13.2 勾股定理的应用-课时1 利用勾股定理解决实际问题同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用-课时1 利用勾股定理解决实际问题 基础题型训练 知识点1 最短路径问题 1.如图是一个长方体包装盒，高为 ，底面是正方 形，边长为.现需用绳子装饰，绳子从 处出发， 沿长方体表面绕到 处，则绳子的最短长度是( ) A. B. C. D. 2.如图，一个三棱柱盒子底面的三边长分别为， ， ，盒子的高为，一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒子的 表面爬行一周到盒顶的点 处，蚂蚁要爬行的最短路程是____ . 3.教材P134例1变式［2025吉安期末］一只螳螂在一圆柱形 松树树干的处，发现它的正上方 处有一只虫子，螳螂想 捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线， 绕到虫子后面吃掉它.已知树干横截面的周长为， ， 两点之间的距离为.若螳螂想吃掉在 处的虫子，求 螳螂绕行的最短路程. 知识点2 利用勾股定理解决实际问题 4.新趋势·数学文化［2025扬州期末］我国古 代数学名著《算法统宗》中有一道“荡秋千”的 问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二 步与人齐，五尺人高曾记.仕女家人争蹴，良 工高士素好奇.算出索长有几？”该问题可译为“有一架秋千（如图1），当它静止时，踏板到地面的距离 为1尺，如图2，将它向前水平推送10尺，即尺，踏板到地面的距离 和身高5尺的人一样，秋千的绳索始终处于拉直状态，则绳索长为______尺.” 5.如图1是梦想科技小组在实践课上制作的机器人零件，该零件内有两个由一根连杆连接的小滑块， ，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动.如图2，开始时，滑块到点的距离是，滑块到点 的距离是.当滑块向下滑动至点时，滑块滑动到点，求 的长. 能力提升训练 6.［2025盐城期中］如图，在高为，斜坡长为 的 楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少为( ) A. B. C. D. 7.新情境包装纸箱是我们生活中常见的物品. 如图1，创意 小组的同学将一个 的长方体纸箱裁去 一部分（虚线为裁剪线），得到如图2所示 的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点 出发，沿书架内壁爬行到顶点 ，则它爬行的 最短距离为( ) A. B. C. D. 8.新趋势·数学文化 一题多解［2025咸阳期中］我国古 代有这样一道数学题：枯木一根直立地上，高二丈周三 尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长 几何？题意：如图，把枯木看作一个圆柱体，圆柱的高 为20尺（一丈是十尺），底面周长为3尺，有葛藤自点 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度 是____尺. 9.［2025杭州期中］如图，在一个宽度为的电梯井里，一架 长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端被固定在墙上，这时 处到墙底端的距离为.程师傅为方便修理，将梯子的底端举到对面的 处，求梯子底端到地面的距离 的长. 10.教材P138习题变式 应用意识如图，，是公路（ 为东西走向）同旁的两个村庄,村到公路的距离,村到公路 的距离, . （1）为了方便运输两村的垃圾,现计划在公路边建一个垃圾中转站 ，要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小，请用尺规在图1中作出点 的位置，并求出该最小值； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图2中作出点 的位置.（只保留作图痕迹,不写作法） 参考答案 1.D 【解析】 如图，将长方体右边的表面翻折 展 开，连接 ，根据“两点之间线段最短”可得，点 到点的距离为最短距离，即线段 的长.根据 勾股定理，得， 绳子的最短长度为 . 2.15 【解析】 该三棱柱的侧面展开图如图所示，连接 ， ， ， ． 3.解：如图，把该树干抽象成圆柱，沿直线将它剪开后展开，连接, 则即所求的最短距离. 根据题意，得，. 在中，根据勾股定理，得 ， 螳螂绕行的最短路程是. 4. 【解析】 根据题意，得尺，尺， （尺）.设，则 尺.根据勾股定理，得 ，解得， 绳索 的长为14.5尺. 5.解：在中， ，，， 根据勾股定理得， . 在中， ， 根据勾股定理得， ， . 6.C 【解析】 解题思路：五个台阶的竖直高度是线段 的长，五个台阶的水平距离是线段 的长，结合勾股定理即可求解. 在中， ，故地毯的长度至少为 . 7.A 8.25 9.解：如图，过点作于点， 则，. 在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， ， ， 梯子底端到地面的距离的长为. . . 10.（1）解：如图1，作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 连接,,则点即所求作的点，此时的值最小（“将军饮马” 模型）. 过点作，交的延长线于点， 则, . 在中，由勾股定理, 得,, 两村距离之和的最小值为. . . （2）如图2，连接,作线段的垂直平分线,交直线于点，连接 , ,则， 点即所求. . . 1 学科网（北京）股份有限公司 $