第19节 等腰与直角三角形-2025-2026学年中考数学复习第二轮考点巩固

数学中考总复习第2轮 第19节等腰与直角三角形 一、选择题 1.(2025·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F 到直线AC的距离为() A.2 B.2 C.3 D. 2.(2025·凉山州如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD 的周长为50cm,则AC+BC=() A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 3.(2025·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6,AD平分LCAB交BC于点 D,点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为() A.v2 B.3 C.2 D.3 4.(2025安微模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=3.D是AB的中点，E为 射线CA上一动点，过点C作CP⊥BE于点P,交AB于点F,则DP长度的最小值是() D A.V5 B.1 C.3 D.V5-2 86/141 数学中考总复习第2轮 5.(2025·自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CDLAB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短 成DE,∠BED=60°，则新钢架减少用钢() A.(24-12W3)m B.(24-8V3)m C.(24-6V3)mD.(24-43)m 6.(2025·安徽三模)如图，正△ABC纸片，E为AC边上的一点，连接BE.将△BAE沿BE翻折 得到△BPE,过点C作AB的平行线交EF的延长线于点M,若ZBMC=90?,则气的值为( ) A. 2-V5 2 B. 2 c. D.1 7.(2025·合肥二模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°， AE,AF分别交BD于点G,H,以下结论： ①BG2+DH=GHH; ②若F是CD的中点，则tan∠AEF=3; ③△CEF的周长等于BD长的V2倍；( ④连接GF,则△AGF为等腰直角三角形， 其中正确结论的个数是() G B A.1 B.2 C.3 D.4 87/141 数学中考总复习第2轮 二、填空题 8.(2025·安徽三模)写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是 9.(2025·连云港)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2.点P在边AC上，过点P作 PDLAB,垂足为D,过点D作DFLBC,垂足为F,连接PF,取PF的中点E.在点P从点A到 点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 10.(2025湖北)△DEF为等边三角形，分别诞长FD,DE,EF到点A,B,C,使DA=EB= FC,连接AB,AC,BC,连接BF并延长交AC于点G.若AD=DF=2,则∠DBF= FG= E G B 11.(2025盐城)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2V2,点D是AC的中点，连接 BD,将△BCD绕点B旋转，得到△BEF连接CF,当CFIAB时，CF= C B 88/141 数学中考总复习第2轮 12.(2025·遂宁)在等边△ABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF, 易得△ADF≌△BED≌△CFE,设S△MBC=1,则SADEF=1-3S△MDR. 如图①， 当品 11 =2时，SADEF=1-3×年=4氵 如图@，当架 1 21 =3时，SADEF=-1-3x号=5； 如图③， 当端-时，5=1-3名-名： 直接写出，当粉=0时，5r 图① B 图② B 图③ 三、解答题 13.(2025·自贡)如图，在△ABC中，DEBC,LEDF=LC (1)求证：∠BDF=∠A; (2)若LA=45°，DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状. 89/141 数学中考总复习第2轮 14.(2025·上海)同学用两幅三角板拼出了如图所示的平行四边形，且内部留白部分也是平行四 边形（直角三角板互不重叠） (I)若直角三角形斜边上的高都为h,求： ①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）； ②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边 90/141 数学中考总复习第2轮 15.(2025·贵州综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综 合性学习 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入 射光线与水槽内壁AC的夹角为LA; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN"为法线，AO为入 射光线，OD为折射光线.) 【测量数据】如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N在同一平面内，测得AC=20cm,∠A =45°，折射角∠DOW=32°. 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求BC的长； (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm) (参考数据：sin32-0.52,cos32°≈0.84，tan32°≈0.62) N 45 0 空气 水 32 ----------4----2 B 91/141 数学中考总复习第2轮 16.如图，在四边形ABCD中，点E是BC上的一点，且满足BA=AE=ED=DC,∠AED=90°. 将△AED绕着A点旋转，使得AE与AB重合，得到△ABF,连接FD,交BC于点M. (I)求证：BM=MC; (2)若BE=BA=2,求△ADF的面积； (3)若AB=5,BE=6,求sin∠EDM的值. D B E/M 92/141数学中考总复习第2轮 第19节等腰与直角三角形 一、选择题 1.(2025·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F 到直线AC的距离为() A.2 B.2 C.3 答案：C 2.(2025·凉山州如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD 的周长为50cm,则AC+BC=() A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 答案：C 3.(2025·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6,AD平分LCAB交BC于点 D,点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为() A.V2 B.3 C.2 D.3 答案：C 4.(2025·安徽模拟如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=3.D是AB的中点，E为 射线CA上一动点，过点C作CP⊥BE于点P,交AB于点F,则DP长度的最小值是() 109/180 数学中考总复习第2轮 D A.V5 B.1 C.3 D.V5-2 答案：B 5.(2025·自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CDLAB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短 成DE,∠BED=60°，则新钢架减少用钢() C A.(24-12V3)m B.(24-8W3)m C.(24-63)mD.(24-4V3)m 答案：D 6.(2025·安徽三模)如图，正△ABC纸片，E为AC边上的一点，连接BE将△BAE沿BE翻折 得到△BFE,过点C作AB的平行线交EF的延长线于点M,若LEMC=0,则瓷 的值为()》 1. 2-V5 3-1 B. 2 C. D. 2 答案：D 7.(2025·合肥二模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°， AE,AF分别交BD于点G,H,以下结论： 110/180 数学中考总复习第2轮 ①BG+DP=GH: ②若F是CD的中点，则tan∠AEF=3; ③△CEF的周长等于BD长的V2倍； ④连接GF,则△AGF为等腰直角三角形， 其中正确结论的个数是() H C A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 二、填空题 8.(2025·安徽三模)写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是 答案：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 9.(2025·连云港)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2.点P在边AC上，过点P作 PDLAB,垂足为D,过点D作DFLBC,垂足为F连接PF,取PF的中点E.在点P从点A到 点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 E B 答案： V19 4 111/180 数学中考总复习第2轮 10.(2025·湖北△DEF为等边三角形，分别延长FD,DE,EF到点A,B,C,使DA=EB= FC,连接AB,AC,BC,连接BF并延长交AC于点G,若AD=DF=2,则LDBF=一， FG= 答案：3045 11.(2025盐城)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2V2,点D是AC的中点，连接 BD,将△BCD绕点B旋转，得到△BEF连接CF,当CFILAB时，CF= B 答案：2+V6 12.(2025·遂宁)在等边△ABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF, 易得△ADF=△BED≌△CFE,设S△ABC=1,则S△DEF=1-3 SAADF. 如图①， 当8时，5=1-3好日： 当8 1 21 如图②， =3时，Sa=1-3x9=5氵 37 如图③， 当铝 1 =4时，Sanr=1-3xi6=16i 直接写出， 当8=品时，Saer= 112/180 数学中考总复习第2轮 D 图① B 图②B4 图③ 73 答案：100 三、解答题 13.(2025·自贡)如图，在△ABC中，DEBC,∠EDF=∠C. (I)求证：∠BDF=∠A; (2)若LA=45°，DF平分LBDE,请直接写出△ABC的形状、 D B 解：(I)证明：因为DEBC,所以LAED=LC 因为LEDF=∠C,所以∠EDF=∠AED,所以DFIAC,所以∠BDF=∠A, (2)△ABC是等腰直角三角形， 因为LBDF=∠A,所以∠BDF=∠A=45. 因为DF平分LBDE,所以LBDE=2LBDF=90°. 因为DEIBC,所以LB=180°-∠BDE=90°，所以∠C=180°-∠A-∠B=45°=∠A, 所以△ABC是等腰直角三角形 14.(2025·上海)同学用两幅三角板拼出了如图所示的平行四边形，且内部留白部分也是平行四 边形（直角三角板互不重叠）. (I)若直角三角形斜边上的高都为h,求： 113/180 数学中考总复习第2轮 ①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）： ②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边 h 解：（①如图①，△MBC为等腰直角三角板，∠4CB=90°，则AC=BC=sin45=V2h. A h 图①C1 B 如图②，△DEF为含30°角的直角三角板，∠DEF=90°，∠F=30°，∠D=60°， h2h 则EF=2h,DE=m0= 3 图②E4 综上，等腰直角三角板直角边均为√2h,含30°角的直角三角板直角边为2h和？ ②由题意可知LMNG=∠NGH=∠GHM=∠HMW=90°，所以四边形MNGH是矩形. 由图可得，Mw=V5h.2-35-25 3 h=- 3h,MH=2h-2 h=(2-2)h, 所以5w=-9:256e-F为6E-6-5+2 3 2 114/180 数学中考总复习第2轮 W2-2W W2-6-4W3+2W6 故小平行四边形的底为(2-V2)h,高为 3 h,面积为 3 H (2)如图，即为所求作的图形 15.(2025·贵州综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综 合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入 射光线与水槽内壁AC的夹角为LA; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN为法线，AO为入 射光线，OD为折射光线.) 【测量数据】 如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N在同一平面内，测得AC=20cm,∠A=45°，折射角 ∠DOW=32°. N 459 0 空气 328 D B 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： 115/180 数学中考总复习第2轮 (1)求BC的长： (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm). (参考数据：sin32°-0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62) 解：(1)在Rt△ABC中，∠A=45°，所以∠ABC=45°，所以BC=AC=20cm, (2)由题可知ON=EC=2AC=10cm,所以NB=ON=10cm. 又因为∠DON=32°，所以DN=ON.tan∠DON=10×tan32≈10×0.62=6.2(cm), 所以BD=BN-DN=10-6.2=3.8(cm) 16.如图，在四边形ABCD中，点E是BC上的一点，且满足BA=AE=ED=DC,∠AED=90°. 将△AED绕着A点旋转，使得AE与AB重合，得到△ABF,连接FD,交BC于点M. (I)求证：BM=MC; (2)若BE=BA=2,求△ADF的面积； (3)若AB=5,BE=6,求sin∠EDM的值. B E/M 解：(I)证明：因为将△AED绕着A点旋转，使得AE与AB重合，得到△ABF, 所以LABF=∠AED=90°，BF=ED=CD. 因为BA=AE=ED=DC,所以LAEB=∠ABE,∠DEC=∠C, 又因为∠DEC+∠AEB=90°，∠ABE+∠CBF=90°，所以∠CBF=∠C: 116/180 数学中考总复习第2轮 LBMF=LCMD 在△BMF和△CMD中， ∠FBM=LC, 所以△BMF=△CMD(AAS),BM=MC. BF=CD, (2)因为AB=AE=BE,所以△ABE是等边三角形，所以∠EAB=60°. 因为将△AED绕着A点旋转，使得AE与AB重合，得到△ABF, 所以∠DAF=∠EAB=60°，AD=AF,所以△ADF是等边三角形， 在R△4DE中，AB=DE=2,所以4D=A5,所以ae=辈2V5Y=2V5. (3)如图，过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DNLBC于点N,过点E作EHLDF于点H. M N 因为LAED=90°，所以∠AEG+LDEN=90°， 因为LAEG+LEAG=90°，所以LEAG=∠DEN 又因为LAGE=∠DNE=90°，AE=DE,所以△AGE≌△END(AAS),AG=EN,EG=DN. 在△ABE中，AB=AE=5,BE=6,所以BG=EG=3,所以DN=EG=3. 在Rt△ABG中，AG=V52-32=4,所以EN=4 在Rt△CDW中，因为CD=DE=5,所以CN=V52-32=4, 所以BC=BE+EN+CN=6+4+4=14.由(1)得BM=CM,所以BM=7BC=7, 所以EM=BM-BE=7-6=1,MN=EN-EM=4-1=3. 又因为DN=3,所以MN=DN,所以∠DMN=∠EMH=45. ×2-2 在R1△EMH中，sm45,所以BH=1号 2 2 EH 22 在Rt△DEH中，sin EDM=DE=5=1O 117/180