第14节 二次函数的综合应用-2025-2026学年中考数学复习第二轮考点巩固

数学中考总复习第2轮 第14节二次函数的综合应用 一、选择题 1.(2025·泸州州已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象 限，则实数a的取值范围为() A.1≤a<8 B.0<a<2 c.0<a<号 D.1a<月 2.(2025福建)已知二次函数y=2-2ar+a(a-0)的图象经过43，，B3a,2)两点，则下 列判断正确的是() A.可以找到一个实数a,使得y1>a B.无论实数a取什么值，都有y1>a C.可以找到一个实数a,使得2<0 D.无论实数a取什么值，都有y2<0 3.(2025·合肥三模)已知二次函数y=x2-(3m+1)x+3(m≠0)，下列说法正确的是() A.点(-1，-1)在该函数图象上 B.当m=1且-2≤x≤4时，3≤≤15 C.该函数图象与x轴一定没有交点 D.当m>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=号的右侧 4.(2025·合肥三模)已知二次函数y1=2x2+mx+n,2=2nx2+mx+1(m,n为常数，n≠0)的最 小值分别为p,q() A.若p+q=0,则p=q=0 B.若p-q=0,则p=q=0 C.若p+q=1,则p=q=0.5 D.若p-q=1,则p=1,9=0 55/141 数学中考总复习第2轮 二、解答题 5.(2025·合肥联考)已知二次函数y=ax2+2x+1(a≠0)： (若a=),试求该二次函数图象与x轴的交点坐标： (2)若该二次函数图象的顶点坐标为(s,t),求证：t=s+1; (3)若a<0,且当自变量x满足0≤m时，-2≤2，求m的值. 56/141 数学中考总复习第2轮 6.(2025·南充)2024年五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特 产进价为50元/件，B类特产进价为60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132 元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元. (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可 多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与 x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围， (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每 天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少 元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润=售价-进价） 57/141 数学中考总复习第2轮 7.(2025达州)如图1，抛物线y=ax2+x-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交 于点C,点D是抛物线的顶点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线 上一点，且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由 YA YA B B D 图1 图2 58/141 数学中考总复习第2轮 8.(2025·南充)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0) (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线与y轴交于点C,点P为线段OC上一点不与端点重合)，直线PA,PB分 别交抛物线于点B,D,设△PHD面积为S,△PBE面积为，求的值： (3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于 点M,N,过抛物线顶点G作直线x轴，点Q是直线1上一动点.求QM+QN的最小值. 叫 K 0 B 0 M 图1 图2 59/141 数学中考总复习第2轮 9.(2025·连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-1(a,b为常数，a>0). (1)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当b=1时，过点C(-1,a),D1,a+2W2)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M, N,连接MN,MD.求证：MD平分LCMN; (3)当a=1,b≤-2时，过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H若 GH的最大值为4，求b的值. Y X M 60/141数学中考总复习第2轮 第14节 二次函数的综合应用 一、选择题 1.(2025·泸州州已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象 限，则实数a的取值范围为() A.1a< B.0<a<月 9 C.0<a< D.1a< 答案：A 2.(2025福建)已知二次函数y=2-2ar+a(a40的图象经过4号，)，B(3a,2)两点，则下 列判断正确的是() A.可以找到一个实数a,使得y1>a B.无论实数a取什么值，都有y1>a C.可以找到一个实数a,使得2<0 D.无论实数a取什么值，都有y2<0 答案：C 3.(2025·合肥三模)已知二次函数y=mx2-(3m+1)x+3(m≠0)，下列说法正确的是() A.点(-1，-1)在该函数图象上 B.当m=1且-2s≤4时，3≤15 C.该函数图象与x轴一定没有交点 3 D.当m>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=亏的右侧 答案：D 4.(2025·合肥三模)已知二次函数y1=2x2+mx+n,y2=2nx2+mx+1(m,n为常数，n≠0)的最 小值分别为p,q() A.若p+q=0,则p=q=0 B.若p-q=0,则p=q=0 69/180 数学中考总复习第2轮 C.若p+q=1,则p=q=0.5 D.若p-q=1,则p=1,g=0 答案：A 二、解答题 5.(2025·合肥联考)已知二次函数y=ax2+2x+1(a≠0). (1)若a=号，试求该二次函数图象与x轴的交点坐标： (2)若该二次函数图象的顶点坐标为(s,),求证：t=s+1; (3)若a<0,且当自变量x满足0s≤m时，-2s≤2，求m的值. 解：()当a=5时，y=52+2x+1,令y=0,得)2+2x+1=0, 解得x=-2+V2或x=-2-V2, 所以该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-2+√2,0)，(-2-V2,0). (2)证明：因为二次函数y=ax2+2x+1图象的顶点坐标为(s,), 0t三一=1-二，所以t=1+s (3)在y=ax2+2x+1中，令x=0,得y=1, 由(2)知抛物线y=ax2+2x+1的顶点坐标为 a1 因为a<0,当0s≤m时，-2≤2， 所以当x=m时函数值最小为2，当x=日时，函数值1月最大，为2， am2+2m+1=-2, a=-1, a=-1, 所以 2, 解得 或 (不符合题意，舍去)， 1- 0 m=3 m=-1 所以m的值为3. 6.(2025·南充)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特 产进价为50元/件，B类特产进价为60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132 70/180 数学中考总复习第2轮 元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元. (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件，市场调查反映，若每降价1元，每天可 多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与 x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每 天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少 元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润=售价-进价） 解：(1)设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132-x)元. 根据题意，得3x+5(132-x)=540,解得x=60. 则每件B类特产的售价为132-60=72（元） 答：A类特产的售价为60元件，B类特产的售价为72元件. (2)由题意，得y=10x+60. 因为A类特产进价为50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价， 所以0≤x≤10，所以y=10x+60(0s≤10) (3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60) =-10x2+40x+1800 =-10(x-2)2+1840. 因为-10<0，所以当x=2时，w有最大值1840 答：每件A类特产降价2元时总利润最大，最大利润是1840元. 71/180 数学中考总复习第2轮 7.(2025达州)如图1，抛物线y=ax2+x-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交 于点C,点D是抛物线的顶点 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线 上一点，且S△PMC=2 SADMC,求点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)因为抛物线y=ax2+x-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0), 9a-3k-3=0, a=1, 所以 解得 所以抛物线的解析式为y=x2+2x-3. a+k-3=0, k=2, (2)由y=x2+2x-3,当x=0时，y=-3,则C(0,-3). 因为y=x2+2x-3=(x+1)2-4,则D(-1,-4),对称轴为直线x=-1. 设直线AC的解析式为y=k1x+b1,将A(-3,0),C(0,-3)分别代入， -3k1+b1=0, k=-1, 得 解得 所以直线AC的解析式为y=-x-3. b1=-3, b1=-3, 当x=-1时，y=-2,则M-1,-2),所以MC=V12+(-2+3)2=V2, MD=-2-(-4)=2,CD=V12+(-3+4)2=V2, 72/180 数学中考总复习第2轮 所以MD=MC2+CD2,所以△MCD是等腰直角三角形， 所以SAPMC=2 SADMC=2X2×CD2=2. 如图，连接MB,BC,记MD交x轴于点E,则ME=BE=2, 所以△MBE是等腰直角三角形，所以LBME=45°，BM=2V2. 又∠DMC=45,所以BMLAC,所以SABMC=2MC-BM=7×V2x2V2=2, 所以点P与点B重合时符合题意，此时P(1,O). E M 如图，过点B作BPIAC交抛物线于点P,则S△PMC=S△BMC 设直线BP的解析式为y=-x+m,将B(1,0)代入，得0=-1+m,解得m=1, y=-x+1, x=-4, x=1, 所以直线BP的解析式为y=-x+1.联立 解得 或 y=x2+2x-3, y=5 y=0, 所以P(-4,5).综上所述，P(1,0)或P(-4,5). (3)存在.因为A(-3,0),C0,-3), 所以AC2=32+32=18. 因为点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N(-1,),其中n>-4, 所以AW=(-1+3)2+n2=4+n2,CW2=12+m+3)2=n2+6n+10. ①当AW=AC时，4+n2=18,解得n=V14或n=-V14. ②当AN=CN时，4+n2=n2+6n+10,解得n=-1. ③当AC=CN时，18=n2+6n+10,解得n=V17-3或n=-V17-3(舍去) 73/180 数学中考总复习第2轮 综上所述，点N的坐标为(-1，V14)或(-1，-14)或(-1，-1)或(-1，V17-3) 8.(2025南充)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B3,0). YA C ⊙ 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线与y轴交于点C,点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA,PB分 别交抛物线于点E,D,设△PAD面积为S1,△PBE面积为S, 装的值： (3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于 点M,N,过抛物线顶点G作直线lx轴，点Q是直线l上一动点.求QM+QN的最小值！ 解：(1)因为抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0), -1-b+c=0, b=2, 所以 解得 所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 9+3b+c=0, c=3 -k1+b1=0, (2)设P(0,p),直线AP的解析式为y=k1x+b1(0),根据题意， 得 b1=p, k1=P, y=px+p, x=-1, x=3-p, 解得 所以y=px+p.联立 解得 或 b1=p, y=-x2+2x+3, y=0 y=-p2+4p, 所以E(3-p,-p2+4p). 32+b2=0, 设直线BD的解析式为y=2x+b2(20),根据题意，得 b2=p, 74/180 数学中考总复习第2轮 k2=-3 解得 所以y=-号x+p p b2=p =学+p, p-3 x=3, X= 3 联立 解得 或 y=-x2+2x+3, y=0 2,4p y= -9+3 S1=SAABD -SAABP=7 AB-(YD-YP) -2号+号)号， S2=SAABE-SAABP=2 AB-(VE -yP) =2(-p2+4p-p)=2(3p-p), 所以专 (3)设直线MN的解析式为y=x+d,由K(1,0)得k+d=0,所以d=-k,所以y=kx-k. y=kx-k, 设Mm,-m2+2m+3),Nn,-n2+2n+3),联立 y=-x2+2x+3, 得x2+(k-2)x-k-3=0, 4=(k-2)2-4(-k-3)=2+16>0, 根据根与系数的关系可得：m+n=2-k,mn=-k-3. 如图，作点N关于直线1的对称点N,连接MW,W"Q N'yA 2 L M 由题意得直线1：y=4,则N'(n,n2-2n+5),所以QM+QN=QM+QW">MW. 75/180 数学中考总复习第2轮 过点M作FLNN于点F,则F(n,-m2+2m+3). NF=m2+n2 2(m+n)+2,MF=Im nl. 在Rt△MFW'中，MN2=MF2+NF2=(m-n)2+[m2+n2-2(m+n)+2]2 =(m+n)2-4mn+[(m+n)2-2mn-2m+n)+2]2 =(2-)2-4(-k-3)+[(2-)2-2(-k-3)-2(2-)+2]2 =4+17k2+80≥80， 即当k=0时，MW2=80,此时MN=45，故QM+QN的最小值为45. 9.(2025·连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-1(a,b为常数，a>0). (1)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，求拋抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当b=1时，过点C(-1,a),D(1,a+2V2)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M, N,连接MN,MD.求证：MD平分∠CMN; (3)当a=1,b≤-2时，过直线y=x-1(1s≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若 GH的最大值为4，求b的值. M a-b-1=0, a4 解：(1)将A(-1,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-1,得 解得 16a+4b-1=0, b=-4 3 所以抛物线对应的函数表达式为y=4x2-4x-1. (2)证明：如图，连接CW. 76/180 数学中考总复习第2轮 V角 因为b=1,所以y=ax2+x-1. 当x=-1时，y=a-2,即点M(-1,a-2),当x=1时，y=a,即点N(1,a). 又因为C(-1,a),所以CN=2,CM=a-(a-2)=2,CMLCN, 所以在Rt△CMN中，MW=VCMP+CW2=2V2. 因为DN=a+2V2-a=2N2,所以DN=MN,所以∠NDM=∠WMD. 因为DNICM,所以LNDM=∠CMD,所以∠NMD=LCMD,所以MD平分LCMN. (3)当a=1时，y=x2+bx-1.设G(m,m-1),则Hm,m2+bm-1),1≤m≤3. 令x2+bx-1=x-1,解得x1=0,2=1-b. 因为b≤-2，所以x2=1-b>3,所以点G在H的上方（如图1） 1-b 图1 Hi 1-b 1-b3 设GH=t,故t=-m2+(1-b)m,其对称轴为m=2,且2立· 0当：s,即56-2时， 77/180 数学中考总复习第2轮 图2 1-b (1-b)2 由图2可知：当m=2时，1取得最大值4=4，解得b=~3或b=5(舍去) 013 1-b ②当2>3，即b<-5时， 图3 由图3可知：当m=3时，t取得最大值-9+3-3b=4, 解得力=-9（舍去. 综上所述，b的值为-3. 78/180