精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年度高二上学期期中考试数学试题

西南大学附中2025-2026学年度上期期中考试高二数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 2. 椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 3. 向量，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 0 4. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足方程，则（ ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为-20 D. 的最大值为 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 圆与圆有两条公切线 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 平面内与两个定点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 11. 已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为定值8 B. 若为中点，则 C. 最大值为3 D. 若，则的最大值为3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与间的距离为___________． 13. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________． 14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知，点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线过点，且与曲线交于两点，若，求直线的方程． 16. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点．若的面积为，求直线的方程． 17. 如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，，其中，． （1）求的长； （2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值． 18. 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 19. 在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．已知． （1）求“椭圆”的方程； （2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围（的取值范围）、对称性，并说明理由； （3）设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中2025-2026学年度上期期中考试高二数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，求得其斜率，进而得到其倾斜角. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程求得，从而求得长轴长. 【详解】因为椭圆的标准方程，所以该椭圆的焦点在轴上，且，则， 所以椭圆的长轴长为. 故选：D. 3. 向量，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算及两向量垂直的坐标表示，列出关于k的方程，求得k的值. 【详解】由向量，得. 若与垂直，则，所以， 解得. 故选：A. 4. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，根据直线与平面所成角的向量求法求解. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则. . 所以直线与平面所成的角的正弦值是. 故选：C. 6. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 7. 若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义得为直角三角形，利用余弦定理求得，由同角三角函数关系式求得，即的值. 【详解】设椭圆的左焦点为，由椭圆及直线的对称性，知. 若点B在第一象限，因为，所以. 因为，所以，所以. 所以，所以. 所以. 所以，所以. 由椭圆及直线的对称性，. 故选：D. 8. 已知实数满足方程，则（ ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为-20 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式，令，则.可求最小值，以判断A；将可看作是半圆上的点与点连线的斜率，以判断B；将可看作是半圆上的点到点 的距离，以判断C；可看作半圆上的点到直线的距离，以判断D. 【详解】由，得 对于A，令，则. 因为，所以当时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为. 所以选项A不正确； 对于B，如图所示，表示以为圆心，3为半径的半圆，可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，所以的范围是. 所以选项B错误； 对于C，. 可看作是半圆上的点到点 的距离，如图所示，其最小值为. 所以的最小值为. 所以选项C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为. 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为. 所以，的最大值为. 所以的最大值为 所以选项D不正确. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 圆与圆有两条公切线 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 平面内与两个定点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，易知直线的斜率，则其倾斜角，即可判断；对于B，判断出两圆相交，从而得两圆有两条公切线，即可判断；对于C，求出满足条件的直线方程，即可判断；对于D，由双曲线的定义即可判断. 【详解】对于A，因为直线的斜率， 所以其倾斜角，故A错误； 对于B，因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距， 则，所以两圆相交，故两圆只有两条公切线，故B正确； 对于C，因为所求直线过点，且在两坐标轴上截距互为相反数， 当所求直线过坐标原点时，其方程为，即；； 当所求直线不过原点时，设其方程为， 代入，解得， 所以所求直线方程为，即， 综上所述，所求直线的方程为或，故C错误； 对于D，由双曲线的定义得平面内与两个定点距离之差为常数(小于两定点之间的距离)的点的轨迹是双曲线，故D错误. 故选：ACD. 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为定值8 B. 若为中点，则 C. 最大值为3 D. 若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆的定义即可确定三角形的周长；对于B，设，然后用坐标表示向量的数量积，根据二次函数的性质求出值域即可；对于C，设，然后在中运用余弦定理解得的值，进而可求出最值；对于D，设，然后根据向量的线性关系列出等式，然后根据椭圆方程求出的关系式，进而根据横坐标的范围确定的范围，从而根据的单调性确定最大值. 【详解】对于A： 根据椭圆的定义可知，， 所以. 而的周长为， 所以其周长为定值8，所以A正确； 对于 B： 因为为的中点，所以直线与轴垂直， 则，设， 则， 所以. 因为，结合二次函数的图像和性质可得，所以B错误； 对于C： 设，则由椭圆的定义，. 在中，由余弦定理得 ，解得 所以，又， 所以，所以最大值为3，C正确； 对于D： 设，所以. 因为，所以得到， 因为都在椭圆上，所以满足，消去， 解得，因为， 所以，解得，令， 求导得，当时，；当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以的最大值为，所以D错误； 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与间的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】易知题中两直线平行，根据两条平行线间的距离公式可得直线与间的距离. 【详解】由，得. 因为直线与直线平行， 所以直线与直线间的距离为. 即直线与间的距离为. 故答案为： 13. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得. 【详解】由题可知，. 所以， 化简得，所以. 故答案为：35. 14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的面积公式，求得.代入双曲线的方程，并由得点P在以O为圆心，c为半径的圆上，联立双曲线和圆的方程，即可求得点P的坐标，从而得到直线的方程，与双曲线方程联立，可求得，利用中点坐标公式求得点M的坐标，进而求得直线的斜率. 【详解】如图： 由题可知， 化简得，即. 因为，所以，所以， 所以双曲线， 设点，则点P在以O为圆心，c为半径的圆上， 所以点P的坐标满足， 解得，即. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 当点在第一象限时， 联立，得， 所以或， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 根据双曲线的对称性，可得当点在第四象限时，直线的斜率为. 直线的斜率为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知，点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线过点，且与曲线交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据条件列得关于的方程，化简可得曲线的方程； （2）由（1）知，曲线E是圆，根据弦长可求得圆心到直线的距离，进而求得直线的方程 【小问1详解】 由题可知，,化简得. 所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，曲线的方程为：. 所以点的轨迹为圆，设圆心，半径. 因为弦长，所以圆心C到直线的距离为. 因为直线过点，所以 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为,即. 所以，解得. 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为，或. 16. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点．若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的短轴长为，所以，所以． 又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则， 所以的面积 ， 平方化简得，解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 17. 如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，，其中，． （1）求的长； （2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用空间垂直关系转换可证明线线垂直，再利用等腰三角形三线合一可计算长度； (2)利用空间向量法来求面面角余弦值即可. 【小问1详解】 因为为底面半圆周上一点，所以， 又由为圆柱的轴截面，所以底面， 又因为底面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为中点，， 又因为，所以； 【小问2详解】 依题意如图建立空间直角坐标系， 由，，可得： ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即平面的法向量为， 则 即平面与平面所成夹角的余弦值为． 18. 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围； ②表示出直线方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. 【小问1详解】 设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由消去得，， 则， 则由题意，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为，所以， 所以直线方程为，恒过点. 19. 在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．已知． （1）求“椭圆”的方程； （2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围（的取值范围）、对称性，并说明理由； （3）设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2） 因为“椭圆”的方程为，所以， 去掉绝对值，解得 . 若关于轴对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于轴对称； 若关于轴对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于轴对称； 若关于原点对称，则将代入方程得，所以“椭圆”关于原点对称； （3） 因为原“椭圆”的顶点为， 所以外接椭圆的方程为，则， 设直线的斜率为（），则该直线方程为，代入椭圆方程中化简得 .设， 则根据韦达定理得，所以. 设的中点的坐标为，垂直平分线的斜率为， 所以，垂直平分线的方程为，即①. 因为，的中点坐标为，的中点坐标为. 所以垂直平分线的斜率分别为， 所以垂直平分线的方程为和， 两式相加得， ② 联立①②得，所以. 所以，故为定值. 【解析】 【分析】（1）先求出“椭圆”上任一点到定点的“距离”，然后根据“椭圆”的定义列出方程，并讨论不同范围时方程的化简，最后形成“椭圆”的方程. （2）根据（1）中求出的“椭圆”方程辨析的范围和对称性. （3）先求出外接椭圆的方程，然后求出直线的方程，然后求出三条线段垂直平分线的方程，进而求出外心坐标，从而证明直线的斜率之积为定值. 【小问1详解】 设“椭圆”上的点，根据“距离”的定义可得， ， 根据“椭圆”的定义可得，又， 所以，即. 当时，方程变为，轨迹为线段； 当时，方程变为；当时，方程变为； 所以“椭圆”的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $