专题03 二次函数 8大高频考点（期末真题汇编）九年级数学上学期人教版
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内容正文：
专题03 二次函数
8大高频考点概览
考点01 二次函数的最值
考点02 二次函数图像与各项系数符号
考点03 二次函数图像的平移
考点04 一次函数、二次函数图象综合
考点05 求抛物线的交点坐标
考点06图像法解不等式
考点07 根据图像确定方程根的情况
考点08 二次函数的图像与性质
地 城
考点01
二次函数的最值
一、选择题
1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图象经过点，，且存在最高点．请在下列选项中选出一个的值，使其所对应的函数图象最高点的纵坐标最小．（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意得出与的关系式是解题的关键．由题意可知二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，，故可设，代入得出，即可得到顶点的纵坐标为，根据与的关系式即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，且存在最高点，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，，故、不符合题意，
设
把代入得，，
∴，
∴
∴顶点的纵坐标为，
∵，
∴纵坐标随的增大而减小，
∵，
∴时，纵坐标的值最小，
故选：．
2．（24-25九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，故当时，有最小值，；当时，有最大值，，计算可得．
【详解】解：∵抛物线为，
∴对称轴是直线．
∵对称轴是直线，
∴当时，有最小值3，当时，有最大值21，
，
，
故选：A．
3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）形状与抛物线相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的性质判断即可．
【详解】∵所求抛物线与抛物线的图象形状相同，
∴所求抛物线的二项式的系数为1或，
所求抛物线的图象有最低点，
∴所求抛物线的二次项系数为1，
，A正确，BCD均有抛物线的二次项系数为的式子，BCD错误，
故选：A．
4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点，二次函数最值的计算方法是解题的关键．
根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，二次函数图象开口向上，由此即可求解．
【详解】解：二次函数中，，
∴图形开口向上，顶点坐标为，
∴最小值为，
故选：D ．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·广东惠州·期末）若点、在二次函数的图象上，当时，函数的最大值为9，最小值为，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，当时，取最大值为9；抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，结合当时，函数的最大值为9，最小值为，故，且，进而可以判断得解．
【详解】解：，
当时，取最大值为9，
抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，当时，函数的最大值为9，最小值为，
，且，
，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
(1)当时，求该二次函数的最值．
(2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由．
【答案】(1)最小值为；
(2)小滨的想法正确．理由见解析．
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，当时，，从而根据二次函数的性质求解即可；
（2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，当时，
，
∴当时，y取最小值为；
（2）解：小滨的想法正确．理由如下：
由题意，，
∴当时，y取最小值为．
∵，
∴当时，有最大值0，
∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．
故小滨的想法正确．
7．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线，互相垂直，．当，的长是多少时，四边形面积最大？
【答案】当，时，四边形面积最大
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，设，四边形面积为S，则，进而求出，再求出最值即可．
【详解】解：设，四边形面积为S，则，
，
，
∴抛物线开口向下，
当时，，
即当，时，四边形面积最大．
8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ．
【答案】(1)；
(2)20；800
【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可．
（2）构造二次函数，求最值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为，
故，
根据题意，得，且，
解得，
故，且．
（2）解：∵，
∴，
由，
∴当时，S有最大值，最大值为．
故答案为：20,800．
地 城
考点02
二次函数图像与各系数符号
一、选择题
1．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．
根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，,
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
当，，，故④正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即，故⑤不正确，
正确的有②③④，
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图象可知，，，
∴，
∴，故①正确；
根据抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
根据图象知对称轴为直线，则
∴
∴故③正确；
∵对称轴为直线
∴当和时，函数值相等
根据函数图象可得当时，，
∴当时，
∴即，故④错误；
∴当时，故⑤不正确．
故选：B．
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，
∴．
∴①正确．
∵函数图象开口向上，
∴，
由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x，，
又由①知，,
∴，
∴②正确．
∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即，
∴③正确．
∵，，
∴．
∴．
∴④错误；
∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，
即，
∴⑤正确．
其中正确的有①②③⑤．
故选：A．
4．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表：
…
0
…
…
…
若，则点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限．
【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为．
当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此．
当时，，代入函数得：
由和，
因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限．
故选：C．
5．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数（，，是常数且）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴判断①，开口方向，与轴的交点位置判断②，对称轴结合特殊点判断③，最值判断④．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
∴，
∴，，故①②正确；
由图象可知：当时，，
∴，
∵，
∴；故③正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数值最小为，
当时，，
∴，
∴；故④正确；
故选D．
6．（24-25九年级上·河南许昌·期末）二次函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象与二次函数的系数之间的关系，抛物线的对称轴，特殊点和最值，逐一进行判断即可．
【详解】解：图象开口向上，
．
对称轴为直线，
，，选项B正确；
当时，，
当时，．
．
，选项A正确；
当时，，
当时，．
，选项C错误；
当时，函数取最小值，
，即，选项D正确，
故选C．
二、非选择题
7．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：由所给图像可知，
，，，
所以．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
则．
故②正确．
因为点坐标为，
由得，，
所以点的坐标为，
则，
所以．
因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为，
所以点的坐标为．
由得，
，
所以．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，二次函数有最大值，
即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即．
故④错误．
故答案为：①②③．
地 城
考点03
二次函数的平移
一、选择题
1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象的平移．
根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得平移后的抛物线解析式．
【详解】解：将抛物线向上平移两个单位长度，可得，
再向右平移一个单位长度，可得，
∴平移后的抛物线解析式是．
故选：C．
2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即．
故选：A
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的规律是解题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是，
故选：A．
4．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（ ）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【详解】解：由抛物线向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：，此时抛物线经过原点．
故选：D．
5．（24-25九年级上·广东·期末）把抛物线先向上平移 1个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得抛物线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：抛物线向上平移1个单位，再向左平移1个单位后所得到的抛物线解析式为：
．
故选：A．
二、非选择题
6．（24-25九年级上·上海虹口·期末）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解答本题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是，
故答案为：．
7．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先确定原二次函数的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标．
【详解】解：原二次函数的顶点坐标为．
根据平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为．
所以新抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键；根据“上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为：，即．
故答案为：．
地 城
考点04
一次函数、二次函数图像综合
一、选择题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，
则当时，x的取值范围为或．
故选：B．
2．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．
根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可．
【详解】解：A、由一次函数图象知，二次函数开口向下，此选项错误；
B、当时，，解得
，解得或
∴一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项错误；
C、由一次函数图象知，，则，二次函数的对称轴位于轴左侧，又一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项正确；
D、由一次函数图象知，二次函数开口向上，此选项错误；
故选：C．
二、非选择题
3．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点．
(1)求两个函数的解析式；
(2)在轴上求点，使得的周长最小，并求出周长的最小值；
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入直线，可求得的值；将点、代入抛物线，可解得的值，即可获得答案；
（2）联立直线解析式和抛物线解析式，求解即可确定，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，并确定点坐标以及、的值，即可确定答案；
（3）结合点坐标，由抛物线图像在直线上方部分，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点代入直线，
可得，解得，
∴直线解析式为；
将点、代入抛物线，
可得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）联立直线解析式和抛物线解析式，
可得，解得或，
∴，
如下图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则，，此时的周长最小，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，，
∴此时的周长；
（3）∵，，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、轴对称的性质、勾股定理、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
4．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，已知抛物线和直线相交于点和．
(1)求和的值；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)结合图象直接写出满足的的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等；
（1）将点和代入一次函数解析式，即可求解；
（2）将点、的坐标代入二次函数的解析式，由，即可求解；
（3）根据图象求解即可；
掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线和直线相交于点和，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：∵点和在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
抛物线的对称轴为：直线；
（3）解：由图象得：
当时，．
5．（24-25九年级上·福建·期末）如图，在平面直角坐标中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线上的点．
(1)当的取值范围为___________．时，二次函数值大于一次函数值．
(2)当时，求二次函数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，数形结合分析即可求解；
（2）根据题意得到点的坐标为，求得二次函数图象的顶点坐标为，将代入，得，由此得到最大值，最小值即可求解．
【详解】（1）解：当时，得，
∴点的坐标为，
当时，得，
解得，
∴点的坐标为，
由图象可得，当的取值范围是或时，二次函数值大于一次函数值，
故答案为：或．
（2）解：令，
解得，，
∴点的坐标为，
∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
将代入，得，
∴当时，二次函数的取值范围为．
6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点B，点C为抛物线对称轴上一点，且轴，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，y的取值范围是______；
(3)A、B两点之间的距离为d，当时，求m的值；
(4)已知点P的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用配方法求得函数的最小值，再利用二次函数的性质结合函数的图象解答即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标的特征得到则 ，利用已知条件得到关于的方程，解方程即可得出结论；
（4）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①点在抛物线的对称轴的左侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，利用表示出线段，，再利用相似三角形的判定与性质得到关于的方程，解方程即可得出结论；②点在抛物线的对称轴的右侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，利用①的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：，
∴当时，取得最小值为，
∵当时，，当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：∵点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
，
∵、两点之间的距离为，
，
∴当时，，
当时，，
∴当时，的值为或；
（4）解：∵点的坐标为，
∴点在直线上，
∵点的坐标为，
∴点在直线上，
，
∴点在轴的左侧.
①点在抛物线的对称轴的左侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图，
则，，
∵的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
1，
∵点为抛物线对称轴上一点，轴，
，
∴，
∵直线将的面积分成两部分，
或
或
，
，
或，
或，
解得：或
，
或；
②点在抛物线的对称轴的右侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图，
则，，
∵的坐标为，过点作轴交抛物线于点，
，
，
∵点为抛物线对称轴上一点，轴，
，
，
∵直线将的面积分成两部分，
或，
或，
，
，
或，
或，
或，
，
或；
综上，当直线将的面积分成两部分且时，的值为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
7．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标；
(3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是关键．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可；
（3）连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，求出点，由中点坐标公式得，点，点B、H的坐标得直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，
当时，，解得，
∴点B、C的坐标分别为：，
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）∵，
∴过点O作直线交抛物线于点M，则点M为所求点，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
∴直线的表达式为： ，
则直线m的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，则，
即点或，
当M在上方时，
同理可得直线m的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，此方程无解；
故点或；
（3）由题意可得，
∴点，
连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，
∵，
则点T是的中点，
由（1）知，的表达式为：，
设点，
∵，，
∴
解得
∴,
解得，
∴点，
由中点坐标公式得，点，
由点B、H的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，
则点．
8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)点在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；
（2）设， 根据列出方程，进而求得点坐标；
（3）过点作轴于点，连接，设点的坐标为，根据列方程求出m的值即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴，
，
；
（2）解：，
∴对称轴为直线，
设，
，
，
，
；
（3）解：假设存在，过点作轴于点，连接，如图所示，
设点的坐标为，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，
∴点Q的横坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键．
地 城
考点05
求抛物线交点坐标
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东威海·期末）小丽借助之前学习的画出函数的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数图象，抛物线与坐标轴的交点，绝对值的意义，根据绝对值的意义分三种情况：当时，当时，当时，求出函数图象与坐标轴的交点坐标，即可判断．确定函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
【详解】解：当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，，
此时函数图象与轴的交点为；
∴函数图象与轴有两个交点且关于原点对称，与轴一个交点且在原点上方．
故选：A．
2．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
先求出时，的值，再求出当时，判别式的值，由此即可得出交点个数．
【详解】解：∵，
当时，，即与轴的交点为，有1个，
当时，，
此时
即抛物线与轴无交点，
综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个，
故选：C．
3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可．
【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
时，函数的图象位于轴的下方，
且当时函数图象位于轴的下方，
当时，．
故选：．
4．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案．
【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
5．（24-25九年级上·贵州·期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴可知，再由抛物线对称轴为直线得到，由此即可判断①；求出抛物线与x轴的另一个交点为即可判断②；根据抛物线与直线有两个不同的交点即可判断④，结合函数图象进行分析③即可作答．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵图象过点，且对称轴为直线
∴，
即抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，故②正确；
∵方程的根可以看作是抛物线与直线的交点的横坐标，而由函数图象可知抛物线与直线有两个不同的交点，
∴方程有实数根，故④正确；
无法知道y的最大值，故③不正确；
∴正确的有2个，
故选B．
6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数与一次函数．若函数的图象与轴只有一个公共点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意，得到二次函数和一次函数与轴的交点，可得，然后结合函数的图象与轴仅有一个交点，可得该交点为，也是函数的顶点坐标，再结合对称轴方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数与轴的交点坐标为，
∵一次函数，当时，，
∴一次函数与轴的交点坐标为，
，
当时，，
当时，，
∵函数的图象与轴只有一个公共点，
∴的图象与轴的交点为，
，
化简得：．
故选：B．
7．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据一次函数与二次函数交点求不等式的解集问题，数形结合是解题的关键．从图象上可知在点的右侧和点的左侧时有不等式成立，所以可得不等式的解集为．
【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于，两点，
从图象上可知在点的右侧和点的左侧时有不等式成立，
不等式的解集为．
故选：D．
地 城
考点06
图像法解不等式
一、选择题
1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可．
【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
时，函数的图象位于轴的下方，
且当时函数图象位于轴的下方，
当时，．
故选：．
2．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案．
【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【知识点】图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，
则当时，x的取值范围为或．
故选：B．
二、非选择题
4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】图象法解一元二次不等式、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围．
【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点，
∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即，
根据图象可知，当时，，
故答案为：．
5．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ．
【答案】或/或
【知识点】图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系．
利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解．
【详解】解：∵，
∴化为抛物线在直线上方，
由图可知：
当或时，抛物线在直线上方，即：；
∴不等式的解集是：或；
故答案为：或．
6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
故答案为：．
7．（24-25九年级下·江苏盐城·期末）若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】或/或
【知识点】图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可．
【详解】解：由图象可知，当时，．
故答案为：或．
8．（24-25九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示．
(1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线；
(2)或．
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、图象法解一元二次不等式
【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；
（）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，
观察函数图象知，当时，的取值范围为或．
地 城
考点07
根据图象确定方程根的情况
一、选择题
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由对称轴可得，得到二次函数，顶点坐标为，可得当时，；当时，，进而由方程（为实数）在的范围内有实数解，可得的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即可求解，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴二次函数，顶点坐标为，
当时，；当时，，
∵关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，
∴的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即，
故选：．
2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）老师给出了二次函数的部分对应值如表：
x
…
0
1
3
5
…
y
…
7
0
7
…
同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当 时，；④是方程 的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤
【答案】A
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数对称性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，解答时，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法确定解析式，灵活处理二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据表格，任选三点，确定抛物线的解析式，根据抛物线的解析式，结合题意，逐一判断即可．
【详解】解：∵和是对称点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴结论②错误；
设抛物线的解析式为，
把和分别代入解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，
∴结论①正确；
令，得，
解得，
当时，，
∴结论③正确；
，
，
解得，
∴是方程 的一个根，
∴结论④正确；
∵，是抛物线上从左到右依次分布的两点，
，
∴结论⑤正确；
故选：A．
3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）直线与抛物线在同一平面直角坐标系内，直线与抛物线有两个交点，设两个交点间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）
甲：当时，．
乙：当时，．
丙：符合条件的m的取值范围是．
A．甲、乙、丙三人都对 B．只有甲对
C．只有乙对 D．只有丙对
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先将二次函数解析式化为，再分别求出直线，与抛物线的交点坐标，即可判断甲、乙说法错误；根据抛物线的顶点为，开口向下，即可判断丙说法正确．
【详解】解：∵
，
令，
解得：，，
∴当时，直线与抛物线两个交点坐标为，，
此时两个交点间距离为：，
∵抛物线的开口向下，
∴当越小时，这两个交点间距离越大，
∴当时，，故甲的说法错误；
令，
解得：，，
∴当时，直线与抛物线两个交点坐标为，，
此时两个交点间距离为：，故乙说法错误；
∵抛物线的顶点坐标为，开口向下，
∴当时，直线与抛物线有2个交点，即符合条件的m的取值范围是，故丙说法正确；
综上分析可知，只有丙说法正确，
故选：D．
二、非选择题
4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ．
【答案】，
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可．
【详解】解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线，
∴点也在的图象上．
∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，．
故答案是：，．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ．
【答案】，
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的关键．
先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可解答．
【详解】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴一元二次方程的根为：，．
故答案为：，．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线（为常数）经过三点，与轴的交点在正半轴．下列结论：①；②；③抛物线与直线的一个交点的横坐标为，若，则；④当时，则方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意求出a的取值范围，b的值，结合图形开口，对称轴直线，增减性即可判断①②；先求出直线经过定点，再进行判断③；将方程的解的个数转化为抛物线与直线 的交点的个数，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与轴的交点在正半轴，
∴，即，
解得，，
∴抛物线图象开口向下，
∵抛物线过点，
∴，整理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，，
∵抛物线与x轴的交点为，
∴，
∵，
∴，即，
∵当时，，当时，，抛物线开口向下，抛物线的对称轴直线为，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，故结论②正确；
∵，
∴直线经过定点，
∵抛物线经过点，
∴抛物线与直线的一个交点的横坐标为，即，
∵，
∴抛物线与直线在时有交点，
当时，，，
∴，
∴，
∵，
∴不一定成立，故结论③错误；
∵，
∴，
∴，即抛物线与直线的交点的个数即为方程的解的个数，
∵，
∴抛物线开口向下，，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴方程必有两个不相等的实数根，故结论④正确．
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
7．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．
【答案】，
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围．
【详解】解：由图象可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为：，
∴的解为，，
故答案为：，．
地 城
考点08
二次函数的图像与性质
一、选择题
1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)二次函数的图象如图所示，其对称轴，有以下结论：①，；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系，对称轴的计算方法，图象与x轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键．由抛物线开口向下得到，然后利用抛物线与轴的交点可得到、的符号，可以对①进行判断；利用时，可以对②进行判断；利用判别式的意义和抛物线与轴有2个交点可以对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，可以对④进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，
，，
故①正确；
由函数图象可得，对称轴为,
是的对称点，
根据图象可知当时，，
，
故②错误；
抛物线与轴有2个交点，
，
，
故③正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
即，
，
故④正确；
故选：C．
2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ）
A．小球飞行时飞行高度为 B．小球飞行高度为时，小球飞行的时间是
C．小球飞行的最大高度达到 D．小球从飞出到落地要用
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，自变量、函数值的计算是解题的关键．
根据二次函数图象及解析式，代入计算即可求解．
【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意；
当时，，
解得，或，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴当时，小球飞行的最大高度为，故C选项错误，不符合题意；
当时，，
解得，或，
∴小球从飞出到落地要用，故D选项正确，符合题意；
故选：D ．
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标是 B．开口向上，顶点坐标是
C．开口向下，顶点坐标是 D．开口向下，顶点坐标是
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
二次项系数，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可．
【详解】解：∵对于抛物线，，
∴该抛物线开口向下，顶点坐标为．
故选：D．
二、非选择题
4．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)已知二次函数的图象的最高点为，则 ．
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入求出，然后根据抛物线开口向下得到，求出．
【详解】根据题意可得，
将代代入得，，
解得，
∵抛物线的最高点为，
∴抛物线开口向下，
∴，即，
∴．
故答案为：．
5．(24-25九年级上·重庆市·期末)关于的二次函数，其图像在轴左侧部分，随的增大而增大，且使得关于的分式方程有非负数解的所有整数的值之和 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，分式方程的解，二次函数的性质可确定出的范围再解分式方程可先确定出的取值，从而可确定出的取值，可求得答案．
【详解】解：∵关于的二次函数，其图像在轴左侧部分，随的增大而增大，
∴
解得：
解分式方程
解得：，且，即
∵关于的分式方程有非负数解，且为整数，，
∴，，，，，，
∴所有整数值的和为，
故答案为：．
6．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在抛物线上，且与点不重合．过点作轴的垂线交直线于点．若点位于点的上方，则点的横坐标的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，利用二函数的图象解不等式组等知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．
（2）设点C的坐标为，得到直线解析式为，当时，，即点P的坐标为，由点位于点的上方得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点．
∴，
解得
抛物线的表达式为；．
（2）设点C的坐标为，设直线解析式为，
∴
解得
∴直线解析式为，
当时，，即点P的坐标为
∵点位于点的上方，
∴，
∴或，
解得，即．
故答案为：
7．(24-25九年级上·江西南昌·期末)在平面直角坐标系中，抛物线的图象恰好经过两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)通过计算说明点是否在抛物线上．
【答案】(1)；
(2)在，计算见解析．
【分析】（1）将点坐标代入解析式，求解参数得解析式；
（2）将横坐标值代入解析式，验证函数值是否与纵坐标相等；
【详解】（1）（1）过
∴
∴
∴
（2）当时
∴在抛物线上
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，方程与函数的关系；理解方程和函数的关系是解题的关键．
8．(24-25九年级上·广西南宁·期末)已知：二次函数．
(1)当时，
①求这个二次函数的解析式及其对称轴；
②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值．
【答案】(1)（1）①； ②
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数顶点式的特点，最值的计算方法，对称性是解题的关键．
（1）①把代入得到二次函数解析式，再配方得到顶点式，由此即可求解；②把点点与代入抛物线得到，，根据题意可得，解得，再根据点在该抛物线对称轴两侧的图象上，得到，解得，由不等式解集的取值方法即可求解；
（2）根据二次函数平移的规律可得平移后的二次函数的解析式为，
分类讨论：若，①当时，由对称性可得，当时，y有最大值；②当时，由对称性可得，当时，y有最大值；若，当时，在的范围内y的最大值是，而不是；由二次函数最值的计算即可求解．
【详解】（1）解：①当时，
二次函数的解析式为，
配方可得：，
对称轴是直线；
②点与分别在该抛物线的图象上，
，，
，
，
解得：，
点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，
，
，
．
（2）解：二次函数的解析式为，配方可得：，
将二次函数图象向右平移个单位长度，
平移后的二次函数的解析式为，
若，
①当时，
由对称性可得，当时，y有最大值，
把代入，得，
解得：，，
，
；
②当时，
由对称性可得，当时，y有最大值，
把代入，得，
解得：，，
，
；
若，
当时，在的范围内y的最大值是，而不是，
不符合题意，舍去．
综上，k的值为或．
9．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可；
（3）过点作轴于点，根据得到，可推出，进入即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴或，
∴或
（3）解：存在，点的坐标是．
理由：过点作轴于点，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意），
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点．
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专题03 二次函数
8大高频考点概览
考点01 二次函数的最值
考点02 二次函数图像与各项系数符号
考点03 二次函数图像的平移
考点04 一次函数、二次函数图象综合
考点05 求抛物线的交点坐标
考点06图像法解不等式
考点07 根据图像确定方程根的情况
考点08 二次函数的图像与性质
地 城
考点01
二次函数的最值
一、选择题
1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图象经过点，，且存在最高点．请在下列选项中选出一个的值，使其所对应的函数图象最高点的纵坐标最小．（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（24-25九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．2
3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）形状与抛物线相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是（ ）
A． B．
C． D．或
4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·广东惠州·期末）若点、在二次函数的图象上，当时，函数的最大值为9，最小值为，则m的取值范围是 ．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
(1)当时，求该二次函数的最值．
(2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由．
7．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线，互相垂直，．当，的长是多少时，四边形面积最大？
8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ．
地 城
考点02
二次函数图像与各系数符号
一、选择题
1．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表：
…
0
…
…
…
若，则点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数（，，是常数且）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（24-25九年级上·河南许昌·期末）二次函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、非选择题
7．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ．
地 城
考点03
二次函数的平移
一、选择题
1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（ ）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
5．（24-25九年级上·广东·期末）把抛物线先向上平移 1个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得抛物线为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
6．（24-25九年级上·上海虹口·期末）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
7．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为 ．
地 城
考点04
一次函数、二次函数图像综合
一、选择题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
2．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
3．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点．
(1)求两个函数的解析式；
(2)在轴上求点，使得的周长最小，并求出周长的最小值；
(3)直接写出不等式的解集．
4．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，已知抛物线和直线相交于点和．
(1)求和的值；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)结合图象直接写出满足的的取值范围．
5．（24-25九年级上·福建·期末）如图，在平面直角坐标中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线上的点．
(1)当的取值范围为___________．时，二次函数值大于一次函数值．
(2)当时，求二次函数的取值范围．
6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点B，点C为抛物线对称轴上一点，且轴，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，y的取值范围是______；
(3)A、B两点之间的距离为d，当时，求m的值；
(4)已知点P的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出m的值．
7．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标；
(3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)点在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
地 城
考点05
求抛物线交点坐标
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东威海·期末）小丽借助之前学习的画出函数的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点
3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．或
4．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．（24-25九年级上·贵州·期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数与一次函数．若函数的图象与轴只有一个公共点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
地 城
考点06
图像法解不等式
一、选择题
1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．或
2．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
二、非选择题
4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ．
5．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ．
6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．
7．（24-25九年级下·江苏盐城·期末）若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
8．（24-25九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示．
(1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
地 城
考点07
根据图象确定方程根的情况
一、选择题
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【
2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）老师给出了二次函数的部分对应值如表：
x
…
0
1
3
5
…
y
…
7
0
7
…
同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当 时，；④是方程 的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤
【
3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）直线与抛物线在同一平面直角坐标系内，直线与抛物线有两个交点，设两个交点间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）
甲：当时，．
乙：当时，．
丙：符合条件的m的取值范围是．
A．甲、乙、丙三人都对 B．只有甲对
C．只有乙对 D．只有丙对
二、非选择题
4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线（为常数）经过三点，与轴的交点在正半轴．下列结论：①；②；③抛物线与直线的一个交点的横坐标为，若，则；④当时，则方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
7．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．
地 城
考点08
二次函数的图像与性质
一、选择题
1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)二次函数的图象如图所示，其对称轴，有以下结论：①，；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ）
A．小球飞行时飞行高度为 B．小球飞行高度为时，小球飞行的时间是
C．小球飞行的最大高度达到 D．小球从飞出到落地要用
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标是 B．开口向上，顶点坐标是
C．开口向下，顶点坐标是 D．开口向下，顶点坐标是
二、非选择题
4．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)已知二次函数的图象的最高点为，则 ．
5．(24-25九年级上·重庆市·期末)关于的二次函数，其图像在轴左侧部分，随的增大而增大，且使得关于的分式方程有非负数解的所有整数的值之和 ．
6．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在抛物线上，且与点不重合．过点作轴的垂线交直线于点．若点位于点的上方，则点的横坐标的取值范围是______．
7．(24-25九年级上·江西南昌·期末)在平面直角坐标系中，抛物线的图象恰好经过两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)通过计算说明点是否在抛物线上．
8．(24-25九年级上·广西南宁·期末)已知：二次函数．
(1)当时，
①求这个二次函数的解析式及其对称轴；
②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值．
9．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
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