专题05 二元一次方程组5大高频考点（期末真题汇编，山东专用）八年级数学上学期北师大版

专题05 二元一次方程组 常考考点概览 考点01 二元一次方程（组）的相关概念 考点02 根据二元一次方程组解的情况求参数 考点03 解二元一次方程组 考点04 二元一次方程组的应用 考点05 二元一次方程组与一次函数 地 城 考点01 二元一次方程（组）的相关概念 一、填空题 1．(24-25八上·山东滕州鲍沟中学·期末)若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键：含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义得到，由此求出a、b的值进一步即可得到答案． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得， ∴， 故答案为：1． 2．(23-24八上·山东青岛城阳区·期末)请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴满足二元一次方程组，使该方程组无解． 故答案为：（答案不唯一） 地 城 考点02 根据二元一次方程组解的情况求参数 一、单选题 1．(24-25八上·山东青岛·期末)若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，以及代数式求值，将两方程相加得到，然后代入求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：，即 ， ， 解得：， 故选：B． 2．(22-23八上·山东青岛南区青岛银海学校·期末)已知关于的二元一次方程组的解是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】将代入二元一次方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：将代入二元一次方程组得， ， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程组的解法是解题的关键． 二、填空题 3．(24-25八上·山东菏泽鄄城县·期末)若和都是方程的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是二元一次方程的解的定义和解二元一次方程，掌握相关知识是解题的关键．将方程的解代入方程得到关于、的方程组，从而可求得、的值，最后依据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：将和代入方程得， 解得：． ． 故答案为：4． 4．(24-25八上·山东济南长清区·期末)已知是二元一次方程的一组解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解满足方程，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴ 解得， 故答案为：． 5．(23-24八上·山东枣庄薛城区·期末)若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键； 先将方程的解代入方程，求出，在整体代入求值即可． 【详解】将代入得： ， 6．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)若关于，的二元一次方程组无解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组无解得出的值是解题的关键．方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到，即可求出的值． 【详解】解：， ，得， ， 关于，的二元一次方程组无解， ， ， 故答案为：． 7．(22-23八上·山东枣庄台儿庄区·期末)关于x，y的方程组的解中x与y的和等于5，则k 的值是 ． 【答案】8 【分析】两个方程相减可得出，根据列出关于k的方程，解之可得答案． 【详解】解：把两个方程相减，可得， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是利用加减法得到方程． 地 城 考点03 解二元一次方程组 一、解答题 1．(24-25八上·山东济南·期末)解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了解二元一次方程组； （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元后解方程组即可． 【详解】（1）解： 代入得：， 解得： 把代入①得： ∴方程组的解为； （2）解： 整理得：  ③ 得： 把代入②得， 解得： ∴方程组的解为 2．(24-25八上·山东枣庄滕州·期末)（1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组： （1）先分母有理化，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先将方程组进行整理，再采用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） 整理，得： ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 该方程组的解为． 3．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)选择合适的方法解二元一次方程方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组， 利用加减消元法解方程组即可； 利用加减消元法解方程组即可； 熟练掌握解方程组的方法是解决此题的关键． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入①得：，解得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：； 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为． 4．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)（1）计算： （2）解方程组 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查的是化为最简二次根式，实数的混合运算，二元一次方程组的解法； （1）先化简二次根式，化简绝对值，根据算术平方根与立方根的含义计算，再合并即可； （2）把原方程组整理为：，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） （2）， 原方程整理得， ②①得：， 解得：， 将代入①得：，解得：， 故原方程组的解为． 5．(24-25八上·山东枣庄滕州北辛街道北辛中学·期末)解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． （1）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． 6．(24-25八上·山东济南长清区·期末)解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，将变形为，然后代入，求出x的值，最后求出y的值即可． 【详解】解：， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为：． 7．(24-25八上·山东枣庄山亭区·期末)（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可． （2）将和看作一个整体，得出关于，的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】解：（1）， ①②得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为． （2）由题知，将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 地 城 考点04 二元一次方程组的应用 一、单选题 1．(24-25八上·山东枣庄峄城区·期末)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得绳子长木头的长，绳子的一半长木头的长，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得绳子长木头的长，绳子的一半长木头的长， 列方程组得， 故选：A． 2．(24-25八上·山东济南·期末)《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设合伙人数为x人，金价y，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱． ∵每人出钱400，会多出3400， ∴； ∵每人出钱300，会多出100， ∴． 联立两方程组成方程组得：， 故选：A． 二、填空题 3．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，因为某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，且8个茶杯和1个茶壶为一套，设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，故可列方程组，即可作答． 【详解】解：∵某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，且8个茶杯和1个茶壶为一套，设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人， ∴， 故答案为： 三、解答题 4．(24-25八上·山东济南长清区·期末)某地有一片蔬果采摘园，小美一家决定去采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共30千克，共支付了120元． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，父母决定让小美将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售价格分别是每千克7元和每千克元，求西红柿和土豆全部售出后共计获利多少元？ 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)西红柿和土豆全部售出后共计获利20元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意列出算式求值获得的利润即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解： （元） 答：西红柿和土豆全部售出后共计获利20元． 5．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； (2)共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； (3)购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论； （3）设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利润两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元， 根据题意得：， 解得， 答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； （2）解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则， ， ，n均为正整数， 或或， 共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； （3）解：设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元， 根据题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w最大，最大值为22000， 此时， 购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析式． 6．(24-25八上·山东菏泽鄄城县·期末)阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 7．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元，购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元． (1)甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场分别以元／个、元／个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔共个，请写出销售收入（元）与销售的甲种型号头盔的数量（个）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，商场销售该批头盔的利润能否为元？请说明理由，并写出采购方案． 【答案】(1)甲，乙两种型号头盔的进货单价分别元和元 (2) (3)能；当采购甲，乙两种型号头盔分别为个和个时，商场销售该批头盔的利润能达到元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组和函数关系是解答本题的关键． （1）设甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据销售收入售价数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔收入并求和即为； （3）根据销售利润（售价进价）数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔销售利润并求和就是总的销售利润，令其值为，若解得的值符合题意，说明商场销售该批头盔的利润可以达到元，并求出此时的值，否则，则不能． 【详解】（1）解：设甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元， 根据题意，得， 解得， 甲，乙两种型号头盔的进货单价分别元和元； （2）解：销售的乙种型号头盔的数量为个， 根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （3）解：能，采购方案如下： 设商场销售该批头盔的利润为元，则 ， 当时，，解得， （个）， 当采购甲，乙两种型号头盔分别为个和个时，商场销售该批头盔的利润能达到元． 8．(24-25八上·山东青岛南区·期末)“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．”随着春节临近，某小区物业公司准备购买一些灯笼和春联，对该小区100户业主开展“春节送福”活动．物业公司经过调查得到以下信息： 信息一：若购买5个灯笼和4幅春联需要花费255元；若购买3个灯笼和8幅春联需要花费265元； 信息二：每户业主只能在灯笼和春联中选一种，且选灯笼的业主数量不超过30户． (1)求每个灯笼和每幅春联的价格分别是多少元？ (2)物业公司要为本次活动进行预算支持，请你帮物业公司填写下面的预算表，并说明理由． 物业公司日常费用预算表 费用类别 费用明细 预算支持/元 实际支出/元 预算时间 赠送活动费用 购买灯笼和春联费用 2024年1月 【答案】(1)每个灯笼35元，每副春联20元 (2)物业应提供的预算支持为2450元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程求解是解题关键． （1）根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设有户业主选择灯笼，总费用为元，根据题意得到与的关系式，再结合的取值范围和一次函数性质进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：设每个灯笼元，每副春联元． 根据题意可得：， 解得：， 答：每个灯笼35元，每副春联20元． （2）解：填写：2450，理由如下： 设有户业主选择灯笼，总费用为元． 根据题意可得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，（元）， 答：物业应提供的预算支持为2450元． 9．(24-25八上·山东青岛北区·期末)学校准备组织学生、老师到潍坊进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需13950元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需7316元： 青岛北到潍坊北的火车票价格如下表： 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 青岛北 潍坊北 93 59    (1)参加社会实践的学生、老师各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票单程最多只能买张（参加社会实践的学生人数参加社会实践的总人数），其余人需要买一等座火车票，在保证师生都有座位并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式． 【答案】(1)130，20 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设参加社会实践的学生和老师的人数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）若要总费用最低，必须让尽量多的学生购买二等座，因此分别有 130 个学生和个老师购买二等座，有个老师购买一等座，从而写出总费用与之间的函数关系式即可． 【详解】（1）解：设参加社会实践的学生人，老师人． 根据题意，得， 解得． 答：参加社会实践的学生 130 人，老师 20 人． （2）解：（人）， 根据题意，分别有 130 个学生和个老师购买二等座，有个老师购买一等座． 则． 答：总费用（单程）与之间的函数关系式为． 10．(24-25八上·山东青岛崂山区·期末)根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： (1)若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； (2)若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ (3)为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天        ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天        ④A套餐4天、B套餐1天 【答案】(1) (2)该早餐中牛奶，谷物 (3)② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、百分数的应用等内容； （1）根据比例计算蛋白质总含量即可； （2）根据营养成分得条件建立二元一次方程组求解即可； （3）分别计算出每一方案的蔬菜总量和肉类总量，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，（g）； 答：该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设该早餐中牛奶，谷物， 由题意得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； （3）解：A套餐每天蔬菜250克，肉类80克，B套餐每天蔬菜300克，肉类50克， 一周按5天计算， ①A套餐1天、B套餐4天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ②A套餐2天、B套餐3天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ③A套餐3天、B套餐2天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ④A套餐4天、B套餐1天，蔬菜总量为克，肉类总量为． 只有A套餐2天、B套餐3天满足蔬菜不少于克，肉类不少于克， 故选：②． 11．(24-25八上·山东青岛城阳区·期末)胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个部件和2个部件的总质量为2.8吨，2个部件和3个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少吨？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 【答案】(1)1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨 (2)能通行，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用： （1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，由题意列方程组，即可求解； （2）利用（1）中结论计算出10套设备的质量，加上卡车自重，与大桥限重比较即可． 【详解】（1）解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得， 答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨． （2）解：能通行，理由如下： 10套设备的质量为：（吨）， ， 能通行． 12．(24-25八上·山东枣庄台儿庄区·期末)“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】(1)小长方形的长为米，宽为米； (2)要完成这块绿化工程，预计花费元． 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； （2）解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 13．(24-25八上·山东济南·期末)“泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． (1)绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ (2)某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 【答案】(1)绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元 (2)分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元，根据2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元列出方程组求解即可； （2）设购买绢布扇m个，购买手账本n个，根据总费用为110元列出方程求出m、n的值，再求出的最大值即可得到结论． 【详解】（1）解：设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元； （2）解：设购买绢布扇m个，购买手账本n个， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都为自然数， ∴当时，； 当时，； ∵， ∴分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多． 14．(24-25八上·山东青岛即墨区·期末)某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 【答案】(1)A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克 (2)小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克，根据“1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出2杯A型饮料含咖啡因的总量，将其与100毫克比较作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， 根据题意得：， 解得：， 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克； （2）解：根据题意得：毫克， ，毫克， 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克． 地 城 考点05 二元一次方程组与一次函数 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)一次函数和的图象如图所示， 三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是； 乙：关于x的一元一次方程的解是； 丙：关于x的一元一次方程的解是． 三人中，判断正确的是（　　） A．甲，乙 B．甲，丙 C．乙，丙 D．甲，乙，丙 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．根据和的图象的交点坐标即为 的解，直线与x轴交点的横坐标即为的解解得即可． 【详解】解：∵一次函数和的图象相交于， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是，故甲正确； 关于x的一元一次方程的解是，故乙错误； 的图象与x轴的交点为， 关于x的一元一次方程的解是，故丙正确． 故选：B． 2．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的关系与二元一次方程组，理解点在图象上点的横纵坐标满足它的解析式，求图象交点的坐标常转化为求方程组的解是解答本题的关键．方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在第二象限，从而得到，的范围． 【详解】解：关于，的方程组的解即是一次函数和的交点坐标， 由图象可知，交点在第二象限， ，， 故选：D． 3．(23-24八上·山东青岛即墨区·期末)若函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 先求得两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：函数与的图象交于点， ， ， 关于，的二元一次方程组的解是， 故选：D． 二、填空题 4．(24-25八上·山东济南·期末)直线与交点的纵坐标为4，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线交点坐标与二元一次方程之间的关系，两直线的交点的横纵坐标是对应二元一次方程组的解，据此可得方程组中，再求出方程组中x的值即可得到答案． 【详解】解：∵与交点的纵坐标为4， ∴关于、的二元一次方程组中的y的值为4， 把代入到中，解得， ∴关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 5．(24-25八上·山东青岛南区·期末)如图，在同一直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据直线：与直线：相交于点，得于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解． 本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握一次函数的交点与方程组的解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点， ∴， ∴， ∴方程组的解为， 故答案为：． 6．(24-25八上·山东青岛崂山区·期末)在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题．根据平移的规律顶点平移后两直线的解析式，进一步即可求得交点坐标． 【详解】解：将直线向向上平移4个单位，得到直线， 将直线向左平移6个单位得到直线，即， 联立得， 解得， ， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 7．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)如图，已知直线和直线交于点，若二元一次方程组的解为、，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据两条直线的交点的横纵坐标即为方程组的解，得到的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴的解为：， ∴； 故答案为：3． 三、解答题 8．(24-25八上·山东济南长清区·期末)如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式和点C的坐标； (2)若点D是x轴上一动点，当的面积与的面积相等时，求点D的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，根据即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P的坐标即可；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得H的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式，再求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 将代入得： ， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ， 解得：， ∵， ∴点的坐标为或； （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，    ， ∴为等腰直角三角形， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ∵，， ，， 即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点P的坐标为； ②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，    ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，， ∵，， ，， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上：点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 9．(23-24八上·山东青岛崂山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．P是线段上的一动点（点与点不重合），动点从原点出发沿轴正方向运动，过点作直线平行于轴与相交于点．设点的运动距离为，点关于直线的对称点为． (1)点的坐标为______； (2)求为何值时，； (3)连接，若的面积为S，求S与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称性，求出点M的坐标即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为：，根据，求出直线的解析式为，联立，求出点Q的坐标为，即可得出a的值； （3）分三种情况：当，即点M在点C左侧时，当时，点M与点C重合时，当，即点M在点C右侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为：， 当时，直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴此时点Q的坐标为， ∴此时． （3）解：把代入得：， ∴， 当，即点M在点C左侧时，如图所示： ， ∴； 当时，点M与点C重合，； 当，即点M在点C右侧时，如图所示： ， ∴； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 10．(23-24八上·山东枣庄台儿庄区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点A，点A的横坐标为4，直线与y轴负半轴于点B，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度后，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积． 【答案】(1)，直线的函数表达式是； (2) 【分析】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出点、的坐标是解题的关键． （1）利用直线的解析式求出点的坐标，再根据勾股定理求出的长度，从而可以得到的长度，根据图象求出点的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线的函数表达式； （2）求得平移后的解析式，进而求得交点的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：点的横坐标为4， ， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 设直线的表达式是， 则， 解得， 直线的函数表达式是； （2）如图， 将直线沿轴向上平移5个单位长度得， ∴点C坐标为， 解得交点的横坐标为6， ． 11．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)已知直线与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，．    (1)试猜测的形状，并说明理由； (2)当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)为直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的图像和性质，数量掌握一次函数与二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）将，代入直线，得到函数解析式，得到直线与直线互相垂直，即可证明； （2）求出的坐标，根据对称轴的性质以及两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入直线， 可得， 解得， 直线， 又直线， 直线与直线互相垂直，即， 为直角三角形； （2）解：点A关于y轴对称的点为， 设过点C，的直线为，则，解得， ， 令，则， 当的值最小时，点P的坐标为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组 常考考点概览 考点01 二元一次方程（组）的相关概念 考点02 根据二元一次方程组解的情况求参数 考点03 解二元一次方程组 考点04 二元一次方程组的应用 考点05 二元一次方程组与一次函数 地 城 考点01 二元一次方程（组）的相关概念 一、填空题 1．(24-25八上·山东滕州鲍沟中学·期末)若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 2．(23-24八上·山东青岛城阳区·期末)请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 地 城 考点02 根据二元一次方程组解的情况求参数 一、单选题 1．(24-25八上·山东青岛·期末)若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 2．(22-23八上·山东青岛南区青岛银海学校·期末)已知关于的二元一次方程组的解是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 二、填空题 3．(24-25八上·山东菏泽鄄城县·期末)若和都是方程的解，则 ． 4．(24-25八上·山东济南长清区·期末)已知是二元一次方程的一组解，则m的值是 ． 5．(23-24八上·山东枣庄薛城区·期末)若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 6．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)若关于，的二元一次方程组无解，则的值是 ． 7．(22-23八上·山东枣庄台儿庄区·期末)关于x，y的方程组的解中x与y的和等于5，则k 的值是 ． 地 城 考点03 解二元一次方程组 一、解答题 1．(24-25八上·山东济南·期末)解二元一次方程组： (1)； (2)． 2．(24-25八上·山东枣庄滕州·期末)（1）计算：． （2）解方程组： 3．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)选择合适的方法解二元一次方程方程组： (1)； (2)． 4．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)（1）计算： （2）解方程组 5．(24-25八上·山东枣庄滕州北辛街道北辛中学·期末)解方程组： (1) (2) 6．(24-25八上·山东济南长清区·期末)解方程组： 7．(24-25八上·山东枣庄山亭区·期末)（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 地 城 考点04 二元一次方程组的应用 一、单选题 1．(24-25八上·山东枣庄峄城区·期末)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·山东济南·期末)《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 ． 三、解答题 4．(24-25八上·山东济南长清区·期末)某地有一片蔬果采摘园，小美一家决定去采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共30千克，共支付了120元． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，父母决定让小美将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售价格分别是每千克7元和每千克元，求西红柿和土豆全部售出后共计获利多少元？ 5．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 6．(24-25八上·山东菏泽鄄城县·期末)阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 7．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元，购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元． (1)甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场分别以元／个、元／个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔共个，请写出销售收入（元）与销售的甲种型号头盔的数量（个）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，商场销售该批头盔的利润能否为元？请说明理由，并写出采购方案． 8．(24-25八上·山东青岛南区·期末)“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．”随着春节临近，某小区物业公司准备购买一些灯笼和春联，对该小区100户业主开展“春节送福”活动．物业公司经过调查得到以下信息： 信息一：若购买5个灯笼和4幅春联需要花费255元；若购买3个灯笼和8幅春联需要花费265元； 信息二：每户业主只能在灯笼和春联中选一种，且选灯笼的业主数量不超过30户． (1)求每个灯笼和每幅春联的价格分别是多少元？ (2)物业公司要为本次活动进行预算支持，请你帮物业公司填写下面的预算表，并说明理由． 物业公司日常费用预算表 费用类别 费用明细 预算支持/元 实际支出/元 预算时间 赠送活动费用 购买灯笼和春联费用 2024年1月 9．(24-25八上·山东青岛北区·期末)学校准备组织学生、老师到潍坊进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需13950元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需7316元： 青岛北到潍坊北的火车票价格如下表： 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 青岛北 潍坊北 93 59    (1)参加社会实践的学生、老师各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票单程最多只能买张（参加社会实践的学生人数参加社会实践的总人数），其余人需要买一等座火车票，在保证师生都有座位并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式． 10．(24-25八上·山东青岛崂山区·期末)根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： (1)若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； (2)若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ (3)为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天        ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天        ④A套餐4天、B套餐1天 11．(24-25八上·山东青岛城阳区·期末)胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个部件和2个部件的总质量为2.8吨，2个部件和3个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少吨？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 12．(24-25八上·山东枣庄台儿庄区·期末)“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 13．(24-25八上·山东济南·期末)“泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． (1)绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ (2)某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 14．(24-25八上·山东青岛即墨区·期末)某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 地 城 考点05 二元一次方程组与一次函数 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)一次函数和的图象如图所示， 三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是； 乙：关于x的一元一次方程的解是； 丙：关于x的一元一次方程的解是． 三人中，判断正确的是（　　） A．甲，乙 B．甲，丙 C．乙，丙 D．甲，乙，丙 2．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．(23-24八上·山东青岛即墨区·期末)若函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25八上·山东济南·期末)直线与交点的纵坐标为4，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 5．(24-25八上·山东青岛南区·期末)如图，在同一直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则方程组的解为 ． 6．(24-25八上·山东青岛崂山区·期末)在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为 ； 7．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)如图，已知直线和直线交于点，若二元一次方程组的解为、，则 ． 三、解答题 8．(24-25八上·山东济南长清区·期末)如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式和点C的坐标； (2)若点D是x轴上一动点，当的面积与的面积相等时，求点D的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 9．(23-24八上·山东青岛崂山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．P是线段上的一动点（点与点不重合），动点从原点出发沿轴正方向运动，过点作直线平行于轴与相交于点．设点的运动距离为，点关于直线的对称点为． (1)点的坐标为______； (2)求为何值时，； (3)连接，若的面积为S，求S与的函数关系式． 10．(23-24八上·山东枣庄台儿庄区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点A，点A的横坐标为4，直线与y轴负半轴于点B，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度后，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积． 11．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)已知直线与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，．    (1)试猜测的形状，并说明理由； (2)当的值最小时，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $