专题10 相似三角形常考五大模型-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题10 相似三角形常考五大模型 【模型01：(双)A字型相似】....................................................................................................1 【模型02：(双)8型相似】......................................................................................................4 【模型03：母子型相似】.......................................................................................................8 【模型04：旋转相似】.........................................................................................................12 【模型05：K字型相似】........................................................................................................16 【模型01：(双)A字型相似】 1．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 3．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 4．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 5．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 6．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 7．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 8． 中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 9．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【模型02：(双)8型相似】 1．如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为 ．    4．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ． 5.综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 6．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 7．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 8．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N． （1）当时，的长为________，________； （2）已知． ①若，求此时的长； ②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由． 9．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 10．如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【模型03：母子型相似】 1．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 2．已知：如图，在中，点是边上的一点（不与点重合），，点是边上一点，． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 3．如图，中，，点是线段上一点，连接，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 4．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 5．如图，已知：在中，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的值． 6．如图，已知是的直径，与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 7．如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 8．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 9．如图，已知中，，，点在边上（点与点、不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点． (1)如果，求的长； (2)当是等腰三角形时，求的长． 10．如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． 【模型04：旋转相似】 1．在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片和来探究图形旋转的性质，先将顶点固定，然后使矩形纸片绕点C旋转．已知，，，，，分别是矩形和的对角线，连接，． 【尝试初探】 （1）如图1，在矩形纸片的旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当的中点恰好在的延长线上时，交于点，交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）当时，请直接写出的面积． 2．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 3．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1） ①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，， （2） （3） 的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 4．【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 5．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 6．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 7．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【模型05：K字型相似】 1．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 5．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形常考五大模型 【模型01：(双)A字型相似】....................................................................................................1 【模型02：(双)8型相似】......................................................................................................14 【模型03：母子型相似】.......................................................................................................33 【模型04：旋转相似】.........................................................................................................46 【模型05：K字型相似】........................................................................................................65 【模型01：(双)A字型相似】 1．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 2．如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 3．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 4．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 5．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似 ，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 6．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 7．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；由，可证，由性质得出，由，可证，由性质得出，将两个式子相加，即可求出的长． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得： ． 8． 中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 9．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或 【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得； （2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN； （3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得． 【详解】解：（1）如图1， 在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM， ∴, ∴AM＝2CF＝4， ∴BM＝AB﹣AM＝5， ∴， ∴BN＝10； （2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在， ∴CF＝9﹣2CF， ∴CF＝3， 当点M和B点重合时， AB＝2CF， ∴CF＝4.5， ∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5， 如图2， 当0＜x＜3时， 作EG⊥BC于G， 由（1）知， EG＝3，AM＝2CF＝2x， ∴BM＝9﹣2x， 由得，， ∴， ∴y＝ ＝ ＝； 如图3， 当3＜x＜4.5时， 由得， ∴CN＝， ∴y＝ ＝； （3）如图4， ∵， ∴， ∴CG＝CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4， ∴BE＝5， 当BM＝BE＝5时， 9﹣2x＝5， ∴x＝2， 如图5， 当EM＝EB＝5时， 作EH⊥AB于H， ∴BM＝2BH＝2EG＝6， ∴9﹣2x＝6， ∴x=， 如图6， 当EM＝BM时， 作MH⊥BE于H， 在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝， ∴BM＝， ∴9﹣2x＝， ∴x＝， 综上所述：x＝2或或． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键． 【模型02：(双)8型相似】 1．如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质和相似三角形的判定可知，从而得到，即可求得的长． 【详解】解： ， ，， 故选：A． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 3．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为 ．    【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，可求，，设，可证，由即可求解． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，   ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 4．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 5.综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 6．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 7．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，，当时，，当时，， (3) 【分析】（1）根据角平分线+平行模型证明，由勾股定理求出，即可得点； （2）由点，点求出，根据运动速度即可得出的表达式； （3）设点P横坐标为，则点P，得，，，根据相似和角平分线+平行模型得，在中，由求出，继而得出各点坐标值，求出直线、解析式，进而求出交点坐标. 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴点, ∴点, （2）∵，点， ∴， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， （3）解：延长、交于点，    ∵点、，设的解析式为 ∴ ∴直线的解析式为， 设点P横坐标为，则点P， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴, ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故，点， 故，点， 同理：直线的解析式为， ∵，点， 同理：直线的解析式为， 联立直线、解析式得： ， 解得：， ∴点坐标为 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线，转换线段比是解题的关键． 8．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N． （1）当时，的长为________，________； （2）已知． ①若，求此时的长； ②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）；；（2）①；②存在，有8个． 【分析】解：（1）由四边形ABCD为正方形，得到△ACD为等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的长，由MN=CD，可以求出MN的长，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN. （2）①过点E作EG⊥AD于点G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到对应边成比例，由勾股定理求出GM的长，再由AM=AG+GM可求出． ②画出图形，过点F作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，根据点M与点F关于BC对称，计算出PE+PF的最小值，与PE+PF=9比较．得出BC上存在两个点，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9． 【详解】解：（1）， ∵四边形ABCD为正方形 ∴△ACD为等腰直角三角形， 则，在Rt△ACD中有AD=AC， AD2+DC2=AC2， ∵AC=12， 解得：AD=CD=6， 又∵MN⊥BC，CD⊥BC ∴MN∥CD，且MN=CD， 即MN=DC=6， 又∵AD∥BC ∴△AEM∽△CEN. （2）①如图，过点E作于点G． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ②存在，这样的点有8个． 如图，过点F作点F关于的对称点M，连接交于点N，连接， ∵点E，F将对角线三等分，且， ∴，． ∵点M与点F关于对称， ∴，． ∴． ∴． 则在线段上存在点N到点E和点F的距离之和最小为． ∴在线段上，点N的左右两边各有一个点P使． 同理在线段，，上都存在两个点使． 即共有8个点P满足． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质、线段和的最值问题等，体现了逻辑推理、直观想象核心素养. 9．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA， ∴BC：BF=BA：BC， 而∠ABC=∠CBF， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴DF：BC=DG：BA， ∴DF•AB=BC•DG； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图， ∵DE∥BC， ∴AH∥DE， ∵点E为AC的中点， 为的中位线， ∴AH=2EG， ∵AH∥DG， ∴， ∴， ∴， 即2DF•EG=AF•DG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 10．如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可； （3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 【模型03：母子型相似】 1．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用两组对角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据，得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴． 2．已知：如图，在中，点是边上的一点（不与点重合），，点是边上一点，． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再根据三角形外角的性质、角的和差以及等量代换可得，然后根据两组角对应相等的三角形相似即可证明结论； （2）如图：过点A作交延长线于点G，与相交于H，先证明可得，再通过证明并结合可得，进而证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图：过点A作交延长线于点G，与相交于H， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 3．如图，中，，点是线段上一点，连接，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由等边对等角得，由三角形外角的性质可得，又由可得，进而可得． （2）根据相似三角形对应边成比例列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 4．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到对应边成比例，将式子变形即可得证； （2）先证明，得到对应边成比例，将式子变形得到，进而化简即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示， 是斜边上的高， ， ， ． ， ， ， ； （2）证明：，， ， ． ． 5．如图，已知：在中，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的判定； （1）根据两个三角形中两个角相等，即可得到三角形相似； （2）根据等腰三角形的性质得到边长，根据（1）中三角形相似得到边的比例进而即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）易得：， 又∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 即， ∴． 6．如图，已知是的直径，与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，圆的性质等知识，掌握各性质是解题的关键． （1）在和中，找到，即可证明； （2）根据，得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， 又∵与相切于点B， ∴ ，即， 在和中， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴解得：． 7．如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，进行证明即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 即 ， 又 ， ． （2）解：由(1)可知，， ， 又∵的角平分线交于点， ∴， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ． 8．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 9．如图，已知中，，，点在边上（点与点、不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点． (1)如果，求的长； (2)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)3 (2)5或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，分情况讨论是关键． （1）由得到，然后由得到，进而利用，得到，然后得证，从而得到的长； （2）分类讨论，①，②，③，然后利用相似三角形的性质进 【详解】（1）解：， ， ，， ， ，， ， ， ∴， ． （2）①如图1，当时，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ②如图2，当时，， ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：或（舍， ， ③如图3，当时，， ，， ， ， ， ，矛盾，舍去， 综上所述，的长为5或． 10．如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度． （1）连接，由，D为中点，得，因为于点E，所以，证明，所以，则； （2）因为，，所以，由勾股定理得，由，求得． 【详解】（1）证明：连接， ，D为中点， ， 于点E， ， ， ， ， ； （2）解：，， ∴， ， ， ， ， ， 的长是． 【模型04：旋转相似】 1．在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片和来探究图形旋转的性质，先将顶点固定，然后使矩形纸片绕点C旋转．已知，，，，，分别是矩形和的对角线，连接，． 【尝试初探】 （1）如图1，在矩形纸片的旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当的中点恰好在的延长线上时，交于点，交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质证明即可得出结论； （2）连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，设，则，利用勾股定理求得值；利用等腰三角形的判定与性质和平行线的判定定理得到，则，求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：画出符合题意的图形，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形和四边形为矩形，，，，， ， ． ，， ， ， ． ，， ， ， ； （2）连接，如图， 为的中点， ， 的中点恰好在的延长线上， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． （3）的面积为或．理由如下： ①连接，，过点作于点，如图， ， ， ， 由（1）知：， ． 设，则， ， ， ． ， 的面积； ②连接，，过点作于点，如图， ， ， ， ． 由（1）知：， ， 的面积． 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 3．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 4．【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 【答案】（1）2；（2）点到的距离不变，仍是2，见解析；（3）的长为或 【分析】（1）利用正方形的性质证明，由全等三角形的性质得出，由三线合一的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）将顺时针旋转至的位置，由旋转的性质和正方形的性质证明，由全等三角形的性质即可得出答案． （3）由正方形的性质进一步证明，由相似三角形的性质得出，再根据情况分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴， 即点到的距离是2． （2）点到的距离不变，仍是2． 理由如下： 如图，将顺时针旋转至的位置． ． ， ． ． ， ． 点到的距离为2， 点到的距离为2． （3）四边形是正方形，边长为2， ，． ， ． ． ． ． 由题意可知点是边的三等分点． 当时，； 当时，． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 5．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，则有，，所以，证明，根据相似三角形的性质得出，然后根据即可求解； （）过作，交于点，则有，由性质得，又为的中点，得出，同理证明，由，则，然后代入即可求解； （）根据相似三角形的性质和面积和差即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， 由（）知：即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 6．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1），． ， ， ，即， ； （2）①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①当时，连结，矩形和矩形都是正方形，可证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； ②连结，根据勾股定理可求得，，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （2）当，时，根据（1）的方法，同样可求得，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （3）分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结，根据勾股定理，可求得，，即得答案； ②点N在矩形外部时，连结，同理可求得另一个答案． 【详解】解：（1）①当时，如图，，，连结， 则矩形和矩形都是正方形， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； 故答案为：； ②连结， 当时， ，， 在中，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； （2）当，时， 由（1）可知，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）当，，，且矩形旋转至三点共线时，分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结， ，，，， ，，， 在中，， 在中，， ； ②点N在矩形外部时，连结， 由①知，，， ； 由①②可知，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据图形运动过程中画出符合题意的图形是解题的关键． 【模型05：K字型相似】 1．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)时，时，时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； 如图2，延长交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），，理由如下： 如图3，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图4，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）知，， ， 即， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键． 5．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $