专题10 解答题全考点综合（函数、三角、向量、概率、立体）（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题10 解答题全考点综合 （函数、三角函数与解三角形、平面向量、概率统计、立体几何）目录 学考要求速览 高频考点精讲 考点一：函数的基本性质 考点二：指对幂函数及函数的应用 考点三：三角函数 考点四：解三角形 考点五：平面向量 考点六：概率统计 考点七：立体几何 进阶分级训练 1.掌握函数性质的运用，能分析函数的单调性、奇偶性与最值； 2.掌握函数零点的综合应用，会利用函数图象与性质求解零点问题； 3.掌握函数建模的方法，能建立分段函数、指数函数或对数函数模型解决实际问题； 4.掌握三角函数的图象与性质，会分析周期性、单调区间与最值； 5.掌握三角恒等变换的方法，能运用公式进行化简、求值与证明； 6.掌握解三角形的综合应用，会利用正余弦定理解平面几何或实际问题； 7.掌握平面向量的坐标表示，能进行向量的坐标运算并解决相关问题； 8.掌握平面向量的数量积，会运用数量积求夹角、判断垂直及求投影； 9.掌握统计图表的分析方法，会从频率分布直方图中提取信息并计算统计量； 10.掌握概率计算的方法，会求解古典概型及与统计图表结合的概率问题； 11.掌握空间几何体的计算，会求解几何体的表面积、体积或相关最值问题； 12.掌握空间位置关系的证明，能运用判定与性质定理证明平行与垂直关系； 13.掌握空间角的计算方法，会求解线面角、二面角并进行相关应用。 考点精讲讲练 考点一：函数的基本性质 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 例题2．（2025高三下·四川·学业考试）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 例题3．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数的单调性，即可得到最值. 【详解】（1）在上是增函数.证明如下： 任取，且， ， ， ， 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数. 所以最大值为，最小值为. 例题4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意可得函数定义域，结合奇函数的定义分析证明； （2）设且，根据单调性的定义结合指数函数性质分析证明； （3）分析可知原不等式等价于，结合函数单调性分析求解即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为R， 且， 所以是奇函数． （2）因为， 设且， 则， 因为，则，可得，， 则，即， 故在R上的单调递增． （3）由（2）知在R上的单调递增，且 因为，则原不等式等价于， 即，可得且，解得或 所以实数m的取值范围为：或． 1．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)函数为奇函数，理由见详解 【分析】（1）把点代入解析式求出后可得答案； （2）利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过， 所以，解得， 所以； （2）函数为上的奇函数. 由（1）可知， 由于，其定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数. 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得， 解得. （2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. （3）由题意可得，解得. 3．（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 【答案】(1)①，②证明见详解； (2). 【分析】（1）①根据代入运算得解；②利用函数单调性定义证明即可； （2）由为偶函数，得，解得，进而得，利用在上单调递增，求出的范围. 【详解】（1）当时，， ①若，则，解得. ②当时，， 任取，且，令， 则， 因为是R单调递增函数，所以，则， 即，即， 又是上的增函数， 则， , ， 所以是R上的减函数. （2）若为偶函数，则， 即， 所以，即， ，则， 因为在上单调递增，且， 所以由，得， 所以的取值范围为. 4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可; （3）利用单调性及定义域列出不等式即可 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得， 又， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3）不等式， 是增函数，且，所以，解得， 所以t的取值范围是 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； （3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围. 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． （3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 考点二：指对幂函数及函数的应用 例题1．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 例题2．（2024高三上·广东·学业考试）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 【答案】(1) (2)156元 【分析】（1）根据题意分和两种情况讨论即可； （2）结合（1）将代入函数解析式即可. 【详解】（1）由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）当用电为时，由（1）知， 所以元， 所以此用户本月应交156元. 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0列出不等式组，解出即可； （2）根据函数奇偶性定义判断； （3）根据题意转化为有两解，利用函数的单调性求值域进行求解. 【详解】（1）由题意得， 由得， 所以的定义域为． （2）因为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数． （3）当时，． 令，则． 令，， 则，函数在上单调递增，， 易知，函数在上单调递增，在上单调递减． 要使有两个零点，即有两个解， 那么，则，所以实数m的取值范围是． 例题4．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 例题5．（2024高二下·云南·学业考试）已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． (1)求b、c的值； (2)函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)函数有零点，为. 【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合题意可得，令，因式分解可得，进而解方程即可求解. 【详解】（1）由，因为函数的零点是和2， 所以和2为方程的根，则，解得. （2）由（1）知，，所以， 令，即，即，即， 解得或或或， 即函数的零点为. 1．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，且，求得，即可得到的解析式； （2）由（1）可得，令，的，结合二次函数的性质，分类讨论，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得，即，解得， 因为，可得，即，所以， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）可得， 令，因为，可得，则， 当时，即时，此时在区间上单调递增， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得（舍去）； 当时，即时，此时在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 2．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将问题转化为方程在上有解，令，进而利用二次函数的性质求解即可； （2）分析易得，将问题转化为在上有解，令，进而利用对勾函数性质求解即可. 【详解】（1）由，，， 得，则，即， 则问题转化为方程在上有解， 令，则， 因为函数在上单调递增，且， 所以要使方程在上有解， 则，解得且， 所以a的取值范围为. （2）， 令，即， 当时，方程为，解得，不符合题意， 则，若，则，此时方程显然不成立， 则，整理方程为， 又， 设， 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，则，又， 解得. 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知、分别是函数，的零点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立； （2）函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标，函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标，利用函数、的图象关于直线对称，数形结合可得结果. 【详解】（1）因为函数、均为上的增函数，故函数在上为增函数， 因为是函数唯一的零点，所以， 因为，，即， 由零点存在定理可知. （2）由题意可知，、分别是函数、的零点， 如图，函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标， 则这两个函数图象的交点为， 函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标， 则这两个函数图象的交点为， 又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称， 而直线也关于直线对称，则点和也关于直线对称， 则有，则有． 4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知，与互为反函数，求解即可． （2）（i）设，，则，利用二次函数可求值域；（ii）由题意可得，进而参变分离可得，可求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，与互为反函数． 将替换为，替换为得：，即， 所以． （2）（i）对于， 由，，则，， 所以的值域为． （ii）∵，使得恒成立， ∴． 即在上恒成立，得：在上恒成立， 参变分离得：． ∵在上单调递增，∴．∴， ∴的取值范围为． 5．（2024高二下·湖南·学业考试）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 6．（2025高二下·陕西·学业考试）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【详解】（1）当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． （2）（i）的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 考点三：三角函数 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用最小正周期公式求得； （2）令，由，可得，可用整体法求得函数的最大值. 【详解】（1）， 故的最小正周期为. （2）令 ，由 得： ， 又因为函数 在 单调递增， 所以. 例题2．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 【答案】(1) (2)2，0（答案不唯一） 【分析】（1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式求解. （2）利用余弦函数的最值及取最值的条件求解. 【详解】（1）函数， 所以的最小正周期为. （2）函数的定义域为，则，， 当，即时，取得最大值2， 所以取得最大值2时的一个值是0.（答案不唯一） 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. （2）令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 1．（2025高二上·北京·学业考试）已知函数. (1)写出的一个周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)(答案不唯一) (2)，. 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解； （2）根据正弦函数的单调性可求最值. 【详解】（1）因为， 所以为函数的一个周期. （2）当时，， 即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为，. 2．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知． (1)求和的值： (2)求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求值即可； （2）根据正余弦二倍角公式可求，再利用余弦差角公式求值即可. 【详解】（1），在第二象限， 又，所以， 即，. （2）由（1）知，， 所以，， 则 所以的值为. 3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知向量，． (1)当时，求向量的坐标； (2)若，求实数x的值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）由特殊角三角函数的计算和平面向量加法的坐标运算可得结果； （2）由向量平行的坐标关系列式求解； （3）先根据向量数量积的坐标公式化简函数，再根据二倍角公式化简，最后根据正弦函数性质可得最值. 【详解】（1）当时，，， 则． （2）若，则，即， 所以，． （3）因为，， 所以． 因为， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，． 4．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)最小值是； (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可. （2）利用正弦函数性质求解不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 故函数的最小值是. （2）令，则， 即，得到， 故，解得， 故使成立的的取值集合为. 5．（2025高二下·浙江·学业考试）已知函数，，． (1)已知，，求的值； (2)若的最小值为0，求a的值； (3)若对任意，存在，使得恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求得，，然后代入函数表达式求解即可； （2）由题意是恒成立的，对的正负分类讨论并结合端点效应即可求解； （3）当时，求得，从而存在，使得，分离参数得，故只需求即可. 【详解】（1），且，，； （2）依题可知恒成立，且存在使得， 而，即恒成立． 当时，显然成立； 当时，恒成立，且能取到等号的，则； 当时，恒成立，且能取到等号的，则； 综上所述，； （3）对任意，存在，都有． 由于，当时，单调递增，单调递增，所以单调递减， 则， 即存在，使得，即， 而，则，， 所以， 其中， 则， 令， 又，所以，检验可知等号能够成立， 所以 ， 其中， 所以 ， 所以． 考点四：解三角形 例题1．（2025高二上·辽宁·学业考试）在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，进而可求解； （2）由正弦定理可求得，可求面积. 【详解】（1）根据正弦定理， 又，所以，而， ∴或， ∵，且，∴舍去，即成立． （2）∵，∴， 又，∴根据正弦定理可得：， ∴． 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. （2）因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 例题3．（2025高三上·广东·学业考试）在中，已知，，． (1)求； (2)如为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角； （2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解. 【详解】（1）因为，且，， 根据正弦定理可得， 解得； 又 ，且， 故. （2）由（1）可知，， 由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则， 从而. 例题4．（2024高二上·云南·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 例题5．（2024高二下·湖北·学业考试）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【分析】若选择①，根据面积公式求，再根据余弦定理求，即可求解周长； 若选项②，根据面积公式求角以及角，再结合，即可求解周长. 【详解】若选择①， ，得， ， 得，所以； 若选择②， ，得，因为，所以， 那么，， ，得，，， 所以， 所以的周长为. 1．（2024高二上·辽宁·学业考试）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦边角关系及已知条件求； （2）直接应用余弦定理求值； 【详解】（1）由及正弦定理得， 又，所以． （2）由，及余弦定理可得 ． 2．（2024高二下·福建·学业考试）在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 所以，又，则， 得到，所以. （2）由正弦定理知，又，所以，， 由，得到，整理得到， 所以，又， 所以， 得到，其中， 又，， 则，， 则，解得， 所以边的取值范围为. 3．（2024高二下·浙江·学业考试）已知为锐角三角形，角对应的边分别为，且 (1)求A的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，得到，即可求解； （2）由（1）得到外接圆的直径，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，得化简得到，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，可得，即 因为，可得，所以，所以. （2）解：由（1）知，且，可得外接圆的直径， 又由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 所以的取值范围为． 4．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，，点G为的重心，求线段AG的长. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简边角关系，得到角A的值，再用正弦定理得到外接圆的半径； （2）利用向量，用向量内积的夹角形式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 所以， 则由余弦定理得. 又，所以. 设外接圆的半径为. 则. （2）因为点G为的重心， 所以， 所以 . 所以线段AG的长为. 5．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，则________； (2)若，则的面积为________； (3)已知的角平分线交于，求的最大值. 【答案】(1)4 (2) (3)3 【分析】（1）根据题意，由直角三角形求解即可； （2）结合面积公式求解即可； （3）由余弦定理得出的关系，再由角平分线的性质及三角形面积公式建立关于的方程，化简后再换元求最值即可. 【详解】（1）因为，所以， 即. （2）当时，，由（1）知， 所以， 所以. （3）由余弦定理可得, 即，可得，当且仅当时等号成立， 所以， 由面积公式可得， 即，所以， 所以， 令，则， 所以当时，有最小值，有最大值， 即三角形为正三角形时，有最大值3. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问关键在于利用面积公式建立关于的表达式，再平方后运用余弦定理得到的条件，转化为二次函数求最值，难度较大. 6．（2024高二下·安徽·学业考试）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由正弦函数的最小正周期公式可求出的最小正周期，令，，解不等式即可得出答案. （2）由可求出，由正弦定理求出，再由余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）的最小正周期为， 由，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为（）. （2）由，得， ∵，∴， ∴＝，解得. 又△ABC的外接圆半径为2，则， 由余弦定理，得，即， 即，， 当且仅当，等号成立， 所以△ABC面积， 故△ABC面积的最大值为. 7．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)在中，内角所对的边分别是，已知，求的最大值. 【答案】(1)2 (2) (3)12 【分析】(1)利用两角和与差的余弦公式展开，合并，再利用辅助角公式化简即可 (2)化简后，利用,即可求出周期. (3)利用正弦定理由边化角，化简整理得到形式，利用三角函数求最值. 【详解】（1）， 则; （2）； （3）由得，因为则，. 记外接圆半径为，所以 ， 整理可得： ， . 8．（2024高二下·浙江·学业考试）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简可求； （2）结合，结合两角差正弦，余弦公式，同角关系化简目标解析式，可得，结合正切函数性质，不等式性质可求其范围. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以，即； 因为，所以； （2）由（1）知，， 所以 ； 因为，所以． 考点五：平面向量 例题1．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 【答案】(1)， (2)17 【分析】（1）根据平面相等向量的坐标表示求出D的坐标，结合平面向量的几何意义求出模； （2）由（1）求出，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意，∴， 又，∴， 得，解得，即． 又，∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 例题2．（2024高二上·新疆·学业考试）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 1．（2024高二下·天津南开·学业考试）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，即可求出，再计算其模. 【详解】（1）因为，， 由，可得，解得． （2）依题意， 若，则有，解得， 所以，． 2．（2024高二上·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可； （2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】（1）由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； （2）因为，， 所以. 3．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案； （2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，，， ， ，， ，同理可得， 设BD的中点， 则，， . （2），， 三点共线，， ，解得. 考点六：概率统计 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： (1)求甲和乙同时成功破译密码的概率； (2)求密码被成功破译的概率． 【答案】(1)0.3 (2)0.8 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）由独立乘法公式、对立概率公式即可求解. 【详解】（1）设甲破译成功为事件A，设乙破译成功为事件B， 两人都破译成功则为； （2）密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为. 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. (1)求直方图中的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出时速在，，，范围内的汽车的频率，依据频率之和为1，可得时速在范围内的汽车的频率，再除以组距即为的值； （2）求出时速不低于的汽车频率，乘以汽车总数即为的值. 【详解】（1）时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 可得时速在范围内的汽车的频率为：， 故. （2）由（1）知，时速不低于的汽车频率为， 故. 例题3．（2025高三上·四川·学业考试）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过抽样，获得了600位年轻人的日均阅读时长（单位：分钟），将这些数据按照分成6组，并制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)从被调查的日均阅读时长在，的两组年轻人中，采用比例分配的分层随机抽样方法选出5人．若从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，即可求解； （2）根据分层抽样的概念及古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为日均阅读时长在，的两组的频率之比为， 所以在，的两组分别抽2人，3人， 所以再从这5人中任意选取2人，则这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率为， 所以这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率为. 例题4．（2025高二下·陕西·学业考试）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）由百分位数的定义即可求解； （2）由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】（1）将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元． （2）设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，． 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥． 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为． 例题5．（2025高二上·辽宁·学业考试）社会十分关注青少年的身体素质情况．某学校进行了身体素质情况测试，满分10分，已知得分均为正整数．这次身体素质情况测试中甲、乙两组学生成绩得分如下： 成绩/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲组人数 0 0 1 1 1 3 0 1 0 1 乙组人数 1 0 0 1 0 0 2 1 1 2 (1)某同学说：“在这次身体素质情况测试中，我得了8分，也是我们组得分的分位数．”根据以上信息，判断该同学位于哪组并结合数据说明理由； (2)数据的数学特征能反映特点信息，例如方差能够反映数据的波动，众数能够反映一组数据的集中情况，因此，多个数学特征计算与全面分析更有参考价值．请分别计算甲、乙两组的众数与方差． 【答案】(1)该同学在甲组，理由见解析 (2)甲组众数：6，乙组众数：7或10；方差：6；7 【分析】（1）利用分位数的意义计算可知甲组符合； （2）利用方差的定义计算可求得两组数据的方差，利用众数的定义可求得两组数据的众数. 【详解】（1）该同学在甲组，原因如下： 甲组数据从小到大的排列为：3，4，5，6，6，6，8，10一共8位数字， 其分位数为：（位）  第7位数字为8，满足该同学的描述． （2）方差的公式为： 甲组数据为：3，4，5，6，6，6，8，10， 其中甲组的平均数为： 代入公式得：； 乙组数据为：1，4，7，7，8，9，10，10， 其中乙组的平均为： 代入公式得： 甲组众数：6，乙组众数：7或10． 1．（2025高二下·浙江·学业考试）某市组织120名学生参加数学竞赛，所得分数情况的频率分布直方图如下，根据此图： (1)求的值； (2)若分数不少于90分的都被认定为一等奖，请估计获一等奖的学生人数； (3)若分数从高到低排序后，分数在前40%的均可获奖，请估计获奖的最低分数线. 【答案】(1)0.030 (2)6人 (3)77分 【分析】（1）应用频率分布直方图频率和为1列式计算求参； （2）得出不少于90分的频率结合学生总数即可求解； （3）应用百分位数定义列式计算. 【详解】（1）由题意得：， 解得：； （2）因为的频率为，所以，故获一等奖人数为6人； （3）因为的频率为，的频率为， 所以设最低分数线为， 所以，故获奖分数线约为77分； 2．（2025高二下·湖南·学业考试）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数､中位数； (2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数. 【答案】(1)，9千步，千步 (2)360人 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率和为求出，再求样本众数、中位数； （2）由表计算出大于或等于13000步的学生频率，将频率看作概率，可估算估计全校每天获得加分的人数. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，各组频率依次为 ， 所以， 解得. 因为组频率最高，所以样本众数为9千步. 日行步数小于8千步的频率为，日行步数小于10千步的频率为 ，所以中位数在之间，记为， 则，解得，所以中位数为千步； （2）由表可知，大于或等于13000步的学生频率为， 将频率看作概率，则全校每天获得加分的人数约为（人）， 所以估计全校每天获得加分的人数为360. 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）某校高一年级1200名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：    (1)估计该校高一年级学生中体育成绩大于或等于70分的学生人数； (2)现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在的概率. 【答案】(1)900人 (2)0.3 【分析】（1）根据折线图可得体育成绩大于或等于70分的学生人数，即得答案； （2）确定体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生人数，列举出随机抽取2人，所有的基本事件，确定2人体育成绩都在[80,90)的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】（1）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为， 所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：. （2）体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2、3，分别记为, 若随机抽取2人，则所有的基本事件为：， 故基本事件的总数为10,其中2人体育成绩都在[80,90)的基本事件的个数有共3个， 设A为：“2人体育成绩都在[80,90)”， 则. 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． (1)该班一共有多少人？ (2)从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 【答案】(1)45 (2) 【分析】（1）首先根据分层比例关系设男生人数和女生人数，再根据条件列等式，即可求解； （2）首先将3名男生和2名女生编号，利用列举法，以及古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）因为抽取5名同学中男生和女生的比例为， 根据分层抽样的方法可知：该班中男生人数为，女生人数为                     因为男生比女生多9人，所以人，      解得人． （2）由（1）知，设抽取的3名男生分别记为A，B，C， 抽取的两名女生分别记为a，b从抽取的5名同学中抽取2名同学的所有可能结果为： 共10个．        M为事件“抽取的2名同学均为男生”，则事件M包含的基本事件有： ，共3个基本事件，                 事件M发生的概率． 5．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图是位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题． (1)月均用水量在范围内的居民有多少人？ (2)请估计居民月均用水量的众数； (3)请估计居民月均用水量大于等于的概率． 【答案】(1)人 (2) (3) 【分析】（1）将月均用水量在的频率乘以即可得出结果； （2）利用最高矩形底边的中点值为众数可得结果； （3）根据频率分布直方图可计算出月均用水量大于等于的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，月均用水量在范围内的居民有（人）. （2）由频率分布直方图可知，居民月均用水量的众数为. （3）由频率分布直方图可知，居民月均用水量大于等于的概率为. 6．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出样本空间即可； （2）写出事件A包含的基本事件，利用古典概型求解； （3）写出事件B包含的基本事件，利用古典概型求解. 【详解】（1）样本空间Ω={（蓝球，蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（绿球，蓝球）（绿球，红球）（绿球，绿球）}． （2）设“第一次取出的是红球”为事件A． 事件A包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），共3个， 由（1）知基本事件总数， 所以． （3）设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件B． 事件B包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，绿球），共2个， 由（1）知基本事件总数， 所以. 7．（2025高二下·陕西西安·学业考试）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求a、b的值； (2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解. （2）根据古典概型列出基本事件计算得解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，则，而， 所以，. （2）月销售额在这一组的人数为， 其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b， 从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个， 事件“至少有一名女职工”含有的基本事件为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个， 所以所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为. 8．（2025高二上·黑龙江·学业考试）黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. (1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； (2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数估计值的计算公式，可得答案； （2）利用古典概型的概率公式以及列举法，可得答案. 【详解】（1）， 估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩为. （2）由（1）可知竞赛成绩位于共有人， 位于有人，记为，位于有人，记为， 所抽取的2人成组均在之间的情况为，情况数为； 在人中抽取的情况有，，，，，，，，，，总的情况数为， 所以所抽取的2人成组均在之间的概率. 9．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）计算平均值即可求解； （2）先计算出这10户居民月度用水量落在区间的概率，最后用样本估计总体去计算该小区居民月度用水量落在区间的户数即可. 【详解】（1）将每个数据乘以10减去81得： 所以平均值为：， 所以，所以这10户居民月度用水量的平均值为：8.1吨 （2）因为，所以落在区间的概率为， 据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数为. 10．（2025高二下·湖南·学业考试）近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 【答案】(1)；平均数；中位数 (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果； （3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得， 解得， 高中生的平均数为， 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. （2）、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名. （3）由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则. 考点七：立体几何 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. 【详解】（1）因为为正方体， 所以平面，又平面， 所以. （2）因为为正方体， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 例题2．（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为平面，平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，在三棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）由三棱锥的体积可得答案． 【详解】（1）底面，底面， ， ， 平面平面； （2）， 又三棱锥的体积为． 例题4．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1），， ，是直角三角形，      又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. （2）由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 例题5．（2025高三上·广东·学业考试）如图，三棱锥中，，，，． (1)求证：； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）作，连接，证得为平面与平面所成角，再求的正切值即可. 【详解】（1），, 又，且平面 平面， 又平面, （2） 作，连接， ，，, 平面 平面， 又平面, 平面平面， 为平面与平面所成角， 在中，，，， 根据勾股定理可得：， 由三角形面积公式，可得， ， 所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥体积公式直接计算； （2）先证平面，从而可得． 【详解】（1）根据直棱柱的性质，平面ABCD， 所以高， ， ． （2）如图，连接OB，．    根据直棱柱的性质，平面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为底面ABCD是菱形，所以． 因为BD，平面，， 所以平面， 又平面，所以． 2．（2025高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； （2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）过点作于，过作于，连， 在直三棱柱中，平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，平面， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， ，，， ，， 为直角，，， 二面角的正弦值为. 3．（2025高二上·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为，，平面， 所以平面. （2）因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，在正四棱锥中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中点，直线PB与平面ABCD所成的角为． (1)求证：平面PAD； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）由正四棱锥的性质可得线面角，再结合长度求出正四棱锥的高，最后利用体积公式即可. 【详解】（1）连接AC，因为O是正方形ABCD的中心，所以O是AC的中点． 又因为E是PC的中点，所以是的中位线，则， 因为平面平面， 所以平面. （2）在正四棱锥中，平面. 因为直线PB与平面ABCD所成的角为， 则直线PB与平面ABCD所成的角， 在正方形ABCD中，，则， 在中，，所以， 又正四棱锥的底面积， 则正四棱锥的体积． 5．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，直四棱锥内接于圆柱，PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边形，E，F分别是PA，PB的中点． (1)证明：平面PCD； (2)若四边形ABCD为长方形，且，求圆柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位数可知，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由题意可得，结合圆柱的侧面积公式可得圆柱的表面积. 【详解】（1）因为，F分别是PA，PB的中点，可知是的中位线，则， 又因为，则， 且平面PCD，平面PCD， 所以∥平面PCD. （2）因为四边形ABCD为长方形则为底面圆的直径，且， 设r为圆柱的底面圆半径，l为圆柱的高，则， 所以圆柱的表面积. 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥的体积公式即可； （2）作辅助线，且，得出，再利用线面平行的判定定理即可； （3）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的定义可得. 【详解】（1）因底面，则为四棱锥的高， 因，正方形的边长为， 则四棱锥的体积为； （2）连接，且，连接， 因四边形为正方形，则为线段的中点， 又为侧棱的中点，则为的中位线，则， 因平面，平面，则平面； （3）因四边形为正方形，则， 又平面，平面，则， 因，平面，平面，则平面， 又平面，则. 7．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点. (1)证明：平面 (2)若，，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到；又因为平面，得到；进而得到平面，运用线面垂直性质得到；进而得到；最终运用线面平行判定定理得到平面；（2）如图，过点H作于点Q，连接，证明为二面角的平面角，借助三角函数得到二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接，因为，D为的中点，所以； 又因为平面，平面，所以； 又因为，平面，，所以平面， 又平面，所以； 因为，且，均在平面内，所以； 因为平面，平面，所以平面； （2）如图，过点H作于点Q，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为 8．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 训练 1．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：    (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试成绩的中位数(结果取整数值)； 【答案】(1)0.3，图象见解析； (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图性质以及矩形面积之和为1计算即可； （2）利用频率分布直方图求中位数的方法计算可得结果. 【详解】（1）因为各组的频率和等于1， 故第四组的频率： 直方图如右所示．    （2）成绩在的频率为 成绩在的频率为：， 中位数在内，设中位数为， 中位数要平分直方图的面积， ，解得， 即中位数为. 2．平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 【答案】(1) (2)或j． 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示计算可得： （2）求出向量，根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）若三点不能构成三角形，则， 又，所以，解得． （2）因为，所以， 因为，所以， 解得或. 3．如图，在棱长为3的正方体中，为的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用三棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）在棱长为2的正方体中，设相交于点，连结，   是中点，而为中点，， 又平面平面， 平面． （2）在棱长为2的正方体中，平面， 又三棱锥的体积为， ， ． 4．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. （2）因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 5．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【详解】（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 6．已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)若点A的横坐标为，求的值. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由垂直条件推断，再由诱导公式化简求值. （2）根据三角函数定义，求出和，进而代入求值. 【详解】（1）因，即，故. 因此，. 由诱导公式化简得，. 故值为. （2）因为点为单位圆上与锐角终边的交点，所以在第一象限. 由勾股定理得的纵坐标，故有. 因此. 代入问题代数式， 故该式的值为. 7．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求函数的值域． (3)若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； （3）首先求出的解析式，由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）当时，， 所以，，则， 因比，函数在上的值域为． （3）因为， ，则， 若函数在上有且仅有两个零点， 则，解得， 即. 8．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)当时，求使的的取值范围． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域列出不等式组求解； （2）根据对数的运算及奇函数的定义证明； （3）由对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）， 解得， 定义域为． （2）为奇函数． 证明：由（1）知函数的定义域为， ， 故为奇函数． （3）由，可得， 即， 当时，由单调递增可得， 又，解得， 的取值范围是． 9．已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； （3）根据的单调性以及，可求解出在上的值域. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； （2）在上单调递减. 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. 10．已知，其内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合已知条件整理化简，求得，则得解； （2）根据面积公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得. 【详解】（1）因为，即， 且， 即， 得，且，则， 可得，且，所以． （2）如图： 因为，， 由，所以，解得， 在中，由余弦定理得，则， 又D为BC边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得， 所以． 11．某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 （单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 (1)求品种的10棵桃树产量的第80百分位数； (2)求，，，； (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由. 【答案】(1) (2)；；； (3)选种品种，理由见解析. 【分析】（1）根据百分数知识即可求解； （2）根据平均数和方差公式求解即可求解； （3）比较平均值和方差的大小即可求解. 【详解】（1）由题意将品种的棵桃树产量从小到大排列为：，，，，，，，，，； 且，则第百分位数为第位和第位数的平均数：. 故品种的棵桃树产量的第百分位数为. （2）由题意可得， 则 ； ， . （3）种植品种，因为，但是，所以品种产量较稳定. 12．某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图. (1)分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）； (2)若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1，可求得，然后利用频率分布直方图平均值及百分位数的求法求解即可； （2）根据分层随机抽样可知从航模社抽取2人，建模社抽取3人，再利用列举法求解古典概型的概率即可. 【详解】（1）根据题意，，解得， ，解得， 则航模社测试的平均成绩， 设建模社测试成绩的分位数为，又的频率为， 的频率为，的频率为， 其中，， 所以在之间， 则，解得， 所以建模社测试成绩的分位数为. （2）根据题意，航模社“体能合格”的人数为人， 建模社“体能合格”的人数为人， 故航模社“体能合格”与建模社“体能合格”的人数之比为， 则按分层随机抽样从航模社抽取2人，分别为，建模社抽取3人，分别为， 再从这5人中选2人担任经验分享会主持人共有： ， ，共10种选择， 其中2人都来自“建模社”有3种选择， 2人都来自“建模社”的概率为. 13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若． (1)求△的面积； (2)若，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示以及三角形的面积公式即可求得结果. （2）通过正弦定理即可求出结果. 【详解】（1）因为且， 两式联立得：，又因为，所以或（舍）， 故，由三角形面积公式得 （2）因为，且由（1）知，设三角形的外接圆半径为R， 由正弦定理得：， 解得或（舍），所以 14．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为的中点，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件及正弦定理求得，求得，即可求解；（2）先利用同角三角函数平方关系得到，在中，由正弦定理得，得.因为为中点，得.在中，由余弦定理计算得到答案； 【详解】（1）由正弦定理得， 即 所以， 所以. 又，得，因为，所以 （2）解法1：因为，所以. 在中，由正弦定理得，即，得. 因为为中点，所以. . 在中，由余弦定理得 ， 所以. 解法2：因为，所以. 在中，由正弦定理得，即，得. 因为为中点，所以. ， 在中，由正弦定理得，即，得. 在中， 由余弦定理得， 所以. 15．在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理化简给定条件，再结合三角形内角性质求解即可. （2）（i）利用余弦定理建立方程，求解的值即可，（ii）利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 而，则，故， 即，解得. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得，解得或（舍去）. （ii）由三角形面积公式得. 16．已知函数，且函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上的图象与直线有且仅有1个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求，根据奇函数可求，进而可得答案； （2）由的范围求出的范围，结合正弦函数的性质可得答案； （3）先求出的范围，结合函数值及正弦函数性质可求m的取值范围． 【详解】（1）因为函数，所以， 又函数为奇函数，所以，则， 又，所以，所以． （2）当时，， 由正弦函数的性质，可知，． 故在上的值域为． （3）由，得， 由，得， 得或． 因为在上的图象与直线有且仅有1个公共点， 所以，得，即m的取值范围为． 17．已知函数的图象的一个对称中心为． (1)求的解析式； (2)求的最小值，并求出此时x的取值集合． 【答案】(1) (2)最小值是，此时的取值集合是． 【分析】（1）根据对称中心，代入即可求解， （2）利用整体法即可求解. 【详解】（1）因为的图象的一个对称中心为， 所以，解得，又，所以， 所以． （2）当时，， 令，解得， 所以的最小值是，此时x的取值集合是． 18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，. (1)证明：平面平面. (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需根据线面垂直的判定定理证明平面，进一步结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）首先说明是二面角的平面角，进一步结合解三角形知识即可求解. 【详解】（1）由于底面是直角梯形且，所以由得， 因为底面，平面，所以， 而，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知平面，平面，所以， 又因为，所以是二面角的平面角. 由得， 而，即， 所以在梯形中，由可得， 所以在直角中，，而， 所以，即二面角的大小为. 19．如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题可求的余弦值，根据余弦定理可求，利用勾股定理可得，翻折后，由此即可证明平面； （2）由（1）得，过作交于，连接，然后可证平面，即就是直线AB与平面AED所成角，进行求值即可. 【详解】（1）,,, , ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. （2）由（1）知，，平面平面， 所以就是二面角的平面角，即， 过作交于，连接， 平面，平面，， 又，平面， 所以平面，即就是直线AB与平面AED所成角， 又，所以， 直线AB与平面AED所成角的正弦值为. 20．如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）解法一：先证，再由面得到，根据线线垂直即可证得平面；解法二：利用平面平面，即可证明线面垂直，证得平面. （2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解. 【详解】（1）解法一：是正三棱柱， 平面，平面， 是正三角形，是中点， 因，平面，平面 平面 解法二：是正三棱柱， 平面平面， 是正三角形，是中点， 平面平面.平面 平面 （2）在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为， 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为 . 1．已知函数是偶函数，且当时，. (1)求当时的解析式； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质，以及时的函数解析式，即可得到时的函数解析式； （2）根据复合函数同增异减的原则，排除，再结合对数函数的真数要大于0，列出方程组，解方程组得到的范围，最后根据在定义域内单调递减求取值范围即可. 【详解】（1）当时，，又是偶函数， 则时，. （2）由于在上单调递增， 显然时，单调递减，单调递增， 则单调递减，不合题意， 故，解得， 又在上单调递减，，， 所以的取值范围是. 2．已知函数是定义在上的函数，且． (1)求出的值并写出函数的解析式； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，列出方程求解即可； （2）由减函数的定义即可求证； （3）由函数单调性去“”即可求解. 【详解】（1）因函数 是定义在上的函数， 由于，故，即. 又因为，所以，即.   故函数的解析式为，. （2）对，且， . 其中，，.                      因此，，即对且，有. 所以函数在上单调递减. （3）因，有意义，所以，，解得； 因为，函数在上单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 3．已知． (1)若函数满足，求实数的值； (2)在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由； 【答案】(1)． (2)在上有唯一的零点0，理由见解析 【分析】（1）由题意整理函数表示，整理方程组，可得答案； （2）利用分离参数化简函数解析式，根据复合函数单调性，结合零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1）因为， 所以．而， 所以，解得． （2）由（1）可得，． 因为在上为减函数， 所以在上为减函数， 所以在上为增函数， 所以在上为增函数． 又， 所以在上有唯一的零点0． 4．记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【详解】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为 5．在平面直角坐标系中，已知向量，，． (1)若，求的值； (2)记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 【答案】(1) (2)①对称中心为 ；② 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可. （2）①化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；②整体法求函数的值域. 【详解】（1）由，得， 由，得，则，， 所以. （2）①依题意， 由，得， 所以的对称中心为. ②由，得， 则当，即时，；当，即时，． 所以的值域为． 6．在平面直角坐标系中，点、、在以原点为圆心半径为1的圆上，并且满足：在轴的正半轴上，在第一象限中，在第二象限中且横坐标是.记，为锐角，为钝角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，设点的坐标为，根据得到，从而求出，再由三角函数的定义得到，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由（1）求出，，再求出即可得解. 【详解】（1）由题意，可知，因为， 故可设点的坐标为，则有，所以， 又为锐角，在第一象限，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，且在第二象限， 所以，则， 所以； （2）由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 7．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面； （2）根据线面垂直性质由平面可得，结合正方形中可证明平面，再由线面垂直判定定理证明平面； （3）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面． 【详解】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）∵平面，平面∴， 又∵在正方形中，， ，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， ∵，为中点，故， 又，且平面PCB，平面， ∴平面 （3）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 8．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线． (1)求证：平面平面BCDE； (2)若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可； （2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可. 【详解】（1）因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点， 所以， 又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC， 而底面ABC，所以， 因为平面平面BCDE，且， 所以平面BCDE， 又因为平面ACD，所以平面平面BCDE． （2）如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM． 因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角． 因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径， 所以EM为上底面圆的直径， 因为AM是圆柱的母线，所以平面DME， 因为DE平面DME，所以． 又因为EM为上底面圆的直径，所以， 因为平面，所以平面AMD， 因为平面AMD，所以，又因为平面平面， 所以为平面ADE与平面DME的夹角， 又因为在底面ABC的射影为，所以， 所以，又因为母线长为，所以， 又因为平面平面DME，所以， 所以， 所以， 即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为． 9．如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得，从而可找出点的位置. 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ． 10．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一枚骰子，游戏规则如下：第1次抛掷骰子，若向上的点数为奇数，则为抛掷成功；第2次抛掷骰子，若向上的点数为3的倍数，则为抛掷成功；第3次抛掷骰子，若向上的点数为6，则为抛掷成功．游戏者每次抛掷骰子相互独立，且在第1，2次抛掷中至少成功一次才可以进行第3次抛掷． (1)求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率； (2)若第1次抛掷成功记3分，第2次抛掷成功记3分，第3次抛掷成功记4分，各次抛掷骰子不成功都记0分，求游戏者在一场抛掷骰子的游戏中至少得6分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式和独立事件概率的乘法公式，以及对立事件的概率关系，求出有机会进行第三次抛掷的概率. （2）分析至少能得6分的所有情况，根据独立事件乘法公式，求出至少得6分的概率. 【详解】（1）设事件是第1次抛掷骰子向上的点数为奇数，对立事件为； 事件是第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数，对立事件为； 事件是第3次抛掷骰子向上的点数为6，对立事件为； 可知抛掷一次骰子所有结果有6种，分别是， 符合事件的样本点有，所以，； 符合事件的样本点有，所以，； 第1，2次抛掷中至少成功一次的概率为， 所以游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率为. （2）易知， 可知至少能得6分的所有情况有：， 则至少能得6分的概率， 所以至少能得6分的概率是. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 解答题全考点综合 （函数、三角函数与解三角形、平面向量、概率统计、立体几何）目录 学考要求速览 高频考点精讲 考点一：函数的基本性质 考点二：指对幂函数及函数的应用 考点三：三角函数 考点四：解三角形 考点五：平面向量 考点六：概率统计 考点七：立体几何 进阶分级训练 1.掌握函数性质的运用，能分析函数的单调性、奇偶性与最值； 2.掌握函数零点的综合应用，会利用函数图象与性质求解零点问题； 3.掌握函数建模的方法，能建立分段函数、指数函数或对数函数模型解决实际问题； 4.掌握三角函数的图象与性质，会分析周期性、单调区间与最值； 5.掌握三角恒等变换的方法，能运用公式进行化简、求值与证明； 6.掌握解三角形的综合应用，会利用正余弦定理解平面几何或实际问题； 7.掌握平面向量的坐标表示，能进行向量的坐标运算并解决相关问题； 8.掌握平面向量的数量积，会运用数量积求夹角、判断垂直及求投影； 9.掌握统计图表的分析方法，会从频率分布直方图中提取信息并计算统计量； 10.掌握概率计算的方法，会求解古典概型及与统计图表结合的概率问题； 11.掌握空间几何体的计算，会求解几何体的表面积、体积或相关最值问题； 12.掌握空间位置关系的证明，能运用判定与性质定理证明平行与垂直关系； 13.掌握空间角的计算方法，会求解线面角、二面角并进行相关应用。 考点精讲讲练 考点一：函数的基本性质 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 例题2．（2025高三下·四川·学业考试）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 例题3．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 例题4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 1．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 3．（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 考点二：指对幂函数及函数的应用 例题1．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 例题2．（2024高三上·广东·学业考试）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 例题4．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 例题5．（2024高二下·云南·学业考试）已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． (1)求b、c的值； (2)函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 1．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 2．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知、分别是函数，的零点． (1)求证：； (2)求的值． 4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 5．（2024高二下·湖南·学业考试）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 6．（2025高二下·陕西·学业考试）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 考点三：三角函数 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 例题2．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 1．（2025高二上·北京·学业考试）已知函数. (1)写出的一个周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 2．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知． (1)求和的值： (2)求的值． 3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知向量，． (1)当时，求向量的坐标； (2)若，求实数x的值； (3)求的最大值和最小值． 4．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 5．（2025高二下·浙江·学业考试）已知函数，，． (1)已知，，求的值； (2)若的最小值为0，求a的值； (3)若对任意，存在，使得恒成立，求a的取值范围． 考点四：解三角形 例题1．（2025高二上·辽宁·学业考试）在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，求． 例题3．（2025高三上·广东·学业考试）在中，已知，，． (1)求； (2)如为的中点，求的长． 例题4．（2024高二上·云南·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 例题5．（2024高二下·湖北·学业考试）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 1．（2024高二上·辽宁·学业考试）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，. (1)求的值； (2)求的值. 2．（2024高二下·福建·学业考试）在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 3．（2024高二下·浙江·学业考试）已知为锐角三角形，角对应的边分别为，且 (1)求A的值； (2)若，求的取值范围． 4．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，，点G为的重心，求线段AG的长. 5．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，则________； (2)若，则的面积为________； (3)已知的角平分线交于，求的最大值. 6．（2024高二下·安徽·学业考试）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值. 7．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)在中，内角所对的边分别是，已知，求的最大值. 8．（2024高二下·浙江·学业考试）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 考点五：平面向量 例题1．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 例题2．（2024高二上·新疆·学业考试）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 1．（2024高二下·天津南开·学业考试）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 2．（2024高二上·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 3．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 考点六：概率统计 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： (1)求甲和乙同时成功破译密码的概率； (2)求密码被成功破译的概率． 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. (1)求直方图中的值； (2)求的值. 例题3．（2025高三上·四川·学业考试）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过抽样，获得了600位年轻人的日均阅读时长（单位：分钟），将这些数据按照分成6组，并制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)从被调查的日均阅读时长在，的两组年轻人中，采用比例分配的分层随机抽样方法选出5人．若从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率． 例题4．（2025高二下·陕西·学业考试）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 例题5．（2025高二上·辽宁·学业考试）社会十分关注青少年的身体素质情况．某学校进行了身体素质情况测试，满分10分，已知得分均为正整数．这次身体素质情况测试中甲、乙两组学生成绩得分如下： 成绩/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲组人数 0 0 1 1 1 3 0 1 0 1 乙组人数 1 0 0 1 0 0 2 1 1 2 (1)某同学说：“在这次身体素质情况测试中，我得了8分，也是我们组得分的分位数．”根据以上信息，判断该同学位于哪组并结合数据说明理由； (2)数据的数学特征能反映特点信息，例如方差能够反映数据的波动，众数能够反映一组数据的集中情况，因此，多个数学特征计算与全面分析更有参考价值．请分别计算甲、乙两组的众数与方差． 1．（2025高二下·浙江·学业考试）某市组织120名学生参加数学竞赛，所得分数情况的频率分布直方图如下，根据此图： (1)求的值； (2)若分数不少于90分的都被认定为一等奖，请估计获一等奖的学生人数； (3)若分数从高到低排序后，分数在前40%的均可获奖，请估计获奖的最低分数线. 2．（2025高二下·湖南·学业考试）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数､中位数； (2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数. 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）某校高一年级1200名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：    (1)估计该校高一年级学生中体育成绩大于或等于70分的学生人数； (2)现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在的概率. 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． (1)该班一共有多少人？ (2)从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 5．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图是位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题． (1)月均用水量在范围内的居民有多少人？ (2)请估计居民月均用水量的众数； (3)请估计居民月均用水量大于等于的概率． 6．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 7．（2025高二下·陕西西安·学业考试）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求a、b的值； (2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 8．（2025高二上·黑龙江·学业考试）黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. (1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； (2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 9．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 10．（2025高二下·湖南·学业考试）近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 考点七：立体几何 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 例题2．（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，在三棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 例题4．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例题5．（2025高三上·广东·学业考试）如图，三棱锥中，，，，． (1)求证：； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 2．（2025高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 3．（2025高二上·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，在正四棱锥中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中点，直线PB与平面ABCD所成的角为． (1)求证：平面PAD； (2)求四棱锥的体积． 5．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，直四棱锥内接于圆柱，PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边形，E，F分别是PA，PB的中点． (1)证明：平面PCD； (2)若四边形ABCD为长方形，且，求圆柱的表面积． 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 7．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点. (1)证明：平面 (2)若，，求二面角的正弦值. 8．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 训练 1．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：    (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试成绩的中位数(结果取整数值)； 2．平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 3．如图，在棱长为3的正方体中，为的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 4．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 5．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 6．已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)若点A的横坐标为，求的值. 7．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求函数的值域． (3)若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 8．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)当时，求使的的取值范围． 9．已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 10．已知，其内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为边上的中点，求的长． 11．某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 （单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 (1)求品种的10棵桃树产量的第80百分位数； (2)求，，，； (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由. 12．某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图. (1)分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）； (2)若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若． (1)求△的面积； (2)若，求c． 14．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为的中点，，，求. 15．在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 16．已知函数，且函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上的图象与直线有且仅有1个公共点，求m的取值范围． 17．已知函数的图象的一个对称中心为． (1)求的解析式； (2)求的最小值，并求出此时x的取值集合． 18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，. (1)证明：平面平面. (2)求二面角的大小. 19．如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 20．如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 1．已知函数是偶函数，且当时，. (1)求当时的解析式； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 2．已知函数是定义在上的函数，且． (1)求出的值并写出函数的解析式； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 3．已知． (1)若函数满足，求实数的值； (2)在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由； 4．记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，已知向量，，． (1)若，求的值； (2)记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 6．在平面直角坐标系中，点、、在以原点为圆心半径为1的圆上，并且满足：在轴的正半轴上，在第一象限中，在第二象限中且横坐标是.记，为锐角，为钝角. (1)求的值； (2)求的值. 7．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 8．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线． (1)求证：平面平面BCDE； (2)若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值． 9．如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 10．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一枚骰子，游戏规则如下：第1次抛掷骰子，若向上的点数为奇数，则为抛掷成功；第2次抛掷骰子，若向上的点数为3的倍数，则为抛掷成功；第3次抛掷骰子，若向上的点数为6，则为抛掷成功．游戏者每次抛掷骰子相互独立，且在第1，2次抛掷中至少成功一次才可以进行第3次抛掷． (1)求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率； (2)若第1次抛掷成功记3分，第2次抛掷成功记3分，第3次抛掷成功记4分，各次抛掷骰子不成功都记0分，求游戏者在一场抛掷骰子的游戏中至少得6分的概率． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $