第六章 幂函数、指数函数和对数函数 单元培优检测-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

知识是心灵的灯塔，照亮你前行的道路，愿你不断学习，心中之光永不熄灭！ 第六章 幂函数、指数函数和对数函数 单元培优检测 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 2．已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 4．已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（   ）. A． B． C． D． 7．已知函数.将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知，，则（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C． D． 10．给出下列命题，其中正确的有（　　） A．函数的零点所在区间为 B．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 C．函数与函数的定义域相同 D．若函数满足，则 11．已知函数且，则（   ） A．的图象过定点 B．在上单调递增 C．为偶函数 D．当时，函数的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则 . 13．已知，若正实数、满足，则的最小值是 . 14．对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数是上的奇函数，函数. (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值. 16．已知函数，其中且. (1)当时，求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 17．已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围. 18．已知函数． (1)证明：； (2)解关于的不等式：； (3)若，，对，，使得，求实数的取值范围． 19．已知， (1)若，求的最大值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)，对于给定实数，均有满足，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 知识是心灵的灯塔，照亮你前行的道路，愿你不断学习，心中之光永不熄灭！ 第六章 幂函数、指数函数和对数函数 单元培优检测 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 2．已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 3．已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 故选：A. 4．已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性得到，根据指数和对数函数单调性，可确定自变量的大小关系；根据函数单调性得到函数值的大小关系，即，，的大小关系. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为函数是增函数，所以； 因为函数是增函数，所以. 所以. 因为函数是定义在上的增函数，所以，即. 故选：D. 5．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得求解即可. 【详解】由分段函数在上单调递减， 可得：，解得：， 所以的取值范围是， 故选：C 6．函数的图象大致为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性及函数值的范围，运用排除法求解． 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，又， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B； 当时，，，排除选项D； 当时， ，排除选项C． 故选：A 7．已知函数.将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移规律求，再分别求函数在区间和的单调性和值域，根据条件，以及，结合函数的性质，即可求解. 【详解】由左移一个单位，上移一个单位得， 则. 当，，单调递增且； 当，，单调递增且. 作函数草图如下： 由，，则. 解得或. 故实数取值范围为. 故选：C 8．定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数的性质与得到，进而化得，，，再由当时，得到在上单调递增且，故由可得，再由可得，从而得知. 【详解】因为是在上的奇函数，所以，故， 所以， ， ， 当时，，则在上单调递增， 又因为，所以，即， 因为，所以，则，故， 又因为，所以，故， 所以，故， 综上：， 所以，即，故， 因为，则，所以，即， 综上：. 故选：A. 【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知，，则（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性，单调性概念判断AB，代式计算可判断CD. 【详解】对A，函数得定义域为，，所以为偶函数，正确； 对B，函数得定义域为，为增函数，为减函数，所以是增函数，错误； 对C，，正确； 对D，，正确. 故选：ACD 10．给出下列命题，其中正确的有（　　） A．函数的零点所在区间为 B．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 C．函数与函数的定义域相同 D．若函数满足，则 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式得到，结合零点存在定理，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判断B正确；由对数函数定义域，可判定C错误；由，求得，结合分组法，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，易知函数为单调递增函数， 可得，，即， 所以函数的零点所在区间为，所以A错误； 对于B中，由指数函数的性质，可得， 若关于x的方程有解，即方程有解， 所以实数m的取值范围是，所以B正确； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以C错误； 对于D中，因为函数满足， 令，可得，解得， 又由，所以D正确. 故选：BD 11．已知函数且，则（   ） A．的图象过定点 B．在上单调递增 C．为偶函数 D．当时，函数的最小值是 【答案】ACD 【分析】代入计算即可得A；利用指数函数单调性可得B；利用偶函数定义判断可得C；利用函数单调性可得D. 【详解】A：，故的图象过定点，故A正确； B：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故B错误； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递增，故， 即当时，函数的最小值是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到方程求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时与轴、轴均有交点，故不符合题意； 当时，定义域为，与轴没有交点， 又恒成立，所以恒成立，所以与轴没有交点，符合题意. 所以. 故答案为： 13．已知，若正实数、满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分析出函数为奇函数，且在上为增函数，由已知条件推出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，， 故函数为奇函数， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 由可得， 所以，即， 又因为、都为正实数，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14．对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】方法一：先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围； 方法二：先得到在R上单调递增，进而得到，变形后得到在上恒成立，分和两种情况，结合函数单调性得到答案. 【详解】方法一：设，则定义域为R， 且，故为偶函数， 所以为偶函数， 定义域为R， 且 故为奇函数， 且在上单调递增， 故在R上单调递增， 若，则画出的图象如下： 即在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减， 在上单调递增， 因为为偶函数，所以有在上恒成立， 满足4成功函数， 若，画出的图象如下： 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数， 所以只需任取，使得， 由对称性可知，存在，使得，且， 故满足，故满足在上为4成功函数， 若时，画出的图象如下： 则在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数， 故只需满足任取，使得， 由对称性可知：存在，使得， 所以要满足，结合，解得：， 综上：实数的取值范围是. 方法二：定义域为R， 且 故为奇函数， 由于在上单调递增， 故在R上单调递增， 由题意得，即， 故，即在上恒成立， 当时，， 由于，故， 当时，恒成立， 当时，，故， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性； 复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数是上的奇函数，函数. (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值； （2）利用换元法，结合函数单调性和二次函数的性质来求实数的值. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意，所以. （2）由（1）知，，所以. 令， 因为函数和在上区间都单调递增， 所以函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，，解得. 当，即时，， 解得，无解. 综上所述，实数的值为. 16．已知函数，其中且. (1)当时，求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)增区间为，减区间为，值域为. (2)答案见解析 【分析】（1）根据指数函数及二次函数单调性应用复合函数单调性性质计算求解，进而得出函数的单调区间和值域； （2）分及应用对数函数单调性及对数复合函数定义域列式计算求解. 【详解】（1）由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. （2）①当时，关于的不等式可化为， 可化为或. 可得或， 故关于的不等式的解集为. ②当时，关于的不等式可化为， 可化为或. 可得或， 故关于的不等式的解集为. 综上，当时，关于的不等式的解集为， 当时，关于的不等式的解集为. 17．已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出参数即可； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）由奇偶性及单调性脱去“”建立不等式求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数，定义域为， ，即， 检验：当时，， 因为，所以是奇函数. 故. （2）在上单调递减，证明如下： 由（1）得， 设任意，则， ，，， ，， ， 在上单调递减； （3），， 是奇函数，， 在上单调递减， ，解得， 即的取值范围为. 18．已知函数． (1)证明：； (2)解关于的不等式：； (3)若，，对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由指数幂的运算可得； （2）由（1）的结论结合复合函数的单调性和一元二次不等式的解法可得； （3）先由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值.由指数幂的运算结合复合函数的单调性得到的范围，再利用换元法和指数幂的运算得到的表达式，最后结合二次函数的性质分析可得. 【详解】（1）. （2）由（1）可得， 所以， 因为， 由复合函数的单调性可得在定义域上为递增函数， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为. （3）由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值. ， 由指数函数的性质可得在上单调递减， 时，；时，. 所以的值域为. 所以 令，所以， 由指数函数的性质可得是单调增函数， 当时，，当时，所以在上的取值范围是， 设对称轴为，开口向上， 当时，，解得； 当时，， 综上，实数的取值范围为. 19．已知， (1)若，求的最大值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)，对于给定实数，均有满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)若，解集为；若，解集为且；若，解集为. (3)当或时， ；当或时， ；当时，. 【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数分析求解； （2）换元令，可得，分类讨论的符号，结合分式不等式求解； （3）令,，按照、、分类讨论，表示出，即可求解. 【详解】（1）因为，可知的定义域为，此时， 若，则， 可得， 令，则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）若，则， 对于，即， 令，则， 若，则，可得， 解得，可得； 若，则，可得， 解得，可得且； 若，则，可得， 解得或，可得或； 综上所述：若，解集为； 若，解集为且； 若，解集为. （3）令, 则, ①当时, , 当 时, 即 或 时, ； 当时, 即或时, , 所以; 当 时, . ②当时，, , 当 时, , 所以; 当 时, , 所以; 当 时,. ③当 时, 成立. 综上所述, 当或时， ； 当或时， ； 当时，. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键点令,，通过分类讨论表示出，再按照的范围分类求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $