精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期适应性测试（七）数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（七） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（  ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列说法，其中错误的是（ ） A. 某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4 B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为5，13 C. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 D. 设是随机变量，若，则 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程的三个根分别为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 13. 已知，且，则__________. 14. 如图，在直三棱柱中，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面､底面均相切），为的中点，为棱上的动点，当直线､与平面成角相等时，__________，此时四面体的外接球表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知双曲线的左焦点，其一条渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）过的右焦点作x轴的垂线与在第一象限内交于点P，过点P作斜率为，的直线分别交于M，N两点，则当时，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 17. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 18. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（七） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据分式不等式求解出集合，然后根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，解得：或，即：或. 又，可得：. 故选：C 3. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论. 【详解】由，可得， 所以圆心的坐标为, 半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个. 故选：B. 4. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质得到结论即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 5. 如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理表示出，然后利用平面向量基本定理求得，，从而求得，即，利用余弦定理求出，即可求解． 【详解】设，因为B，F，E共线， 所以 ， 又因为，所以， 所以，解得， 所以，得， ， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以． 故选：A 6. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：B 7. 已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期和振幅，进而可得函数的一个对称中心. 【详解】由，得，，所以， 所以，令，得， 所以当时，，所以是函数的一个对称中心. 故选：B. 8. 已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数变形，构造等价函数令，则，求导判断单调性求得仅有两个零点，问题转化为方程和共有4个根，令，利用导数分析单调性和最值求解. 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列说法，其中错误的是（ ） A. 某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4 B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为5，13 C. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 D. 设是随机变量，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据平均数和方差的性质，可得判定B错误，根据相关系数的含义，可判定C正确；根据二项分布的方差公式，可判定D错误. 【详解】对于A中，将数据从小到大排列，可得， 因为，所以数据的第50百分位数为，所以A错误； 对于B中，由数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为，方差为，所以B错误； 对于C中，根据回归分析中决定系数的含义，可得越大，说明模型拟合的效果越好，所以C正确； 对于D中，若，则，所以D错误. 故选：ABD. 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程的三个根分别为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】观察图象可得函数的零点，由此可得方程的根，由此判断B，由此可得可化为，结合图象可得当时，，由此可得，判断A，再结合图象判断CD. 【详解】由图象可得函数的零点从小到大依次为， 所以的三个根分别为，B正确， 所以， 所以可化为， 当时，，，， 由图象可得当时，，即， 所以，A错误， 观察图象可得不等式的解集为或，C正确， 不等式的解集为或，D错误， 故选：BC. 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设易知上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆，进而确定下半部分椭圆参数得方程，结合椭圆性质判断A、B；设直线方程，数形结合及联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求面积，判断C、D. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 另椭圆的上焦点，所以可以看成， 当点位于的下顶点时，最大，所以，故B错误； 当直线与第一象限半圆相切时，，则， 由图，可得的取值范围为，故C正确； 根据对称性，不妨设，联立，消去并整理得， 且，则，， 则， 所以， 设，易得， 函数在上单调递增，， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知确定上下两部分对应曲线的性质，再应用数形结合、直线与曲线的位置情况求参数和三角形面积为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为. 故答案为：80 13. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将利用辅助角公式得到，再利用同角关系式求出，再根据角的范围进行取舍. 【详解】，，， ，， ，，， 故答案为：. 14. 如图，在直三棱柱中，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面､底面均相切），为的中点，为棱上的动点，当直线､与平面成角相等时，__________，此时四面体的外接球表面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据内切球的半径求出柱体的棱长，然后利用球的性质求解外接球的半径，进一步求出外接球的表面积. 【详解】因为直三棱柱的内切球的体积为，所以， 解得内切球的半径为，所以内切圆半径为， 则，因为为的中点，为棱上的动点， 当直线､与平面成角相等时，， 又，所以， 所以，设，则 ，解得，所以，，从而， ，，所以，即有， 所以四点共圆，且圆心为的中点，其半径为， 因为，，，平面， 所以平面，如图， 将直三棱柱补成长方体， 设为中点，连接，取的中点， 连接，则中点即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 此时四面体的外接球表面积为. 故答案为：，. 【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径，截面圆的半径及球心到截面圆的距离三者的关系求解，其中，确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； 【小问2详解】 ，设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 16. 已知双曲线的左焦点，其一条渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）过的右焦点作x轴的垂线与在第一象限内交于点P，过点P作斜率为，的直线分别交于M，N两点，则当时，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解； （2）首先得到，即可得到直线的方程，联立直线与双曲线方程，设，即可求出、，再由斜率公式计算可得. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为， 由题意可知的半焦距，又，， 解得，， 故的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，由，解得， 所以，则直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得，则， 因为，所以，， 所以直线的斜率 ， 所以直线的斜率为定值. 17. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 18. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1）是上的“函数”，理由如下： 因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 【解析】 【分析】（1）求出，结合题中定义验证即可； （2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．时，可得，时，可得出，时，可得出，利用导数分析函数在区间、上的单调性，综合可得出实数的取值范围； （ii）由题意可得，．利用导数先证明：，，即证，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） 根据二倍角公式与和差化积恒等式得： . （2） 左边 ， 右边 . 由，得， 所以. （3） 仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 因此， 即当时，. 所以仅有1个零点. 【解析】 【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可. （2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明. （3）易得，再证明当时，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $