精品解析：福建省龙岩市一级校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2025—2026学年第一学期半期考联考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命题人：长汀一中 廖金福 连城一中 黄健辉 龙岩二中 谢秀娟 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则5是这个数列的（ ） A. 第21项 B. 第22项 C. 第23项 D. 第24项 【答案】C 【解析】 【分析】根据规律找出数列通项求解即可. 【详解】因为 ，所以数列为所以通项公式为 令，得，所以5是这个数列的第23项. 故选：C. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】由， 所以直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以 故选：B 3. 已知是公差不为0的等差数列，若，则（ ） A 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列通项公式代入题设即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题得. 故选：C 4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 84 D. 105 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 5. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 【答案】B 【解析】 【分析】首先排除坐标轴不为切线，再讨论截距是否为0，设出直线方程，并联立圆的方程得到一元二次方程，根据判别式为0求参数值，即可得切线条数. 【详解】由的圆心为，半径为，显然坐标轴不可能是切线， 若截距为0，则直线为，代入圆中得， 所以，则，可得， 故对应有2条切线，分别为； 若截距不为0，设直线为，代入圆中得， 所以，则， 整理得，可得（舍）或，故切线为； 综上，共有切线为、，共3条. 故选：B 6. 已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得：，结合对数运算知识整理，代入计算得解． 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：， ，， 所以 故选：D. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的递推公式依次求出，，，，，，，从而找到从 开始以周期为3重复出现，从而利用周期求出. 【详解】，，，，，，， ，，从开始依次是1，4，2，1，4，2，， 则数列从开始，以周期为3重复出现，. 故选：A. 8. 已知A，B是圆C：上的两点，且，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式可得，进而得H在以C为圆心，为半径的圆上，即可结合圆的性质求解最值即可. 【详解】由，得，故圆C的圆心为，半径为4. 设H为的中点，连接，则， 结合，得，即点H在以C为圆心，为半径的圆上. 又，所以，而， 故当三点共线时，的最大值为，则的最大值为14， 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等差数列中，，，记数列的前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 当取得最小值时， D. 数列的前10项和为50 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据等差数列的通项公式求首项和公差，即可求通项和，再结合选项依次判断. 详解】由条件可知，，解得：，，故A正确； 所以， 所以，，所以数列是递增数列，故B正确； 的对称轴为，所以当取得最小值时，，故C错误； 当时，，当时，，所以数列的前10项和为 ，故D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知一条光线从点射向轴，经过x轴上的点P反射后经过点，则点P的坐标为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，求出关于轴对称点的坐标，即可求出反射光线，从而判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围，从而得到倾斜角的范围判断D. 【详解】对于A：直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，故A正确； 对于B：由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”是两直线垂直的充分不必要条件，故B错误； 对于C：点关于轴对称的点为，则， 所以反射光线所在直线方程为，即，令，解得， 所以的坐标为，故C正确； 对于D：因为，，，则，， 由图可知，当直线的斜率时，直线与线段有交点， 则直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 11. 已知曲线C：，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C. 曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D. 曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，运用点关于轴的对称点是满足方程，则曲线的图象关于轴对称；对于B，通过放缩法得曲线C：，进而由曲线C包含圆可判断B；对于C，根据已知条件可得即可；对于D，计算边界点来界定整点个数. 【详解】对于A，设为曲线C上任意一点，它关于x轴的对称点是， 将代入曲线C的方程得， 化简得与原方程相同， 故也在曲线C上，则轴是曲线C的一条对称轴，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以曲线C包含圆， 所以曲线C构成的封闭图形面积大于的面积，故B错误. 对于C，由，可得. 当，时，等号成立，∴， 即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，故C正确； 对于D，令，解得或，即曲线C经过（0，0），（0，1），，此时曲线C的内部无整点， 由选项的结论可知曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，∴， 令，得，而，此时曲线的内部有3个整点； 令，得，无解， 令，得，即曲线C经过（2，0），不含边界无整点， 令，得，无解， 因此曲线C的内部有3个整点，故D错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前n项和为，公比为，，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】将用表示，由等比数列通项公式代入化简求值. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以，解得或， 因为，所以，所以不满足条件， 所以. 故答案为：3. 13. 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆心坐标为，半径为，依题意求出，从而求出圆的标准方程. 【详解】设圆心，半径为， 由题意，，则， 则圆的标准方程为：， 故答案为：. 14. 如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切.若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上，若直线的斜率，则可设，则，圆心，都在直线上，可设，，，写出圆，的方程，由交点在第一象限内，代入两圆得到m，n是方程的两根，根据根与系数的关系得到两根之积，代入，得到的值，从而得到的值，继而得到直线的方程. 【详解】由题意，圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上. 若直线的斜率，则可设，则. 圆心，都在直线上，可设，，， 则：，：， 因为交点在第一象限内， 所以，即 所以m，n是方程的两根，于是. 由，得，则，所以，则直线的方程为. 故答案：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前n项和为，，是等比数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知，利用与的关系求即可； （2）利用等比数列的通项公式可得，利用裂项相消法与分组求和法可得. 【小问1详解】 ∵，∴当时，， 当时，， ， 当时，符合上式， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，则，，∴， 在等比数列中，公比，∴， ∴， ∴数列的前n项和 . 16. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【小问1详解】 直线的方程为，则，因此直线恒过定点. 【小问2详解】 如图1，若直线不经过第四象限，则. 【小问3详解】 由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式. （2）设，记数列的前n项和为. ①求； ②若，，求m的取值范围. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而得数列是以为首项，2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可； （2）①化简得，利用错位相减求解即可； ②整理得，，令，求出的最大项，即可得答案. 【小问1详解】 由，. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 ①由（1）得， . 于是， 则 ， 所以. ②由，， 得，. 令， 所以，， 所以不是数列的最大项， 不妨设的第n项取得最大值. 由，即， 解得， 即数列的最大值为， 所以， 即m的取值范围是. 18. 已知圆C：和直线：相切. （1）求半径. （2）已知动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线，，切点分别为A，B. ①记四边形的面积为S，求S的最小值； ②证明：直线恒过定点. 【答案】（1）4 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①方法一：设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；方法二：应用垂直于直线时，最小，即可得出面积的最小值；②方法一：求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解，方法二：应用，所以，得出圆的方程再得出公共弦即可得出定点. 【小问1详解】 由题意，圆心到直线的距离， 所以半径. 【小问2详解】 ①（方法一）由（1）知，圆C的方程为，圆心，. 由，是的两条切线，得，. 设，则. 所以. 当且仅当时，等号成立，所以S的最小值为. （方法二）依题意得，所以要求S的最小值，只需求的最小值. 又，，所以当最小时，取得最小值 当垂直于直线时，最小，此时，所以. . ②证明：（方法一）由①知，点，，， 则M，A，C，B四点共圆且该圆以为直径. 此圆的方程为，整理得. 而圆C的方程为，两圆方程相减得， 即直线的方程为，对任意实数，当时，. 所以直线过定点. （方法二）由①知，设点，，，. 又因为，所以， 即，整理此圆的方程，得， 而圆C的方程为，两圆方程相减得， 即直线的方程为，对任意实数t，当时，. 所以直线过定点. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）点，由题意建立等式计算可得圆的方程为，进而计算可得周长； （2）根据直线被圆截得的弦长为，分斜率存在和不存在两种情况计算即可求解； （3）直线与圆联立方程组求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意列出比例关系式结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 设点， 由，得， 整理得， 所以圆的方程为，其周长为； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ①当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点坐标为， 此时，直线被圆截得的弦长为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线：，整理得， 所以圆心到直线的距离，解得，则直线：. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 根据题意作图. 因为原点在圆：上， 直线过圆心，且与轴所在直线不重合，所以. 设直线的斜率为，则直线的方程为. 由，可得，解得或 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，所以直线的方程为. 由，可得，解得或 所以点的坐标为. 由题意可知，点，， 所以，， 故， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市一级校联盟2025—2026学年第一学期半期考联考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命题人：长汀一中 廖金福 连城一中 黄健辉 龙岩二中 谢秀娟 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则5是这个数列的（ ） A 第21项 B. 第22项 C. 第23项 D. 第24项 2. 直线的倾斜角是（ ） A B. C. D. 3. 已知是公差不为0的等差数列，若，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 84 D. 105 5. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 6. 已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 8. 已知A，B是圆C：上的两点，且，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等差数列中，，，记数列的前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 当取得最小值时， D. 数列的前10项和为50 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知一条光线从点射向轴，经过x轴上点P反射后经过点，则点P的坐标为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 11. 已知曲线C：，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C. 曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D. 曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前n项和为，公比为，，则______. 13. 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是_____. 14. 如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切.若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前n项和为，，是等比数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式. （2）设，记数列的前n项和为. ①求； ②若，，求m的取值范围. 18. 已知圆C：和直线：相切. （1）求半径. （2）已知动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线，，切点分别为A，B. ①记四边形面积为S，求S的最小值； ②证明：直线恒过定点. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $