培优04 二次函数的图象与性质重难6大题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

培优04 二次函数的图象与性质重难6大题型 题型1利用函数的性质求二次函数解析式 求二次函数解析式时，先根据已知条件选合适的表达式形式： 已知顶点或对称轴、最值，用顶点式（为顶点），代入另一点求； 已知三点坐标，用一般式，代入三点列方程组求解； 已知与轴的两个交点，用交点式，代入另一点求； 若已知图象过原点，可设简化计算。 求出解析式后，可结合函数性质（如对称轴、增减性）或图象特征（与坐标轴交点）验证是否正确。 1．下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵点和关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴， ∴化简为． 根据表中的信息得，当时，，抛物线经过点 得：， ， ∴，， ∴ ∵， ∴二次函数开口向上 当时， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， ∵直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 2．平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 3．若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：在抛物线中，顶点坐标为，对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 设以点为顶点的二次函数的表达式为， 将，代入，得， 解得，， ∴以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为． 故答案为：． 4．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，利用描点法画出该函数图象（列表） x … … y … … (2)当时，函数y的取值范围为_____； (3)将二次函数沿着y轴翻折所得的函数表达式为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵ 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画图如下： （2）解：由图象可得，当时，函数y的取值范围为； （3）解：∵ ∴二次函数顶点坐标为 ∴沿着y轴翻折所得的二次函数的顶点坐标为 ∵翻折不改变形状和开口方向 ∴沿着y轴翻折所得的二次函数的二次项系数为 ∴沿着y轴翻折所得的函数表达式为． 5．已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：抛物线的顶点与抛物线的顶点相同， ，， ， 对于，当时， ， 将代入，得：， 解得， 这条抛物线的函数解析式为； （2）解：把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式为： ， 即． 6．已知二次函数，经过点，且经过二次函数顶点． (1)求与的关系； (2)若二次函数的对称轴是直线，求二次函数的解析式； (3)若抛物线的开口方向向上，且经过点，，设对称轴为直线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， ∴ 其顶点为， 将点 和代入得， ， 则，即， ∴与的关系为； （2）解：∵ 对称轴是直线， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， 解得， ， ∴ 二次函数的解析式为； （3）解：由（1）知， ∴， ∴， 解得， 又 ∵ 抛物线的开口方向向上， ∴， ∴， 则， ∴， ∴． 故的取值范围为． 题型2函数值的大小比较 7．已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线 ∴假设，， ∴抛物线， ∴将，，代入得，，，， ∴． 证明：∵ ()一定过原点，其开口向上，且， ∴，，即， 又， ∴， ∵， ∴，即； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 综上，． 故选：B． 8．若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵点、、为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 9．若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 故选：A． 10．点，在二次函数（，为常数）图象上，若，且，则（　　） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】B 【分析】 【详解】二次函数的对称轴为，开口向下， i， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴，即点离对称轴更远， 由于抛物线开口向下，离对称轴越远的点函数值越小， 因此． 答案：B． 11．若，是抛物线上两点，若，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵，是抛物线上两点， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知与是抛物线上的两点，且．若，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：抛物线的对称轴为， 因为， 所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值， 由已知，可知点A比点B离对称轴更近， 因此． 故答案为：． 题型3二次函数的最值问题（分类讨论） 解二次函数最值的分类讨论题，先确定函数开口方向（由二次项系数的正负判断，开口向上有最小值，开口向下有最大值）和对称轴；再根据自变量的取值范围分类：若对称轴在取值范围内，最值在顶点处；若对称轴在取值范围左侧，最值在区间右端点处；若对称轴在取值范围右侧，最值在区间左端点处。计算时需代入对应值求函数值，最后结合分类情况总结结果。 13．在一个电子游戏中，玩家操控角色在一段长度为1个单位的水平路径上移动，路径起点坐标为m，终点坐标为．游戏场景中存在一个能量函数，角色在路径上不同位置x对应的能量值由该函数计算．当角色在路径上移动时，其能量的最大值为2，那么m满足的条件为（   ） A． B．或3或 C．或 D．或3 【答案】B 【详解】解：当时，， ∴该函数图象开口向上，对称轴为，函数最小值为， 当x远离时，y的值增大， 当时，，解得或， ∵路径的长度为1个单位，起点坐标为m，终点坐标为， ∴要使路径上的函数最大值为2，则或， ∴或． 当时，， ∴该函数图象开口向上，对称轴为，函数最小值为， 当x远离时，y的值增大， 当时，，解得或， ∵路径的长度为1个单位，起点坐标为m，终点坐标为， ∴要使路径上的函数最大值为2，则或， ∴或． 综上所述，m满足的条件为或3或． 故选：B． 14．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得； ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得：； 综上所述，或， 即m的值可能是2． 故选：C． 15．已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， 当顶点在范围内时，， ∵， ∴与对称轴的距离，即， ∴， 最大值与最小值的差， 即当顶点在范围内时最大值与最小值的差不可能为3， 当顶点不在范围内时， 当即时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 当时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 综上所述，或． 故选：A． 16．如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为 ． 【答案】或2 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当即时， 则时，随的增大而增大，的最大值是3， 当时，． ． 或（舍去）． 当时，即， 的最大值是4，不符合题意， 当时， 则时，随的增大而减小，的最大值是3， 当时，． ． （舍去）或． 综上所述，故的值为或2． 故答案为：或2． 17．若二次函数满足当时有最大值3，最小值2，则实数的取值范围为 ；若二次函数满足当时有最小值为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点为，开口向上，最小值为． 当时，． 当时有最小值为，最大值为， ∴必须在范围内， 即． 同时，为保证最大值为，需满足， ∴， 又， ∴． 故的取值范围为． 对于二次函数， 顶点为，开口向上． 当时有最小值为． 分情况讨论： 若，函数在范围内y随x的增大而增大， 最小值在处，，不满足； 若，最小值在处，， 解得：， 但，， 均不在范围内，不满足； 若，函数在范围内y随x的增大而减小， 最小值在处，， 解得：，且，满足条件． 故实数的值为， 故答案为：，． 18．已知函数是实数． (1)当时，解方程． (2)当时，求满足时该函数的最大值（结果含）． (3)当时该函数既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（结果含）． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数的最大值为， 当时，该函数的最大值为； (3)当时，，，当时，， 【分析】 【详解】（1）解：当时，， 解得或， （2）当时，， 当时，， 由解得，， ∴当时，该函数的最大值为， 当时，该函数的最大值为； （3）当时，，当时该函数既没有最大值也没有最小值，不符合题意； 当时，得到， ∴，， 当时，得到， ∴， 题型4二次函数的图象与各项系数间的关系 首先观察抛物线开口方向，确定的符号：开口向上则，向下则。由对称轴公式​，结合的符号可判断的符号，遵循 “左同右异” 原则。再看抛物线与y轴交点，交点在正半轴则，负半轴则，过原点则。 接着利用特殊点函数值推导关系式，如时时的符号，结合对称轴、顶点坐标及与x轴交点情况，综合判断系数间的等量或不等关系，逐步验证选项。 19．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由抛物线开口向下，得； 对称轴为，即，得； 根据图象，当时，因对称轴为直线， ∴时． ①由，，，得，故①错误； ②对称轴为，抛物线开口向下，故时函数取最大值，对任意实数，有，化简得，故②正确； ③由图象，当时，，根据对称性，当时，，代入得，即，故③正确； ④∵和为图象上两点， ∴，． ， 整理化简得， ∵，不等式两边除以，不等号方向改变，得到， 解得：，故④正确； 综上，②③④正确，正确的个数为． 故选：C． 20．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 21．如图，抛物线的对称轴为直线 ，经过点，下列结论：①；②；③；④点，在抛物线上，当时，；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ，则①正确； ∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴上， ，， ， ，则②正确； 将点代入抛物线， 得：， 将代入，得， ，则③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵点，在抛物线上， 且， 则，则④错误； ∵， ∴， ， ∴抛物线上横坐标为，的两个点关于直线对称， ， ，则⑤正确 综上，正确的结论有①②③⑤， 故选：． 22．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则．其中正确的结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】 【详解】解：结论①：∵由图象可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴． ∴， 故结论①符合题意； 结论②：∵由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴， 故结论②符合题意； 结论③：由结论①可得，由结论②可得， ∴，即，， ∵图象得， ∴， ∴ 故结论③不符合题意； 结论④：当时，， 由图像可知， 故结论④符合题意； 结论⑤：由图象可知，对称轴为， ∴可知抛物线上离对称轴越近的点，函数值越大， ∵点离对称轴距离为：， 点对称轴距离为：， ∵， ∴ 故结论⑤符合题意； 综上，符合题意的有①、②、④、⑤，共4个． 故选：C． 23．二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即，故B结论正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴，即，故C结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 24．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一点，下列结论正确的有（    ）个 ①； ②； ③若、（其中）是抛物线上两点，且，则； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故， 故①正确； ②， ， ∵抛物线的顶点坐标为， ， ，即， 故②正确； ③， ， 点N离函数对称轴远， ∵抛物线开口向下， ， 故③正确； ④∵抛物线的顶点坐标为， ， 令，则， 解得， ， 若，则， ， 故④错误； 综上所述，正确的有①②③，一共有3个． 故选：C． 25．如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】 【详解】解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 题型5二次函数与一元二次方程、不等式 解二次函数与一元二次方程、不等式的综合题，核心是抓三者的联系：二次函数的图象与轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的根（判别式决定交点个数）；不等式（或的解集，就是函数图象在轴上方（或下方）对应的取值范围。解题时先确定函数开口方向（的正负）和与轴的交点，再结合图象位置写方程的根或不等式的解集；若已知方程根或不等式解集，可反向设函数解析式（如交点式），代入条件求系数。 26．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，； 当时，， 由对应的二次函数图象可知，x在范围内取某一个值时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 故选：C． 27．如图，抛物线和直线（均为常数，且）的两个交点分别为和，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程， 即， ∴方程的解是抛物线和直线的两个交点的横坐标， ∵抛物线和直线的两个交点分别为和， ∴关于的一元二次方程的解， 故选：D． 28．二次函数的图象过，并与二次函数的图象交于点．若关于的方程为，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵二次函数过点, ∴, ∴． ∵两函数交于点, ∴，且, ∴, ∵，两边除以a, 得, 解得． ∴ 方程，代入, 得, ∵，两边除以a, 得，即, 解得． 故选：C． 29．若只有三个正整数满足不等式（其中k是常数），那么这三个正整数之和是（　　） A．8 B．9 C． D．12 【答案】D 【详解】解：令 （其中是常数）， ∴二次函数对应的一元二次方程有两个不相等实数根， ，即， 解得或 又只有三个正整数满足不等式， ∴（若，正整数无法满足不等式） 对称轴为， 由设足不等式的三个正整数为， 令，则必须满足当时，；时，；时，； 将代入验证，即三个正整数为，，时，需满足 当时，， 当时，， 当时，， 当时， 解得(约为)，该区间存在且满足将其他正整数代入验证均无解． ∴这三个正整数为，，，它们的和为 故选：． 30．若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数与的图象交于点， ∴且， 两式相减得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵方程的解是函数的图象与直线交点的横坐标，已知一个交点为， 且二次函数的对称轴为直线， ∴点关于二次函数对称轴的对称点为， ∴另一个交点为． 故方程的解为． 故答案为：． 31．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程式的两个根． (2)写出不等式的解集． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)对称轴是直线，则当时，随的增大而减小 【分析】 【详解】（1）解：根据函数图象可得：方程的两个根是，； （2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为 （3）解：根据函数图象可得：对称轴是直线，则当时，随的增大而减小． 32．某一次函数和二次函数的大致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案）． (1)方程的解集是______； (2)不等式的解集是______； (3)不等式的解集是______； (4)当______时，； (5)要使随x的增大而增大，x的取值范围应是______； (6)______0； (7)方程有______个实数根． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或8 (5) (6) (7)两 【分析】 【详解】（1）解：如图，二次函数与x轴的交点坐标为2、6， 方程的解集是或 故答案为：或 （2）由题意，如图，二次函数与x轴的交点坐标为2、6，又抛物线的开口向上， 不等式的解集是：； 故答案为：； （3）由题意得，的解集是一次函数的图象在二次函数的图象上方对应的自变量的取值范围， 一次函数和二次函数交点的横坐标为1、8， 的解集是：； 故答案为：； （4）由题意，一次函数和二次函数交点的横坐标为1、8， 当或8时，； 故答案为：或8； （5）由题意，二次函数的对称轴为直线， 当时，随x的增大而增大． 故答案为：； （6）观察图象可得，当时，， 故答案为：<； （7）由题意，的图象是将二次函数的图象下方部分翻折上去， 如图可得， 的图象与直线有两个交点． 方程有两个实数根． 故答案为：两． 题型6二次函数的面积问题 33．如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题图2可知，当时，点停止运动 ， 根据题意得，， 当在上时，即，此时 过点作于点，如图1， 四边形是平行四边形 又 在中， 当时，取最大值，最大值为 当点Q在上时，即时，如图2， 四边形是平行四边形 越小，越大 ， 取最大值，最大值为 综上所述，， 取最大值，最大值为 的值为，即的面积的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、二次函数的最值、一次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 34．在一块三角形钢板中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如图所示，顶点在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当三角形的面积最大时，的长为 ． 【答案】3 【分析】 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， ∵， ∴∽，∽， ，， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 当时，最大， 故答案为： 35．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①最大值为，② 【分析】 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得；则，对称轴为直线． （2）解：①若，则该抛物线的表达式为，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为， 设，如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． ②设， 同①可得， 故当时，取得最大值，为， ， 令， ∵， ∴解得． 36．如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． (1)求的面积S关于t的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，， ∴， ∵动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：． 答：的值为2； （3）解：的面积不可能是面积的一半，理由如下： 根据题意得：， 即， 整理得：， ， 该方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于，两点， 与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； (2)连接，，求 的面积 (3)点P 是抛物线在第二象限图象上的一动点，连接，， 当的面积最大时，求点 P 的坐标及最大面积． 【答案】(1)； (2)3 (3)， 【分析】 【详解】（1）解：将、代入得 解得 则二次函数解析式为， 对称轴为， 将代入得：， 则顶点坐标为； （2）解：令抛物线对称轴与交于点， 令得， 则点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 将代入得， 则点的坐标为， ， 因此； （3）解：过点向轴作垂线，与直线交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 设，则， 则， 即， 则当时，的面积最大为， 将代入函数得， 因此，当的面积最大时，点P的坐标为，最大面积为． 38．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使的面积是面积的2倍，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵， ∴轴， ∴到线段的距离为，， ∴， （3）解：存在， 理由：∵，的面积是面积的2倍， ∴， 设，由题意可知点P在直线上方， 则， 整理得，， 解得或， 则 ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的2倍，点P的坐标为，． 39．如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有___________个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为，2， ∴当时，，当时，， ∴点的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 对于直线： ， 当时，， ， ； （3）解：设点P的坐标为， 的面积等于的面积的2倍， 的面积等于， ①当点P在直线的下方时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， ∵，方程无解， ②当点P在直线的上方，且位于y轴右侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， 解得（舍）， 点的坐标为； ③当点P在直线的上方，且位于y轴左侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， 解得（舍）， 点的坐标为； 综上，函数的图像上存在点P，使的面积等于的面积的2倍，则这样的点P共有2个． 40．如图：在直角梯形中，，它的下底比上底大4，高比上底小1，面积等于18． (1)求梯形的高 (2)动点P、Q同时从B点出发，P从B向终点C运动，速度为每秒一个单位，Q沿B-A-D向终点D运动，速度为每秒一个单位，一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动时间为t秒，几秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二？ (3)当Q点在线段上运动，使的面积取最大值时，求与梯形的面积比？ 【答案】(1)梯形的高为 (2)运动或秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二 (3)与梯形的面积比为 【分析】 【详解】（1）解：设梯形上底为，则下底为，高为， 由题可得， 解得：，（舍去）， 梯形的高为； （2）解：由（1）可知：，，， 由题可考虑两种情况： ①当 Q点在上时， ， 解得：，， ，不符合题意， ； ②当 Q点在上时， ， 解得：， ，符合题意； 综上，运动或秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二； （3）解：如图，连接，，， 由图可知：， 由题可知：，，，，则， ， 点在线段上运动， ， ， 时，有最大值， ， ， 此时与梯形的面积比为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优04 二次函数的图象与性质重难6大题型 题型1利用函数的性质求二次函数解析式 求二次函数解析式时，先根据已知条件选合适的表达式形式： 已知顶点或对称轴、最值，用顶点式（为顶点），代入另一点求； 已知三点坐标，用一般式，代入三点列方程组求解； 已知与轴的两个交点，用交点式，代入另一点求； 若已知图象过原点，可设简化计算。 求出解析式后，可结合函数性质（如对称轴、增减性）或图象特征（与坐标轴交点）验证是否正确。 1．下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为 ． 3．若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为 ． 4．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，利用描点法画出该函数图象（列表） x … … y … … (2)当时，函数y的取值范围为_____； (3)将二次函数沿着y轴翻折所得的函数表达式为______． 5．已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 6．已知二次函数，经过点，且经过二次函数顶点． (1)求与的关系； (2)若二次函数的对称轴是直线，求二次函数的解析式； (3)若抛物线的开口方向向上，且经过点，，设对称轴为直线，求的取值范围． 题型2函数值的大小比较 7．已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 9．若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 10．点，在二次函数（，为常数）图象上，若，且，则（　　） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 11．若，是抛物线上两点，若，，则与的大小关系是 ． 12．已知与是抛物线上的两点，且．若，则与的大小关系是 ． 题型3二次函数的最值问题（分类讨论） 解二次函数最值的分类讨论题，先确定函数开口方向（由二次项系数的正负判断，开口向上有最小值，开口向下有最大值）和对称轴；再根据自变量的取值范围分类：若对称轴在取值范围内，最值在顶点处；若对称轴在取值范围左侧，最值在区间右端点处；若对称轴在取值范围右侧，最值在区间左端点处。计算时需代入对应值求函数值，最后结合分类情况总结结果。 13．在一个电子游戏中，玩家操控角色在一段长度为1个单位的水平路径上移动，路径起点坐标为m，终点坐标为．游戏场景中存在一个能量函数，角色在路径上不同位置x对应的能量值由该函数计算．当角色在路径上移动时，其能量的最大值为2，那么m满足的条件为（   ） A． B．或3或 C．或 D．或3 14．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 15．已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 16．如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为 ． 17．若二次函数满足当时有最大值3，最小值2，则实数的取值范围为 ；若二次函数满足当时有最小值为，则实数的值为 ． 18．已知函数是实数． (1)当时，解方程． (2)当时，求满足时该函数的最大值（结果含）． (3)当时该函数既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（结果含）． 题型4二次函数的图象与各项系数间的关系 首先观察抛物线开口方向，确定的符号：开口向上则，向下则。由对称轴公式​，结合的符号可判断的符号，遵循 “左同右异” 原则。再看抛物线与y轴交点，交点在正半轴则，负半轴则，过原点则。 接着利用特殊点函数值推导关系式，如时时的符号，结合对称轴、顶点坐标及与x轴交点情况，综合判断系数间的等量或不等关系，逐步验证选项。 19．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 21．如图，抛物线的对称轴为直线 ，经过点，下列结论：①；②；③；④点，在抛物线上，当时，；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则．其中正确的结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 23．二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一点，下列结论正确的有（    ）个 ①； ②； ③若、（其中）是抛物线上两点，且，则； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 题型5二次函数与一元二次方程、不等式 解二次函数与一元二次方程、不等式的综合题，核心是抓三者的联系：二次函数的图象与轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的根（判别式决定交点个数）；不等式（或的解集，就是函数图象在轴上方（或下方）对应的取值范围。解题时先确定函数开口方向（的正负）和与轴的交点，再结合图象位置写方程的根或不等式的解集；若已知方程根或不等式解集，可反向设函数解析式（如交点式），代入条件求系数。 26．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 27．如图，抛物线和直线（均为常数，且）的两个交点分别为和，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 28．二次函数的图象过，并与二次函数的图象交于点．若关于的方程为，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 29．若只有三个正整数满足不等式（其中k是常数），那么这三个正整数之和是（　　） A．8 B．9 C． D．12 30．若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为 ． 31．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程式的两个根． (2)写出不等式的解集． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 32．某一次函数和二次函数的大致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案）． (1)方程的解集是______； (2)不等式的解集是______； (3)不等式的解集是______； (4)当______时，； (5)要使随x的增大而增大，x的取值范围应是______； (6)______0； (7)方程有______个实数根． 题型6二次函数的面积问题 33．如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．在一块三角形钢板中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如图所示，顶点在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当三角形的面积最大时，的长为 ． 35．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 36．如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． (1)求的面积S关于t的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于，两点， 与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； (2)连接，，求 的面积 (3)点P 是抛物线在第二象限图象上的一动点，连接，， 当的面积最大时，求点 P 的坐标及最大面积． 38．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使的面积是面积的2倍，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有___________个． 40．如图：在直角梯形中，，它的下底比上底大4，高比上底小1，面积等于18． (1)求梯形的高 (2)动点P、Q同时从B点出发，P从B向终点C运动，速度为每秒一个单位，Q沿B-A-D向终点D运动，速度为每秒一个单位，一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动时间为t秒，几秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二？ (3)当Q点在线段上运动，使的面积取最大值时，求与梯形的面积比？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $