第6章 幂函数 指数函数-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（苏教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 3.已知函数f(x)=则f(1-x)的图象是(　　) A B C D 4.已知函数f(x)=满足对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有 >0成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3] D.(2,+∞) 5.已知函数f(x)=若f(a2-1)=f(a),则实数a的最小值为(　　) A.-2 B.- C.1 D. 6.已知x3-y3<2-x-2-y,则下列结论中正确的是(　　) A.ln>0 B.ln(y-x+1)>0 C.ln|y+x|>0 D.ln|y-x|>0 7.已知奇函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,总有f(x-2)=f(x+2)成立,当x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,函数g(x)=mx2+2x,对任意的x∈R,存在t∈R,使得f(x)>g(t)成立,则满足条件的实数m构成的集合为(　　) A. B. C. D. 8.已知函数f(x)=x+ln(+2x)+2.若对任意的x∈R,不等式f(|2x-a|)≥4-f(|3x-2a|-a2)恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D.∪ 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若函数f(x)对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有 ≤f ,则称f(x)具有性质M.下列函数中,具有性质M的有(　　) A. f(x)= B. f(x)=ex C. f(x)=ln x D. f(x)=- 10.已知函数f(x)=,则(　　) A.f(x)在[2,+∞)上单调递增 B. f(x)的值域为(0,+∞) C.不等式f(x)<256的解集为(-1,5) D.若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围为[-2,+∞) 11.定义:N{f(x)⊗g(x)}表示f(x)<g(x)的解集中整数解的个数.若f(x)=|log2x|,g(x)=a(x-1)2+2,则下列说法正确的是(　　) A.当a>0时,N{f(x)⊗g(x)}=1 B.当a=0时,不等式f(x)<g(x)的解集是 C.当a=0时,N{f(x)⊗g(x)}=4 D.当a<0时,若N{f(x)⊗g(x)}=1,则实数a的取值范围是(-∞,-1] 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若f(x)为定义在R上的偶函数,函数g(x)=f(x)(ex-e-x)+2,则g(-2 024)+g(2 024)=　　　　　.  13.已知实数p,q满足2p+p=5,log2+q=1,则p+2q=　　　　.  14.已知函数f(x)=若方程f(x)=m有6个不同的实数根x1,x2,x3,x4,x5,x6,则实数m的取值范围为　　　　;x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数. (1)求实数k的值; (2)当x∈[0,1]时,不等式f(x)+x-log3(m·3x-1)≥0恒成立,求实数m的取值范围. 16.(15分)为了保护环境,污水进入河流前都要进行净化处理.某市工业园区某工厂的污水先排入净化池,然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出,在一定范围内,每放入1个单位的净化剂,在污水中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:小时)变化的函数关系式近似为y=若多次加入净化剂,则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当净化剂在污水中释放的浓度不低于4毫克/立方米时,它才能起到净化污水的作用. (1)当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度是多少? (2)若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达几小时?(结果精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.3,lg 17≈1.23) (3)若第一次投放1个单位的净化剂,3小时后再投放2个单位的净化剂,设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为g(t)毫克/立方米,其中0<t≤3,求g(t)的表达式和g(t)的最小值. 17.(15分)已知函数f(x)=4x+m·2x-2,x∈[-2,1],m为实数. (1)当m=1时,求f(x)的值域; (2)设g(x)=,若对任意的x1∈[-2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数m的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=. (1)求函数y=f(2x)-f(x),x∈[0,1]的值域; (2)若不等式f(2x)≤kf(x)在x∈R上恒成立,求实数k的取值范围; (3)当x∈[-ln a2,-ln b2](a>b>0)时,函数g(x)=mf(x)+1的值域为[2-3a,2-3b],求正数m的取值范围. 19.(17分)若存在实数对(a,b),使等式f(x)·f(2a-x)=b对定义域中每一个实数x都成立,则称函数f(x)为(a,b)型函数. (1)若函数f(x)=2x是(a,1)型函数,求a的值; (2)若函数g(x)=是(a,b)型函数,求a和b的值; (3)已知在[-2,4]上,h(x)恒大于0,且为(1,4)型函数,当x∈(1,4]时,h(x)=-+m·log2x+2.若h(x)≥1在[-2,4]上恒成立,求实数m的取值范围. 答案全解全析 1.A　由题意得m2-2m-3<0,解得-1<m<3,又m∈Z,所以m=0,1,2. 当m=0时,y=x-3,是奇函数,其图象不关于y轴对称. 当m=1时,y=x-4,是偶函数,其图象关于y轴对称. 当m=2时,y=x-3,是奇函数,其图象不关于y轴对称. 综上,m=1. 2.C　∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log0.50.3>log0.50.5=1,c=log80.4<log81=0, ∴c<a<b. 3.D　由f(x)=得f(1-x)= 当x=0时, f(1-0)=2,则f(1-x)的图象过点(0,2),故排除A,B; 当x≥0时, f(1-x)=21-x>0,故排除C. 4.C　∵对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有 >0,∴函数f(x)在R上单调递增,∴解得2<a≤3, ∴实数a的取值范围为(2,3]. 5.B　作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,当f(a2-1)=f(a)时,或解得-≤a≤1或a=.所以实数a的最小值为-. 6.B　由x3-y3<2-x-2-y,得x3-2-x<y3-2-y. 令f(x)=x3-2-x,则f(x)<f(y). 因为y=x3在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数,所以f(x)在R上为增函数,所以y>x. 对于A,取y=1,x=-2,则ln<0,故A错误. 对于B,由y>x得y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故B正确. 对于C,取y=1,x=-2,则ln|y+x|=0,故C错误. 对于D,取y=1.1,x=1,则ln|y-x|<0,故D错误. 7.B　因为f(x)是奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称. 因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x). 易知当x∈(0,2)时,0<f(x)<3,因为f(x)是奇函数,所以当x∈(-2,0)时,-3<f(x)<0.又f(-2)=f(2), f(-2)=-f(2),所以f(2)=-f(2)=f(0)=0,所以当x∈[-2,2]时,-3<f(x)<3. 因为f(x+4)=f(x),所以f(x)在R上的值域是(-3,3). 因为对任意的x∈R,存在t∈R,使得f(x)>g(t)成立, 所以不等式g(x)=mx2+2x≤-3在R上有解. 当m≤0时,显然成立. 当m>0时,需满足Δ=4-12m≥0,解得m≤,所以0<m≤. 综上,满足条件的实数m构成的集合为. 8.A　令g(x)=f(x)-2=x+ln(+2x), 对任意的x∈R,>=2|x|≥-2x, 故对任意的x∈R,+2x>0, 故函数g(x)的定义域为R,关于原点对称. 因为g(-x)+g(x)=-x+ln(-2x)+x+ln(+2x)=ln(4x2+1-4x2)=ln 1=0,所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)为奇函数. 令u=+2x,易知函数u=+2x在R上单调递增, 又函数y=ln u为定义域上的增函数, 所以函数g(x)=x+ln(+2x)在R上为增函数. 由f(|2x-a|)≥4-f(|3x-2a|-a2),可得g(|2x-a|)+2≥4-[g(|3x-2a|-a2)+2]=2-g(|3x-2a|-a2), 所以g(|2x-a|)≥-g(|3x-2a|-a2)=g(a2-|3x-2a|), 所以|2x-a|≥a2-|3x-2a|,即|3x-2a|+|2x-a|≥a2. 令h(x)=|3x-2a|+|2x-a|. 当a=0时,|5x|≥0,显然成立. 当a>0时,h(x)= 所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增, 所以h(x)min=h=,所以a2≤,解得0≤a≤,此时0<a≤. 当a<0时,h(x)= 所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增, 所以h(x)min=h=-,所以a2≤-,解得-≤a≤0,此时-≤a<0. 综上所述,实数a的取值范围是. 9.ACD　对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有 ≤f , 故函数图象可能是上凸的,此时 <f ,如图①所示; 也可能是一条直线,此时 =f . 依次画出各选项中的函数图象,分别如图②③④⑤所示, 　　 　　 根据图象知,A,C,D满足条件. 10.ACD　设t=x2-4x+3,则y=2t. 对于A,t=x2-4x+3的图象是开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线,则t=x2-4x+3在[2,+∞)上单调递增,又y=2t在R上单调递增,故f(x)在[2,+∞)上单调递增,A正确. 对于B,t=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,则y=2t≥,则f(x)的值域为,B错误. 对于C,不等式f(x)<256=28,即x2-4x+3<8,解得-1<x<5,即不等式的解集为(-1,5),C正确. 对于D,g(x)=2-ax·f(x)=,设m=x2-(4+a)x+3,则y=2m, 若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则m=x2-(4+a)x+3在(-∞,1]上单调递减,必有(4+a)≥1,解得a≥-2,即实数a的取值范围为[-2,+∞),D正确. 11.BD　根据题意,得N{f(x)⊗g(x)}表示不等式|log2x|<a(x-1)2+2的解集中整数解的个数. 当a>0时,作出y=f(x)和y=g(x)的图象,如图1所示, 由图可知, f(x)<g(x)的解集中整数解有无数多个,故A错误. 当a=0时,g(x)=2,由f(x)=|log2x|<2,可得-2<log2x<2,解得<x<4,所以f(x)<g(x)的解集为,有3个整数解,故B正确,C错误. 当a<0时,作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,如图2所示, 若N{f(x)⊗g(x)}=1,即|log2x|<a(x-1)2+2的整数解只有一个, 则只需满足即解得a≤-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1],故D正确. 12.答案　4 解析　　由题意知g(-x)=f(-x)(e-x-ex)+2=-f(x)(ex-e-x)+2=-g(x)+4,故g(x)+g(-x)=4,则g(-2 024)+g(2 024)=4. 13.答案　3 解析　　由2p+p=5,得2p=5-p. 由log2+q=1,得log2(q+1)+q=1,即log2(q+1)+2q=2, 所以log2(q+1)+1+2q=3,所以log2(2q+2)+2+2q=5,即log2(2q+2)=5-(2+2q). 所以方程2p=5-p的解即为y=2x,y=5-x的图象交点的横坐标,方程log2+q=1的解即为y=log2x,y=5-x的图象交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x,y=5-x的图象,如图所示. 因为y=2x,y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,所以y=x,y=5-x图象的交点即为y=2x,y=5-x图象的交点和y=log2x,y=5-x图象的交点的中点. 联立得x=y=,所以p+2q+2=5,所以p+2q=3. 14.答案　(0,2); 解析　　作出函数f(x)的图象,如图所示: 由图可知,m∈(0,2). 不妨设x1<x2<x3<x4<x5<x6,易得=-2,=6,且1<x4<4,-log2x3=log2x4,所以x1+x2=2×(-2)=-4,x5+x6=2×6=12,x3x4=1,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=x3+x4+8=x4++8(1<x4<4). 因为y=x++8在(1,4)上单调递增,所以x4++8∈. 故x1+x2+x3+x4+x5+x6∈. 15.解析　　(1)因为函数f(x)的定义域为R,且为偶函数,所以f(-1)=f(1),即log3-k=log310+k,解得k=-1.(2分) 经检验,满足题意,所以k=-1.(4分) (2)由(1)知, f(x)=log3(9x+1)-x, 当x∈[0,1]时,不等式f(x)+x-log3(m·3x-1)≥0恒成立可转化为x∈[0,1]时,不等式log3(9x+1)-log3(m·3x-1)≥0,即log3(9x+1)≥log3(m·3x-1)恒成立.(5分) 因为y=log3x在定义域上单调递增, 所以9x+1≥m·3x-1>0,即3x+≥m>.(7分) 令t=3x,x∈[0,1],则t∈[1,3],≥m>.(10分) 因为t+≥2(当且仅当t=时等号成立),∈, 所以1<m≤2.(13分) 16.解析　　(1)当x=4时,y==6,所以当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米.(3分) (2)当0≤x≤3时,令4(2x+1)≥4,得2x≥0,恒成立.(5分) 当x>3时,令4×≥4,得2x-3+1≤18,则x-3≤log217=≈=4.1,所以3<x≤7.1.(8分) 综上,当0≤x≤7.1时,净化剂能起到净化污水的作用. 所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达7.1小时.(10分) (3)g(t)=+2(2t+1)=+2(2t+1),0<t≤3.(12分) 因为2t+1>0,所以+2(2t+1)≥2=12,当且仅当=2(2t+1),即t=1时取等号,所以g(t)的最小值为12.(15分) 17.解析　　(1)当m=1时, f(x)=4x+2x-2,x∈[-2,1]. 令t=2x,x∈[-2,1],则≤t≤2,y=t2+t-2. 易得y=t2+t-2在区间上单调递增, 所以当t=时,ymin=-,当t=2时,ymax=4,(3分) 所以f(x)的值域为.(4分) (2)要使对任意的x1∈[-2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)在[-2,1]上的最小值大于或等于g(x)在[0,1]上的最小值.(5分) 因为0≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,所以≤≤1,所以1≤≤2, 所以g(x)在区间[0,1]上的最小值为1.(7分) 对于函数f(x)=4x+m·2x-2(-2≤x≤1),令t=2x,则≤t≤2, 易得y=t2+mt-2的图象开口向上,对称轴为直线t=-.(8分) 当-≤,即m≥-时,函数y=t2+mt-2在上单调递增, 则f(x)min=ymin=+m-2=m-,所以m-≥1,解得m≥;(10分) 当<-<2,即-4<m<-时,函数y=t2+mt-2在t=-处取得最小值,则f(x)min=ymin=--2=-m2-2<0<1,不符合题意;(12分) 当-≥2,即m≤-4时,函数y=t2+mt-2在上单调递减,则f(x)min=ymin=22+2m-2=2m+2, 所以2m+2≥1,解得m≥-,与m≤-4矛盾,不符合题意.(14分) 综上所述,实数m的取值范围为.(15分) 18.解析　　(1)y=f(2x)-f(x)=-=-+=-+,(2分) 当x∈[0,1]时,ex∈[1,e],所以∈,(3分) 所以当=,即x=ln 2时,ymax=;当=1,即x=0时,ymin=0, 所以函数y=f(2x)-f(x)在x∈[0,1]上的值域为.(5分) (2)f(2x)≤kf(x)即≤k·,整理得(ex+1)(ex-1)≤kex(ex-1).(6分) 当x=0时,k∈R;(7分) 当x>0时,ex-1>0,则k≥=1+恒成立, 因为y=1+在(0,+∞)上单调递减,所以y=1+在(0,+∞)上的值域为(1,2),所以k≥2;(9分) 当x<0时,ex-1<0,则k≤=1+恒成立, 因为y=1+在(-∞,0)上单调递减,所以y=1+在(-∞,0)上的值域为(2,+∞),所以k≤2.(11分) 综上,实数k的取值范围为{2}.(12分) (3)g(x)=mf(x)+1=m+1=m+1-. 当m>0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 即所以a,b是关于x的方程m+1-mx2=2-3x,即mx2-3x+(1-m)=0的两个不相等的正实数根,(15分) 所以解得0<m<1, 所以正数m的取值范围为(0,1).(17分) 19.解析　　(1)由f(x)=2x是(a,1)型函数,得f(x)·f(2a-x)=2x·22a-x=1,即22a=1,即2a=0,所以a=0.(3分) (2)由g(x)=是(a,b)型函数,得g(x)·g(2a-x)=·=b, 则+=ln b, 因此x2ln b-2axln b+2a=0对定义域{x|x≠0}内任意x恒成立,(5分) 于是解得a=0,b=1.(7分) (3)由h(x)是(1,4)型函数,得h(x)·h(2-x)=4. ①当x=1时,h(1)·h(1)=4,而h(x)>0,则h(1)=2,满足h(x)≥1;(9分) ②当x∈(1,4]时,h(x)=-(log2x)2+m·log2x+2≥1恒成立, 令log2x=t,则t∈(0,2],-t2+mt+2≥1恒成立,于是m≥t-恒成立,而函数y=t-在(0,2]上单调递增,则t-≤,当且仅当t=2时取等号,因此m≥;(12分) ③当x∈[-2,1)时,2-x∈(1,4], 则h(x)==, 由h(x)≥1,得0<-+m·log2(2-x)+2≤4, 令log2(2-x)=u,则当u∈(0,2]时,0<-u2+mu+2≤4, 由②知-u2+mu+2≥1,则只需u∈(0,2]时,-u2+mu+2≤4恒成立, 即u∈(0,2]时,m≤+u恒成立,又u+≥2=2,当且仅当u=时取等号,因此m≤2.(15分) 所以实数m的取值范围是.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$