精品解析：贵州省黔东南州剑河县第四中学2025-2026学年上学期九年级期中水平检测数学试卷

贵州2025年秋季学期九年级半期水平检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置上． 2．答选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用HB或2B铅笔在《答题卡》上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共36分． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 故选：D． 3. 抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，进而由即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 如图，是由绕点C顺时针旋转得到的（点A、B的对应点分别为点D、E），点D恰好落在边上，连接，下列四个结论：①；②；③点C到的距离与点C到的距离一定相等；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得．由旋转得，，即可知点C到的距离与点C到的距离一定相等．由旋转得，即，可知． 【详解】解：∵是由绕点C顺时针旋转得到的， ∴，， ∴． 故结论①②正确，符合题意； 由旋转得，，， ∴点C到的距离与点C到的距离一定相等， 故结论③正确，符合题意； 由旋转得，， 故结论④正确，符合题意． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 7. 某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 8. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解得定义、整体代入法求代数式的值．根据题意可得，整理可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，整理可得， ∴． 故选：A． 9. 如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点、，交边于点D．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质，三角形的内角和，根据旋转的性质，则，，根据，求出，即可求解． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 11. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 12. 如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分母有理化，结合网格的特点正确添加辅助线是解题关键．设正方形网格的边长为，则，，，在中，，证明，得到，同理可证，，由等腰三角形的性质，得到，在中，，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图， 设正方形网格的边长为， ，，， 在中，， 由网格可知，，，， ， ， 同理可证，， 由网格可知，，， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 二、填空题：（每个小题4分，4个小题共16分） 13. 抛物线的对称轴为直线_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数，利用二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】解：二次函数 ，对称轴为直线 ， 抛物线中，， ， 故答案为： ． 14. 若是方程的一个解，则代数式的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，将代入，得到，再将作为整体代入即可． 【详解】解：是方程的一个解， ， ， ， 故答案为：12． 15. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确的结论是____________．（填序号） 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据抛物线的开口方向和与轴交点，可判断①结论；根据二次函数图象与轴有两个交点，可判断②结论；根据处的函数值小于0，可判断③结论；根据二次函数的对称轴位置，可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ，， ，①结论错误； 二次函数图象与轴有两个交点， ，②结论正确； 由图象可知，当时，，③结论错误； 由图象可知，抛物线的对称轴在和之间， ， ， ，④结论正确， 故答案为：②④． 16. 如图，正方形和正方形，将正方形绕着点旋转，连接，点恰好落在上时，连接交于点．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可判定，得到，在中由勾股定理可得正方形的边长为，设交于点，交于点，，，解得，，则，，如图所示，过点作于点，交于点，则，，，，解得，，，，，则，由，即，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为， ∴，， 设交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， 如图所示，过点作于点，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，则， ∵，且 ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三形的判定和性质等知识的综合运用，掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解答本题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【小问1详解】 解：， 整理得， 移项得， 因式分解得， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18. 如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 【答案】2， 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 根据中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， ，． 19. 如图，抛物线与直线都经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数和一次函数的解析式求解及不等式解集的确定，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，再结合函数图象的位置关系确定不等式的解集． （1）把点和代入抛物线解析式，通过解方程组求出、的值，从而得到抛物线解析式； （2）结合函数图象，根据抛物线与直线的交点、，直接确定抛物线图象在直线图象下方时的取值范围，即不等式的解集． 【小问1详解】 解：把和分别代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为 【小问2详解】 抛物线和直线都经过和， 由图象得： 当时，抛物线在直线下方， 故不等式的解集为：． 20. 中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元． 【答案】（1） （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式， （1）根据每盒月饼降价元，商场每天就可以多售出盒，列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，根据“每天的销售利润恰好能达到元”列出一元二次方程，解方程即可；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为：； 【小问2详解】 设月饼每盒售价下降元，则月饼每盒售价为元，每天能售出盒， 依题意得：， 解得：，， 当时，（元）； 当时，（元）； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元． 21. 如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ． （1）求的度数： （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，可得是等边三角形，从而得到，即可求解； （2）由旋转的性质可得，根据等边三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y（件） 　　　　 销售玩具获得利润w（元） 　　　　 （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2）50元或80元； （3）8640元. 【解析】 【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具列出关于销售量的代数式，再根据利润销售量每件玩具的利润，列出关于利润的代数式即可； （2）令，求出x的值即可； （3）先根据题意列不等式组求出x的取值范围，然后结合二次函数最值情况，即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：由销售单价每涨1元，就会少售出10件得： 销售量， 则销售利润． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润． 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得：． ， ∵，对称轴， ∴当时，y随x增大而增大． ∴当时，（元）． 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 23. 阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： （1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； （2）解方程：． 【答案】（1）转化 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握利用换元法解一元二次方程的方法是解题的关键. （1）根据换元法解一元二次方程的过程及意义，即可得出结论； （2）设，则原方程可化为，解方程求出值，进而得出的值. 【小问1详解】 解：在原方程得到方程的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化． 【小问2详解】 设，则原方程可化为， 解之得：，， 当 时，无解； 当 时，， 解得：，． ∴原方程的解为或． 24. 已知：二次函数的图象与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标； （3）若点在二次函数图象上，且，试比较与的大小． 【答案】（1） （2）对称轴为直线：；顶点坐标为：； （3）①当时，；②当，且时，；③当，且时，；④当，且时，；⑤当时，． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式，即可求解； （3）由于该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，分五种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线：；顶点坐标为：； 【小问3详解】 解：∵该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上， ∴①当时，； ②当，且时，； ③当，且时，； ④当，且时，； ⑤当时，． 25. 在等腰直角三角形中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． [尝试发现] （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为____________； [类比探究] （2）当点在线段的延长线上时，先在图（2）中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； [联系拓广] （3）若，请直接写出的值为____________ 【答案】（1）； （2）补全图形如图： ， 理由如下： 过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2） 略 （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得， ， ； 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得， ， ， ， 综上，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州2025年秋季学期九年级半期水平检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置上． 2．答选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用HB或2B铅笔在《答题卡》上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共36分． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，是由绕点C顺时针旋转得到的（点A、B的对应点分别为点D、E），点D恰好落在边上，连接，下列四个结论：①；②；③点C到的距离与点C到的距离一定相等；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 9. 如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点、，交边于点D．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 11. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 12. 如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每个小题4分，4个小题共16分） 13. 抛物线的对称轴为直线_____________． 14. 若是方程的一个解，则代数式的值为_____． 15. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确的结论是____________．（填序号） 16. 如图，正方形和正方形，将正方形绕着点旋转，连接，点恰好落在上时，连接交于点．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 19. 如图，抛物线与直线都经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 20. 中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元． 21. 如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ． （1）求的度数： （2）若，求的长． 22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y（件） 　　　　 销售玩具获得利润w（元） 　　　　 （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 23. 阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： （1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； （2）解方程：． 24. 已知：二次函数的图象与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标； （3）若点在二次函数图象上，且，试比较与的大小． 25. 在等腰直角三角形中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． [尝试发现] （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为____________； [类比探究] （2）当点在线段的延长线上时，先在图（2）中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； [联系拓广] （3）若，请直接写出的值为____________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $