第一章《特殊的平行四边形》 （2）综合复习试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章《特殊的平行四边形》 综合复习试卷（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A．两组对边分别平行 B．两条对角线互相垂直 C．两组对角分别相等 D．两条对角线相等 2．如图，在▱ABCD中，下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，▱ABCD 是菱形 B．当OA＝OB时，▱ABCD 是矩形 C．当AC平分∠BAD 时，▱ABCD 是菱形 D．当AC＝BD时，▱ABCD 是正方形 3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O．若OC＝4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D．8 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E．若∠ABC＝120°，AB＝8，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，﹣3），则正方形ABCD的面积是（　　） A．13 B．20 C．25 D．34 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝10，则CD的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　） A． B． C． D． 8．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知DE＝3，ME＝8，则图中阴影部分的面积是（　　） A．20 B．24 C．28 D．36 9．如图所示，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，DF为AE中垂线交AB于点F．以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，若∠AFD＝α，则∠EPC的大小为（　　） A．α﹣30° B．75°﹣α C．α﹣45° D．135°﹣2α 10．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．正方形的对角线长12厘米，这个正方形面积是 　 　 平方厘米． 12．若菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 13．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，测得AC＝4cm，BD＝8cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为　 　 cm． 14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BFC＝90°，AB∥DC，AB＝BF＝6，CD＝3，EF⊥BC，垂足为E，延长EF交AD于点G，∠ABF与2∠CBF互余，则FG＝　 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF．给出下面四个结论： ①△BOE≌△COF； ②CF＝BE； ③BE2+CE2＝OE2； ④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积； ⑤若EF的中点为K，则OK+CK的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若DE＝5，BF＝3，求EF的长． 17．如图，菱形ABCD的顶点分别在平面直角坐标系的两轴上，已知A（0，1），，E为BC的中点，求证：AE⊥BC． 18．如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF． （1）求证：2EF＝CD； （2）当EF与BC满足 　 　 时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论． 19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在BC和AD上，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AE⊥BC，AE＝8，CE＝6，求EF的长． 20．如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE、DF． 求证：（1）△ABE≌△DCF； （2）∠EAD＝∠FDA． 21．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH． （1）求证：△EBF≌△HAE； （2）判定四边形EFGH的形状，并说明理由． 22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点E，BF∥AC，CF∥BD． （1）当BF⊥CF时，求证：▱ABCD是菱形； （2）当BD平分∠ABC时，求证：四边形BECF是矩形． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE，BF，CF，AD． （1）求证：四边形BFCE是菱形； （2）若BC＝2，EF＝1，求AD的长． 24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AC，点E，F分别为BO，DO中点，顺次连接点A，E，C，F． （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）当AB⊥AC，时，求△BEC的面积． 25．如图是两个等宽的矩形MNOP（MN＜NO）和矩形M′N′O′P′（M′N′＜N′O′）叠合得到的四边形ABCD的部分图形，M′P′与MP和NO分别交于点D、C． （1）请用直尺和圆规在图①作出四边形ABCD．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； （2）如图②，若点M与点C关于N′O′对称，求∠MAB的度数； （3）在（2）的条件下，求的值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A D B B B C D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．72． 12．． 13．． 14．． 15．①②④． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG， ∴DA＝AB，∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴EF＝AF﹣AE＝DE﹣BF＝5﹣3＝2． 17．证明：∵菱形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵A（0，1），， ∴，C（0，﹣1）， ∴AC＝1﹣（﹣1）＝2， ∴AB＝BC＝AC＝2， ∴△ABC为等边三角形， ∵E为BC的中点， ∴AE⊥BC． 18．解：（1）∵在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点， ∴BF＝FD， ∵E是边BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴， 即2EF＝CD； （2）当时，四边形ABCD是菱形，证明如下： ∴BC＝2EF， ∵2EF＝CD， ∴BC＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在BC和AD上，BE＝DF． ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵AE⊥BC， ∴△ACE是直角三角形，∠AEC＝90°， 在Rt△ACE中，AE＝8，CE＝6， 由勾股定理得：， ∵∠AEC＝90°，四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是矩形， ∴EF＝AC＝10． 20．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝CD， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）； （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠EAB＝∠FDC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴∠BAD+∠EAB＝∠CDA+∠FDC， ∴∠EAD＝∠FDA． 21．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°． 又∵AE＝BF＝DH＝CG， ∴AH＝BE＝CF＝DG． ∴△EBF≌△HAE（SAS）； （2）四边形EFGH的形状为正方形，理由如下： 由（1）得，△EBF≌△HAE， 同理，△EBF≌△FCG，△FCG≌△GDH， ∴EF＝FG＝GH＝HE，∠AEH＝∠BFE， ∵∠B＝90°， ∴∠EFB+∠FEB＝90°， ∴∠AEH+∠FEB＝90°， ∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH为正方形． 22．证明：（1）∵BF∥AC，CF∥BD， ∴四边形BECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴∠F＝∠BEC， ∵BF⊥CF， ∴∠BEC＝∠F＝90°，即BD⊥AC， ∴▱ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∴∠BEC＝90°， 由（1）得四边形BECF是平行四边形， ∴四边形BECF是矩形． 23．（1）证明：∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DF＝ED， ∴四边形BFCE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，点E分别是边AC的中点， ∴EC＝BE， ∴四边形BFCE是菱形． （2）解：∵四边形BFCE是菱形， ∴， ∵D、E分别是边BC、AC的中点， ∴AB＝2ED＝21， ∵∠ABC＝90°， ∴． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别为BO，DO中点， ∴， ∴， ∵BD＝2AC，即， ∴AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵BD＝2AC， ∴BO＝2AO， ∵AB⊥AC， ∴OA2+AB2＝OB2， ∴ 解得：OA＝﹣2（舍去）或OA＝2； ∴AC＝4， ∴， ∴， ∵点E为BO中点， ∴． 25．解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求； （2）如图②：连接MC，AC， ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠CAD＝∠CAB ∵点M与点C关于N′O对称， ∴∠MAB＝∠CAB， ∴∠CAD＝∠CAB＝∠MAB， ∵∠CAD+∠CAB+∠MAB＝180°， ∴∠MAB＝60°； （3）如图③， ∵∠MAB＝∠CAB＝60°，AM∥NO， ∴∠ABC＝∠MAB＝60°， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC， ∵点M与点C关于NO对称， ∴MB＝BC，MA＝AC， ∴MB＝BC＝MA＝AC， ∴四边形AMBC是菱形， ∴MB∥AC， ∴∠MBN＝∠ACB＝60°， ∵∠N＝90°， ∴∠NMB＝30°， ∴BM＝2NB， ∴BC＝2NB， 即． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $