专题09 相似三角形重难点题型汇编(八大题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题09 相似三角形重难点题型汇编 【考点01：比例的性质】................................................................................................................1 【考点02：黄金分割】...................................................................................................................3 【考点03：平行线分线段成比例】...............................................................................................10 【考点04：相似多边形】..............................................................................................................13【考点05：相似三角形的性质】..............................................................................................16 【考点06：相似三角形的判定】...................................................................................................19 【考点07：相似三角形的性质与判定】.................................................................................24 【考点08：相似三角形的应用】...............................................................................................42 【考点09：位似变换】...................................................................................................................49 【考点01：比例的性质】 1.点在线段上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比，解题关键是根据题意作出图形，结合比例的性质求解．根据题意，可设，则，进而即可求解． 【详解】解：如下图， ∵， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 2.若，则分式 ． 【答案】 【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3.若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 4.已知，且，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质可得，，进而得到，解方程解答即可． 【详解】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 【考点02：黄金分割】 1.如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割；根据黄金分割的定义得到，再把代入计算即可． 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴ ， ∴， 故答案为：． 2.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，则，根据黄金分割得到，代入即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P为的黄金分割点（）， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 3.达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 4．古希腊的帕特农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作“黄金矩形”（宽与长的比等于）．如图，帕特农神庙平面图的长约为30m，则它的宽约为（   ） A．12.36m B．18.54m C．21.21m D．48.54m 【答案】B 【分析】已知长约为30m，根据黄金矩形的概念宽与长的比等于，求出的宽的值即可． 本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设它的宽约为m， 由题意得： 解得：≈ ∴它的宽约为m ． 故选：B． 5．综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】（1）484；（2）否；100；200；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算即可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，由题意得，计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； （2）∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动， 则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； （3）设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 6．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 【考点03：平行线分线段成比例】 1.如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2.如图，，，，，则的长为（ ）. A．5 B．7 C．10 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入相关数据计算即可解答． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ． 故选B． 3.如图，在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4.如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取的中点F，连接，则是中位线，根据中位线的性质得，再根据平行线的性质得，则，，，进而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵是中位线， ∴、分别是、的中点， ∴是中位线， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 【考点04：相似多边形】 1.如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【答案】C 【分析】此题主要考查相似图形性质，关键要找出矩形相邻两边的比例．甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，然后观察比较就可得出答案． 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 2.下列图形，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； C.两个正方形，角都是，边对应成比例，故相似； D.任意两个菱形的边对应成比例，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故选：C． 3.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 4.如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． 5.如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：D． 【考点05：相似三角形的性质】 1.若且面积比为，则与的相似比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可． 【详解】解：∵，面积比为， ∴与的相似比为， 故选：B． 2.已知，且与相似比为，若，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可解得答案． 【详解】解：，且与相似比为， ， ， ． 故答案为：20． 3.的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查三角形相似时周长比等于相似比，能够熟练运用性质是解题关键．利用三角形相似的性质解题即可． 【详解】解：∵与相似， ∴相似比为：， ∴周长的比为：， ∵的周长为：， ∴的周长为：， 故答案为：． 4.如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 5.如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 6．如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 【考点06：相似三角形的判定】 1．如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可判断求解，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，，，， 、三边从小到大依次为，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟成比例，三角形阴影部分与相似，该选项符合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 故选：． 2．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定；     C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 3．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；故A不符合题意； 当时，；故B不符合题意； 当，即时，；故D不符合题意； 当，不能判定，故C符合题意； 故选C． 4.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 5．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键．由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 6．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 7．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【答案】(1)都对 (2)见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）甲：由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明；乙：根据对江边成比例，结合，可证； （2）选择甲，由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明； 选择乙：利用和，可证． 【详解】（1）解：当时，则， ， ， ； 当时， ， 又， ； 故答案为：都对； （2）解：选择甲： 当时，则， ， ， ； 选择乙： 当时， ， 又， ； 【考点07：相似三角形的性质与判定】 1．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质易证； （2）连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． 2．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得．从而得到，再由可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)相似．理由见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 4．中，点是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）根据平行四边形的性质得出，结合，即可证明； （2）证明得出，进而得出，根据平行四边形的性质可得即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图1，在中，，于点D，点O是边上一点，连接交于F，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当O为的中点，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等角的余角相等求得，，即可证明； （2）作，交的延长线于G，推出，证明．再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，作，交的延长线于G． ∵O为的中点，， ∴． 由（1）有， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，所以，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，找出相似三角形是解题的关键． （1）由可得，由三角形外角的性质可得，结合可得，进而可得，即可证明； （2）设，则，根据推出，可求x的值，再证，可得． 【详解】（1）证明：平行四边形中，， ， ，， ， ， 又 ， ； （2）解： ， 设，则， ，， 由（1）知， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，． ， ， ，， ， 又平行四边形中，， ， ， 又 ， ， ， ， ． 8．如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，设，，然后可得，则有，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）可知：， ∴， 设，且， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 9．如图，正方形的边长为6，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由正方形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到，即可解答； （2）根据题意可得，从而得到，由相似三角形的性质得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 10．【问题背景】在平行四边形中，是边上一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． 【特例感知】（1）如图1，若四边形是正方形，求证：． 【深入研究】（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，若四边形是矩形，，点在的延长线上且满足，当时，求的长． 【答案】证明见详解 的长为 或 【分析】（1）根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证； （2）如图所示，过点G作，交于点M，且当G为中点，可证，得是中位线，再证，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意，是直角三角形，设,则,运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：∵四边形是菱形， ∴， 如图，过点G作，交于点M，且当G为中点时， ∵， ∴， ∴， ∴点M是中点， 则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的长为； 解：设则， 在中，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴, 即， 整理得， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母有意义， ∴或． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 【考点08：相似三角形的应用】 1．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解： 与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 2.如图，数学兴趣小组利用标杆测量学校古树的高度，标杆高，测得，，则古树的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．先根据题意得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值． 【详解】解： ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 古树的高度是， 故选：C． 3．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，镜面反射的基本性质，根据题意得出三角形相似是解题的关键．根据题意由镜面反射的性质可推出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米， 即旗杆的高度是9米． 故选：C． 4．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 【答案】(1)11.3 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， 故答案为：11.3； （2）解：如图， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆高度为12米． 5．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 6．学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 【答案】(1)路灯的高度为5.8米 (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 7．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两个路灯之间的距离25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，利用相似比可进行求解； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， 即两个路灯之间的距离25米； （2）解：如图，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 【考点09：位似变换】 1.如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的性质，解题关键是利用位似图形的对应边成比例，以及周长比等于相似比来求解．先通过找出四边形与四边形的相似比即，即可得出周长比． 【详解】解析：四边形与四边形关于点位似， ， ， 四边形ABCD与四边形的周长比为． 故选：C． 2.如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 故选：D． 3.如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 4.如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形的相似比与面积比的关系是解题的关键． 先根据位似图形对应点的坐标确定相似比，再依据相似三角形面积比与相似比的关系求出的面积． 【详解】解：∵和位似，位似中心为原点，点，点， ∴与的相似比为． ∴与的面积比为． ∵的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 5.如图，已知，以原点O为位似中心，位似比为把缩小，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当点在线段上时，根据位似比为，点的坐标为； 当点在线段延长线上时，根据位似比为，点的坐标为； 综上，点的坐标为或 ， 故选：D． 6.将图中的作下列变换，画出相应的图形． (1)以O点为旋转中心顺时针旋转； (2)以B点为位似中心，放大到2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，作图-旋转变换，坐标与图形的性质，利用旋转的性质正确画出图形是解题的关键． （1）按照旋转的性质找出点O、B、C的对应点即可； （2）延长、，并使其到点B的距离是它们的二倍，找到对应点，然后顺次连接，即可得到新图． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，和即为所求： 7.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出与关于x轴成轴对称的； (2)画出以点O为位似中心，与的相似比为的（与在点O的两侧）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、位似变换，根据轴对称和位似变换的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形重难点题型汇编 【考点01：比例的性质】................................................................................................................1 【考点02：黄金分割】...................................................................................................................1 【考点03：平行线分线段成比例】...............................................................................................4 【考点04：相似多边形】..............................................................................................................5【考点05：相似三角形的性质】..............................................................................................6 【考点06：相似三角形的判定】...................................................................................................7 【考点07：相似三角形的性质与判定】.................................................................................9 【考点08：相似三角形的应用】...............................................................................................13 【考点09：位似变换】...................................................................................................................16 【考点01：比例的性质】 1.点在线段上，若，则 ． 2.若，则分式 ． 3.若，则 ． 4.已知，且，则a的值为 ． 【考点02：黄金分割】 1.如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 2.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 3.达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 4．古希腊的帕特农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作“黄金矩形”（宽与长的比等于）．如图，帕特农神庙平面图的长约为30m，则它的宽约为（   ） A．12.36m B．18.54m C．21.21m D．48.54m 5．综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 6．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【考点03：平行线分线段成比例】 1.如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 2.如图，，，，，则的长为（ ）. A．5 B．7 C．10 D．无法确定 3.如图，在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【考点04：相似多边形】 1.如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 2.下列图形，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 3.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 4.如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 5.如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【考点05：相似三角形的性质】 1.若且面积比为，则与的相似比是（　　） A． B． C． D． 2.已知，且与相似比为，若，则 ． 3.的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是 ． 4.如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 5.如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    6．如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【考点06：相似三角形的判定】 1．如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A．B． C． D． 2．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 5．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 6．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 7．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【考点07：相似三角形的性质与判定】 1．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 2．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 3．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 4．中，点是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 5．如图1，在中，，于点D，点O是边上一点，连接交于F，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当O为的中点，时，求的值． 6．如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 7．如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 8．如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，求的长． 9．如图，正方形的边长为6，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．【问题背景】在平行四边形中，是边上一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． 【特例感知】（1）如图1，若四边形是正方形，求证：． 【深入研究】（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，若四边形是矩形，，点在的延长线上且满足，当时，求的长． 11．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【考点08：相似三角形的应用】 1．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 2.如图，数学兴趣小组利用标杆测量学校古树的高度，标杆高，测得，，则古树的高度是（   ） A． B． C． D． 3．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 4．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 5．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 6．学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 7．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【考点09：位似变换】 1.如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 2.如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 3.如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 4.如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 5.如图，已知，以原点O为位似中心，位似比为把缩小，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 6.将图中的作下列变换，画出相应的图形． (1)以O点为旋转中心顺时针旋转； (2)以B点为位似中心，放大到2倍． 7.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出与关于x轴成轴对称的； (2)画出以点O为位似中心，与的相似比为的（与在点O的两侧）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $