专题六函数与导数 微专题4 函数中的构造问题导学案-2026届高三数学二轮复习

专题六 函数与导数 微专题4 函数中的构造问题 一、考点透析 考点1 同构法构造函数 同构法构造函数，往往根据所给代数式（等式、不等式）中的相同点或者结构形式，构造具体的函数解析式，从而可以利用导数研究函数的相关性质. 1．（25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵，即， ∴，解得． 故答案为： . 2．（25-26高三上·四川南充·月考）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 所以函数是定义在上的偶函数， 由条件可知，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不等式， 即， 即， 所以，即，得， 解得：. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的可导函数满足，且在上有，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由，得， 令，则，即为偶函数． 又当时，，所以在上单调递减， 因为，即， 又为偶函数，所以，所以， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B 考点2 利用f（x）与xn构造 方法特征：（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）； （2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝. 1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，即， 所以，但不一定成立；，但不一定成立； ，但不一定成立. 故选：A 2.（25-26高三上·宁夏固原·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，则， 当时，不等式成立， ∴当时， ，函数单调递减. ∵函数是定义在上的偶函数，∴， 则在上是奇函数，∴在上是减函数. 而， 由，得，即. 故选：C. 3．（25-26高三上·山西朔州·月考）已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 因为函数 是定义在 上的偶函数，所以也是定义在 上的偶函数. 又当时，， 因为当 时， ，所以，即在上单调递增， 又是定义在 上的偶函数，所以在上单调递减. 由, 即. 所以. 故选：B 考点3 利用f（x）与ex构造 方法特征：（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf（x）； （2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝. 1．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 因为对任意实数x，都有，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数，所以，则，所以，则不等式转化为，即，由于函数在定义域上单调递减，所以，故不等式的解集是． 故选：C． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 由得，所以， 即在R上单调递减， 由为奇函数，可知，即，则， 不等式等价于，即， 因为在R上单调递减，所以解集为. 故选：A 考点4 利用f（x）与sin x，cos x构造 方法特征：（1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x； （2）F（x）＝，F'（x）＝； （3）F（x）＝f（x）cos x，F'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x； （4）F（x）＝，F'（x）＝. 1．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，即； 当时，，即. 故当时，，，四个选项均成立. 当，时， 化简得 . 先考虑函数，. 则，故在上单调递增. 因为，所以.因为，所以，即. 若，，则，根据的单调性，可知. 故此情况下，，.可排除B、D选项. 若，，则，根据的单调性，可知. 故此情况下，，.可排除A选项. 综上，当满足题目条件时，恒成立. 故选：D 考点5 双变量函数同构 1．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知是定义域为的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，对任意的，都有，即 ， 令，由单调性的定义可得在上单调递增， 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递增，所以，解得； 当时，在上单调递增，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 2.（2025·温州高三统一测试）已知x，y∈R，则“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的（　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】　A 【详解】（1）设f（t）＝t－ln t，t＞0，则f'（t）＝1－＝， 由f'（t）＞0得t＞1，由f'（t）＜0得0＜t＜1， ∴f（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. ∴当x＞y＞1时，f（x）＞f（y），即x－ln x＞y－ln y成立，故充分性成立. 但x－ln x＞y－ln y成立时，可能有x＝，y＝1，此时x＜y，故必要性不成立. 综上，“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的充分不必要条件. 故选A. 考点6 指对互化构造函数 1.（2025·烟台期末）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln x＋x－2，若∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为　　. 【答案】－ 【详解】∵∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2）， ∴＋x1－2＝ln x2＋x2－2，即＋x1＝ln x2＋x2＝＋ln x2. 令h（x）＝ex＋x，x∈R，则h'（x）＝ex＋1＞0， ∴函数h（x）在R上是增函数，∴x1＝ln x2，即x2＝， ∴x1x2＝x1·.令u（x）＝xex，x∈R，则u'（x）＝（x＋1）ex， 当x＜－1时，u（x）单调递减，当x＞－1时，u（x）单调递增， 可得x＝－1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（－1）＝－. 2．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等价于， 即等价于，即等价于． 令， 则条件等价于，当时，， 即函数在上单调递减，即，则． 又，，所以， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 考点7 函数同构与奇偶性综合 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由题得：， 即，从而（其中为常数），，又， ，因为的定义域为R，且，则为偶函数， 又因为，当时，， 因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或， 故选：B． 2．（25-26高三上·新疆·月考）已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，求导得， ，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 故在内单调递增，在内单调递减， 又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线， 由，可得， 即，则， 故有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、跟踪练习 1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）设在上可导函数满足，并且在上有，实数满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意设， 则，     又 ，所以， 那么， 即则为奇函数，其，则单调递减． 又，， 则， 即，所以， 故选:B． 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】B 【详解】∵，即， 令，则 即在上单调递增， ∵ ∴，即， 则，即. 故选：B 4．（江西省景德镇市2026届高三上学期第一次质量检测数学试题）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 所以为偶函数， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以 因为 所以， 所以， 所以， 故选：A. 5.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则（　　） A.ab＞e B.b＞ea C.ab＜e D.b＜ea 【答案】B　 【详解】由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b. 设f（x）＝xln x（x＞0），因为a＞0，则ea＞1， 因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1. 当x＞1时，f'（x）＝ln x＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增， ealn ea＜bln b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b. 故答案选B. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域的解集是均为R，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即， 由的原函数为， 从而可构造函数， 则， 所以在R上单调递增， 故，即， 整理得. 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 函数与导数 微专题4 函数中的构造问题 一、考点透析 考点1 同构法构造函数 同构法构造函数，往往根据所给代数式（等式、不等式）中的相同点或者结构形式，构造具体的函数解析式，从而可以利用导数研究函数的相关性质. 1．（25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 2．（25-26高三上·四川南充·月考）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的可导函数满足，且在上有，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 考点2 利用f（x）与xn构造 方法特征：（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）； （2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝. 1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·宁夏固原·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西朔州·月考）已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 考点3 利用f（x）与ex构造 方法特征：（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf（x）； （2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝. 1．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点4 利用f（x）与sin x，cos x构造 方法特征：（1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x； （2）F（x）＝，F'（x）＝； （3）F（x）＝f（x）cos x，F'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x； （4）F（x）＝，F'（x）＝. 1．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 考点5 双变量函数同构 1．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知是定义域为的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2.（2025·温州高三统一测试）已知x，y∈R，则“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的（　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点6 指对互化构造函数 1.（2025·烟台期末）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln x＋x－2，若∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为　　. 2．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点7 函数同构与奇偶性综合 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高三上·新疆·月考）已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、跟踪练习 1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）设在上可导函数满足，并且在上有，实数满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较大小 4．（江西省景德镇市2026届高三上学期第一次质量检测数学试题）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则（　　） A.ab＞e B.b＞ea C.ab＜e D.b＜ea 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域的解集是均为R，且，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $