精品解析：云南省玉溪市江川区第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

云南省玉溪市江川区第一中学2025-2026学年度高三上期中考试 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，再利用交集概念即可求解． 【详解】因为，所以，可知， 集合，则. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义得到，再利用复数的运算法则代入计算即可. 【详解】在复平面中，点坐标为  对应的复数为 ， . 故选：D 3. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理化简为，再按等于0和不等于0分类讨论求解． 【详解】因为，由余弦定理得， 化简得， 若，即，此时为直角三角形； 若，则，此时为等腰三角形． 综上，为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 4. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（ ） A. 1 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解. 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，所以数列是首项，的等差数列， ，则， ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为. 故选：B 5. 如图函数图象的解析式可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，结合函数奇偶性的定义判断奇偶性，再结合已知函数图象根据函数的定义域与奇偶性逐项判断即可得结论. 【详解】设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 由图可知原函数是上的偶函数，从定义域上不符合的是C，D选项； A选项是奇函数与偶函数相乘所得函数为奇函数，故A不符合； B选项是奇函数与奇函数相乘所得函数为偶函数，故B符合 故选：B. 6. 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. 7. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解. 【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示： 由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：B 8. 若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得时恰有一个解，由满足上式，从而得到时无解，令，，求出的值域，即可得到关于的不等式，解得即可. 【详解】因为时曲线与恰有一个交点， 所以当时恰有一个解， 即当时恰有一个解， 显然满足， 所以当时无解， 即时无解， 令，， 则，所以为偶函数， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又当时，所以， 综上可得在上恒成立， 所以当时，又为偶函数，所以当时， 由上述分析可得与在无交点， 所以或，解得或， 即的取值范围为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系式求解. 【详解】，，，， 选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，故选项D正确. 故选：CD. 10. 如图，三棱台中，平面，则（　　） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，直接由棱台的体积公式求解；对于B，C项，由线面垂直判定定理求解；对于D项，作于点，则平面为与平面所成角，得在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，即可求解． 【详解】A选项：， ，故A正确； B选项：平面 ， 平面 平面 ， 又为的中点， ，平面， 平面，故B正确； C选项：由B选项答案可知平面， 若，而平面， 则平面， ，与条件矛盾，故错误； D选项：如图，在平面中，作于点， 由B选项答案可知，平面， ，平面， 平面为与平面所成角， 依题意，又， 又． 在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆， 轨迹长度为，故D正确． 故选：ABD． 11. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是,为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当点横坐标为1时，的内切圆半径 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面积的最大值为，求得，得到，可判定A正确；由椭圆的定义，转化为，可判定B正确；取点的坐标为，结合面积相等法，求得的内切圆的半径为，可判定C不正确；由椭圆的光学性质，过点与垂直的直线为的角平分线，设，分别求得，结合，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，由椭圆，可得， 因为面积的最大值为，可得，解得， 所以，即椭圆的方程为，所以A正确； 对于B，由椭圆，可得，且 由椭圆的定义，可得，所以， 则， 当且仅当共线，且位于的延长线上时，等号成立，所以B正确； 对于C，当的横坐标为时，代入椭圆的方程，可得， 不妨取点的坐标为，则面积为， 又由的周长为， 设的内切圆的半径为，可得，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由椭圆的光学性质，可得点与垂直的直线为的角平分线， 则， 设，则且， 因为且， 所以，且, 又由， 可得， 整理得，解得或， 当时，，此时与点重合，不符合题意，舍去； 所以，所以，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由得，利用数量积的定义即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又因为为单位向量，与的夹角为， 所以， 故答案为：4． 13. 已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球，所 以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 14. 牛顿数列是牛顿迭代法在求函数零点时生成的数列．对于函数和数列,若,则称数列为函数的牛顿数列．已知数列满足,其中是函数的牛顿数列．则数列的通项公式为___________．记数列的前项和为,若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到与的关系，再将代入后，观察与的关系即可； （2）分为奇数和偶数讨论，再利用数列单调性求解即可. 【详解】对于第一空：数列为函数的牛顿数列， 有，得， ， 则，两边取对数得： ，即. 又. 对于第二空：， 则可整理为：， 即解. 分为奇数和偶数讨论： 当为奇数时，，不等式变为：. 由于是递增函数，且当时，，故. 当为偶数时，，不等式变为： ，即. 由于是递减函数，且当时，，故. 因此，. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了名男生和名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 （1）从这人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； （2）试依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关． 附：，其中． α 【答案】（1）； （2）认为学生体育锻炼经常性与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据列联表，结合古典概型概率公式，即可求解； （2）首先假设，再计算，再比较参考数据，即可得到结论. 【小问1详解】 记事件为“选到的学生不经常锻炼”，事件为“选到的人是女生”， 根据条件概率公式，故； 即在选到的学生不经常锻炼条件下，是女生的概率为； 【小问2详解】 提出假设为学生体育锻炼经常性与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验， 有充分的证据推断不成立， 因此认为学生体育锻炼经常性与性别有关． 16. 已知四棱台，底面四边形为菱形， ，且侧棱 平面. （1）证明： 平面； （2）记，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ，底面四边形为菱形， ， ，则，设，连接， 底面四边形为菱形， 为的中点， ， ， ， 为平行四边形， ， 平面，平面， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）底面四边形为菱形，，则为的中点，可得，从而得到平面； （2）取中点，可以得到以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，根据长度写出点的坐标，根据得到，从而得到，利用向量求出的坐标，求出平面的法向量和， 利用向量的数量积得到直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面四边形为菱形， ， 是等边三角形， 取中点，连接，则， ， ， 平面， 以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，，，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ，， 设平面的法向量为， ，则，取，解得，， 则，， ，，，， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求的值，并求的单调区间； （2）若,求的最大值与最小值． 【答案】（1），的单调递增区间为，单调递减区间为； （2），. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据极值点处导数为0求出，再将代回导函数求解单调区间； （2）根据函数在给定区间内的单调性，得出函数最值. 【小问1详解】 . 在处有极小值， ， 即， 解得. 当时，， ，令，得. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，在处取得极小值. 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得，在单调递减，在单调递增， ， 又， ， . 综上所述，当时，的最大值为，最小值为. 18. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响． （1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望； （2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求； （3）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义． 【答案】（1）的分布列为 Y 3 4 5 6 4 （2） （3），统计意义为：在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小. 【解析】 【分析】（1）得到比赛得分为Y的所有可能取值为3，4，5，6，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望；（2）利用概率的乘法公式列出，再通过错位相减的方法求出；（3）分别利用概率的乘法公式求出和，再利用做差法比较大小，根据大小情况写出实际意义即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为3，4，5，6， 的分布列为 Y 3 4 5 6 数学期望. 【小问2详解】 依题意，局比赛中，人类队累计得分为分，即局中有2局人类队取胜， 当时，， 当时，也符合上式. ， 设 得： ， ， 【小问3详解】 设“赛满局人类队获胜”为事件，要使事件发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件 ①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局， （i）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜； （ii）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为， . ②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜， ， ， . 在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小. 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据求出，构造出，得到为首项为，公比为的等比数列，并求出通项公式，得到； （2）变形得到，构造，作差得到，得到数列单调性，得到； （3），结合及二项式定理得到当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到，利用二项式定理得到除以16的余数为除以16的余数，求出答案. 【小问1详解】 当时，，又，所以， 当时，①， 故②， 式子①-②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故， 【小问2详解】 由（1）知，，故， 对于任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8. 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省玉溪市江川区第一中学2025-2026学年度高三上期中考试 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（ ） A. 1 B. 27 C. 28 D. 29 5. 如图函数图象的解析式可能是（   ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 7. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三棱台中，平面，则（　　） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为 11. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是,为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当点横坐标为1时，的内切圆半径 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 13. 已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 14. 牛顿数列是牛顿迭代法在求函数零点时生成的数列．对于函数和数列,若,则称数列为函数的牛顿数列．已知数列满足,其中是函数的牛顿数列．则数列的通项公式为___________．记数列的前项和为,若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了名男生和名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 （1）从这人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； （2）试依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关． 附：，其中． α 16. 已知四棱台，底面四边形为菱形， ，且侧棱 平面. （1）证明： 平面； （2）记，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求的值，并求的单调区间； （2）若,求的最大值与最小值． 18. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响． （1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望； （2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求； （3）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义． 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $