精品解析：广西壮族自治区来宾市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季学期期中教学质量调研 九年级数学 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 点在反比例函数的图象上，则 的值为（ ） A. 6 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．直接将点的横纵坐标相乘即可得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 3. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比例性质，可得答案．利用合分比性质是解题关键． 【详解】解： ， 故选：B． 4. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第一、三象限 C. 图象关于原点对称 D. 随 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：∵反比例函数 中， ， ∴ 当 时，，图象经过点 ，故A正确； ∴ 图象分别位于第一、三象限，故B正确； ∴ 图象关于原点对称，故C正确； ∴ 在每个象限内，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：D. 5. 如图，在 中，点 、 分别是 、 上两点，且 ，若，则 的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 利用平行线分线段成比例定理，通过已知线段的长度求出 的长度． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 6. 若一元二次方程的一个根为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴， 即， 解得， 故选： ． 7. 关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，，熟练掌握根的情况与判别式的关系是本题求解的关键． 通过计算判别式 的值，判别式的值为 ，可判断一元二次方程有两个不同的实数根． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，判断出反比例函数图象所在象限及增减性，即可求解； 根据反比例函数 的性质， ，故当 时 ，当 时 ；分别计算三点纵坐标值，再比较大小． 【详解】解：∵ 点 、、 在反比例函数 上， ∴ ；； ∵ ∴ 故选： D． 9. 在平面直角坐标系中,点是线段 上一点,以原点 为位似中心把放大到原来的两倍,则点 的对应点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据位似变换的性质计算即可． 详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍， 则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n）， 故选B． 点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 10. 某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于 的一元二次方程． 【详解】解：设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：， 故选：A． 11. 对于实数 定义运算“”如下：，例如，．则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，熟练掌握完全平方公式和整式的混合运算法则是解题的关键，根据新定义的运算规则，将，代入公式，并简化表达式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 12. 如图，在 中， ，，以点 为圆心，以 的长为半径作弧交 于点 ，连接 ，再分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 ，则下列结论：① ；② 垂直平分线段 ；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质，①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断③的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断④的正确． 【详解】解：由题意得： ， 为 的平分线， ，， ， 为等边三角形， 为 的垂直平分线， ，故①的结论正确； 为等边三角形， ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， 垂直平分线段 ，故②的结论正确； ，， ， ． ， ， ，故③的结论错误； ，， ， ，再加上 ， ， 是等边三角形， ，故④的结论错误， 综上所述，结论正确的有①②， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了含 角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含 角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程化成一般形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的转化方法是解题的关键． 将方程左边展开，再通过移项转化为一元二次方程的一般形式 （ ）． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 故答案为：． 14. 若反比例函数图象在一、三象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】∵反比例函数图象在一、三象限，∴，解得． 15. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____． 【答案】四丈五尺 【解析】 【分析】设出竹竿长度，根据同一时刻物高与影长成正比列出方程，即可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴由相似相似原理可知： 解得x=45（尺）． 故答案为：四丈五尺． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 16. 如图，点 在双曲线上，点 在双曲线上，点 都在 轴上，若四边形 是矩形，且它的面积是 ，则 的值是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形BCOE=|k|，S矩形ADOE=|3|=3，则|k|-3=6，解得即可． 【详解】解：延长BA交y轴于E，如图， ∵S矩形BCOE=|k|，S矩形ADOE=|3|=3， 而矩形ABCD的面积为6， ∴S矩形BCOE-S矩形ADOE=6， 即|k|-3=6， 而k＞0， ∴k=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：． 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或， 解得：． 18. 已知关于 的反比例函数的图象经过点． （1）求 的值和反比例函数的解析式； （2）当时，求 的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数的增减性是解本题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）由当 时，，当 时，，再结合反比例函数的增减性可得答案． 【小问1详解】 解： 关于 的反比例函数的图象经过点， ． ， 解得． 这个反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解： 当 时，． 当 时，． ， 在每一象限内， 随 的增大而减小． 当时， 的取值范围是． 19. 关于 的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求 的取值范围； （2）是否存在 的值，使得成立，若存在求出 的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系列不等式求解即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，将其代入得到，解得，与（1）中矛盾即可得到答案． 【小问1详解】 解： 关于 的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 解得， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：不存在， 理由如下： 关于 的一元二次方程的两个实数根分别为， 由根与系数关系可得， ， ， 即，解得， 由（1）可知，故不符合题意， 因此，当时， 的值不存在． 20. 已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论； （2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长． 【详解】（1）证明：∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD． ∵D是BC边上的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB． ∴△ABC∽△FCD； （2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M． ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD， ∴． ∵S△FCD＝5， ∴S△ABC＝20． 又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10， ∴AM＝4． 又DM＝CM＝CD，DE∥AM， ∴DE：AM＝BD：BM＝， ∴DE＝ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，利用三角形的面积公式求线段的长是解题的关键． 21. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】（1）月平均增长率是 ．（2）每件的售价应降低20元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题与利润问题是解题的关键． （1）已知初始销量，最终销量和增长月份数，设月平均增长率为 ，根据增长率公式建立方程后求解即可； （2）设降价 元，得出每件利润为元，销量为，根据题意列出方程后求解即可． 【详解】解：（1）设月平均增长率是x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：月平均增长率是 ． （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为元， 每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得，解得，． 因为要尽量减少库存，所以． 答：每件的售价应降低20元． 22. 如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点 的直线交 轴于点 ． （1）求 和 的值； （2）求 的面积； （3）点 在 轴上，当 为等腰三角形时，直接写出点 的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点 的坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式，利用函数图象上的点满足函数解析式来求解 和 的值． （2）先求出点 的坐标，得到 的长度，再以 为底，点 的纵坐标为高，利用三角形面积公式求解． （3）设点 的坐标为，分别计算 、 、 的长度，然后分、、三种情况，根据等腰三角形的性质列方程求解． 【小问1详解】 解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 点在直线上， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：对于直线 ，令 ，则， ∴ ， ∴ 点 的坐标为 ，则， ∵ 点 的纵坐标为 ， ∴ ； 【小问3详解】 解：设点 的坐标为， 则，， ， 当时，， 解得， ∴ 点 的坐标为， 当时，， 解得或（舍去，与原点重合）， ∴ 点 的坐标为， 当时，， 解得或 ∴ 点 的坐标为或 综上，点 的坐标为、、、 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握函数图象上点的坐标与函数解析式的关系以及等腰三角形的分类讨论是解题的关键． 23. 【综合与实践】 如图，在 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ，，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点 与点 关于 对称，连接 ，EF， ，如图3．已知 ，，设，求 的长度． 【答案】（1）， ； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到 ，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接 交 于 ，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1）， ； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接 交 于 点 与点 关于 对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过 作于 ， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中教学质量调研 九年级数学 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 点在反比例函数的图象上，则 的值为（ ） A. 6 B. C. D. 1 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第一、三象限 C. 图象关于原点对称 D. 随 的增大而增大 5. 如图，在 中，点 、 分别是 、 上两点，且 ，若，则 的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6. 若一元二次方程的一个根为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 8. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中,点是线段 上一点,以原点 为位似中心把放大到原来的两倍,则点 的对应点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 10. 某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 11. 对于实数 定义运算“”如下：，例如，．则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7 12. 如图，在 中， ，，以点 为圆心，以 的长为半径作弧交 于点 ，连接 ，再分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 ，则下列结论：① ；② 垂直平分线段 ；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程化成一般形式为___________． 14. 若反比例函数图象在一、三象限，则k的取值范围是________． 15. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____． 16. 如图，点 在双曲线上，点 在双曲线上，点 都在 轴上，若四边形是矩形，且它的面积是 ，则 的值是_____． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知关于 的反比例函数的图象经过点． （1）求 的值和反比例函数的解析式； （2）当时，求 的取值范围． 19. 关于 的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求 的取值范围； （2）是否存在 的值，使得成立，若存在求出 的值，若不存在请说明理由． 20. 已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长． 21. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 22. 如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点 的直线交 轴于点 ． （1）求 和的值； （2）求 的面积； （3）点 在 轴上，当 为等腰三角形时，直接写出点 的坐标． 23. 【综合与实践】 如图，在 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ，，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点 关于 对称，连接 ，EF， ，如图3．已知 ，，设，求 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $