专题01 特殊平行四边形 8大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题01 特殊平行四边形 8大高频考点概览 考点01利用菱形的性质计算与证明 考点02 菱形的性质和判定的综合 考点03 利用矩形的性质求解 考点04 矩形的性质和判定的综合 考点05正方形的性质和判定问题 考点06 特殊四边形的最值问题 考点07 特殊四边形的作图问题 考点08 特殊四边形的折叠问题 地 城 考点01 利用菱形的性质计算与证明 1、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是AC，上的动点，连接，则的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在菱形中，，，点同时由两点出发，分别沿方向向点C匀速移动，点E的速度是点F的速度的3倍（点E移动到点C时，都停止移动），当为等边三角形时，的长度为（    ） A． B． C． D．5 6．（24-25九年级上·山西忻州·期末）红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点于点．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，，，则对角线的长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 9．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，菱形的周长为52，对角线的长为10，E是线段上一点，过点E作，交于点F，则线段的长为（   ） A． B．8 C． D．10 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·山西朔州·期末）两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为 ． 地 城 考点02 菱形的性质和判定的综合 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对角线的几何特征是（   ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． (1)如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求的大小． (3)当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为　 　时，四边形BCEF是菱形． 7．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图1，把两个全等的直角三角形与叠放在一起，，，．固定，将沿线段向右平移（即点D在线段上）．    (1)如图2，连接，直接写出与的数量关系？ (2)如图3，连接，，，得到四边形． ①当点D移动到的中点时，判断四边形的形状，并说明理由； ②在移动过程中，四边形的形状在不断改变，但它的面积不发生改变，直接写出其面积． 地 城 考点03 利用矩形的性质求解 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，苦，则的长度为 ． 6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，的平分线交于点E，连接，若，则的度数是 ． 7．（23-24九年级上·山西临汾期末）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点M，N．若，，则的长为 ．    地 城 考点04 矩形的性质和判定的综合 一、解答题 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务． 关于“等腰梯形”的研究报告研究对象：梯形 研究思路：类比平行四边形，从定义及已有基本事实、定理出发，从组成要素及相关要素的角度研究梯形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）---猜想---推理 研究内容： 一般概念：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．如图1，四边形中，，与不平行，则四边形是梯形． 特例研究：在一般概念的基础上，对“等腰梯形”研究如下： 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图2，梯形中，，若，则称四边形为等腰梯形． 性质：根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论： 结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等， 即图2中，． 证明：在图2中，过点作的平行线，交于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，（依据：______△_________） ∴ ．．．．．． 结论2：等腰梯形的对角线．．．．．． 任务： (1)写出材料中“△”处的依据，并补全结论1的证明过程； (2)如图3，四边形是等腰梯形，其中，，连接对角线，交于点．请根据图3，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图4，在中，，．若点是平面内一点，且以点，，，为顶点的四边形是等腰梯形，则，两点之间的距离为______________． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，于点D，过点A作，过点C作交AE于点F，连接交于点O，若，，求的周长． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）问题情境：在中，，将绕点A顺时针旋转，点B，C的对应点分别为点，，连接，，M，N分别为，的中点，连接． (1)猜想结论：如图1，当恰好经过点C时，与的位置关系是_______，数量关系是_______． (2)问题解决：如图2，当恰好经过点C时． ①试猜想四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，请直接写出线段的长．（提示：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”） 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）问题情境 如图1，将菱形纸片分别沿过点的直线折叠，使得点的对应点分别落在菱形的边上，折痕分别为． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： (2)如图2，为菱形纸片折叠后得到的四边形中边上一点，将沿折叠至位置（的对应点落在四边形内部），连接，若，试猜想与的数量关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，为直线上一点，为射线上一点，若，，，直接写出的长． 5．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 地 城 考点05 正方形的性质和判定问题 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为 ． 5．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，在边长为4的正方形中，分别是边的中点，点G在线段上，交于点．若，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，，直线与坐标轴分别交于，且，点D在直线上，若将正方形向右平移，则平移个单位长度，点B恰好落在直线上，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为 ． 三、解答题 8．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，已知点是正方形中边上一点，是的延长线上一点，分别连接，恰好． (1)用不带刻度的直尺和圆规作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． (2)求证：． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．老师先提出—个问题：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）请解答老师的问题． 动手实践 （2）如图2，点G是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为E，连接并延长，交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点H，点O是的中点，若点H是的三等分点，，直接写出的长． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，． 猜想证明： (1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积． 11．（23-24九年级上·山西太原期末）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 地 城 考点06 特殊四边形的最值问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是AC，上的动点，连接，则的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（    ） A．3.6 B． C． D．4.8 3．（24-25九年级上·山西吕梁期末））如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（    ）    A．2 B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，正方形的边长为2，点分别在上，且与相交于点，连接，则的最小值为 ． 5．（24-25九年级上·山西晋城期末））如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 地 城 考点07 特殊四边形的作图问题 1、 解答题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用所作图形补充完成以下证明过程，已知：矩形，点分别在上，经过对角线的中点，且． 求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ．∴． …… 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）已知矩形，，，为边上的一点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在边上的点处． (1)尺规作图：在矩形中作出点E和折痕（不写做法，保留作图痕迹）； (2)线段的长度是______． 3．（24-25九年级上·山西太原·期末）综合与实践——数学拼图活动 问题情境：图1是一张菱形纸片，其中，．点是对角线上的一点，且，剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片．    数学思考： （1）图1中线段的长为______； 实践操作： （2）在图2中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图3所示的五边形．在图2画出裁剪线，在图3中画出拼接线．（要求：拼接时，两部分纸片无终隙、不重叠且没有剩余）； （3）图4是一个与图3全等的五边形．请你在图4中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形．要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线，并直接写出所拼得的矩形的周长． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，已知点是正方形中边上一点，是的延长线上一点，分别连接，恰好． (1)用不带刻度的直尺和圆规作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． (2)求证：． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在矩形中，是对角线的中点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在□ABCD中，，点E在线段AD 上，连结CE． (1)用尺规完成以下基本作图，过点E作AC的垂线交AC于点F、交BC于点G．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若点F为线段AC的中点，证明：BG＋CE＝AD． 地 城 考点08 特殊四边形的折叠问题 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，过点作的平行线，分别交于点．若，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点E是矩形的边上一点，将 沿着折叠，点B的对应点F落在边上，连接交于点G，连接，若，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D'刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为 ． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明：⋯． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ； (2)请补全材料中“…”处的证明过程； (3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”） 6．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）问题情境 如图1，将菱形纸片分别沿过点的直线折叠，使得点的对应点分别落在菱形的边上，折痕分别为． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： (2)如图2，为菱形纸片折叠后得到的四边形中边上一点，将沿折叠至位置（的对应点落在四边形内部），连接，若，试猜想与的数量关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，为直线上一点，为射线上一点，若，，，直接写出的长． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．老师先提出—个问题：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）请解答老师的问题． 动手实践 （2）如图2，点G是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为E，连接并延长，交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点H，点O是的中点，若点H是的三等分点，，直接写出的长． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 10．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）下面是小宇同学的数学小论文，请你仔细阅读并完成相应的任务． 折叠正方形 在数学活动时折叠的本质是图形的轴对称，通过轴对称进行图形的变换可以构造形式多样的几何图形，利用轴对称的知识研究问题也是常用的方法．如图1，四边形是正方形，点是边上的一点，，将沿着折叠得到，连接交于点，过点作于点．则有．理由如下： 方法一：由折叠可知： 是的垂直平分线（依据1）， ∴， ∵，∴，∴ ∵四边形是正方形，∴ ∴，∴ ∵， ∴（依据2） ∴ 方法二： 任务： (1)材料中的依据1是指 ；依据2是指 ； (2)请你帮助小宇同学写出方法二； (3)如图2，把材料中的图形延长交的延长线于点，其余条件保持不变，若，求的长度． 11．（23-24九年级上山西忻州期末）如图所示，把长方形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在x、y轴的正半轴上，连接，且， (1)求所在直线的解析式； (2)将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积． (3)求所在的直线的函数解析式． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形 8大高频考点概览 考点01利用菱形的性质计算与证明 考点02 菱形的性质和判定的综合 考点03 利用矩形的性质求解 考点04 矩形的性质和判定的综合 考点05正方形的性质和判定问题 考点06 特殊四边形的最值问题 考点07 特殊四边形的作图问题 考点08 特殊四边形的折叠问题 地 城 考点01 利用菱形的性质计算与证明 1、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相关的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的性质与菱形的性质，掌握这些性质是关键；由平移知，四边形为菱形，则，由即可求解． 【详解】解：由平移知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是AC，上的动点，连接，则的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点F，在上截取，连接，作于点H， 由菱形的性质得，从而得到，再由勾股定理求得，然后根据，可求得，再证明，得，根据，可得的最小值，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短、轴对称—最短路线问题的求解等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：设交于点F，在上截取，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴该菱形窗户的周长为， 故选：D． 5．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在菱形中，，，点同时由两点出发，分别沿方向向点C匀速移动，点E的速度是点F的速度的3倍（点E移动到点C时，都停止移动），当为等边三角形时，的长度为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题为考查菱形性质以及动点问题的综合题．连接，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到；根据题意，，，即可求出． 【详解】解：连接，设点F的运动时间为，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级上·山西忻州·期末）红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的对角线相等，且垂直平分．以及菱形的面积等于底乘高，或菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的性质，得出，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 7．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点于点．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形性质，三线合一和勾股定理； 先依据菱形性质，结合，判定为等边三角形；再由，根据等边三角形三线合一，得；最后在中，用勾股定理算出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∵， 根据等腰三角形三线合一的性质，为中点， ∴ ∵， 则， 在中，，， ∴， 故选：A． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，，，则对角线的长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，其中等边三角形的判定是关键．由菱形的性质及已知可知是等边三角形，则可得． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D 9．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，菱形的周长为52，对角线的长为10，E是线段上一点，过点E作，交于点F，则线段的长为（   ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．连接，交于O，利用菱形的性质和勾股定理得到，，，再利用平行线间的距离处处相等得到是菱形边上的高，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，交于O， ∵菱形的周长为52，对角线的长为10， ∴，，，，， 在中，，则， ∵，， ∴是菱形边上的高， ∴由得， 解得， 故选：A． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形是菱形，证明，从而可知阴影部分面积等于菱形面积一半，即可求解． 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 11．（24-25九年级上·山西朔州·期末）两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，得出四边形是菱形是解题的关键．作交的延长线于点E，交的延长线于点F，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解四边形的周长． 【详解】解：如图，作交的延长线于点E，交的延长线于点F， 四边形是两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起的重合部分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为， 故答案为：． 地 城 考点02 菱形的性质和判定的综合 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对角线的几何特征是（   ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点分别是边，，，的中点，利用三角形中位线定理与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形． 【详解】解：如图： 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理可得：，，， 当时，，此时，四边形为菱形， 当中点四边形是菱形时，原四边形的对角线相等， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、菱形的面积的计算，证明四边形是菱形是解题的关键． 作于，作于，连接交于点，先证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出的长，从而得到的长，最后由菱形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，作于，连接交于点，    两条纸条的宽度相同， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． (1)如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求的大小． (3)当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到； （3）①由为的中点，得到，求得，根据勾股定理得到结论； ②根据垂直的定义得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，求得，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， ， ， ； （3）①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又∵， ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为　 　时，四边形BCEF是菱形． 【答案】（1）详见解析；（2） ． 【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形； （2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，由三角形DEF的面积求出EG的长，根据勾股定理求出FG的长，则可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AF=DC， ∴AC=DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC=EF，∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF， ∴四边形BCEF是平行四边形； （2）如图，连接BE，交CF于点G， ∵四边形BCEF是平行四边形， ∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形， ∵∠DEF=90°，DE=8，EF=6， ∴DF==10， ∴S△DEF， ∴EG， ∴FG=CG， ∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图1，把两个全等的直角三角形与叠放在一起，，，．固定，将沿线段向右平移（即点D在线段上）．    (1)如图2，连接，直接写出与的数量关系？ (2)如图3，连接，，，得到四边形． ①当点D移动到的中点时，判断四边形的形状，并说明理由； ②在移动过程中，四边形的形状在不断改变，但它的面积不发生改变，直接写出其面积． 【答案】(1) (2)①菱形，理由见解析；② 【分析】（1）根据平移可得，，可得四边形是平行四边形，进而可以解决问题； （2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，由题意可证是平行四边形，即可得四边形是菱形；②根据四边形的面积，可求其面积． 【详解】（1）解：，理由如下： 平移， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）①四边形是菱形，理由如下： 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； ②，，， 四边形的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 地 城 考点03 利用矩形的性质求解 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， 故选：B 3．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，由矩形的性质得，，且，则，因为，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点O， ，，且， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∵∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=2×2=4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OA=AC=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，苦，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，连接并延长交于P，连接，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于P，连接， 四边形是矩形， ， 分别是边的中点，， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， 点G是的中点， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，的平分线交于点E，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，能识别图中的等腰三角形、等边三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 先根据矩形的性质，结合角平分线的定义证是等腰直角三角形，是等边三角形，是等腰三角形，再根据这些特殊三角形的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（23-24九年级上·山西临汾期末）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点M，N．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接, 设与交于点, 由线段垂直平分得, 再证, 得, 然后由勾股定理求出的长，即可解决问题. 【详解】如图, 连接，设与交于点,    ∵线段垂直平分, ∴, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, 在和中, ∴, ∴ , ∴, 在中, 由勾股定理得: 在中, 由勾股定理得: ， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键. 地 城 考点04 矩形的性质和判定的综合 一、解答题 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务． 关于“等腰梯形”的研究报告研究对象：梯形 研究思路：类比平行四边形，从定义及已有基本事实、定理出发，从组成要素及相关要素的角度研究梯形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）---猜想---推理 研究内容： 一般概念：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．如图1，四边形中，，与不平行，则四边形是梯形． 特例研究：在一般概念的基础上，对“等腰梯形”研究如下： 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图2，梯形中，，若，则称四边形为等腰梯形． 性质：根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论： 结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等， 即图2中，． 证明：在图2中，过点作的平行线，交于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，（依据：______△_________） ∴ ．．．．．． 结论2：等腰梯形的对角线．．．．．． 任务： (1)写出材料中“△”处的依据，并补全结论1的证明过程； (2)如图3，四边形是等腰梯形，其中，，连接对角线，交于点．请根据图3，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图4，在中，，．若点是平面内一点，且以点，，，为顶点的四边形是等腰梯形，则，两点之间的距离为______________． 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；证明过程见解析 (2)；证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，证明四边形是平行四边形，根据“平行四边形的对边相等”，结合等边对等角，等量代换推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”，证明，即可得出结论1； （2）由（1）得“等腰梯形同一底上的两个内角相等”，则，结合，公共边，利用证明，即可得出； （3）当四边形是等腰梯形，，时，连接，由（2）得等腰梯形的对角线相等，即可得出；当四边形是等腰梯形，，时，过点作于点，分别过点、作的垂线，垂足分别为点、，证明出四边形是矩形，得出，，根据等腰三角形三线合一得出的长，根据勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式，，则计算，根据勾股定理求出、，进一步计算即可；当作为底时，点和点重合，不存在等腰梯形；综合得出，两点之间的距离即可． 【详解】（1）解：“△”处的依据为“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，补全结论1的证明过程如下， 在图2中，过点作的平行线，交于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，（依据：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴等腰梯形同一底上的两个内角相等； （2）解：，证明如下， ∵四边形是等腰梯形，其中，，由（1）得“等腰梯形同一底上的两个内角相等”， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，当四边形是等腰梯形，，时，连接， ∵，由（2）得等腰梯形的对角线相等， ∴； 如图，当四边形是等腰梯形，，时，过点作于点，分别过点、作的垂线，垂足分别为点、， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当作为底时，点和点重合，不存在等腰梯形； 综上所述，，两点之间的距离为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的定义与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明、分类讨论是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，于点D，过点A作，过点C作交AE于点F，连接交于点O，若，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，平行四边形的判定，先证明四边形是矩形，可得，再求解，从而可得答案. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理可得， ∴， ∴的周长为． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）问题情境：在中，，将绕点A顺时针旋转，点B，C的对应点分别为点，，连接，，M，N分别为，的中点，连接． (1)猜想结论：如图1，当恰好经过点C时，与的位置关系是_______，数量关系是_______． (2)问题解决：如图2，当恰好经过点C时． ①试猜想四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，请直接写出线段的长．（提示：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”） 【答案】(1)平行，相等 (2)①矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由旋转的性质可证明、都是等边三角形，再证明四边形是矩形，即可得出结论； （2）①由旋转的性质可证明、都是等腰三角形，即可证明四边形是矩形； ②在中，由勾股定理可求得，从而求得；在中，由含30度直角三角形的性质得，则由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：与的位置关系是，与的数量关系是； 理由：在中，， ∴； 由旋转性质得：，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵M，N分别为，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； 故答案为：平行；相等； （2）解：①四边形是矩形； 理由如下：在中，， ∴； 由旋转得：，，，， ∴是等腰三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴； ∴； ∵M，N分别为，的中点，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ②在中，由①知， ∴， 由勾股定理得， ∴； 在中，， ∴； 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）问题情境 如图1，将菱形纸片分别沿过点的直线折叠，使得点的对应点分别落在菱形的边上，折痕分别为． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： (2)如图2，为菱形纸片折叠后得到的四边形中边上一点，将沿折叠至位置（的对应点落在四边形内部），连接，若，试猜想与的数量关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，为直线上一点，为射线上一点，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)矩形，理由见详解 (2)，证明见详解 (3)或1.5 【详解】（1）四边形为矩形， 理由：由折叠可知：， ， 在菱形中，， ， ， ∴四边形为矩形； （2）， 证明：由折叠可知：， 在矩形中， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ∵翻折，， ， 为等边三角形，， ∵翻折，， ， 当M在G点右侧，如图所示， ， ， ， ， ∵翻折，则， ， ， ， 当M在G点左侧，如图所示， 此时， 同理可得， ， ， 综上所述，或1.5． 5．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】（1）①要证四边形是平行四边形，根据矩形性质得出边和角的关系，结合中点条件得到线段相等，再利用全等三角形证明一组对边平行且相等 ．②平行四边形变矩形需对角线相等，先确定长度，再分、运动的不同阶段，根据与的数量关系列方程求解． （2）（2）菱形需对角线垂直且平分，先由菱形性质推出四边形是菱形，设未知数，利用勾股定理求出相关线段长度，进而得出运动时间． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵、分别是、中点 ∴，，则 由于、速度均为，运动时间，则， ∴ 在和中 ∴ ∴，，则 ∴四边形是平行四边形； ②解：连接， ∵四边形是矩形，、是中点 ∴ 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①、未相遇前，，则 解得； ②、相遇后， 解得， 综上，当或时，四边形是矩形． （2）解：连接、， ∵ 四边形是菱形 ∴ ，，，又 ∴ ，四边形是菱形，故 设，则 在中，由勾股定理，即 解得 则，运动路程为 速度为， 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质，结合图形分情况分析，运用勾股定理等建立方程是解题的关键． 地 城 考点05 正方形的性质和判定问题 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质求出，由勾股定理求出，由折叠得到，，然后求出，再由等腰直角三角形求出，即可求解周长． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 根据正方形的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】四边形是正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，不能证明，故⑤错误； 综上所述，其中正确的有①②④，正确的个数是3． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为 ． 【答案】15 【分析】先结合矩形的性质得，，，运用勾股定理算出，再根据与的平分线分别交于点，点，得，，则都是等腰直角三角形，故，又因为点是中点，证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是正方形，再把数值代入四边形的面积为进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于点，点． ∴，， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，在边长为4的正方形中，分别是边的中点，点G在线段上，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由正方形的性质以及点分别是边的中点可得，可证得，在中，利用勾股定理可得，由可得，根据三角形的面积公式得，由此求解出的长，由已知条件可知是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为4， ，， 点分别是边的中点， ，， ， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 在中，， ， 由三角形的面积公式得：， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的等面积法，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识，灵活运用是解题的关键． 6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，，直线与坐标轴分别交于，且，点D在直线上，若将正方形向右平移，则平移个单位长度，点B恰好落在直线上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形的综合运用，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，过点作轴，交于点G，过点A作轴于点H，则点纵坐标为2，设，求出直线的解析式为，利用正方形的性质证，推出，求出，再利用正方形的性质求出，代入直线直线解析式求出，即可求出，由平移的性质即可得出结果． 【详解】解：过点作轴，交于点G，过点A作轴于点H，则点纵坐标为2， 设，直线的解析式为， 则， ∴直线的解析式为， ∵四边形为正方形， ，， ， ∵， ， 在和中 ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴两点的中点坐标与两点的中点坐标相同， ∴， 将代入直线直线解析式得：， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴将正方形向右平移个单位长度，点B恰好落在直线上． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，由正方形的性质可得，．过点E作于点H，则四边形是矩形，可得，证明≌，得到．则．设，则，根据勾股定理，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． 如图，过点E作于点H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠得，， ∴， 又∵， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 三、解答题 8．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，已知点是正方形中边上一点，是的延长线上一点，分别连接，恰好． (1)用不带刻度的直尺和圆规作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线，等腰三角形的性质，作等三角形的判定与性质等知识，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则为的角平分线； （2）由平分得为的中线，再根据证明，可证明是直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，为的角平分线； （2）证明：平分， 为的中线， 在正方形中，，， ， 在与中， ， ， 为的中线， ． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．老师先提出—个问题：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）请解答老师的问题． 动手实践 （2）如图2，点G是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为E，连接并延长，交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点H，点O是的中点，若点H是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形，见解析；（2）①四边形是平行四边形，见解析；②的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠得到，，即可证明四边形是正方形； （2）①由矩形的性质得到，根据折叠得到，，根据等边对等角得到，进而得到，可知，即可证明四边形是平行四边形； ②分点H是的下方的三等分点，点H是的上方的三等分点两种情况，求出，证明，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形； 理由：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴四边形是正方形； （2）①解：四边形是平行四边形； 理由：∵四边形是矩形， ∴ ∵点G是的中点， ∴， ∵由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：当H是的下方的三等分点时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，，点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 当H是的上方的三等分点时， ∵，点O是的中点， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定，等边对等角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，． 猜想证明： (1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质即可得． （2）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，再根据边的关系即可得． （3）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，通过作辅助线，求解出和的边长即可求解面积． 【详解】（1）解：，． 理由：如图，延长BE交DG于点H． ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，． ∵，， ∴，∴，即． （2）解：． 理由：∵四边形和四边形是正方形， 点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上， ∴，，， 在和中， ，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． （3）解：． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴． 如图，连结CF交EG于点O，则有，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与证明，三角形的面积公式．由边角边的证明方法可证明三角形全等，再结合全等三角形的性质可得边相等，角相等，再通过作辅助线，求解出和的边长的是解决本题的关键． 11．（23-24九年级上·山西太原期末）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 地 城 考点06 特殊四边形的最值问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是AC，上的动点，连接，则的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点F，在上截取，连接，作于点H， 由菱形的性质得，从而得到，再由勾股定理求得，然后根据，可求得，再证明，得，根据，可得的最小值，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短、轴对称—最短路线问题的求解等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：设交于点F，在上截取，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西太原期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（    ） A．3.6 B． C． D．4.8 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质正确引出辅助线是解题的关键． 由菱形的性质得，，推出四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，勾股定理求出，由三角形面积求出即可得到的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵于点F，于点G， ∴四边形是矩形， 连接，则， 当时，的值最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山西吕梁期末））如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形，得点P关于的对称点，连接，则：，当且仅当三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M，此时最小，利用等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在正方形中，，    ∵直线经过点，， ∴直线是正方形的对称轴， ∵点在上， ∴可得点P关于的对称点， 当时，， 即直线经过点， 过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M， ∵和关于关于对称， ∴， ∴，即的最小值为的长， 此时， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为． 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握相关性质和数形结合是解题的关键． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，正方形的边长为2，点分别在上，且与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．取的中点，连接，证明，可得，从而得到，进而得到．根据题意可得当在同一条直线上时，取得最小值．然后在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ， ， ， ． ， 当在同一条直线上时，取得最小值． 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西晋城期末））如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，交于，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作交于，交于，过点作于， ，，， ， ，则 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 地 城 考点07 特殊四边形的作图问题 1、 解答题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用所作图形补充完成以下证明过程，已知：矩形，点分别在上，经过对角线的中点，且． 求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ．∴． …… 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规基本作图，过直线上一点作直线的垂线作法，作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：四边形是矩形， ， ． 点是的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查尺规基本作图-过直线上一点作直线的垂线，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）已知矩形，，，为边上的一点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在边上的点处． (1)尺规作图：在矩形中作出点E和折痕（不写做法，保留作图痕迹）； (2)线段的长度是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接； （2）由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，计算得出，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：点、折痕即为所作， ； （2）解：∵矩形，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则 由勾股定理可得：， ∴， 解得， ∴． 3．（24-25九年级上·山西太原·期末）综合与实践——数学拼图活动 问题情境：图1是一张菱形纸片，其中，．点是对角线上的一点，且，剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片．    数学思考： （1）图1中线段的长为______； 实践操作： （2）在图2中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图3所示的五边形．在图2画出裁剪线，在图3中画出拼接线．（要求：拼接时，两部分纸片无终隙、不重叠且没有剩余）； （3）图4是一个与图3全等的五边形．请你在图4中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形．要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线，并直接写出所拼得的矩形的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）图见解析，周长为 【分析】（1）作于点H，由三线合一得，由勾股定理得，求出，即可求出的长； （2）根据图形的特征画出裁剪线和拼接线即可； （3）根据题意画出裁剪线，如图1，作于点G，求出，然后根据矩形的周长公式求解即可 【详解】解：如图，作于点H， ∵， ∴． ∵菱形纸片，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，为裁剪线， 如图，或为拼接线， 或 （3）如图， 如图1，作于点G， ∵菱形纸片，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 由作图可知，，，， ∴所拼得的矩形的周长． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，图形的拼接，矩形的性质等知识． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，已知点是正方形中边上一点，是的延长线上一点，分别连接，恰好． (1)用不带刻度的直尺和圆规作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线，等腰三角形的性质，作等三角形的判定与性质等知识，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则为的角平分线； （2）由平分得为的中线，再根据证明，可证明是直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，为的角平分线； （2）证明：平分， 为的中线， 在正方形中，，， ， 在与中， ， ， 为的中线， ． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 【答案】四边形是菱形，详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．根据四边形是平行四边形，推出，结合作图痕迹，可知，，从而得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， 由作图可知：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在矩形中，是对角线的中点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——过一点作已知直线的垂线，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握基本的尺规作图和以上图形的性质． （1）利用过一点作已知直线垂线的方法进行作图即可； （2）利用矩形的性质和已知条件得出和，再得出四边形是平行四边形，最后利用有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）证明：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在□ABCD中，，点E在线段AD 上，连结CE． (1)用尺规完成以下基本作图，过点E作AC的垂线交AC于点F、交BC于点G．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若点F为线段AC的中点，证明：BG＋CE＝AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图作于； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到四边形是菱形，根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：连接， ，点为线段的中点， 垂直平分， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点08 特殊四边形的折叠问题 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，过点作的平行线，分别交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉矩形的性质和平行线的性质，由矩形的性质得，，，，由折叠得和，利用勾股定理求得，则，设，则，，在中利用解得，结合折叠证得，则，设，则，在中，解得，即可解得． 【详解】解：∵矩形， ∴，，，， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 则， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点E是矩形的边上一点，将 沿着折叠，点B的对应点F落在边上，连接交于点G，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，由折叠的性质可得，易证垂直平分，即点为的中点，利用勾股定理求出，进而求出，再利用勾股定理求出，由直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴垂直平分，即点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，直角三角形全等的判定和性质，连接，证明，结合折叠前后对应边相等，可得，由此可解． 【详解】解：如图，连接， 在长方形中，点E是的中点， ，， 将沿着折叠得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D'刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为 ． 【答案】15或 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可得，由勾股定理可求得，再由勾股定理可求得DE的长． 【详解】如图，若点E在线段CD上时，过点作， 四边形ADNM是矩形， 把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D'刚好落在线段AB的垂直平分线上时， ； 如图，点E在线段DC的延长线上，过点作， 同理可求，， 综上所述，DE的长为15或， 故答案为：15或 【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明：⋯． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ； (2)请补全材料中“…”处的证明过程； (3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)直角 (2)见解析 (3)是 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）根据矩形的性质得到，，由折叠性质得到，，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形； （3）连接，，由E为的中点，得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据折叠的性质得到，，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意，研究报告中“▲”处空缺的内容：直角， 故答案为：直角； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质可得：，， ∴四边形是正方形； （3）解：连接，， ∵E为的中点， ∴， ∵将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿折痕折叠，使点E落在点处， ∴，， ∴， ∴四边形即为正方形， 故答案为：是． 6．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的边长为，直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，即可得到答案； （2）设，则，则，在Rt△ABE中，根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴， 整理得， 即． 故答案为：；． （2）设，则， 在矩形中， 由折叠的性质可知，． 在Rt△ABE中，， 则， 解得， 即的长为3． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）问题情境 如图1，将菱形纸片分别沿过点的直线折叠，使得点的对应点分别落在菱形的边上，折痕分别为． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： (2)如图2，为菱形纸片折叠后得到的四边形中边上一点，将沿折叠至位置（的对应点落在四边形内部），连接，若，试猜想与的数量关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，为直线上一点，为射线上一点，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)矩形，理由见详解 (2)，证明见详解 (3)或1.5 【详解】（1）四边形为矩形， 理由：由折叠可知：， ， 在菱形中，， ， ， ∴四边形为矩形； （2）， 证明：由折叠可知：， 在矩形中， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ∵翻折，， ， 为等边三角形，， ∵翻折，， ， 当M在G点右侧，如图所示， ， ， ， ， ∵翻折，则， ， ， ， 当M在G点左侧，如图所示， 此时， 同理可得， ， ， 综上所述，或1.5． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．老师先提出—个问题：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）请解答老师的问题． 动手实践 （2）如图2，点G是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为E，连接并延长，交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点H，点O是的中点，若点H是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形，见解析；（2）①四边形是平行四边形，见解析；②的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠得到，，即可证明四边形是正方形； （2）①由矩形的性质得到，根据折叠得到，，根据等边对等角得到，进而得到，可知，即可证明四边形是平行四边形； ②分点H是的下方的三等分点，点H是的上方的三等分点两种情况，求出，证明，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形； 理由：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴四边形是正方形； （2）①解：四边形是平行四边形； 理由：∵四边形是矩形， ∴ ∵点G是的中点， ∴， ∵由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：当H是的下方的三等分点时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，，点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 当H是的上方的三等分点时， ∵，点O是的中点， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定，等边对等角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 【答案】（1）直角，30；等腰；（2）且，理由见解析；（3）． 【分析】（1）在如图1中，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质，可得，，进而由所对的直角边为斜边的一半得出；在如图2中，由正方形和折叠的性质可得，，，进而得，，再根据三角形内角和可得，，，由等边对等角可得，即△是等腰三角形． （2）由（1）得，，，根据平行线的性质，即可得出且． （3）过点作的垂线，垂足为，设交于点，由矩形的判定和性质可得，，再根据折叠的性质可得，，进而得出，再由可证，，进而证明，由，，可得，证明，，故，即可证明． 【详解】解：（1）在图1中，四边形是矩形， ，， 由折叠可得， ， ， ， ， 矩形纸片折叠，使点的对应点恰好落在点处，折痕是对称轴， ，即是直角三角形， 在图2中，四边形是正方形， ， ，分别平分和，， ，， 由折叠可得， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 是等腰三角形． 故答案为：直角，30；等腰； （2）且；理由如下： 由（1）得，，， ，，即， 且． （3）．理由如下： 过点作的垂线，垂足为，设交于点，如图3， ， 四边形为矩形， ， 正方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为对称轴， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，所对的直角边为斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）下面是小宇同学的数学小论文，请你仔细阅读并完成相应的任务． 折叠正方形 在数学活动时折叠的本质是图形的轴对称，通过轴对称进行图形的变换可以构造形式多样的几何图形，利用轴对称的知识研究问题也是常用的方法．如图1，四边形是正方形，点是边上的一点，，将沿着折叠得到，连接交于点，过点作于点．则有．理由如下： 方法一：由折叠可知： 是的垂直平分线（依据1）， ∴， ∵，∴，∴ ∵四边形是正方形，∴ ∴，∴ ∵， ∴（依据2） ∴ 方法二： 任务： (1)材料中的依据1是指 ；依据2是指 ； (2)请你帮助小宇同学写出方法二； (3)如图2，把材料中的图形延长交的延长线于点，其余条件保持不变，若，求的长度． 【答案】(1)轴对称的性质；角平分线的性质 (2)方法二见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得是的垂直平分线，根据角的平分线的性质可推出，即可得出答案； （2）根据轴对称的性质得，，推出，证明为等边三角形，得，根据正方形的性质推出，再根据含角的直角三角形的性质得，即可推出结论； （3）根据正方形的性质得，，再根据可得出，，根据轴对称的性质得，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指轴对称的性质；依据2是指角平分线的性质； 故答案为：轴对称的性质；角平分线的性质；． （2）理由：∵将沿着折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∵将沿着折叠得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识点．掌握轴对称的性质是解题的关键． 11．（23-24九年级上山西忻州期末）如图所示，把长方形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在x、y轴的正半轴上，连接，且， (1)求所在直线的解析式； (2)将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积． (3)求所在的直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)重叠部分的面积为10 (3)直线的解析式为 【分析】（1）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点A、C的坐标，根据所得A、C两点的坐标用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）由折叠的性质可得，设，结合，可得，在中由勾股定理建立方程解方程求得y的值即可得到的值，再证可得，这样即可由三角形面积公式求出的面积了． （3）由（2）可知，的长，从而可得点E、F的坐标，由此即可用待定系数法求得直线的解析式了． 【详解】（1）解：∵， ∴ 可设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴ ， 解得或 (不合题意，舍去)， ∴，， ∴，， 设直线解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线解析式为； （2）解：由折叠的性质可知， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $