专题12 二次函数重难点题型汇编（十四大题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题12 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】..................................................1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】.........................................2 【题型03：列出二次函数关系式】...............................................2 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】.........................................3 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】.....................................4 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】..................................6 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】.......................。9 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】......................9 【题型09：二次函数的平移变换】...............................................12 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】...................................14 【题型11：二次函数的交点个数问题】...........................................15 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】...........................................15 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】...........................................17 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】............................18 【题型14：根据交点确定不等式的解集】........................................19 【题型01 ：二次函数的概念】 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）下列函数中，属于二次函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）下列函数表达式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西贺州·期中）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）若是关于的二次函数，则 ． 【题型03：列出二次函数关系式】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．（15-16九年级·安徽马鞍山·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）二次函数的图像的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若抛物线经过和两点，则 ． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其周长之比记为，则 ． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．D．点和在抛物线上，则 7．（20-21九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 11．（24-25九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作轴，与抛物线交于点D．若，，则线段的长是 ． 13．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 3．（2024·山东·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知关于x的二次函数的最小值为k，若，，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（24-25八年级下·重庆江北·期末）在同一直角坐标系中，函数与（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·四川广安·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（14-15九年级下·全国·课后作业）抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】 1．（24-25八年级下·重庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②，③；④若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．其中所有正确结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号 6．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为 ． 【题型09：二次函数的平移变换】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A．B．C． D． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（   ） A．B． C． D． 5．（2023·广西·中考真题）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·天津西青·期末）把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为（   ） A． B． C． D． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线与x轴的交点分别为，，则该抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）若抛物线与x轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型11：二次函数的交点个数问题】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 3．（2023·福建泉州·二模）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 4．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】 1．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 3．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 4．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 3．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    【题型14：根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 5．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】..................................................1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】.........................................3 【题型03：列出二次函数关系式】...............................................4 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】.........................................7 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】.....................................10 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】..................................18 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】.......................27 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】......................32 【题型09：二次函数的平移变换】...............................................38 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】...................................45 【题型11：二次函数的交点个数问题】...........................................48 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】...........................................49 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】...........................................57 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】............................60 【题型14：根据交点确定不等式的解集】........................................61 【题型01 ：二次函数的概念】 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）下列函数中，属于二次函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、函数关系式不是整式，不是二次函数，故该选项不符合题意； C、，是二次函数，故该选项符合题意； D、，x的最高次数是3，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）下列函数表达式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数．分析各选项，只有A选项明确满足条件． 【详解】解：∵ 二次函数要求最高次项为 ，且系数不为零． 对于A：，其中 ，是二次函数． 对于B：，是一次函数，不是二次函数． 对于C：，不是二次函数． 对于D：， 可能为0，不一定是二次函数． ∴ 只有A是二次函数． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广西贺州·期中）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，根据定义判断即可． 根据二次函数的定义（形如，且），逐一分析各选项． 【详解】：为一次函数，最高次数为1，排除； ：含项，非整式函数，排除； ：中未限定，当时为一次函数，不满足二次函数条件，排除； ：展开后为，满足，是二次函数； 故选． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，， ∴，， 解得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）若是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查由二次函数定义求参数，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零，因此指数需满足 ，且系数，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数， 指数必须满足，且二次项系数， 即，且， 解得，且， ， 故答案为：． 【题型03：列出二次函数关系式】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解． 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 2．（15-16九年级·安徽马鞍山·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）二次函数的图像的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的顶点坐标是作答即可． 【详解】二次函数的图像的顶点坐标是， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 6（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式确定开口方向及对称轴，分 ， ，三种情况，分别考虑即可求解． 【详解】解：点A在点B的左侧， ． 中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，； 当时，y随x的增大而减小，； 当时，若，则， 解得； 综上可知，与满足的条件是：且． 故答案为：且． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若抛物线经过和两点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．依据题意，由抛物线为，可得对称轴是直线，再结合抛物线经过和两点，则对称轴是直线，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又抛物线经过和两点， 对称轴是直线． ． 故答案为：． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键． 连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系得，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出C点坐标． 【详解】解：连接交于D，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入, 得， 解得（舍去）， ， ，， 故C点坐标为：． 故答案为：B． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明．可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ． ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ∴，， ∵， ∴， ． ， ． ． 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其周长之比记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，再进行求解即可． 【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    【答案】8 【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为4的正方形面积为16， ∴图中的阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：9 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴二次函数的最小值是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答C，最后根据对称性说明D即可. 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下，当时，y随着x的增大而减小，当时，与时的函数值相等，即. 故选：D. 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线的旋转，熟练掌握抛物线的旋转是解题的关键．根据抛物线解析式求出点坐标．在由题意得到旋转后顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与纵轴交于点，则点坐标为， 抛物线对称轴为，顶点坐标为， 将此抛物线绕点顺时针旋转， 新的顶点坐标为， 故新的抛物线的解析式为． 故选A． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，由抛物线的开口方向，对称轴直线的位置，与轴交点的位置得出，，，故；由图象可知：，，即，故；由对称轴，，则，故有；由图象可知：顶点的纵坐标大于，从而得出不等式，求解即可得出，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象开口可知：， 由对称轴可知：， ∴， 又由抛物线与轴的交点可知：， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、由图象可知：，， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵对称轴，， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 、由图象可知：顶点的纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C． D．点和在抛物线上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握好各项系数对图象的影响、对称轴的求法、特殊点的函数值、距离比较法是解题关键．观察抛物线交轴正半轴，，可判断，由，两点，可得对称轴为直线，可判断，当时，，可判断由)离对称轴的水平距离比)离对称轴的水平距离小，结合图象开口向下，可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线交轴正半轴， ，错误，不符合题意； 的图象与轴交于，两点， 对称轴为直线，错误，不符合题意； 由图知，表示的点在与之间， ，错误，不符合题意； 抛物线开口向下，，， 离对称轴的水平距离比离对称轴的水平距离小， ，正确，符合题意； 故选：． 7．（20-21九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 【答案】 【分析】由点C在抛物线y＝（x−1）2−1=x2−2x上，可设点C的坐标为(x，x2−2x)，点B在直线y＝x上，且BC∥y轴，可得点B的坐标为(x，x)，而线段BC的长就是两点纵坐标差，从而得出关于BC长与自变量x的函数关系式，根据函数的最值，即可求出BC最大值． 【详解】解：∵点C在抛物线y=（x-1）2-1=x2−2x上， ∴设点C的坐标为(x，x2−2x)． ∵点B在直线y＝x上，BC∥y轴， ∴点B的坐标为(x，x)． ∵点B在点C的上方，设BC的长为L， ∴L= x−（x2−2x）=−x2＋3x＝−(x−)2＋， ∵a＝−1＜0， ∴L有最大值， ∴线段BC长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值问题，掌握二次函数的图象和性质并能根据函数关系式求出最值是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．将解析式化为顶点式，然后根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： ． 则顶点坐标为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线：， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 又∵抛物线与线段恰有一个公共点， 当时，将坐标代入函数解析式得：， 解得； 将坐标代入函数解析式得：， 解得：， 当时，抛物线为， 联立得，，即， 解得，，此时抛物线与线段有两个公共点， 不符合题意，舍去； 当时，抛物线为， 联立得，，即， 解得，，此时抛物线与线段只有一个公共点， 符合题意； 如图，要使抛物线与线段只有一个公共点， 当时，，当时，， 即且 解得， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由函数图象可得二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而可得与轴的另一个交点为，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由函数图象可得：二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 故与轴的另一个交点为， 故当时，的取值范围是， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作轴，与抛物线交于点D．若，，则线段的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由题意易得点，设点B、D的横坐标分别为、，则有，然后可得二次函数的对称轴为直线，进而问题可求解． 【详解】解：令，则有，即， ∵， ∴， 设点B、D的横坐标分别为、， ∵轴，， ∴，即， 根据二次函数的对称性可得：二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴； 故答案为3． 13．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，本题中不知道是正数还是负数，所以要分情况讨论．二次函数的对称轴为，所以可知当时，二次函数有最大值；当时，二次函数有最小值，因为，所以可知当时，二次函数有最大值，可得关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 当时，二次函数有最大值， 解得：， 当时，二次函数有最小值， 二次函数的对称轴为， ， 当时，有最大值， 可得：， 解得：， 综上所述的值为或． 故选：D． 3．（2024·山东·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 4．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知关于x的二次函数的最小值为k，若，，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最值的计算，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数（，均是实数），可得二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由此可得，则有，设，得到关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，再根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线， 当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴当时，有最大值，即， 当时，， ∴， 故答案选B ． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答即可，注意分类讨论． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， ①当时，即，， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； ②当时，即， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； 故答案为：或 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可． 【详解】 解：∵，的解集为， ∴，方程的解集为，， ∴该函数的对称轴是直线，即， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，有最小值， ∵函数最大值与最小值的差为2， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（24-25八年级下·重庆江北·期末）在同一直角坐标系中，函数与（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项正确，符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； D故选：d故选：D． 2．（22-23九年级上·四川广安·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：把一次函数和二次函数联立起来， ， 那么，， 移项可得，， 即， ， 即或， 解得或 一次函数与二次函数的交点在轴或点，两个交点应有一个交点在轴上和另外一个交点第一或四象限； A、由一次函数图象与二次函数的两个交点有一个在轴，但另一个交点在第二象限，故此选项错误； B、由于一次函数与二次函数的两个交点，在第一和三象限，故此选项错误； C、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上和另一个交点在第四象限，故此选项正确； D、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上，但另一个交点在第三象限，此选项错误； 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与二次函数图象的知识，识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 对于选项A、C，由结合a的正、负性，判断二次函数的图象的开口方向与直线应经过的象限，是否存在矛盾，由此即可作出判断； 对于选项B、D，由二次函数的图象的开口方向和对称轴得到a、b的正负性，判断此时直线是否与y轴的正半轴还是负半轴相交，由此即可作出判断． 【详解】解：A．由二次函数的图象可知，此时直线必经过二、四象限，故A可排除； B．由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，则，此时直线应经过二、三、四象限，故B满足题意； C．由二次函数的图象可知，此时直线必经过一、三象限，故C可排除； D．由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、二、三象限，选项D可排除． 故选：B． 6．（14-15九年级下·全国·课后作业）抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】 1．（24-25八年级下·重庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，特殊点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故A，B错误； 由图象可知，当时，；故C错误， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴， ∵， ∴；故D正确； 故选D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②，③；④若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．其中所有正确结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线开口和抛物线与轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经过点可判断②，由抛物线对称轴为直线可得，从而判断③，由抛物线的对称性及经过点可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为：直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，③错误； ∵此抛物线经过点，且对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点不是抛物线上的一个点，④错误； 故正确的结论有1个． 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断； ④根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断； ⑤根据图象可得，即可得出，再结合对称轴，运用二次函数增减性即可判断； ⑥对称轴为， ，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意； ②∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴与异号，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ，故②不符合题意； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， ∴当时，， ，故③不符合题意； ④∵抛物线与轴的一个交点为， ， ∵抛物线对称轴为， ， ， ，故④符合题意； ∵， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 故⑤不符合题意； ⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上， 时，有最小值， （为任意实数），故⑥符合题意； 综上所述，①④⑥符合题意，共有个； 故选：B． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性、增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最大值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点， ∴抛物线开口向下，则，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴函数的最大值为， ∴对任意实数m都有：，即，故②错误； ∵对称轴为，，即函数图像与y轴的交于正半轴， ∴点的关于直线的对称点为， ∴当时的函数值大于0，即， ∴，故③正确； ∵对称轴为，点关于直线的对称点为，抛物线开口向下， ∴若，则，故④正确； 综上，正确的有③④共2个． 故选：B． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号 【答案】①④ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，当时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故错误； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①④． 6．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上可得，，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，即可判断②错误；根据时的函数值与时的函数值相等可得当时，，由此即可判断③正确；求出当时，取得最大值，最大值为，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，则结论②错误； 由函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，则结论③正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵当时，， ∴当时，， ∴，则结论④错误； 综上，正确结论的序号为①③， 故答案为：①③． 【题型09：二次函数的平移变换】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，原函数为，需先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，最终确定新顶点的位置，从而得到解析式． 【详解】A．，是将向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，不符合题意； B．，是将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，不符合题意； C．，是将向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，符合题意； D．，是将向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为，即， 故选：A． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移的“左加右减，上加下减”法则． 将原抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标；根据平移方向和距离，计算平移后抛物线的顶点坐标；依据新顶点坐标写出平移后的抛物线解析式，对比选项得出答案． 【详解】解：原抛物线可化为顶点式：其顶点坐标为．向右平移2个单位后，顶点的横坐标变为，纵坐标不变，此时顶点坐标为．再向下平移3个单位后，顶点的纵坐标变为，此时新抛物线的顶点坐标为．则平移后抛物线的解析式为． 故选：A． 5．（2023·广西·中考真题）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 6．（23-24九年级上·天津西青·期末）把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律进行求解即可：左加右减，上加下减． 【详解】解：抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为， 故选：A． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A的对称点的坐标是解题的关键．找出点A关于的对称点的坐标即可． 【详解】解：∵次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点， ∴另一个交点为：，即， 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线与x轴的交点分别为，，则该抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线的对称性求解是解题的关键． 根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为和， ∴和关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线． 故选：B． 3．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解∶∵物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选∶D． 4．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）若抛物线与x轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点为，， ∴该抛物线的对称轴为， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式求解． 【题型11：二次函数的交点个数问题】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 3．（2023·福建泉州·二模）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】，令，则或，则点，二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，联立，消去整理得：，令，求得，结合图象即可求解． 【详解】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，   ，令，则或，则点， 将点的坐标代入并解得：， 二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：， 联立，消去整理得：， ， 解得： ， 当或时，直线与这个新图象有三个交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象判断根的情况，数形结合是解题的关键． 4．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得或， 则点，， 抛物线：，， 由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线， 则抛物线解析式为，， 令，即， 解得或， 则点， 如图， 当与抛物线：相切时， 令，即， 根据相切可知方程有两个相等的解，即， 解得， 当过点时，即：， 解得：， 结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时k的值以及直线过点B时k的值，结合图形即可得到答案 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴，． 又抛物线为， ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点 ∴， ∴． 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ∴， 即． ∵相切， ∴ ∴． 如图， ∵若直线与、共有3个不同的交点， ∴． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数, 是常数,)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换． （1）解方程: 得，，然后求出直线经过点 时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到直线与图象恰好有个交点时，的值. （2）求出直线经过点时的值，结合（1）的结果即可得到直线与图象恰好有个交点时的取值范围. 【详解】（1）如图，当时，， 解得 ， 则，， 当直线经过时, ， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 解得 ， 所以当直线与图象恰好有个交点时，或 ． （2）当直线经过点时, 解得 观察图象，若直线 与图象恰好有个交点时，的取值范围为或 ． 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】 1．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先求出时，的值，再求出当时，判别式的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：∵， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 此时 即抛物线与轴无交点， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，则与x轴有一个交点，或两个交点中一个交点在原点，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知，∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点， 则二次函数的图象与轴只有一个交点，或有两个交点，两个交点中一个交点在原点， 则，或， 解得或． ∴C符合题意； 显然四个选项中只有C选项符合要求． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和一元二次方程的根的关系．观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，再求出抛物线与x轴的另一交点坐标为，即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故本题答案为： 4．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键．将点代入抛物线，求解即可获得答案． 【详解】解：将点代入抛物线， 可得，解得． 故答案为：． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方程变形为，由交点坐标即可得出答案． 【详解】解：把一元二次方程变形为， 抛物线与直线交于，两点，点，横坐标分别为，3， 关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的关键． 先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可解答． 【详解】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． 3．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围． 【详解】解：由图象可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为：， ∴的解为，， 故答案为：，． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象x轴上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴与x轴另一个交点为， ∴当时，， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $