精品解析：新疆哈密市第八中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

哈密市第八中学教育集团2025—2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （卷面分值100分，考试时间100分钟） 一、选择题（共27分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（　　） A B. C. D. 2. 关于一元二次方程根情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C D. 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ） A. ﹣3和5 B. ﹣4和5 C. ﹣4和﹣3 D. ﹣1和5 8. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）    A. B. C. D. 二、填空题（共16分） 10. 若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____． 11. 将一元二次方程变形为的形式为________． 12. 已知一元二次方程的两根为，，则______． 13. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程_______ 14. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 15. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 则它的开口方向________，对称轴为________． 16. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 18. 用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 19. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某款莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是万件，8月份的销售量是万件，求月平均增长率； （2）某实体店该款莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了尽快减少库存，商家决定降价促销，若想要销售该款莲莲玩偶每天获利1050元，则售价应降低多少元？ 20. 如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，求离地面150米处的水平宽度（即的长）． 21. 如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点抛物线交x轴于另一点． （1）求A、B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得的周长最小，并求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈密市第八中学教育集团2025—2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （卷面分值100分，考试时间100分钟） 一、选择题（共27分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．，当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； B．是代数式，不是一元二次方程，故本选项错误； C．符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D．，含有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 通过计算判别式的值来判断一元二次方程根的情况． 【详解】一元二次方程为 ， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．其顶点坐标是，对称轴为直线．根据性质逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标． 故选C． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 5. 已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是，根据时，y随x的增大而增大，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴图像的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵，，， 又∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练的运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 7. 如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ） A. ﹣3和5 B. ﹣4和5 C. ﹣4和﹣3 D. ﹣1和5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=-1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图像解答即可． 【详解】解：∵二次函数y=（x+1）2-4， 对称轴是：直线x=-1 ∵a=1＞0， ∴x＞-1时，y随x的增大而增大，x＜-1时，y随x的增大而减小， 由图像可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值，y=（2+1）2-4=5， x=-1时y有最小值，y＝（-1+1）2﹣4＝-4， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图像得函数的最值是解题的关键． 8. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象及性质，二次函数与不等式． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答． 【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与x轴的另一交点坐标为， ∵由图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 故选：C 9. 如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与图形运动，二次函数的图象性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，分别列出与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积y的表达式，然后结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向下的二次函数， 如图所示： 依题意， 则 ∴ 故， 同理得出是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有A选项符合题意； 故选：A 二、填空题（共16分） 10. 若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 11. 将一元二次方程变形为的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】解： 移项得 ， 配方得 即 故答案为： 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 12. 已知一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 17 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的应用． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，然后利用恒等变形求 ． 【详解】方程 ，有 ，． 则 ． 故答案为：17． 13. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且 解得且 故答案为：且 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 则它的开口方向________，对称轴为________． 【答案】 ①. 向下 ②. 直线##直线 【解析】 【分析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴；然后根据抛物线左右两边函数的增减性判断出抛物线的开口方向． 【详解】解：由抛物线过(2,6)、(3,6)两点知： 抛物线的对称轴为x=2.5； 在对称轴左侧，y随x增大而增大，故抛物线的开口方向向下． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，求出对称轴是解题关键． 16. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】-1或2或1 【解析】 【分析】分该函数一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解； （2）根据公式法可进行求解； （3）根据因式分解法可进行求解； （4）根据配方法可进行求解． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解： 或 ∴，； 【小问4详解】 解： ∴，． 18. 用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为30米，宽为25米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽； （2）不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：鸡场的长为30米，宽为25米； 【小问2详解】 解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 19. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某款莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是万件，8月份的销售量是万件，求月平均增长率； （2）某实体店该款莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了尽快减少库存，商家决定降价促销，若想要销售该款莲莲玩偶每天获利1050元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低25元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴售价应降低25元． 20. 如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，求离地面150米处的水平宽度（即的长）． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出内侧抛物线的解析式为，将代入求出，然后求出即可． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，， 设内侧抛物线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）． 21. 如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点． （1）求A、B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得的周长最小，并求出最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是熟练运用函数性质、待定系数法及轴对称求最短路径． （1）分别令直线方程中和，求出、坐标． （2）设抛物线交点式，代入点坐标求出解析式． （3）利用轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为，此时周长最小，通过计算线段长度求和得到最小值． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，得到；令，得到， 则，； 【小问2详解】 由，，设抛物线解析式为， 把代入得：，即， 则抛物线解析式为； 抛物线解析式为 【小问3详解】 连接，与抛物线对称轴交于点，连接， 由对称性得，此时周长最小， 由抛物线解析式，得到对称轴为直线， 设直线解析式为， 将，代入得：， 解得：，，即直线解析式为， 联立得：， 解得：， 即， 根据两点间的距离公式得： ，， 则， 周长为． 周长最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $