图所示： ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4， ∵∠3+∠4＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E， ∴2∠F＝∠E＝36°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6， ∴， ∵∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝36°， ∴∠5+∠6+∠1＝144°， ∴∠MBC+∠NCB＝2（∠5+∠6+∠1）＝288°， ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝72°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2×72°＝36°， 故选：A． 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，则∠E的度数为（　　） A．68° B．56° C．34° D．32° 【分析】由∠B＝40°，∠ACE＝72°，根据三角形外角的性质得出∠BAC，再根据AD平分∠BAC得出∠DAC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠ADC的度数，最后在Rt△DEF中求出∠E的度数． 【解答】解：∵∠ACE是△ABC的外角， ∴∠ACE＝∠B+∠BAC， ∵∠B＝40°，∠ACE＝72°， ∴∠BAC＝32°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC∠BAC＝16°， ∵∠ACE是△ADC的外角， ∴∠ACE＝∠ADC+∠DCA， ∴∠ADC＝∠ACE﹣∠DCA＝72°﹣16°＝56°， ∵EF⊥AD， ∴∠EFD＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠ADC＝34°． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABC的边AC上的高，AD，BE相交于点O．若∠ABC＝82°，∠C＝56°，则∠AOB的度数是（　　） A．118° B．112° C．111° D．103° 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠OAE的度数，由BE是△ABC的边AC上的高，可得出∠AEO＝90°，再利用三角形的外角性质，即可求出∠AOB的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝56°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣82°﹣56°＝42°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAE∠BAC42°＝21°， ∵BE是△ABC的边AC上的高， ∴∠AEO＝90°， 又∵∠AOB是∠AOE的外角， ∴∠AOE＝∠OAE+∠AEO＝21°+90°＝111°． 故选：C． 5．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．116° B．100° C．128° D．120° 【分析】根据折叠可知，∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，再利用平角为180°，三角形内角和180°，推出∠1+∠2＝2∠A，再利用三角形内角和定理、角平分线性质求出∠A，再求出结果即可． 【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴△AED≌△A′ED， ∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′， ∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED ＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED） ＝2∠A， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°， ∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°， ∴∠A＝180°﹣116°＝64°， ∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°， 故选：C． 6．如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 【分析】根据AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，得出，，根据∠P＝70°，得出∠PAC+∠PCA＝110°，根据∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，得出∠BAC+∠BCA＝140°，最后根据三角形的内角和，得出∠B＝40°． 【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线， ∴，， ∵∠P＝70°， ∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°， ∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确． 故选：B． 7．如图，在四边形ABCD中，∠D+∠C＝230°，∠DAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点F，则∠F的度数为（　　） A．10° B．15° C．25° D．30° 【分析】根据多边形内角和定理求出四边形ABCD的内角和，即可得出∠DAB+∠ABC＝130°，再根据角平分线的定义得出∠FAB，∠FBE，由三角形外角的性质得出∠FBE＝∠F+∠FAB，即∠F＝∠FBE﹣∠FAB，然后计算即可． 【解答】解：四边形ABCD的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∵∠D+∠C＝230°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣（∠D+∠C）＝360°﹣230°＝130°， ∵∠DAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点F， ∴∠FAB，∠FBE， ∵∠FBE是△ABF的一个外角， ∴∠FBE＝∠F+∠FAB， ∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB ABC∠DAB ＝90°（∠ABC+∠DAB） ＝90°130° ＝90°﹣65° ＝25°， 故选：C． 8．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，E是外角∠BCN与外角∠CBM平分线的交点，若∠BOC＝135°，则∠E等于（　　） A．15° B．20° C．30° D．45° 【分析】根据三角形的内角和定理，可得到∠OBC+∠OCB，再结合角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB，从而得到∠CBM+∠BCN，即可求解． 【解答】解：∵∠BOC＝135°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣135°＝45°， ∵OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB（角平分线的定义）， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝90°， ∴∠CBM+∠BCN＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣90°＝270°， ∵BE，CE是∠CBM，∠BCN的角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∴∠E＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣135°＝45°． 故选：D． 9．如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE＝CB，D是BE的中点，若∠BCD＝20°，则∠A＝　30°　 ． 【分析】先运用等腰三角形的性质和角平分线的定义求得∠B和∠ACB的度数，再运用三角形的内角和定理进行求解． 【解答】解：∵CE＝CB，D是BE的中点， ∴CD⊥AB，∠BCE＝2∠BCD＝2×20°＝40°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣20°＝70°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠BCE＝2×40°＝80°， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°， 故答案为：30°． 10．如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 　②④　 ． 【分析】①先根据角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论； ②根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出结论； ③根据三角形内心的性质即可得出结论； ④根据已知条件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴∠HBC+∠HCB（∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A）， ∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A，故①错误； ②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH． ∵EF∥BC， ∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF， ∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF， ∴BE＝EH，HF＝CF， ∴EF＝EH+HF＝BE+CF， ∴EF﹣BE＝CF，故②正确； ③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴点H是△ABC的内心， ∴点H到△ABC各边的距离相等，到各顶点的距离不一定相等故③错误； ④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AB＝AC， ∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确． 故答案为：②④； 11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，延长AD交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F，过点E作EH⊥CD交AC于点H，则下列结论：①∠ADC＝135°；②HF＝GF；③AC2+CE2＝2AE2；④S△DEC＝S△HEF，正确的有 　①②③　 ．（填序号） 【分析】利用角平分线和三角形内角和定理即可证明①，证明Rt△EFH≌Rt△CFG（AAS）即可判断②，利用勾股定理及角平分线性质定理即可证明③，利用角平分线性质定理和三角形面积公式即可判断④． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∵∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D， ∴∠DAC∠BAC，∠ACD∠ACB， ∴∠DAC+∠ACD∠BAC∠ACB（∠BAC+∠ACB）＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+ACD）＝180°﹣45°＝135°， 故①正确； ∵EF⊥AC，EH⊥CD， ∴∠EFH＝∠CFE＝90°， ∴∠EHF+∠FEH＝∠EHF+∠FCG＝90°， ∴∠FEH＝∠FCG， ∵AB＝AC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴△CEF是等腰直角三角形，EF＝CF， 在Rt△EFH和Rt△CFG中， ， ∴Rt△EFH≌Rt△CFG（AAS）， ∴HF＝GF， 故②正确； ∵AC2＝AB2+BC2＝2AB2，AE2＝AB2+BE2， ∴2AE2＝2AB2+2BE2＝AC2+2BE2， ∵AE平分∠BAC，BE⊥AB，EF⊥AC， ∴BE＝EF， ∴CE2＝EF2+CF2＝2EF2＝2BE2， ∴AC2+CE2＝2AE2， 故③正确； 过点G作GM⊥EC， ∵CD平分∠ACB，GF⊥CF， ∴GM＝GF， ∵EC＞CF， ∴CE•GMCF•GF， 即S△CEG＞S△AFG， ∵Rt△EFH≌Rt△CFG， ∴S△CEG＞S△HEF， ∴S△DEC＞S△CEG＞S△HEF，故④错误， 综上可知正确的是①②③， 故答案为：①②③． 12．在如图所示的△ABC纸片中，点E是边AB的中点，点F是边BC上任意一点，现将△BEF沿EF折叠，得到△B′EF，折痕EF与△ABC的角平分线BD相交于点O，连接CB′，当线段EB′与CB′的长度和最小时，∠EOB＝100°，则此时∠B′CB＝　20　 °． 【分析】当E、B'、C三点共线时，线段EB′与CB′的长度和最小，设CE、BD交于点P，设∠ABD＝∠CBD＝α，则∠BEO＝∠B'EO＝80°﹣α，利用翻折及外角可得∠BPC160°﹣α，再利用三角形的内角和即可得出结果． 【解答】解：当E、B'、C三点共线时，线段EB′与CB′的长度和最小，设CE、BD交于点P， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 设∠ABD＝∠CBD＝α， ∵∠EOB＝100°， ∴∠BEO＝∠B'EO＝80°﹣α， ∴∠BEB'＝2（80°﹣α）＝160°﹣2α， ∴∠BPC＝∠BEB'+∠EBP＝160°﹣2α+α＝160°﹣α， ∴∠B'CB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBD＝180°﹣（160°﹣α）﹣α＝20°， 故答案为：20． 13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A＝60°，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，BF平分∠EBC，CF平分∠ECQ，则∠F的度数是 　15°　 ． 【分析】根据三角形的内角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度数，再通过三角形的外角与角平分线，找到∠F与∠ABC+∠ACB的数量关系． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°． ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB， ∴∠MBC＝180°﹣∠DBC＝180°∠ABC，∠BCN＝180°﹣∠DCB＝180°∠ACB． ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠EBC∠MBC90°，∠ECB∠BCNACB． ∵BF平分∠EBC， ∴∠FBC∠EBC45°∠ABC． ∵∠ECQ＝180°﹣∠ECB＝180°﹣（90°）＝90°，CF平分∠ECQ， ∴∠ECF∠ECQ45°∠ACB， ∴∠BCF＝∠ECB+∠ECF＝90°∠ACB+45°∠ACB＝135°∠ACB， ∴∠FCB+∠BCF＝45°∠ABC+135°∠ACB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°． ∵∠F＝180°﹣（∠FCB+∠BCF）， ∴∠F＝180°﹣165°＝15°． 故答案为：15°． 14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F点作DE∥BC分别交AB，AC于点D，点E，过点F作FG⊥AB于点G，下列六个结论： ①若∠A＝60°，则∠BFC＝120°； ②△BDF与△CEF为等腰三角形； ③DE＝BD+CE； ④点F到△ABC各边的距离相等； ⑤若△ABC周长为c，FG＝a，则△ABC面积为； ⑥若FG＝a，AD+AE＝b，则． 正确的有 　①②③④⑤⑥　 ．（填序号） 【分析】①先求出∠ABC+∠ACB＝120°，进而根据角平分线的定义得∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB，从而得∠CBF+∠BCF（∠ABC+∠ACB）＝60°，然后再根据三角形的内角和定理可求出∠BFC的度数，进而可对结论①进行判断； ②先根据角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，再根据DE∥BC得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，进而得∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，由此可对结论②进行判断； ③先由∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC得DF＝BD，EF＝CE，由此可对结论③进行判断； ④过点F作FH⊥BC于C，FK⊥AC于K，连接AF，根据角平分线的性质得FH＝FG，FH＝FK，由此可对结论④进行判断； ⑤先由结论④正确得FH＝FG＝FK＝a，再分别求出S△AFBAB•a，S△BFCBC•a，S△ACFAC•a，进而得S△ABC＝S△AFB+S△BFC+S△ACFa•（AB+BC+AC），据此可对结论⑤进行判断； ⑥先由结论④正确得FG＝FK＝a，再分别求出S△AFDAD•a，S△AFEAE•a，进而得S△ADE＝S△AFD+S△AFEa•（AD+AE），据此可对结论⑥进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠CBF+∠BCF（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∵∠CBF+∠BCF+∠BFC＝180°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， 故结论①正确； ②∵BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴△BDF与△CEF为等腰三角形， 故结论②正确； ③∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DF＝BD，EF＝CE， ∴DE＝DF+EF＝BD+CE， 故结论③正确； ④过点F作FH⊥BC于C，FK⊥AC于K，连接AF，如图1所示： ∵FG⊥AB，FH⊥BC，FK⊥AC，BF，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴FH＝FG，FH＝FK， ∴FH＝FG＝FK， 即点F到△ABC各边的距离相等； 故结论④正确； ⑤∵FG＝a 由结论④正确得：FH＝FG＝FK＝a， ∴S△AFBAB•FGAB•a，S△BFCBC•FHBC•a，S△ACFAC•FKAC•a， ∴S△ABC＝S△AFB+S△BFC+S△ACFa•（AB+BC+AC）， ∵△ABC周长为c， ∴AB+BC+AC＝c， ∴S△ABCac， 故结论⑤正确； ⑥∵FG＝a 由结论④正确得：FG＝FK＝a， ∴S△AFDAD•FGAD•a，S△AFEAE•FKAE•a， ∴S△ADE＝S△AFD+S△AFEa•（AD+AE）， ∵AD+AE＝b， ∴S△ADEab， 故结论⑥正确． 综上所述：正确的有①②③④⑤⑥． 15．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠DAE＝19°，求∠C的度数． 【分析】首先利用高的定义求出∠BAD，和利用三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质即可求解． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝20°， ∵∠DAE＝19°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝39°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAE＝78°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣78°＝32°． 16．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：EF＝BE+CF ． （2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由． 【分析】（1）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可； （2）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可． 【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，FC＝FO， ∵EF＝EO+FO， ∴EF＝EB+FC， 故答案为：EF＝EB+FC； （2）EF＝BE﹣CF， 理由是：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EBO＝∠EOB， ∴EB＝EO， 同理可得：FO＝CF， ∵EF＝EO﹣FO， ∴EF＝BE﹣CF． 17．问题情境： 如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD． （1）探索发现： 若∠A＝60°，则∠O的度数为 　30°　 ；若∠A＝130°，则∠O的度数为 　65°　 ． （2）猜想证明： 试判断∠A与∠O的关系，并说明理由． （3）结论应用： 如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D．若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为 　25°　 ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠O+∠OBC，根据角平分线定义，得∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD，进而得∠O+∠OBC（∠A+∠ABC）∠A+∠OBC，等量代换得∠O∠A，将∠A的值代入，即可求解； （2）根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠O+∠OBC，根据角平分线定义，得∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD，进而得∠O+∠OBC（∠A+∠ABC）∠A+∠OBC，等量代换得∠O∠A； （3）延长BM，CN交于点A，先根据补角定义求出∠AMN和∠ANM的值，再根据三角形内角和定理求出∠A的值，由（2）中的结论，即可求解． 【解答】解：（1）在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵∠OCD是△OBC的外角， ∴∠OCD＝∠O+∠OBC， ∴∠O+∠OBC（∠A+∠ABC）∠A+∠OBC， ∴∠O∠A， 若∠A＝60°，则∠O的度数为30°， 若∠A＝130°，则∠O的度数为65°． 故答案为：30°，65°； （2）猜想：∠O∠A， 理由：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵∠OCD是△OBC的外角， ∴∠OCD＝∠O+∠OBC， ∴∠O+∠OBC（∠A+∠ABC）∠A+∠OBC， ∴∠O∠A； （3）如图2，延长BM，CN交于点A， ∵∠BMN＝130°，∠CNM＝100°， ∴∠AMN＝180°﹣∠BMN＝180°﹣130°＝50°，∠ANM＝180°﹣∠CNM＝180°﹣100°＝80°， ∴∠A＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM＝180°﹣50°﹣80°＝50°， 由（2）得∠D∠A， ∴∠D＝25°． 故答案为：25°． 18．【问题】 （1）如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC的度数为 　131　 °； 【探究】 （2）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝α°，则∠BEC的度数为 　　 °；（用含α的式子表示） （3）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，若∠A＝62°，则∠BOC的度数为 　31　 °； （4）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由． 【分析】（1）根据∠A的度数，得出∠ABC+∠ACB的度数，再结合整体思想即可解决问题． （2）先用α表示出∠EBC+∠ECB，再利用三角形的内角和定理即可解决问题． （3）利用三角形的外角定理即可解决问题． （4）根据角平分线的定义结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）． 又∵∠A＝82°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣82°＝98°， ∴∠EBC+∠ECB98°＝49°， ∴∠BEC＝180°﹣41°＝131°． 故答案为：131． （2）∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）． ∵∠A＝α°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α°， ∴∠EBC+∠ECB， ∴∠BEC＝180°60°． 故答案为：（）． （3）由题知， ∠ACD＝∠A+∠ABC，∠2＝∠BOC+∠1， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠BOC＝∠2﹣∠1． ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点， ∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1， ∴∠A＝2（∠2﹣∠1）＝2∠BOC． ∵∠A＝62°， ∴∠BOC＝31°． 故答案为：31． （4）∠BOC＝90°∠A． ∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC∠DBC，∠BCO∠BCE， ∴∠OBC+∠BCO（∠DBC+∠BCE）． ∵∠DBC+∠ABC＝∠BCE+∠ACB＝180°， ∴∠DBC+∠BCE＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）． ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠DBC+∠BCE＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A， ∴∠OBC+∠BCO＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠BCO）＝90°∠A． 19．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　115°　 ； 【问题推广】 （2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数； （3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为 　180°﹣8n°　 ．（结果用含n的代数式表示） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°． （3）先由角平分线的定义得到∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB，∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠OCF，再由三角形内角和∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB＝4（∠EBC+LECB）﹣540°，根据∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°，得到∠EBC+∠ECB＝180°﹣2∠F，由此得解． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，即∠PBC+∠PCB＝65°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°． 故答案为：115°； （2）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM， ∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP， ∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∠ACB＝80°， ∴2∠CBP＝2∠BAP+∠ACB， ∴∠CBP＝∠BAP+40°， ∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC， ∴∠ABC＝100°﹣2∠BAP， ∴∠ABP＝∠ABC+∠CBP＝140°﹣∠BAP，• ∴∠ABP+∠BAP＝140°， ∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°， ∵BH⊥AP，即∠BHP＝90°， ∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°； （3）∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠OCF， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠BCN， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB ＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB ＝180°﹣2（180°﹣∠MBC）﹣2（180°﹣∠BCN） ＝2（∠MBC+∠BCN）﹣540° ＝2（2∠EBC+2∠ECB）﹣540° ＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°， 又∵∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，∠FBC＝∠EBC﹣∠FBE，∠FCB＝∠ECB+∠ECF， 即∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF∠FBE）， 又∵∠ECF＝∠QCF，∠FBE＝∠FBC， ∴∠ECF﹣∠FBE＝∠QCF﹣∠FBC＝∠F， ∴∠EBC+∠ECB ＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE） ＝180°﹣2∠F， ∴∠A＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540° ＝4（180°﹣2∠F）﹣540° ＝180°﹣8∠F ＝180°﹣8n°． 故答案为：180°﹣8n°． 20．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足，过C作CB⊥x轴于B． （1）a＝　﹣4　 ，b＝　4　 （直接写出答案）； （2）点P在x轴上，若三角形OCP和三角形ABC的面积相等，求出P点的坐标； （3）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数． 【分析】（1）根据非负数的性质得a+4＝0，b﹣4＝0，解得a＝﹣4，b＝4即可； （2）设P的坐标为（p，0），根据三角形的面积公式计算列式计算即可； （3）过点E作EF∥AC，根据角平分线的定义、平行线的性质证明结论． 【解答】解：（1）∵|a+4|＝0， ∴a+4＝0，b﹣4＝0， 解得a＝﹣4，b＝4， 故答案为：﹣4，4； （2）设P的坐标为（p，0）， ∴OP＝|p|， ∵a＝﹣4，b＝4， ∴A（﹣4，0），C（4，4）， ∵CB⊥x轴于B． ∴B（4，0）， ∴AB＝8，BC＝4， ∴三角形ABC的面积为8×4＝16， ∴OP×4＝16， ∴|p|×4＝16，解得p＝±8， ∴点P的坐标为（8，0）或（﹣8，0）； （3）过点E作EF∥AC， ∵AE、DE平分∠CAB、∠ODB， ∴∠CAE∠CAB，∠BDE∠ODB， ∵EF∥AC， ∴∠AEF＝∠CAE， ∵EF∥AC，BD∥AC， ∴EF∥BD， ∴∠DEF＝∠BDE， ∴∠AED（∠CAB+∠ODB）， ∵BD∥AC， ∴∠CAB＝∠OBD， ∵∠ODB+∠OBD＝90°， ∴∠ODB+∠CAB＝90°， ∴∠AED（∠CAB+∠ODB）＝45°． 21．如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝　36　 °； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数． 【分析】（1）连接AD并延长，用两次外角定理即可． （2）①依据（1）中的结论即可解决问题． ②依据（1）中的结论，结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C． 连接AD并延长到点E， ∵∠BDE是△ABD的外角， ∴∠BDE＝∠B+∠BAD． 同理，∠CDE＝∠C+∠CAD， 则∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C． 又∠BDE+∠CDE＝∠BDC，∠BAD+∠CAD＝∠BAC， ∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C． （2）①由（1）中的结论可知， ∠X＝∠ABX+∠A+∠ACX． 又∠A＝54°，∠X＝90°， ∴∠ABX+∠ACX＝36°． 故答案为：36． ②由（1）中的结论可知， ∠DBE＝∠CDB+∠DCE+∠CEB， 则∠CDB+∠CEB＝∠DBE﹣∠DCE． 又DC平分∠ADB，EC平分∠AEB， ∴∠ADC＝∠CDB，∠AEC＝∠CEB． 则∠ADC+∠AEC＝∠CDB+∠CEB． 又∠DCE＝∠ADC+∠DEA+∠AEC， ∴∠DCE＝∠DBE﹣∠DCE+∠DAE． 即∠DCE． 又∠DAE＝α，∠DBE＝β， 所以∠DCE． 22．[感知]如图①所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，易得（不需要证明）． [探究]如图②所示，李丽同学将图①的等腰△ABC改为任意△ABC，AD平分∠BAC，他通过观察、测量，猜想仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法： 方法1：过点D分别作：DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，利用△ABD与△ACD的面积比证明结论． 方法2：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，利用△CAD与△BED相似证明结论． 请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明． [应用]如图③所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，AD平分∠BAC．若点E在边AB上，，CE交AD于点F，则　　 ． 【分析】[探究]根据所给的辅助线画出图形，再证明即可； [应用]过点D作DG∥CE交AB于点G，根据平行线的性质得，再由角平分线的性质得，求得，再由已知求出BE，EG，再由平行线的性质得，即可求． 【解答】[探究]证明：方法1，过点D分别作：DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，设BC边上的高为h， ∵AD平分∠BAC， ∴DF＝DE， ∴， ∴； 方法2：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E， ∴∠C＝∠DBE， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△CAD∽△BED， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AC∥BE， ∴∠CAD＝∠E， ∴∠BAE＝∠E， ∴AB＝BE， ∴； [应用]解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5， ∴BC＝12， 过点D作DG∥CE交AB于点G， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∴， ∵BE＝13﹣AE，， ∴BE， ∴EG， ∵CE∥DG， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞1，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N是∠M的“k倍补充周角”．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠M+6∠N＝360°，∠N是∠M的“6倍补充周角”． （1）若∠M＝120°，则∠M的“3倍补充周角”的度数为 　80°　 ． （2）在平面内AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点． ①如图1，点P在直线AB上方，∠PFC＝60°，连接PE、PF，当∠EPF是∠PEA的“7倍补充周角”时，求∠EPF的度数． ②如图2，若点P为平行线AB，CD之间一动点，连接PE、PF、EF，∠EFP和∠FEP的角平分线交于点Q．若∠AEP＝m°，∠CFP＝n°，∠Q是∠G的“2倍补充周角”，直接写出∠G的度数（用含m和n的代数式表示）． 【分析】[探究]根据所给的辅助线画出图形，再证明即可； [应用]过点D作DG∥CE交AB于点G，根据平行线的性质得，再由角平分线的性质得，求得，再由已知求出BE，EG，再由平行线的性质得，即可求． 【解答】[探究]证明：方法1，过点D分别作：DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，设BC边上的高为h， ∵AD平分∠BAC， ∴DF＝DE， ∴， ∴； 方法2：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E， ∴∠C＝∠DBE， ∵∠ADC＝∠BDE，∴△CAD∽△BED，∴， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E， ∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴； [应用]解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC＝12， 过点D作DG∥CE交AB于点G，∴， ∵AD平分∠BAC，∴， ∴，∴， ∵BE＝13﹣AE，，∴BE， ∴EG， ∵CE∥DG，∴， ∴，∴， 故答案为：． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双角平分线模型与角高模型 近年来在浙江中考考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就双角平分线模型与角高模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 9 ‌ 角平分线这个概念，其实源于人类对“对称”与“平分”的最朴素直觉。它并不是某位数学家在某一天突然发明的，而是在解决实际问题的过程中逐渐被定义和规范化的。 早在古埃及和古巴比伦时期，人们在丈量土地、建造金字塔或制作工具时，就发现了一个现象：把一个角对折，折痕正好把这个角分成了两个一模一样的小角。这条折痕就是最早的“角平分线”原型。它天然地满足了“等分”和“对称”这两个核心需求。 到了古希腊时期，欧几里得在 《几何原本》中，首次用严格的逻辑语言定义了角平分线，并给出了经典的尺规作图法。他利用圆规和直尺，通过构造全等三角形，证明了这条线确实能将角一分为二。这标志着角平分线从生活经验正式上升为严谨的数学公理。 三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 1、（东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 2、如图，已知∠AOB＝n，P，Q两点分别是OA、OB上的两动点，QD，PE分别平分∠PQO和∠APQ，射线PE的反向延长线与射线QD相交于点D． （1）如图1，若n＝60°，求∠EDQ的度数； （2）如图2，作∠PQB的角平分线QE交射线PE于点E，求∠PEQ的度数； （3）如图3，M、N为线段PE和EQ上的两定点，若将△MNE沿MN翻折，点E对应点E'在△PEQ的内部，且满足∠E'PQ∠EPQ，∠E'QP∠EQP，请求出∠PE'Q与∠1，∠2的关系． 3、（2025•安徽校级模拟）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 1）两内角平分线的夹角 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE, CF相交于点G,求∠BGC与∠A之间的关系 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G， ∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）； 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A， 即：∠BGC=90°+∠A． 2）一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点p，求∠P与∠A之间的关系 解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴∠ACP=∠ABC+∠A， ∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P， 即∠P=∠A． 3）两外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，△ABC的外角平分线BO, CO相交于点O,求∠O与∠A之间的关系 解：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°-∠A． 4）内角平分线和高线的夹角 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线(AE可能在AD的左侧或右侧)，求∠EAD与∠B、∠C 解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC=∠ADE=90°， ∴∠CDA=90°-∠C， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C）， ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）； 例1（2025秋•东宝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在的直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③∠E+∠BOC＝180°； ④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点P；∠PBC和∠PCD的平分线交于点P1，…以此类推得到∠P2025，若∠A度数为α，则∠P2025的度数是（　　） A． B． C． D． 例3如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝34°，则∠DAE＝　　 ． 例4△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D． （1）如图1，求∠BOD的度数； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝50°，求∠BAC的度数； ③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值． 例5如图，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝50°，求∠DAC和∠DAE的度数． 1．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 2．如图，在△ABC中，∠F＝18°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A等于（　　） A．36° B．48° C．52° D．60° 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，则∠E的度数为（　　） A．68° B．56° C．34° D．32° 4．如图，在△ABC中，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABC的边AC上的高，AD，BE相交于点O．若∠ABC＝82°，∠C＝56°，则∠AOB的度数是（　　） A．118° B．112° C．111° D．103° 5．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．116° B．100° C．128° D．120° 6．如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 7．如图，在四边形ABCD中，∠D+∠C＝230°，∠DAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点F，则∠F的度数为（　　） A．10° B．15° C．25° D．30° 8．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，E是外角∠BCN与外角∠CBM平分线的交点，若∠BOC＝135°，则∠E等于（　　） A．15° B．20° C．30° D．45° 9．如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE＝CB，D是BE的中点，若∠BCD＝20°，则∠A＝　 　 ． 10．如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，延长AD交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F，过点E作EH⊥CD交AC于点H，则下列结论：①∠ADC＝135°；②HF＝GF；③AC2+CE2＝2AE2；④S△DEC＝S△HEF，正确的有 　 　 ．（填序号） 12．在如图所示的△ABC纸片中，点E是边AB的中点，点F是边BC上任意一点，现将△BEF沿EF折叠，得到△B′EF，折痕EF与△ABC的角平分线BD相交于点O，连接CB′，当线段EB′与CB′的长度和最小时，∠EOB＝100°，则此时∠B′CB＝　 　 °． 13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A＝60°，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，BF平分∠EBC，CF平分∠ECQ，则∠F的度数是 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F点作DE∥BC分别交AB，AC于点D，点E，过点F作FG⊥AB于点G，下列六个结论： ①若∠A＝60°，则∠BFC＝120°； ②△BDF与△CEF为等腰三角形； ③DE＝BD+CE； ④点F到△ABC各边的距离相等； ⑤若△ABC周长为c，FG＝a，则△ABC面积为； ⑥若FG＝a，AD+AE＝b，则． 正确的有 　 　 ．（填序号） 15．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠DAE＝19°，求∠C的度数． 16．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　 　． （2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由． 17．问题情境： 如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD． （1）探索发现： 若∠A＝60°，则∠O的度数为 　 　 ；若∠A＝130°，则∠O的度数为 　 　 ． （2）猜想证明： 试判断∠A与∠O的关系，并说明理由． （3）结论应用： 如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D．若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为 　 　 ． 18．【问题】 （1）如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC的度数为 　 °； 【探究】 （2）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝α°，则∠BEC的度数为 　 　 °；（用含α的式子表示） （3）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，若∠A＝62°，则∠BOC的度数为 　 　 °； （4）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由． 19．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　 　 ； 【问题推广】 （2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数； （3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为 　 　 ．（结果用含n的代数式表示） 20．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足，过C作CB⊥x轴于B． （1）a＝　 　，b＝　 　 （直接写出答案）； （2）点P在x轴上，若三角形OCP和三角形ABC的面积相等，求出P点的坐标； （3）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数． 21．如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝　 　 °； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数． 22．[感知]如图①所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，易得（不需要证明）． [探究]如图②所示，李丽同学将图①的等腰△ABC改为任意△ABC，AD平分∠BAC，他通过观察、测量，猜想仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法： 方法1：过点D分别作：DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，利用△ABD与△ACD的面积比证明结论． 方法2：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，利用△CAD与△BED相似证明结论． 请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明． [应用]如图③所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，AD平分∠BAC．若点E在边AB上，，CE交AD于点F，则　 　 ． 23．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞1，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N是∠M的“k倍补充周角”．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠M+6∠N＝360°，∠N是∠M的“6倍补充周角”． （1）若∠M＝120°，则∠M的“3倍补充周角”的度数为 　 　． （2）在平面内AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点． ①如图1，点P在直线AB上方，∠PFC＝60°，连接PE、PF，当∠EPF是∠PEA的“7倍补充周角”时，求∠EPF的度数． ②如图2，若点P为平行线AB，CD之间一动点，连接PE、PF、EF，∠EFP和∠FEP的角平分线交于点Q．若∠AEP＝m°，∠CFP＝n°，∠Q是∠G的“2倍补充周角”，直接写出∠G的度数（用含m和n的代数式表示）． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $