专题13 二次函数实际应用分类汇编（九大题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题13二次函数实际应用分类汇编 【题型01 ：投球问题】.......................................................1 【题型02 ：喷泉问题】.......................................................11 【题型03 ：拱桥问题】.......................................................24 【题型04：面积问题】.........................................................36 【题型05：每每问题】........................................................42 【题型06：利润问题】........................................................50 【题型07：分段函数】........................................................54 【题型08：其他问题】........................................................55 【题型09：图形运动问题】.....................................................66 【题型01 ：投球问题】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，结合一枚炮弹从发射到落地，即把代入，进行计算，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为 ∴一枚炮弹从发射到落地，即 ∴， 则， 解得（舍去）， ∴一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为80秒， 故选：C 2．（24-25九年级下·天津·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 【答案】D 【分析】求出当时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 ∴当时，， 整理得 ， 解得， ∴当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为，选项A的说法是正确，不符合题意； ， 则抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B的说法是正确，不符合题意； ， 解得，，， 则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C的说法是正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数刻画， ∴当时，， ∴斜坡的坡度为，选项D的说法是不正确，符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图象与性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线得， ∵， ∴当时，烟花可以达到的最大高度是米， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ． 【答案】7 【分析】本题考查二次函数的应用，令，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，令，则， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即此时羽毛球飞行到与点的水平距离是， 故答案为：7． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某学校科技小组的同学制作了简易“投石机”，通过实验，收集了石块相对于出发点的飞行水平距离（单位：），飞行高度（单位：）随飞行时间（单 位：s）变化的数据，如下表： 飞行时间 0 1 2 4 ... 飞行水平距离 0 10 20 40 ... 飞行高度 2 8 10 2 ... (1)科技小组发现与与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)已知投石机停在水平线的处． ①将投石机原地抬高，再投出石块，求石块落地点距点的水平距离； ②如图2，矩形处是一堵高，厚度的道具城墙，若石块从点投出能够在达到最高点后越过道具城墙，则投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是___________． 【答案】(1)； (2)①落地点距点的水平距离是；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． （1）根据题意设出表达式，然后利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意得到新表达式为，然后当时求出，然后代入求解即可； ②首先得到，求出顶点坐标为，将代入；然后将代入求出，然后代入，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，与是正比例函数关系，与是二次函数关系 ∴设， 将代入得， ∴； 设 将，，代入得， 解得 ∴； （2）①∵将投石机原地抬高 ∴ ∴当时， 解得或（舍去） ∴ ∴石块落地点距点的水平距离是； ② ∴顶点坐标为 ∴将代入； 将代入得， 解得（舍去）或 将代入 ∵道具城墙厚度 ∴ ∴投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是． 6．（24-25九年级上·河南信阳·期末）某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)该同学抛出的弹珠不能投入箱子 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，，即可求解； （2）根据题意求出点，，，再由当时， 可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线过点， 将把点，代入得 解得 ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， 即点． ∵，， ∴． ∴点，，． 当时，， ∵， ∴该同学抛出的弹珠不能投入箱子． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运动高度与运行的水平距离． (1)若，时， ①求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离； (2)若在距地面处将球击打出去，让球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②它的落点离边界的距离为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键． （1）①利用待定系数即可解答； ②令二次函数解析式函数值，求出x的值，即可得出结论； （2）根据球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），列出不等式组即可求出结论． 【详解】（1）解：①当，时， 由题意可知：点A的坐标为， 设与的关系式为：，且顶点坐标为， 将点和代入解析式中，得， 解得：， ∴与的关系式为； ②令， 整理得：， 解得：（舍去）， 则， 答：它的落点离边界的距离为； （2）解：根据题意：在抛物线的图象上， ∴， 解得：，即， 若球一定能越过球网，则当时， ； ∴， 解得：； 若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合， 即当时，； ∴， 解得； 综上，若球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），h的取值范围为． 8．（24-25九年级上·广西防城港·期末）综合与实践 【知识背景】如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标． 根据平抛运动的原理可知x，y与时间t的关系如下． 【方案设计】用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为．观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30 【完成任务】 (1)求v和g的值； (2)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体无盖纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可； （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 【详解】（1）解： ，将代入中， 解得， ，将代入， 解得， ，； （2）解：，， ，， ， ∴， 小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为． （3）解：桌面高度为，正方体无盖纸箱高度为，小球要落入纸箱， 则小球要在时进入纸箱． 将代入中， 解得，（不合题意，舍去）． 正方体纸箱高度为，则它的长与宽也是， 纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为． 纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围为． 【题型02 ：喷泉问题】 1．（2023·山东·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 2．（2025·陕西西安·二模）综合实践 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为； 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为：；任务二：水流不能流到圆柱形水杯内． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一：根据题意抛物线的对称轴为：，则，，运用待定系数法即可求解：圆柱形水杯最左端到点的距离是，则当时，，由此比较即可求解． 任务二： 【详解】解：任务一： 轴，，点为水流抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为：， ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：， 解得：， ， 水流抛物线的函数表达式为：； 任务二： 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流不能流到圆柱形水杯内． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为． (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？ 【答案】(1)m (2)m 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并灵活应用二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，求得值即为水管的高度； （2）假设上升的高度为，将坐标代入解析式中，求出未知数即可． 【详解】（1）解：抛物线为， 令，则，， 喷水管的高度为m； （2）解：设喷水管的高度要升高m， 则抛物线的表达式为． 把代入得：． 解得：． 喷水管的高度要升高m． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 5．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点B的坐标为 (3) 【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； 设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数分析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 喷出水的最大射程为． （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，舍去， ， 把代入，得： 解得：，舍去， 点B的坐标为． （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，不合题意，舍去， ， ， 的取值范围是 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)米 【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解； （3）根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可． 【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， 以O为原点建立平面直角坐标系， ∴点， 设抛物线解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ，即， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， ，解得， ， ， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上． 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，消防员在一个废弃高楼距地面的点和的点处，发现了两个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式： (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数顶点坐标且函数过，可设抛物线解析式为    ，用待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， ∴可设抛物线的解析式为 ． 将点代入， ∴． ∴． ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为． （2）解：不能．理由如下： 由题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到的， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式． 令， ∴． ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过， ∴水流不能到达处． 8．（24-25九年级上·山东日照·期中）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【答案】(1) (2)水漂能不能飞过8米宽的河面 【分析】本题考查了二次函数的应用；利用顶点式得到所求抛物线解析式是解决本题的突破点；得到水漂第二次飞越时的函数解析式是解决本题的难点． （1）设水漂第一次飞越时的函数解析式为，由经过点，求出，再设水漂第二次飞越时的函数解析式为，求解即可得相应抛物线； （2）由飞越距离，可得 ，从而求出，再求出总共飞越距离为，最后再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，水漂第一次飞越时，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起． 设水漂第一次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得， 水漂第一次飞越时的函数解析式为 水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． 设水漂第二次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得或（舍去）， 水漂第二次飞越时的函数解析式为； （2）解：飞越两次，飞越距离， ， ， 总共飞越距离为， ， 水漂能不能飞过8米宽的河面． 【题型03 ：拱桥问题】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是． (1)求此时水面的最大高度； (2)若水面上升，则水面宽度将增加多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及解一元二次工程，解答本题的关键是熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）依据题意，由，可得点的横坐标是，从而点的纵坐标是，故，即可得解； （2）依据题意，由水面上升后，水面高度变为，由，故当时，，求出后即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， 水面的最大高度是； （2）解：水面上升后，水面高度变为， ， 当时，， 解得：， 此时的水面宽度是， 水面的宽度将增加． 3．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，拱顶到水面的距离为． (1)请求出抛物线的表达式； (2)一艘轮船（横截面可看成矩形）装满货物后的宽度为，高为，为保证通航安全，船顶离拱桥至少要留的距离，试判断正常水位时货船能安全通过拱矫吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， 正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）由题意可得，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设此抛物线解析式为，而，拱顶到水面的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴此抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∵， ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了1.5米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.2米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【答案】(1)平面直角坐标系见解析， (2)米 (3)米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了1.5米时，则，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， ，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升1.5米后的水面宽度为米； （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，    ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 5．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 6．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，明湖公园的石拱桥的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，拱桥最高点到水面的距离为．以水面所在的直线为轴，线段的中点为原点，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)公园里有一种游船高，宽，它能通过该拱桥吗？ (3)如果该拱桥下设双行道，为了安全起见，在双行道正中间设有宽的警示浮标，则这种游船还能通过拱桥吗？ 【答案】(1) (2)游船能通过该拱桥 (3)游船不能通过拱桥 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）首先写出、、三点坐标，之后设出二次函数的顶点式，将点带入计算即可得到答案； （2）将代入二次函数的解析式中得到的值并且与比大小即可得到答案； （3）当时，（1）中抛物线对应的值就是轮船可通过的最大高度，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点，，． 设抛物线的解析式为， 将，代入上式得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：能，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，． 因为，所以游轮能通过隧道． （3）不能，理由如下： 当拱桥下设双行道时，游轮只能从轴的左侧或右侧通过， 由于拱桥正中设有的警示浮标，故轴的左右两侧各有m的警示浮标，游轮的宽为， 当时，． 因为，所以游轮不能通过拱桥． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 8．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】(1)抛物线花边的函数表达式为： (2)一排中最多可摆放的花边个数为个 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数与轴的交点的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，将抛物线向上平移个单位，计算次数抛物线与轴的交点，两交点之间的距离，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 设“抛物线型”花边的解析式为， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线花边的函数表达式为：； （2）解：如图所示， 已知， ∴， ∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位， ∴， 令时，， 解得，， ∴， ∴， ∴一排中最多可摆放的花边个数为个． 【题型04：面积问题】 1．（24-25九年级上·新疆·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． 【答案】(1)x的值为9； (2)当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）依据题意，结合（1）可得，苗圃园的面积，又，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； （2）解：由题意，结合（1）可得，苗圃园的面积 墙长为 ． ． 又， 当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? (2)在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2) ； 时， S的最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键． （1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可； （2）①利用正方形的判定方法得出邻边关系进而得出答案； ②由根据二次函数的最值即可求． 【详解】（1）解：， ∴， ， 设正方形的边长为， ， ， 答：这个正方形的边长是； （2）解：①在矩形中，设，， 由（1）可得：， ∴ ； ②由题意得， ∴ ∴时，的最大值是． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． (1)若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ (2)当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】(1)5米 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， 对于（1），解：设，则，根据面积相等列出方程，求出解，再根据题意可得符合题意的解； 对于（2），设，则，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论二次函数的最大值即可. 【详解】（1）解：设，则，根据题意，得 ， 整理，得， 解得. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 所以围栏段的长为5米； （2）解：设，则，种植园的面积为S， 根据题意，得，且， 即. ∵，可知抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，（）. 所以当时，种植园的最大面积是， . 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．    (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． (2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出方程求解即可； （2）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据可得可得与的函数关系式为 ，化为顶点式进行分析即可． 【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则 即 解得：(不合题意，舍去)，， 答：剪去的正方形的边长为； （2）解：有侧面积更大的情况， 设正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系式为， 即， ， 当时， 最大为， 即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为． 5．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）综合与实践：制作一个长方体礼盒． 素材：一张矩形卡纸（长为， 宽为，如图①）． 【实验操作】操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形； 操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽略不计）． 【问题解决】设剪去的小正方形边长为 ． (1)长方体礼盒底面长为 cm，宽为 cm（用含有x的式子表示）； (2)若礼盒的底面积为， 求x的值； (3)是否存在x，使礼盒的侧面积最大?若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在x，使礼盒的侧面积最大，此时，理由见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握利用二次函数的性质求面积的最大值是解题的关键． （1）根据题意列代数式表示即可； （2）根据题意列一元二次方程并解方程即可解决； （3）设礼盒的侧面积为，列出表达式并根据二次函数性质得出最值即可解决． 【详解】（1）解：由题意得：长方体礼盒底面长， 宽； （2）解：礼盒的底面积为， ， 解得：（不合题意舍去）， （3）解：存在x，使礼盒的侧面积最大，理由如下 设礼盒的侧面积为， 由题意得： ， ， 解得：， ， 当时，最大为， 即存在x，使礼盒的侧面积最大，此时． 【题型05：每每问题】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业收入最大的房价． 【详解】解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元． 此时房价为元，日均入住数为间． 日营业收入，展开并整理： 对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值． 对称轴为． 当时，房价为元，且150元在元范围内． 综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大， 故答案为：150． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 【答案】(1)30 (2)每件衬衫降价20元，利润最大是2500元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确的列方程和二次函数是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列方程求解，为了尽快减少库存，降价要取较大值； （2）设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，根据题意可得，再化为顶点式，根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得， 解得， 尽快减少库存， ， 答：每件衬衫应降价30元； （2）解：设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y， 由题意得 ， ， 当时，y有最大值，y最大， 答：每件衬衫降价20元，利润最大是2500元． 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． (1)求A、两种商品每件售价各多少元； (2)商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种商品每件售价元，种商品每件售价元 (2)种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式． （1）设种商品每件售价元，根据“用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍“列方程并检验，即可得到答案； （2）根据题意得，由二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元， 用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 种商品每件售价元，种商品每件售价元； （2）解：根据题意得： ， ， 当时，取最大值，最大值为元， 种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 (2)；W的最大值为4500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：______ (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元 【分析】本题考查了二次函数的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据单价每降低10元，每天可多售出4辆可得第一空答案；根据总利润单个利润总数量可得第二空答案； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵单价每降低10元，每天可多售出4辆， ∴若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出辆轮椅； 根据题意，可得： 每辆轮椅的利润不低于180元， ， ， ∴； （2）解： ， ， 在时，随的增大而增大， 当时，每天的销售利润最大，最大利润为：（元）． 答：当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． (1)直接写出y关于x之间的函数关系式； (2)若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； (3)若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 【答案】(1)y关于x之间的函数关系式为 (2)该纪念品的销售单价为22 (3)a的值为4 【分析】本题考查的是一次函数，二次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）由600减去减小的数量，再列函数关系式即可； （2）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立方程求解即可； （3）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立二次函数解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）解：由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为22元． （3）解：由题意可得：， 整理得：， 对称轴为直线：， ∵， ∴当，函数取得最大值， 最大值为：， 解得：； 7．（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】当每间房间的定价为元时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为元 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立二次函数关系式．根据“每天的营业额每间房间的定价房间数”建立二次函数关系式，再结合二次函数性质求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， 整理得， 有， 化为顶点式为， ， 当时，每天的营业额最大，最大营业额为元． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； (2)房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】(1)48 (2)350元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意列式计算即可得到答案； （2）设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意得：（个， 故答案为：48； （2）解：设每个房间定价增加元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， （元， 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值． 9．（24-25九年级上·四川眉山·期末）眉山市为全面落实《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》采取了系列措施．随着汽车换购补贴政策的实施，某汽车店统计了某品牌汽车在补贴政策实施后前几个月的换购销量．已知该品牌汽车在补贴政策实施第1个月换购销量为50辆，第3个月换购销量达到72辆，且每月换购销量的增长率相同． (1)求该品牌汽车换购销量的月平均增长率； (2)该品牌汽车进价为8万元/辆，在补贴政策下，售价为10万元/辆时，月销售量为120辆．由于补贴政策调整，若售价每提高1万元，月销售量将减少10辆．求该店销售此品牌汽车的售价为多少时月利润最大，最大利润为多少． 【答案】(1)该品牌汽车换购销量的月平均增长率为 (2)此品牌汽车的售价为万元时，月利润最大为万元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设该品牌汽车换购销量的月平均增长率为，根据第1个月换购销量为50辆，第3个月换购销量达到72辆，列出方程进行求解即可； （2）设此品牌汽车的售价为万元，月利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数进行求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌汽车换购销量的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 答：该品牌汽车换购销量的月平均增长率为； （2）设此品牌汽车的售价为万元时，月利润最大，由题意，得： ， ∴当时，月利润最大，为：（万元）； 答：此品牌汽车的售价为万元时，月利润最大为万元． 【题型06：利润问题】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 【答案】(1) (2) (3)能实现 【分析】本题考查了二次函数的应用，求一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）根据总利润等于单个利润乘上销售量进行列式，即可作答． （3）先化为顶点式，再结合二次函数的图象性质进行作答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式为． （3）解：由（2）知， ∵， ∴w有最大值， ∵， ∴当时，该商店销售这种毛绒玩具获利最大为元，此时销售量y最小，即投入总成本最少． 答：能实现投入总成本最少且获利最大． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件 (2)； (3)，A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， （1）根据题意设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类腊肠降价x元与每天的销售量y件，得到A类腊肠的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类腊肠的售价（元）． 答：A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件； （2）解：由题意得 ∵A类腊肠进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：； （3）解： ． ∴当时，w有最大值640． 答：A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元． 3．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品的销售价应定为130元或150元 (3)销售价定为140元，最大利润为1600元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）由图象可知，与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）设每件商品的销售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）根据题意列出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知，与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 代入和，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式； （2）解：设每件商品的销售价应定为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， 答：每件商品的销售价应定为130元或150元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，有最大值，最大值为1600， 答：将销售价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元． 【题型07：分段函数】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，第70天的日利润最大，最大日利润是6400元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，结合二次函数以及一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ①当时，设x与t之间的函数关系式为． 由图象可得，函数图象经过， 所以， 解得， 所以． ②当时，． 综上所述，x与t之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ①当时，． ， ∴当时，w最大，； ②当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w最大，． 综上所述，w与t之间的函数关系式为 因为，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元． 【题型08：其他问题】 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，由，当时，求出最大，即汽车刹车后行驶的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由， ∴汽车刹车后行驶的距离为，当时，， 故答案为：． 3（22-23九年级上·广东广州·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 【答案】8 【分析】首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间为，前行的距离为米，再求出当时，汽车前行的距离，据此即可求得． 【详解】解：， ， 当时，前行的距离最大，最大距离为米， 当时，， 汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离为：(米)， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离是解决本题的关键． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距； (3)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 【答案】(1)①成绩不达标，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①首先得到，求出，然后将代入求解比较即可； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F，设，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先求出，然后根据题意得到运动员落在线段上，然后列出不等式就即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵点P与水平距离为， 将代入， ∴， 将代入， ∵， ∴成绩不达标； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F， 设，则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值22.5， ∴运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值为； （2）解：∵着陆坡的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上， ∴运动员落在线段上， ∴当时，， 解得； ∴当时，， 解得； 综上所述，． 6.（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)此时水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； （2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 8．（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 【题型09：图形运动问题】 1．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)当时随的增大而增大 (3)当时，自变量的取值范围 【分析】（1）当时，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时， ∵， ； 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，与的函数解析式为； 函数图象如图所示； （2）解：当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 4．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为 ． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形， (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角的性质可得，，从而得到，再由，可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得； （2）根据题意可得，再证得是等腰直角三角形形，可得．从而得到，即可求解； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴，, ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，（负值已舍去） 故答案为∶ 等腰直角三角形，， （2）解：如图2，当点落在边上时，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 即当点落在边上时，． （3）解：∵∵，， ∴，， ∴， ∵动点从点出发以的速度沿折线向终点运动． ∴动点到达时间为，到底到达时间为 ①当时，如图，点P在上，正方形在内部， 正方形与重叠部分图形的面积是正方形， 由（1）得：， ， ②当时，如图3-2，点P在上，正方形的顶点N在外，重叠部分是多边形， 同理（2）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴正方形与重叠部分图形（即多边形）的面积：， ③当时，如图3-3，点P在上，正方形的顶点N在外，同理可得、、是等腰直角三角形， 正方形与重叠部分图形（即等腰直角）的面积 ∴，即点与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查了函数解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 5.（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 【答案】(1)， (2)或时，的面积为 (3)时， 【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键． 利用两点运动的速度表示出的长； 表示出的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案； 利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13二次函数实际应用分类汇编 【题型01 ：投球问题】.......................................................1 【题型02 ：喷泉问题】.......................................................5 【题型03 ：拱桥问题】.......................................................10 【题型04：面积问题】.........................................................16 【题型05：每每问题】........................................................18 【题型06：利润问题】........................................................22 【题型07：分段函数】........................................................23 【题型08：其他问题】........................................................24 【题型09：图形运动问题】....................................................27 【题型01 ：投球问题】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 2．（24-25九年级下·天津·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某学校科技小组的同学制作了简易“投石机”，通过实验，收集了石块相对于出发点的飞行水平距离（单位：），飞行高度（单位：）随飞行时间（单 位：s）变化的数据，如下表： 飞行时间 0 1 2 4 ... 飞行水平距离 0 10 20 40 ... 飞行高度 2 8 10 2 ... (1)科技小组发现与与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)已知投石机停在水平线的处． ①将投石机原地抬高，再投出石块，求石块落地点距点的水平距离； ②如图2，矩形处是一堵高，厚度的道具城墙，若石块从点投出能够在达到最高点后越过道具城墙，则投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是___________． 6．（24-25九年级上·河南信阳·期末）某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运动高度与运行的水平距离． (1)若，时， ①求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离； (2)若在距地面处将球击打出去，让球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 8．（24-25九年级上·广西防城港·期末）综合与实践 【知识背景】如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标． 根据平抛运动的原理可知x，y与时间t的关系如下． 【方案设计】用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为．观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30 【完成任务】 (1)求v和g的值； (2)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体无盖纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围． 【题型02 ：喷泉问题】 1．（2023·山东·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 2．（2025·陕西西安·二模）综合实践 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为； 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为． (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？ 4．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 5．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，消防员在一个废弃高楼距地面的点和的点处，发现了两个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式： (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 8．（24-25九年级上·山东日照·期中）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【题型03 ：拱桥问题】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 2．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是． (1)求此时水面的最大高度； (2)若水面上升，则水面宽度将增加多少米？ 3．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，拱顶到水面的距离为． (1)请求出抛物线的表达式； (2)一艘轮船（横截面可看成矩形）装满货物后的宽度为，高为，为保证通航安全，船顶离拱桥至少要留的距离，试判断正常水位时货船能安全通过拱矫吗？请说明理由． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了1.5米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.2米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 5．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 6．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，明湖公园的石拱桥的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，拱桥最高点到水面的距离为．以水面所在的直线为轴，线段的中点为原点，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)公园里有一种游船高，宽，它能通过该拱桥吗？ (3)如果该拱桥下设双行道，为了安全起见，在双行道正中间设有宽的警示浮标，则这种游船还能通过拱桥吗？ 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 8．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 【题型04：面积问题】 1．（24-25九年级上·新疆·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? (2)在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． (1)若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ (2)当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．    (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． (2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 5．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）综合与实践：制作一个长方体礼盒． 素材：一张矩形卡纸（长为， 宽为，如图①）． 【实验操作】操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形； 操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽略不计）． 【问题解决】设剪去的小正方形边长为 ． (1)长方体礼盒底面长为 cm，宽为 cm（用含有x的式子表示）； (2)若礼盒的底面积为， 求x的值； (3)是否存在x，使礼盒的侧面积最大?若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【题型05：每每问题】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． (1)求A、两种商品每件售价各多少元； (2)商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：______ (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． (1)直接写出y关于x之间的函数关系式； (2)若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； (3)若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 7．（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 8．（24-25九年级上·江苏南京·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； (2)房价定为多少时，宾馆利润最大？ 9．（24-25九年级上·四川眉山·期末）眉山市为全面落实《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》采取了系列措施．随着汽车换购补贴政策的实施，某汽车店统计了某品牌汽车在补贴政策实施后前几个月的换购销量．已知该品牌汽车在补贴政策实施第1个月换购销量为50辆，第3个月换购销量达到72辆，且每月换购销量的增长率相同． (1)求该品牌汽车换购销量的月平均增长率； (2)该品牌汽车进价为8万元/辆，在补贴政策下，售价为10万元/辆时，月销售量为120辆．由于补贴政策调整，若售价每提高1万元，月销售量将减少10辆．求该店销售此品牌汽车的售价为多少时月利润最大，最大利润为多少． 【题型06：利润问题】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 3．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【题型07：分段函数】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【题型08：其他问题】 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 3（22-23九年级上·广东广州·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 6.（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 8．（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【题型09：图形运动问题】 1．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 4．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为 ． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 5.（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $