专题08 反比例函数重难点题型汇编(八大题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题08 反比例函数重难点题型汇编 【题型1：反比例函数的定义】................................................................................................1 【题型2：反比例函数性质】...................................................................................................1 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】....................................................2 【题型4：反比例函数大小比较】............................................................................................4 【题型5：反比例的系数几何意义】......................................................................................5 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】......................................................................6 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】.......................................................................7 【题型8：反比例函数实际应用】...........................................................................................12 【题型1：反比例函数的定义】 1．下列函数y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．反比例函数中，比例系数是（   ） A． B． C． D． 3．若是反比例函数，则的值为 ． 4．如果函数是反比例函数，那么m的值是 ． 【题型2：反比例函数性质】 1．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．随的增大而增大 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 3.反比例函数关于其函数图象下列说法错误的是() A．位于第二、四象限 B．图象过点 C．关于原点成中心对称 D．随的增大而减小 4．已知反比例函数与二次函数的图像有一个交点的横坐标为1，则的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 5．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 6．若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B．C． D． 9．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】 1．函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 3．若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A．B． C． D． 5．已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【题型4：反比例函数大小比较】 1．反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型5：反比例的系数几何意义】 1．如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 3．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A是反比例函数的图像上任意一点，轴交反比例函数的图像于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，则为（    ）． A． B．a C． D． 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】 1．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B．C．或 D．或 4．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】 1．直线与函数的图象有且只有一个公共点，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 3．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 5．如图，直线与双曲线的图象交于两点． (1)若点坐标为点坐标为，求直线的解析式； (2)在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标； (3)若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？ 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 7．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 9．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【题型8：反比例函数实际应用】 1．某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 2．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，则近视眼镜减少的度数为（    ） A．500度 B．300度 C．200度 D．100度 3．年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米? (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 4．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 5．如图，小明想要用撬棍撬动一块石头，已知阻力为，阻力臂为．.设动力为，动力臂为（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）． (1)求关于的函数解析式； (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 6．实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 7．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：    (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 8.在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 9．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 10．为测定一批小灯泡的使用寿命，某实验人员从一批灯泡中随机抽取了一个小灯泡，拼接成如下串联电路图（图1），实验人员收集并整理了滑动变阻器从点移动到点过程中的相关数据，并绘制成函数图象（图2）．已知电流与电阻成反比例（即，为电源电压），在串联电路中，（为小灯泡电阻）， (1)直接写出关于的函数表达式为__________； (2)小灯泡电阻的值为__________，滑动变阻器最大电阻为__________； (3)若小灯泡额定电流为，在不改变电源电压的情况下，为保证实验准确性，实验时滑动变阻器电阻应控制在什么范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 反比例函数重难点题型汇编 【题型1：反比例函数的定义】................................................................................................1 【题型2：反比例函数性质】...................................................................................................3 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】....................................................7 【题型4：反比例函数大小比较】............................................................................................10 【题型5：反比例的系数几何意义】.....................................................................................13 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】......................................................................16 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】......................................................................19 【题型8：反比例函数实际应用】...........................................................................................37 【题型1：反比例函数的定义】 1．下列函数y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键； 根据反比例函数的定义逐项判定即可． 【详解】解： A．x，y是x的正比例函数，故本选项不符合题意； B．，当时，y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； C．，y是的反比例函数，故本选项不符合题意； D．，y是x的反比例函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2．反比例函数中，比例系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的一般形式为 ，其中 为比例系数．将给定函数与之比较，即可得出比例系数． 【详解】∵ 反比例函数的一般形式为 ， 函数 ， ∴ 比例系数 ． 故选：D． 3．若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 4．如果函数是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 根据反比例函数的定义，只需令且即可． 【详解】解：因为函数是反比例函数， 所以， 所以， 故答案为：． 【题型2：反比例函数性质】 1．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：∵反比例函数 中，， ∴ 当时，，图象经过点 ，故A正确； ∴ 图象分别位于第一、三象限，故B正确； ∴ 图象关于原点对称，故C正确； ∴ 在每个象限内，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：D. 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质：反比例函数 中，时图象在一、三象限，时图象在二、四象限．将点代入函数解析式求出值，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数图象在第一、三象限， 故选：A． 3.反比例函数关于其函数图象下列说法错误的是() A．位于第二、四象限 B．图象过点 C．关于原点成中心对称 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键 根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可解答 【详解】解：∵反比例函数， ， ∴图象位于第二、四象限，故A正确； 当时， ，图象过点，故B正确； 反比例函数图象关于原点对称，故C正确； 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大，而非减小，故D错误； 故选D 4．已知反比例函数与二次函数的图像有一个交点的横坐标为1，则的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数图像的交点问题． 将交点的横坐标代入两个函数，令函数值相等，建立方程求解即可． 【详解】解：∵交点的横坐标为1， ∴当时，反比例函数， 二次函数， 又∵两个函数值相等， ∴， ∴． 因此，k的值为5． 故选：C． 5．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 6．若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、直接开方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键． 联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 化简为：， ∵双曲线与直线一定有交点， ∴方程有解， 又∵双曲线中， ∴，解得：． 故选：A． 7．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，双曲线在第二和第四象限，且y随x的增大而增大进行解答即可 【详解】解：每一象限内，y随x的增大而增大， 比例系数 ， ， 故选：B 8．在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 9．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． 验证选项：A．：当时，，不满足； B．：当时，，不满足； C．：当时，，不满足； D．：当时，，满足． ∴函数图象必经过点． 故选：D． 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】 1．函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像和系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据反比例函数与一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：一次函数中，，故与y轴交于负半轴， ∴只能选B或C选项， 当一次函数过一、三象限时，，反比例函数应该过一、三象限 ∴C选项错误， 故选：B． 2．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 3．若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图像性质与一次函数的图像性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数的图像性质进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 4．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 5．已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 【题型4：反比例函数大小比较】 1．反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小． ， ，， ， 故选B． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用代入法求y值并比较大小是关键．根据反比例函数性质，时，函数图像在第一、三象限，代入点坐标计算y值并比较大小． 【详解】解：∵点，，在反比例函数上，   ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，的大小关系为， 故选：B． 3．若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象所在象限，结合图形判定函数值的大小的方法是关键． 根据反比例函数解析式得到函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征．熟练掌握该知识点是关键． 利用待定系数法求得反比例函数的解析式，分别把A、B点坐标分别代入反比例函数解析式，求出、的值，即可得到结论． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 点，，都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：C． 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，先判断的正负，再利用在各自的象限内随着的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 【题型5：反比例的系数几何意义】 1．如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，是解题的关键．根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵函数图象位于第一象限， ∴． 故选：A． 2．如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，由反比例函数k的几何意义可得出，和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：∵A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C， ∴，，， ∴四边形， 故选D 3．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 4．如图，点A是反比例函数的图像上任意一点，轴交反比例函数的图像于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，则为（    ）． A． B．a C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出的长度是解决本题关键． 设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，进而可表示的长度，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：设A的纵坐标是b， ∵四边形是平行四边形， ∴点B的纵坐标也是b， 把代入得，， ∴A的横坐标是， 把代入得，， ∴B的横坐标是， ∴， ∴． 故选：A． 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】 1．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键． 根据两函数的图象交点利用数形结合直接进行解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，满足不等式的的取值范围是或， 故选：． 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质及两函数图象交点的应用，解题的关键是利用正比例函数和反比例函数的对称性确定两函数在第三象限的交点横坐标，再结合图象判断时的取值范围． 先根据正比例函数（）过一、三象限，反比例函数（）过一、三象限，可知两函数图象的交点关于原点对称；由第一象限交点A的横坐标为4，可得第三象限交点的横坐标为-4；再分象限观察图象，第一象限中当时，第三象限中当时，综合得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴正比例函数的图象过一、三象限，反比例函数的图象过一、三象限，且两函数图象的交点关于原点对称．   已知两函数在第一象限交于点A（横坐标为4），则第三象限的交点横坐标为．观察图象：在第一象限，当时，；在第三象限，当时，，故时的取值范围是或． 故选：D． 4．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．首先求出点的横坐标为，然后根据图象求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4， 点的横坐标为． 根据函数图象可知：当时，的取值范围是或． 故选：B． 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】 1．直线与函数的图象有且只有一个公共点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，知道反比例函数的图象与直线只有一个公共点时，是解题的关键．先联立直线与函数的方程，消去得到关于的一元二次方程，再根据判别式等于求出的值即可． 【详解】由题可得，联立方程组得， 直线与函数的图象有且只有一个公共点， ， 解得， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）利用勾股定理求得，进而即可求得点的坐标； （3）根据函数的图象和点的坐标得出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把点，与代入， 得， 解得， 一次函数的表达式是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点 P 是y 轴上的一点， ∴或． （3）解：根据图象可知：在第二象限中，当时x 的取值范围为： ． 3．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 【答案】(1)a的值为8 (2)的取值范围为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标． （1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求； （2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围； （3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在的图象上， ∴将代入，得． ∴a的值为8． （2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或． （3）解：∵一次函数过、， ∴代入得， 用第一个方程减第二个方程：，即， 解得， 将代入，得，即， 解得， ∴一次函数解析式为， 设点的坐标为（，因在线段上）， ∵，且、、在同一直线上， ∴，即， ∵点在上，且为原点， ∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例）， ∴的坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 化简右边：，方程变为， 两边同乘去分母：， 即， 两边除以得， 因式分解：， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时，均在线段上， 故点的坐标为或． 5．如图，直线与双曲线的图象交于两点． (1)若点坐标为点坐标为，求直线的解析式； (2)在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标； (3)若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）将点坐标为点坐标为代入y可得，从而得到，利用待定系数法列方程组求解即可得直线的解析式； （2）过作轴，交于，如图所示，由（1）中，利用待定系数法求出反比例函数解析式，设，则，分两种情况：当点在直线下方的双曲线上；当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），由，利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法列方程求解即可得到答案； （3）根据在线段上，设出坐标，根据轴，垂足为，表示出坐标，进而表示出坐标，得到与，代入，利用二次函数性质求出最大值，以及此时的值，进而确定出坐标，代入双曲线解析式求出的值． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为， ， 解得， ， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作轴，交于，如图所示： 由（1）知，， ， ∴双曲线的解析式为y， ∵点是双曲线上一点， ∴设，则， 当点在直线下方的双曲线上，则， ， ∵，且， ∴，则， 由于，则当时，方程无解； 当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），则， ， ∵，且或， ∴，则， 即， 或； 则点的坐标为或； （3）解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为， ∴，， 将，代入得， 解得， 即直线为， 点是线段上一动点， ∴设，其中， 轴， ， 交双曲线于点， ， ，， ∴， ∵，， ∴当时，最大值为，即， 把代入得， ∴， ∴，即的值为． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，综合性强、难度较大，考查了反比例函数图象与性质、待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例解析式、平面直角坐标系中三角形的面积求法、解一元二次方程、二次函数的性质以及两点间的距离求法等知识，数形结合，熟练掌握函数与几何综合问题的求法是解决问题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3)9 【分析】（1）根据B的坐标求出m，再求出A，将A，B坐标代入一次函数表达式求出k，b即可； （2）表示一次函数的图象在反比例函数图象上方，数形结合即可得到答案； （3）过点作直线与轴平行，交直线于点，求出E的坐标，根据 即可求解． 本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据图象解不等式，及一次函数与反比例函数图象相交产生的三角形面积，掌握相关基本方法是解题关键． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ， ∴反比例函数表达式为， ∵点在的图象上， ， ∴点的坐标为， ∵点，点在的图象上， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由图知，当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方时， 或； （3）解：过点作直线与轴平行，交直线于点，则点与点的纵坐标相同， 对于直线，当时，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴ ． 7．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，可得，再解方程可得答案； 【详解】（1）解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数表达式为， ，得， ， 将点和点代入得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 设，代入得， 解得， 令，得 ； （3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在的图象上， ∴，即， 解得：，， ∴或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，画出图形熟练的利用图形解答是关键. 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为，设，则，根据，可列出关于t的方程，求出t的值即可得出点D坐标．联立，求解即可得出点A坐标，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由一次函数平移规律得出平移后的直线解析式为，与直线解析式联立，即可求出．根据平行四边形的性质和，即得出点E坐标，代入反比例函数解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点B的坐标为， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设， ∵轴交反比例函数的图象于点D， ∴． ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 联立， 解得：或， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵将直线向下平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 由（2）可知， ∴直线的解析式为． 联立，解得：， ∴． ∵平移后的直线与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E， ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴，即． ∵点E在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴a的值为3． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元二次方程的应用，平行四边形的性质，一次函数的平移等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 9．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 【题型8：反比例函数实际应用】 1．某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，一次函数，反比例函数的性质，熟练掌握相关函数图象及性质是解题的关键．根据题意，分别求出一次函数，反比例函数的解析式，结合实际，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：A．设直线所对应的函数解析式为， 点在直线上， ， ， 函数解析式为， 玻璃加热的速度为， 故该选项正确，不符合题意； B．设反比例函数解析式为， 点在直线上， ， ， 与的函数表达式为， 故该选项正确，不符合题意； C．加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于， ，当时，， ，当时，， 能够对玻璃进行加工的时长为， 故该选项正确，不符合题意； D．，当时，， ，当时，， 玻璃从降至室温需要的时间为， 故该选项不正确，符合题意， 故选：D． 2．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，则近视眼镜减少的度数为（    ） A．500度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数，根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设，由图可知函数过， 则， ∴， 当时，， ∴某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，近视眼镜减少的度数为（度）， 故选：B． 3．年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米? (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 【答案】(1) (2)当某人迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米 (3)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米时，迈出的步长之差最多是厘米 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式即可． （2）代入到解析式中，求得，即可求解． （3）根据题意可得，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ， ， ． （2）解：当时，， 当某人迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． （3）解：大圆圈的半径不小于米， ， 即：， ， 某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米时，迈出的步长之差最多是厘米． 4．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程． 5．如图，小明想要用撬棍撬动一块石头，已知阻力为，阻力臂为．.设动力为，动力臂为（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）． (1)求关于的函数解析式； (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． (1)根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； (2)将代入(1)中所求解析式，即可得出y的值． 【详解】（1）解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 6．实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)线段的函数表达式为，双曲线的函数表达式为 (2)第二天早上6：00能驾车去上班，见解析 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴； 当时，，即； 设双曲线的函数表达式为， 由题意可得：得：， ∴； （2）解：第二天早上6：00能驾车去上班，理由见解析， 由得：当时，， 从20：00时到第二天早上6：00点时间间距为10小时， ∵， ∴第二天早上6：00能驾车去上班． 7．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：    (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． （1）应用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减可得结论． 【详解】（1）解：设双曲线解析式为：， ， ， 双曲线的解析式为：； （2）解：设的解析式为： 把 代入中得： 解得： 的解析式为： 当时，，解得 把代入，得 解得： 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 8.在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线 过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 9．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象上点的坐标特征； （1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式； （2）由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可； （3）将代入反比例函数关系式中求出值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为．将、代入中，得： ， 解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． （2）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为 ， 将代入 中，得： ，解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为 ． 当 时，， 图中的值为． （3）解：时，． 答：小明回到家中时，饮水机内的水温约为80℃． 10．为测定一批小灯泡的使用寿命，某实验人员从一批灯泡中随机抽取了一个小灯泡，拼接成如下串联电路图（图1），实验人员收集并整理了滑动变阻器从点移动到点过程中的相关数据，并绘制成函数图象（图2）．已知电流与电阻成反比例（即，为电源电压），在串联电路中，（为小灯泡电阻）， (1)直接写出关于的函数表达式为__________； (2)小灯泡电阻的值为__________，滑动变阻器最大电阻为__________； (3)若小灯泡额定电流为，在不改变电源电压的情况下，为保证实验准确性，实验时滑动变阻器电阻应控制在什么范围． 【答案】(1) (2)5；20 (3)实验时滑动变阻器电阻 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求解析式，解方程和不等式， （1）根据题意关于的函数表达式为，结合过点采取待定系数法求解析式即可； （2）结合反比例函数的性质分别求的最大值和最小值，结合电路图中求解即可； （3）根据题意列出不等式，结合已知的电阻求得范围即可． 【详解】（1）解：根据题意知，关于的函数表达式为，且过点，则 ，解得， 故关于的函数表达式为； 故答案为：； （2）解：根据关于的函数表达式为可知，当最小时，取得最大值，此时滑动变阻器接入的值最小为0，则， 当最大时，取得最小值，此时滑动变阻器接入的值最大，则，解得， 故答案为：5；20； （3）解：由题意得，解得， 则实验时滑动变阻器电阻应控制在． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $