专题02 实数7大高频考点（期末真题汇编，山东专用）八年级数学上学期北师大版

专题02 实数 常考考点概览 考点01 实数的混合运算 考点02 无理数的辨析 考点03 无理数的估算 考点04 实数的大小比较 考点05 实数与数轴 考点06 平方根、算术平方根与立方根 考点07 二次根式的概念及性质 地 城 考点01 实数的混合运算 一、单选题 1．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·山东济南槐荫区·期末)下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25八上·山东济南长清区·期末)计算 ． 三、解答题 4．(23-24八上·山东济南长清区·期末)计算： 5．(24-25八上·山东济南长清区·期末)计算： 6．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)计算： (1)： (2)． 7．(23-24八上·山东济南济南实验初级中学·期末)计算： (1)； (2)． 8．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)计算：． 9．(24-25八上·山东枣庄峄城区·期末)计算： (1)； (2)． 10．(24-25八上·山东枣庄滕州北辛街道北辛中学·期末)计算： (1) (2) 11．(24-25八上·山东滕州鲍沟中学·期末)计算： (1) (2) 12．(24-25八上·山东济南·期末)计算： (1)； (2)． 13．(23-24八上·山东济南商河县·期末)计算下列各题： (1)； (2)． 14．(23-24八上·山东济南高新区·期末)计算：． 15．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)计算： (1)； (2)． 地 城 考点02 无理数的辨析 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)下列各数是无理数的是（    ） A． B．0.6 C．π D． 2．(23-24八上·山东济南章丘区·期末)在实数，，，，中，无理数有（　　）个． A． B． C． D． 3．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 地 城 考点03 无理数的估算 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)下列实数，介于5和6之间的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)设为正整数，且，则的值为 ． 3．(22-23八上·山东济南历城区·期末)写出一个比大且比小的整数 ． 地 城 考点04 实数的大小比较 一、单选题 1．(23-24八上·河南郑州登封·期末)下面四个数中，比1小的正无理数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八·期末综合评价卷·期末)比较大小： 3．（选填“>”“<”或“=”） 3．(23-24八上·山东青岛崂山区·期末)比较大小： （用“”“”“”填空）． 4．(22-23八上·山东青岛南区青岛大学附属中学·期末)比较大小 ． 地 城 考点05 实数与数轴 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南长清区·期末)已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·山东济南平阴县·期末)如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·山东济南钢城区·期末)如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是 ． 地 城 考点06 平方根、算术平方根与立方根 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南长清区·期末)16的算术平方根是（   ） A． B．2 C． D．4 2．(24-25八上·山东济南·期末)下列命题中，真命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．在中，若，则是直角三角形 二、填空题 3．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)若，则的平方根为 ． 4．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)的相反数是 ；8的立方根为 ． 地 城 考点07 二次根式的概念与性质 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南商河县·期末)下列各式中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(22-23八上·山东济南长清区·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)化简得（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 5．(22-23八上·山东济南钢城区·期末)若最简根式与是同类二次根式，则 ． 三、解答题 6．(24-25八上·山东济南莱芜区·期末)某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 7．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 8．(23-24八上·广东揭阳·期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： 即 ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)___________． (2)化简． (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 常考考点概览 考点01 实数的混合运算 考点02 无理数的辨析 考点03 无理数的估算 考点04 实数的大小比较 考点05 实数与数轴 考点06 平方根、算术平方根与立方根 考点07 二次根式的概念及性质 地 城 考点01 实数的混合运算 一、单选题 1．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 2．(23-24八上·山东济南槐荫区·期末)下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加减乘除等运算，根据二次根式混合运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 3．(24-25八上·山东济南长清区·期末)计算 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 三、解答题 4．(23-24八上·山东济南长清区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 5．(24-25八上·山东济南长清区·期末)计算： 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据二次根式性质，零指数幂运算法则，立方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 6．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)计算： (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算： （1）利用平方差公式和二次根式的乘法计算，再合并即可； （2）先开方，计算零指数幂，负整数幂，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．(23-24八上·山东济南济南实验初级中学·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算， （1）根据立方根、算术平方根的定义及性质化简后，结合有理数的加减运算法则求解即可得到结论； （2）根据乘法公式计算求解即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂，绝对值，立方根是解题的关键．根据零指数幂，绝对值，立方根计算出各项，再相加减即可得． 【详解】解：原式． ． 9．(24-25八上·山东枣庄峄城区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可得解； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．(24-25八上·山东枣庄滕州北辛街道北辛中学·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）先把各二次根式化简，再根据平方差与完全平方公式计算，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简，再根据二次根式乘除法法则计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．(24-25八上·山东滕州鲍沟中学·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简、平方差公式和完全平方公式的应用、二次根式的加减法法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）先化简绝对值，负整数指数，平方差公式展开，再利用二次根式的加减法法则计算即可； （2）先用化简二次根式，再利用二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．(24-25八上·山东济南·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，根据相应的运算法则计算即可． （1）利用平方差公式和二次根式的性质计算即可； （2）利用二次根式的性质化简、二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） 13．(23-24八上·山东济南商河县·期末)计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的性质，把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则，把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 14．(23-24八上·山东济南高新区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．掌握二次根式的混合运算法则，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：原式． 15．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点02 无理数的辨析 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)下列各数是无理数的是（    ） A． B．0.6 C．π D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、0.6是有理数，故此选项不符合题意； C、π是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．(23-24八上·山东济南章丘区·期末)在实数，，，，中，无理数有（　　）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根、求立方根，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 则无理数有个， 故选：． 3．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握无理数、有理数、整数等的意义和特征是解题关键 .． 无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．根据无理数的定义，进行判断即可． 【详解】A：是有理数，故不符题意； B：是无限不循环小数，故符合题意； C：0是有理数，故不符题意； D：是有理数，故不符题意 故选：B 地 城 考点03 无理数的估算 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)下列实数，介于5和6之间的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 【详解】解A. ，不符合题意； B.，即，不符合题意； C.，即，符合题意； D.，即，不符合题意； 故选C． 二、填空题 2．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)设为正整数，且，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了无理数的估算，准确确定n的值是解题的关键．由，结合算术平方根即可确定n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为8． 3．(22-23八上·山东济南历城区·期末)写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据算术平方根的定义估算出，的大小，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴大于且小于的整数有3或4． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 地 城 考点04 实数的大小比较 一、单选题 1．(23-24八上·河南郑州登封·期末)下面四个数中，比1小的正无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：A．是有理数，故A不符合题意； B．是负数，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴，故D符合题意． 故选：D． 二、填空题 2．(24-25八·期末综合评价卷·期末)比较大小： 3．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 3．(23-24八上·山东青岛崂山区·期末)比较大小： （用“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式的性质是解题的关键．由，得，故，那么可得与的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ， 即， ∴， 即 故答案为：． 4．(22-23八上·山东青岛南区青岛大学附属中学·期末)比较大小 ． 【答案】 【分析】根据作差法判断即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 地 城 考点05 实数与数轴 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南长清区·期末)已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：，A、B选项均根据不等式的性质判断正误即可；C选项根据有理数的乘法法则进行计算即可；D．根据有理数的加减法则进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：， A．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； B．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； C．，，，此选项的判断正确，故此选项符合题意； D．，，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．(24-25八上·山东济南平阴县·期末)如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号．根据题意得到，，由此根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，，， 观察四个选项，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 3．(23-24八上·山东济南钢城区·期末)如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，应用勾股定理，求出，根据作图即可求出的长度，即可求解，本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是：应用勾股定理，求出的长度． 【详解】解：点，在数轴上所表示的数分别为0，3， ， 在中，， 由作图可知，， 的值为， 故选：． 二、填空题 4．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式． 先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长，从而得到即可． 【详解】解：正方形的面积为3， ， 数轴上点A对应的数是， 故答案为：． 地 城 考点06 平方根、算术平方根与立方根 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南长清区·期末)16的算术平方根是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查算术平方根的定义．由题意根据算平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．(24-25八上·山东济南·期末)下列命题中，真命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用开平方的定义、等式的性质、平行线的性质及直角三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、如果，那么，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、如果，那么，正确，是真命题，符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、在中，若，则不是直角三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 3．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的应用，涉及平方根定义、算术平方根非负性、平方的非负性等知识，根据非负数和为零的条件得到值，代值求解即可得到答案，熟练掌握非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，解得， ， 的平方根为， 故答案为：． 4．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)的相反数是 ；8的立方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了实数的性质和立方根，根据互为相反数和立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：的相反数是，8的立方根为2， 故答案为：；2． 地 城 考点07 二次根式的概念与性质 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南商河县·期末)下列各式中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案． 【详解】解：，故A选项不正确，符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．(22-23八上·山东济南长清区·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的运算法则逐个计算即可． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项正确； C、，所以C选项错误； D、和不能合并，所以D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质及加减乘除运算法则是关键． 3．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简． 根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得． 【详解】解：由题意得，，则， ∴． 故选：C． 二、填空题 4．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 5．(22-23八上·山东济南钢城区·期末)若最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】根据同类二次根式的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：最简根式与是同类二次根式， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 三、解答题 6．(24-25八上·山东济南莱芜区·期末)某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 7．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可； （2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可； （3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值． 【详解】（1）解：（1） ； （2）∵a是的小数部分，且， ∴， ∴； （3） ． 【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式和估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算是解题的关键． 8．(23-24八上·广东揭阳·期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： 即 ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)___________． (2)化简． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值： （1）直接分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先求出，据此把所求式子裂项计算即可； （3）先求出∴，进而得到，则，再把所求式子变形为，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $