精品解析：四川省遂宁中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

遂宁中学初2026届第五期半期学业水平监测 数学试题（一） 试卷说明：全卷满分150分；考试时间120分钟．将正确答案做在答题卡指定位置． A卷(100分) 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程 2. 给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 6. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 或 10. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形（正方形看作第个）的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_____． 12. 对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则k的值为___________ 14. 如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为______． 三．解答题（共4小题，共44分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 18. 已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． B卷（共50分） 一．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知实数满足，那么__________． 20. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为______． 21. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 22. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为______． 二．解答题（共3小题，共34分） 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围． 24. 阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程的解为_________ （2）利用上述方法求下列方程中的值： （3）拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 25. 已知在平面直角坐标系中，正方形的边长是1，点P为正方形内一动点，若点M在上，且满足，延长交于N，连接． （1）如图1，若点M在线段上，求证：； （2）如图2，在点P、M、N运动的过程中，满足的点M在的延长线上时，求证：； （3）是否存在满足条件的点P，使得PC=？若存在，请求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁中学初2026届第五期半期学业水平监测 数学试题（一） 试卷说明：全卷满分150分；考试时间120分钟．将正确答案做在答题卡指定位置． A卷(100分) 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 2. 给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式是形如的式子是解题的关键． 要判断哪些式子是二次根式，需根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，依次分析每个式子是否符合该定义即可． 【详解】式子①：，根指数是，是三次根式，不是二次根式，不合题意； 式子②：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意； 式子③：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意； 式子④：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意． 综上所述，式子②、③、④是二次根式，共个， 故选：C ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式加、减、乘、除法运算法则计算各选项后再进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能计算，故此选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能计算，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 4. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为，二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键．根据分式中分母不等于，二次根式中被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：根据题意， 解得：． 故选：C． 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 6. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式化简，涉及由数轴表示数的大小、绝对值代数意义、二次根式性质及整式的混合运算等知识，先由实数在数轴上的对应点的位置得到，且，进而得到，，，再由二次根式性质化简，然后利用绝对值的代数意义去绝对值，最后由整式加减运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：根据数轴上点的位置得到，且， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 7. 若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据位似得到，根据相似三角形的性质得到对应边成比例，根据对应边的比例求出的长度，即为点的纵坐标． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形， ， ， 相似比为， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标是． 故选：B． 9. 如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边成比例以及分类讨论思想是解题的关键． 如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分D与B对应、D与C对应两种情况．分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有． ∴，即，解得：； ②当D与C对应时，有． ∴，即，解得：不符合题意； ∴当时，点D与点B重合，则，解得：（符合题意）， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是或． 故选A． 10. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形（正方形看作第个）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理可得，利用相似三角形的性质可得，即得，，，进而得到，即可求解，找出正方形边长的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∴， 即第个正方形的边长为， ∴第个正方形的面积为， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式的后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则k的值为___________ 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，由根与系数的关系可得，则可得到，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴， 故答案为：0． 14. 如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定． 连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， 四边形为菱形， ，，， ， ， ∵， 四边形为平行四边形， ， 由，可设，，则， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 三．解答题（共4小题，共44分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 移项得， 则， ， 直接开平方得， ，； 【小问2详解】 解：， 展开得， ， 则， 或， 解得，． 17. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 18. 已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）作于H，由，可得，可得，由三角形的面积可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． B卷（共50分） 一．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知实数满足，那么__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2026． 20. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 21. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 22. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，证明，得出成比例线段，求出，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如答图，连接，设， 在矩形中，， 则，． 是中点， ， ，． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键． 二．解答题（共3小题，共34分） 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明： 无论取任何实数时， 无论取任何实数，原方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解关于的一元二次方程得 ，， ∵原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7， ∴或 分别解两个不等式组得：无解或 ． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，当时，方程有两个实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 24. 阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程的解为_________ （2）利用上述方法求下列方程中的值： （3）拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 【答案】（1），，， （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可； （2）令，将原方程换元后解方程即可； （3）令，，换元可推出m，n是方程的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 令，， 则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 25. 已知在平面直角坐标系中，正方形的边长是1，点P为正方形内一动点，若点M在上，且满足，延长交于N，连接． （1）如图1，若点M在线段上，求证：； （2）如图2，在点P、M、N运动的过程中，满足的点M在的延长线上时，求证：； （3）是否存在满足条件的点P，使得PC=？若存在，请求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，恰当作出辅助线，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，推导出，由，推出，即可证明； （2）先推导出，进而判定出，推出，由此即可证明； （3）先推导出点P在上，再判定出，求出，，即可得求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 这样的点P存在．理由：如图，取的中点H，连接， 在中，，， 根据勾股定理得，， 由(2)知，， ∴， ∴， ∴点P在上， 过点P作于G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $