专题19 幂函数（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题19 幂函数 （七类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、利用函数是幂函数求参数值 类型二、幂函数的定义域与值域 类型三、利用幂函数的单调性比较幂值的大小 类型四、利用幂函数的图象与性质求参数 类型五、利用幂函数的性质解不等式 类型六、幂函数性质的综合运用 类型七、幂函数与其他章节的融合 压轴专练 类型一、利用函数是幂函数求参数值 判断一个函数是否为幂函数的依据： 该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足： ①指数为常数， ②底数为自变量， ③xα的系数为1. 注：形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． 【技巧方法】 若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 例1．已知幂函数的图象经过点，则（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（  ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 变式1-2．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（  ） A． B． C． D．或 变式1-3．己知幂函数的图象过点，则 . 类型二、幂函数的定义域与值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 【技巧方法】 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 例2．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 变式2-2．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________ 变式2-3．已知幂函数的图象经过点． （1） 求函数的解析式； （2） （2）设函数，求函数在区间，上的值域． 类型三、利用幂函数的单调性比较幂值的大小 幂函数的单调性： （1）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． （2）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． 【技巧方法】 比较幂值大小的方法： (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 例3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式3-2．设，，，则（  ） A． B． C． D． 变式3-3．已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 类型四、利用幂函数的图象与性质求参数 幂函数的图象特征及性质： （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （3）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． （4）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 例4．已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 变式4-1．已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（  ） A．1 B． C．1或 D．0 变式4-2．已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4-3．已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 类型五、利用幂函数的性质解不等式 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题． 【技巧方法】 利用幂函数解不等式的步骤： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 例5．若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 变式5-1．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 变式5-2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满 足的实数的取值范围为 ． 变式5-3．设函数，如果，则的取值范围是 . 变式5-4．已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 变式5-5．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 类型六、幂函数性质的综合运用 1.图像的判别： (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 2.与奇偶性、单调性的结合： 利用所给幂函数结合函数的奇偶性、单调性的定义解决恒成立（能成立）问题。 【技巧方法】 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 例6．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 变式6-1．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（  ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 变式6-2．（多选）下列说法正确的是（  ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 变式6-3．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（  ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 变式6-4．已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 变式6-5．已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 类型七、幂函数与其他章节的融合 幂函数常与常用逻辑用语、不等式、函数图像与性质等章节融合。 【技巧方法】 抓住幂函数的图像与性质解决问题。 例7．已知，且函数在上是增函数，则（  ） A． B． C． D．3 变式7-1．若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-2．已知幂函数在上是减函数，则的解集为（  ） A． B． C． D． 变式7-3．已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 变式7-4．已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 变式7-5．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 变式7-6．已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 1.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.幂函数在上递减，则实数（  ） A． B． C．2 D．2或 4.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   5.已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6.已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 7.（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（  ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 8.（多选）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 9.（多选） 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（  ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 10.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 11.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 12.若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 13.已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 14.已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 幂函数 （七类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、利用函数是幂函数求参数值 类型二、幂函数的定义域与值域 类型三、利用幂函数的单调性比较幂值的大小 类型四、利用幂函数的图象与性质求参数 类型五、利用幂函数的性质解不等式 类型六、幂函数性质的综合运用 类型七、幂函数与其他章节的融合 压轴专练 类型一、利用函数是幂函数求参数值 判断一个函数是否为幂函数的依据： 该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足： ①指数为常数， ②底数为自变量， ③xα的系数为1. 注：形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． 【技巧方法】 若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 例1．已知幂函数的图象经过点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【解析】依题意可得,所以, 又的图象经过点, 所以,解得, 所以. 故选：D. 变式1-1．已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（  ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【解析】是幂函数，所以,解得或； 当时，是定义在上的偶函数，不满足题意； 当时，是定义在上的奇函数，满足题意； 故选：C. 变式1-2．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可. 【解析】因为幂函数的图象不过原点，则，解得. 故选：B. 变式1-3．己知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得， 又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 类型二、幂函数的定义域与值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 【技巧方法】 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 例2．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 变式2-1．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域. 【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 变式2-2．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________ 【答案】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为: 变式2-3．已知幂函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求函数在区间，上的值域． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可； （2）求出的解析式，根据函数的单调性求出函数的值域即可． 【解析】设函数的解析式为， 则，解得：， 故，； （2）由（1）， 在递增， 故， ， 故函数的值域是． 类型三、利用幂函数的单调性比较幂值的大小 幂函数的单调性： （1）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． （2）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． 【技巧方法】 比较幂值大小的方法： (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 例3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【解析】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 变式3-1．已知，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【解析】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C. 变式3-2．设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 变式3-3．已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【解析】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D. 类型四、利用幂函数的图象与性质求参数 幂函数的图象特征及性质： （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （3）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． （4）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 例4．已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可. 【解析】（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 解得或， 即或或， 所以的取值范围是. 变式4-1．已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（  ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义和单调性列式计算即得. 【解析】由幂函数的图象在上单调递减， 得，所以. 故选：A. 变式4-2．已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据幂函数定义确定，确定或，再根据条件：函数在上是增函数，确定，确定或，再根据函数为奇函数验证的值即可求解. 【解析】因为函数幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以（舍去）， 因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意； 当时，幂指数，为奇函数，符合题意； 所以满足条件的为. 故选：A. 变式4-3．已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的单调性得到，代入验证函数的奇偶性得到答案. 【解析】幂函数在区间上是单调增函数，故， 解得，， 当时，不满足条件； 当时，满足条件； 当时，不满足条件； 故选：C. 类型五、利用幂函数的性质解不等式 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题． 【技巧方法】 利用幂函数解不等式的步骤： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 例5．若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式. 【解析】因为为幂函数， 则，解得，或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意， 且在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 变式5-1．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得，解得. 故答案为: 变式5-2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为：. 变式5-3．设函数，如果，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过分和两种情况进行讨论，从而可求出的取值范围. 【解析】因为，所以或， 解得或，所以的取值范围是. 故答案为：. 变式5-4．已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合单调性，确定的值，从而得到的解析式； （2）根据的单调性求解不等式. 【解析】（1）由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故. （2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以解得， 所以实数的取值范围是. 变式5-5．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或；(2) （2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案. 【解析】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为 类型六、幂函数性质的综合运用 1.图像的判别： (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 2.与奇偶性、单调性的结合： 利用所给幂函数结合函数的奇偶性、单调性的定义解决恒成立（能成立）问题。 【技巧方法】 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 例6．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）利用分参法即可求解. 【解析】（1）依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； （2）由（1）知， 则问题为对任意恒成立， 即，， 由于的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 变式6-1．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（  ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】由题意知可判断为上单调递增的奇函数可得答案. 【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 变式6-2．（多选）下列说法正确的是（  ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 【答案】ACD 【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D. 【解析】对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确； 对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足， 所以， 因为函数在上单调递减，则，故C正确； 对于选项D，由于，,\ 则，，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD． 变式6-3．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（  ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的定义及性质逐一判断选项即可. 【解析】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 变式6-4．已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可； （2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解. 【解析】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得 所以， 由， 所以， 整理得，即 解得或 故不等式的解集为 （2）由（1）可知，，则， 由得，， 即， 令，根据题意，存在实数，， 则 ，由于， 所以当时，取最小值，故， 所以的取值范围为. 变式6-5．已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1);(2)①奇函数，证明见解析；② 【分析】（1）代入点求参即可.（2）①根据函数奇偶性的定义判断即可;②转化为研究函数的最值即可求解. 【解析】（1）解：幂函数的图象经过， ，解得， ； （2）①由，可得，其定义域为. 对于任意，,所以是奇函数.   ②由（1）得． 任取，，且， 则 ． 因为，所以，，所以，即． 所以函数在单调递增， 所以在上，． 因为在上恒成立， 所以，解得． 所以的取值范围为． 类型七、幂函数与其他章节的融合 幂函数常与常用逻辑用语、不等式、函数图像与性质等章节融合。 【技巧方法】 抓住幂函数的图像与性质解决问题。 例7．已知，且函数在上是增函数，则（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【解析】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 变式7-1．若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的解析式可得，可得的值，再根据充分不必要的定义即可得结果. 【解析】由是幂函数，得， 即，解得或， 则“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：C. 变式7-2．已知幂函数在上是减函数，则的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是幂函数且在上是减函数求出的值，再将所求不等式两边同时平方求出的范围. 【解析】是幂函数， ，解得或， 当时，不满足在上是减函数， 当时，满足在上是减函数， ， 将不等式的两边同时平方得，，解得， 的解集为. 故选：A. 变式7-3．已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2；(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【解析】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 变式7-4．已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及图象关于轴对称求参即可.（2）根据，转化为的值域为值域的子集即可求解. 【解析】（1）由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 变式7-5．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或，；(2)2 【分析】（1）根据幂函数得到，根据单调性得到，则根据函数为偶函数验证得到答案. （2）确定得到，变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【解析】（1）幂函数，则，解得或， 幂函数在上是减函数，故，解得， ，故或，幂函数图象关于轴对称， 当时，，图象关于轴对称，符合题意； 当时，，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或，； （2），，则， . 当且仅当，，即时等号成立. 所以的最小值是2. 变式7-6．已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，;(2)或. 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）根据对任意的，总存在，使成立转化为的值域为值域的子集.即可求解. 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 1.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性比较大小即可. 【解析】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 故选：D. 2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【解析】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 3.幂函数在上递减，则实数（  ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【解析】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 4.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】根据各选项中函数图象特征，再观察幂函数图象判断即得. 【解析】作出函数的图象如下图所示： 因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示： 故选：C. 5.已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】依题意，在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是 故选：C 6.已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【解析】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 7.（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（  ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可. 【解析】由题意，，所以，即 对于A，的定义域为， 故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为， ，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 8.（多选）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】BD 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：BD. 9.（多选） 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（  ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【答案】BC 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【解析】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC. 10.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】因为的定义域为，且在上单调递增， 所以由可得：，解得： 故答案为： 11.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用幂函数的性质及基本不等式即可求解 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 12.若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式. 【解析】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以或， 当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； 当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或， 解得或. 故答案为：. 13.已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1).；(2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【解析（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 14.已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，奇函数的性质进行求解即可； （2）运用平方法进行求解即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性，结合配方法进行求解即可. 【解析】（1）因为是幂函数， 所以有，或， 当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意； 当时，在区间上是单调递增，符合题意， 所以， 因为函数是定义域为R的奇函数，则， 所以当时， 因此的解析式为：； （2）因为时，， 所以由，又， 所以， 所以不等式的解集为； （3）当时，，此时函数单调递增，且， 当时，，此时函数单调递增，且，而， 因此奇函数是R上的增函数，于是由 恒成立， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $