精品解析：河南省开封市河南大学附属中学2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷

2025-2026学年上期期中联考九年级数学试题 考试时间：100分钟 试卷分值：120分 考查内容：人教版九上全册 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 阴天会下雨 C. 13名同学，至少有两人出生月份相同 D. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 3. 如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 6. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 7. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数大致图像可能是（ ） A. B. C D. 9. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 10. 二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（ ） A. ③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是_____．（精确到） 13. 如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 三、解答题 15. 解方程： （1）． （2）． 16. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 17. 某校拟增设四类兴趣班：.机器人编程班、.主持人与演讲班、.传统书法班、.剪纸班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是_____人； （2）补全条形统计图，并求出类所对应的扇形的圆心角为_____度； （3）已知选择类兴趣班的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 18. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． （1）若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ （2）当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 19. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 20. 某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为_____元； （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题． 21. （1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数． 22. 如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式与点的坐标； （2）当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； （3）连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期期中联考九年级数学试题 考试时间：100分钟 试卷分值：120分 考查内容：人教版九上全册 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：四个选项中的图形都是轴对称图形，但只有选项C还是中心对称图形； 故选：C． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 阴天会下雨 C. 13名同学，至少有两人的出生月份相同 D. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是必然事件，符合题意； D、是随机事件，不符合题意． 故选：C 3. 如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 一元二次方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、没有说明，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 6. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答关键. 由旋转的性质求得，，，再利用等腰三角形的性质和外角性质求解. 【详解】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ∴. ∵， ∴， 故． 故选：B． 7. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 故选：B ． 9. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 10. 二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（ ） A. ③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据图象可得到且同号，故①正确；由于抛物线与轴有两个不同的交点，所以，故②正确；当时，，又因为，所以，故③错误；由图知：时，，可得，可得到，代入即可得到④正确；由于对称轴，所以到对称轴的距离小于到对称轴的距离，故⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴①正确； 由图知：抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， ∴ ∴②正确； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴③错误； 由图知：时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴④正确； ∵对称轴 ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴⑤正确； 综上所述：①②④⑤正确， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；同时，二次项系数不能为零． 【详解】解：方程是一元二次方程，因此二次项系数，即． ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 综上，的取值范围为且． 故答案为：且． 12. 某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是_____．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 13. 如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求解阴影部分的面积，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．连接，设交于，交于．证明，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设交于，交于． ，，， ，，， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题 15. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） , 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【小问1详解】 解： ∴或， ∴； 【小问2详解】 ∴ ∴． 16. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形——旋转变换以及中心对称变换，弧长公式的应用，正确得出对应点的位置是解题关键． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可； （3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点A在旋转过程中所经过的路径的长即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求．点的坐标为； 小问3详解】 解：由勾股定理得，， 点旋转到点的过程中，所经过的路径长为． 17. 某校拟增设四类兴趣班：.机器人编程班、.主持人与演讲班、.传统书法班、.剪纸班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是_____人； （2）补全条形统计图，并求出类所对应的扇形的圆心角为_____度； （3）已知选择类兴趣班的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】（1）； （2）补全条形统计图见解析，； （3）抽到两名性别相同的学生的概率是． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． (1)用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽取调查的总人数； (2)求出C类的人数，补全条形统计图，再用C类所占总人数的比例即可求出对应扇形圆心角度数； (3) 用列表法得出所有等可能的结果，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数是：； 【小问2详解】 C类人数是：，补全条形统计图如图所示： 类所对应的扇形的圆心角为：； 【小问3详解】 男1 男2 女1 女2 男1 / 男男 男女 男女 男2 男男 / 男女 男女 女1 男女 男女 / 女女 女2 男女 男女 女女 / 抽到两名性别相同的学生的概率是：． 18. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． （1）若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ （2）当多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】（1）5米 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， 对于（1），解：设，则，根据面积相等列出方程，求出解，再根据题意可得符合题意的解； 对于（2），设，则，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论二次函数的最大值即可. 【小问1详解】 解：设，则，根据题意，得 ， 整理，得， 解得. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 所以围栏段的长为5米； 【小问2详解】 解：设，则，种植园的面积为S， 根据题意，得，且， 即. ∵，可知抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，（）. 所以当时，种植园的最大面积是，. 19. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【小问1详解】 证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：过点作，垂足点 ，， 四边形是矩形 ， 在中， 的半径为5． 20. 某水果店销售一种水果成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为_____元； （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题． 【答案】（1）320 （2）单价应定为8元 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润=每千克的利润销售数量即可得出答案； （2）该水果单价应定为元/千克，根据题意列出一元二次方程解答，再结合为了让利于顾客，即可得出答案． 【小问1详解】 解：当定价为13元/千克时， 此时可以卖出：千克， 利润为：元， 【小问2详解】 解：该水果单价应定为元/千克， 由题意知， ， 整理得∶， 解得． 为了让利于顾客， 答：单价应定为8元． 21. （1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到：利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，再利用，即可得解； （2）将绕点逆时针旋转到的位置，连接；根据旋转的性质，得到是等边三角形，利用勾股定理逆定理，得到，利用，即可得解． 【详解】解：（1）如图1，由题意得： ；； 由勾股定理得：； ，， ， ， ， ． （2）如图2，将绕点逆时针旋转到的位置，连接； 则，，； 为等边三角形，，； ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理逆定理．通过旋转，构造全等三角形，进而得到等腰三角形和直角三角形，是解题的关键． 22. 如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式与点的坐标； （2）当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； （3）连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法，将点、点代入得方程组求解即可得到抛物线的解析式，再将二次函数一般式化为顶点式即可得到点的坐标； （2）先由待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图所示，设点，则点，表示出，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）根据题意，作出平行四边形，由平行四边形性质：对角线互相平分，借助中点坐标公式列方程组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 将点、点代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为， ， 则顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则点， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积有最大值，为，此时，； 【小问3详解】 解：存在， 如图所示： 由（1）（2）知，，， 设， （i）以为对角线时， 则，解得， ； （ii）以为对角线时， 则，解得， ； （iii）以为对角线时， 则，解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或时，存在以为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、求二次函数最值、平行四边形的性质、解二元一次方程组等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $