第23节 特殊的平行四边形-2025-2026学年中考数学复习第二轮考点巩固

数学中考总复习第2轮 第23节 特殊的平行四边形 一、选择题 1.(2025·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确 的是( 0 B A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.LACB=LACD 2.(2025·泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定口ABCD为矩形的是 () A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 3.(2025·自贡)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M,N,再分别以 M,N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°，则∠MBN=() M B A.40 B.50° C.60° D.140° 4.(2025·合肥三模)如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC,BD的交点，E为AD的中点.若 AB=6,BC=8,则△BOE的周长为() 0 B C A.10 B.8+25 C.8+2W13 D.14 108/141 数学中考总复习第2轮 5.(2025·安微三模)如图，在矩形ABCD中，E,F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G, 且G为CF的中点.若AB=4,BC=5,则BG的长为() A.4 B.3V2 C.2W5 D.26 6.(2025北京)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点 O逆时针旋转90°得到菱形A'BC"D',两个菱形的公共点为E,F,G,H对八边形BFB'GDHD'E 给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等 上述结论中，所有正确结论的序号是() E A.(①③ B.①④ C.②③ D.②④ 109/141 数学中考总复习第2轮 7.(2025合肥三模)如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上， 连接AP并延长交CD于点E,过点P作PFLAP交BC于点F,连接AF,EF,给出下面三个 结论：①AB2+BF2=2AP2;②BF+DE=EF;③PB-PD<2BF.上述结论中，所有正确结论的 序号是( E 0 B A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 二、填空题 8.(2025·上海)在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC= 9.(2025·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG1DE于点G.若 AD=5,CG=4,则△AEF的面积为 G E B 10.(2025·威海)将一张矩形纸片（四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的 点C处，折痕为MN,点D落在点D处，CD交AD于点E,若BM=3,BC'=4,AC=3,则 DN= B 110/141 数学中考总复习第2轮 11.(2025·遂宁)如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠， 点B落在点P处，延长CP交AD于点Q,连接AP并延长交CD于点F给出以下结论：①△AEP 为等腰三角形；②F为CD的中点；③MAP:PF=2:3;④cos∠DCQ=}其中正确的结论是 (填序号) D E B C 三、解答题 12.(2025广安)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是边AB和BC上的点，且BE=BF.求 证：∠DEF=∠DFE. C E B 111/141 数学中考总复习第2轮 13.(2025·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADIBC,∠ABC=90°， 有下列条件： ①ABICD,②AD=BC. (I)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积， A D B C 112/141 数学中考总复习第2轮 14.(2025扬州如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD. (I)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2, 求此时直线AD,CD所夹锐角上1的度数 B B A 图1 图2 113/141 数学中考总复习第2轮 15.(2025·合肥三模)正方形ABCD中，E为对角线AC上一点 (I)连接DE,BE,求证：BE=DE; (2)F是DE延长线上一点，FB⊥BE,FE交AB于点G. ①求证：BF=FG; ②当BE=BF时，求证：GE=(N2-1)DE. A D E G B C 114/141 数学中考总复习第2轮 16.(2025遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理 (1)实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O; ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC, OD; ③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD. 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定 方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程， 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形 115/141 数学中考总复习第2轮 17.(2025达州州在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的√2倍.某 数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1. 图1 图2A B 图3 (I)因为四边形ABCD是菱形，所以ACLBD,AO=CO,BO=DO. 所以AB2=AO2+BO2.又因为AC=2AO,BD=2BO, 所以AB2= 化简整理得AC2+BD2= 【类比探究】(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系 【拓展应用】(3)如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,点E为 AO的中点，点F为BC的中点，连接EF,若AB=8,BD=8,AC=I2,直接写出EF的长度. 116/141数学中考总复习第2轮 第23节 特殊的平行四边形 一、选择题 1.(2025·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确 的是( 0 B C A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 答案：C 2.(2025·泸州已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定口ABCD为矩形的是 () A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 答案：D 3.(2025·自贡)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交LA两边于点M,N,再分别以 M,N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°，则∠MBN=() A.40° B.50° C.60° D.140° 答案：A 4.(2025·合肥三模)如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC,BD的交点，E为AD的中点.若 AB=6,BC=8,则△BOE的周长为() 137/180 数学中考总复习第2轮 0 B A.10 B.8+25 C.8+2WT3 D.14 答案：C 5.(2025·安微三模)如图，在矩形ABCD中，E,F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G, 且G为CF的中点.若AB=4,BC=5,则BG的长为() A.4 B.32 C.25 D.2V6 答案： C 6.(2025北京)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点 O逆时针旋转90°得到菱形A'B'CD',两个菱形的公共点为E,F,G,H对八边形BFB'GDHD'E 给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等】 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③B.①④ C.②③ D.②④ 答案：B 138/180 数学中考总复习第2轮 7.(2025·合肥三模)如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上， 连接AP并延长交CD于点E,过点P作PFLAP交BC于点F,连接AF,EF,给出下面三个 结论：①AB2+BF2=2AP2;②BF+DE=EF;③PB-PD<2BF.上述结论中，所有正确结论的 序号是( E B A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 答案：A 二、填空题 8.(2025·上海)在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则LBAC= 答案： ,57° 9.(2025北京)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CGLDE于点G.若 AD=5,CG=4,则△AEF的面积为 答案： 27 10.(2025·威海)将一张矩形纸片（四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的 点C处，折痕为MN,点D落在点D处，CD交AD于点E.若BM=3,BC'=4,AC'=3,则 DN= 139/180 数学中考总复习第2轮 D A E N..D B M 答案： 3-2 11.(2025·遂宁)如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠， 点B落在点P处，延长CP交AD于点Q,连接AP并延长交CD于点F给出以下结论：①△AEP 为等腰三角形：②F为CD的中点：③4PPF=2:3;④cos∠DCQ-}其中正确的结论是 (填序号) 答案： ①②③ 三、解答题 12.(2025广安)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是边AB和BC上的点，且BE=BF.求 证：∠DEF=∠DFE. C E 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=AD,∠A=∠C. 又因为BE=BF,所以AB-BE=BC-BF,即AE=CF,所以△ADE≌△CDF(SAS), 所以DE=DF,所以LDEF=LDFE. 140/180 数学中考总复习第2轮 13.(2025·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADIBC,∠ABC=90°， 有下列条件： ①ABICD,②AD=BC. (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积， B 解：(I)选择①，证明：因为ABICD,ADIBC,所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为LABC=90°，所以四边形ABCD是矩形； 选择②，证明：因为AD=BC,ADIBC,所以四边形ABCD是平行四边形 又因为LABC=90°，所以四边形ABCD是矩形， (2)因为LABC=90°，所以BC=VAC2-AB2=52-32=4, 所以矩形ABCD的面积为3×4=12. 14.(2025·扬州州如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD. (I)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2, 求此时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数 B 图1 图2 141/180 数学中考总复习第2轮 解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下： 如图所示 过点A作AT⊥NP于点T,过点C作CULEH于点U. 根据题意，四边形EFGH、四边形MNPO是矩形，所以EHFG,MOIINP, 所以ABIDC,ADIBC,所以四边形ABCD是平行四边形， 因为宽度相等，即AT=CU,且∠ATB=LCUB=90°， 又LABT=∠CBU,所以△ATB≌△CUB(AAS),AB=CB,所以平行四边形ABCD是菱形. B R (2)如图所示，过点A作AR⊥CD于点R. 根据题意可知AR=2cm.因为S四边形ABcD=CD:AR=8,所以CD=4cm. 由(I)可得四边形ABCD是菱形，所以AD=4cm. 在Rt△ARD中，AR=)AD,所以∠1=30 15.(2025·合肥三模)正方形ABCD中，E为对角线AC上一点. (I)连接DE,BE,求证：BE=DE; (2)F是DE延长线上一点，FB⊥BE,FE交AB于点G. ①求证：BF=FG; ②当BE=BF时，求证：GE=(N2-1)DE. A E G B 142/180 数学中考总复习第2轮 证明：(1)因为AC是正方形ABCD的对角线，所以AB=AD,∠BAE=∠DAE=45° 又因为AE=AE,所以△ABE=△ADE(SAS),所以BE=DE. (2)①因为四边形ABCD是正方形，所以LGAD=90°，所以LAGD+∠ADG=90°， 由(I),知△ABE=△ADE,所以LADG=∠EBG,所以∠AGD+∠EBG=90°. 因为FB⊥BE,所以LEBF=90°，所以∠FBG+∠EBG=90°，所以LAGD=LFBG. 因为LAGD=∠FGB,所以∠FBG=∠FGB,所以FG=FB. ②因为FB⊥BE,所以LFBE=90° 在Rt△EBF中，BE=BF,所以EF=VBE2+BFP=VBE2+BE2=V2BE, 由(I),知BE=DE,由①，知FG=BF,所以FG=BF=BE=DE, 所以GE=EF-FG=V2BE-DE=V2DE-DE=(V2-I)DE. 16.(2025·遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理 (1)实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O; ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC, OD; ③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定 143/180 数学中考总复习第2轮 方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,求证： 四边形ABCD是矩形 解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABIICD,AB=CD,∠ABC+∠BCD=180° 因为AC=BD,BC=CB,所以△ABC=△DCB(SSS),所以LABC=LDCB=90°， 所以四边形ABCD是矩形， 17.(2025·达州在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的√2倍.某 数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1. 图1 (1)因为四边形ABCD是菱形 所以AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. 所以AB2=AO2+BO2. 又因为AC=2AO,BD=2BO, 所以AB2= 化简整理得AC2+BD= 【类比探究】 (2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系 144/180 数学中考总复习第2轮 图2A 【拓展应用】 (3)如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,点E为AO的中点，点 F为BC的中点，连接EF,若AB=8,BD=8,AC=I2,直接写出EF的长度. 图3 解：(4C子BD4M8 (2)AC2+BD2=2AB2+2AD2理由如下： 过点D作DELAB于点E,过点C作CFLAB交AB的延长线于点F, B 所以∠DEA=∠DEB=∠CFB=90°. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,ABICD,AD=BC,所以LDAE=LCBF ∠DAE=∠CBF, 在△DAE和△CBF中， ∠DEA=LCFB,所以△DAE≌△CBF(AAS), AD=BC, 所以AE=BF,DE=CF 在Rt△DBE中，DB2=DE2+BE=DE+(AB-AE)2 在Rt△CAF中，AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF), 145/180 数学中考总复习第2轮 所以BD2+AC2=DE2+(AB-AE2+CF2+(AB+BF)2 =2DE2+AB2-2AB·AE+AE2+AB2+2AB·AE+AE2 =2(DE2+AE)+2AB2 =2AD2+2AB2, 所以AC2+BD2=2AB2+2AD2. (3)因为四边形ABCD是平行四边形，AB=8,BD=8,AC=12, 所以由(2)可得AC2+BD2=2AB2+2AD2,所以122+82=2×82+2AD2,AD=2V10(负值已舍去). 因为四边形ABCD是平行四边形，AC=12,BD=8, 所以BC=AD=2V10,OA=OC=6,OB=OD=5BD=4. 如图，过点E,O分别作BC的垂线，垂足分别为M,G,连接OF. MB G F 因为0，F分别为AC,BC的中点，所以OF=2AB=4=OB=号BD, 叉因为0GLBF,所以BG=GF=号B 因为F是C的中点，所以BF=号BC,所以BG=GF=专BF=BC=四， 2 所以cG=BC-BG=号V0. 在R0Gc中，0G1sc,所以oG=0c-cG-VG-m2-6 2 因为E为A0的中点，所以0E=)0A. 因为40=o心，所以oE=0心，所以瓷-号，咒=方 因为EM1BC,0cL8C,所以EMoG,所以哭-%-，所以MG=CG= 41 146/180