精品解析：福建省漳州三中2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

漳州三中2025-2026学年高三毕业班第二次月考数学试题 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入答题卡相应位置内； 2.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上； 3.考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据交并补混合运算逐项判断检验即可. 【详解】集合. 而，所以， 所以，不合题意，所以A错误； ，所以，B正确； ，所以或，不合题意，所以C错误； 或，所以或，不合题意，所以D错误. 故选：B. 2. 若直线被圆C截得的弦长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线截得弦长公式可得. 【详解】圆心到直线得距离为， 由弦长公式，其中，，得 ，解得 将代入，得: ， 故选：D 3. 数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义和等差数列的通项公式求出答案即可. 【详解】因为成等比数列，所以. 设等差数列的公差为，则， 因为，所以. 所以，化简得， 解得或(舍去)， 所以. 故选：C. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解单调递减区间. 【详解】由题意函数的图象向左平移个单位长度后，得到 ， 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数 ， 的一个单调递减区间， 解得，当时，在上单调递减. 故选：B. 5. 2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据：） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得， 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要43年. 故选：A. 6. 若圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的展开图和圆锥表面积公式进行求解即可. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以此半圆半径为，半圆弧长为. 所以，即. 根据表面积公式得. 所以，所以圆锥的高为. 故选：D. 7. 已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，判断函数在上有极值的充分条件和必要条件即可确定答案. 【详解】对函数求导得， “函数在上有极值”等价于“在上有根”， 即有正实数根， 由于当时的值域为, 所以有正实数根等价于，即. 所以“函数在上有极值”的充分必要条件是“” 显然，BCD项均不满足函数在上有极值的充分条件. 只有A中是的充分必要条件， 故选：A. 8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可. 【详解】先作出的大致图象，如下： 令，则，根据的图象可知： 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又，此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据单调性可判断A，利用对数运算可判断B，利用基本不等式可判断CD. 【详解】因为，而，故，故A错误； 又，，故且，故B正确； 由基本不等式可得，而，故等号不可取， 故，故C正确； 而，结合C中结果可得，故D正确， 故选：BCD. 10. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为 C. 样本质量指标值的众数大于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为84 【答案】AB 【解析】 【分析】由频率和为解得的值，判断A选项，计算得到平均数、众数和第百分位数，判断BCD选项. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，样本质量指标值的平均数为，B正确； C选项，样本质量指标值的众数为，C错误； D选项，前三组数据的频率之和为， 前四组数据的频率之和为， 所以第百分位数位于第四组，设其为， 则，解得， 所以样本质量指标值的第75百分位数为，D错误； 故选：AB. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则（ ） A. B. C. 线段MN的垂直平分线为 D. △不是等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线过抛物线的焦点可以得到抛物线方程为，即可得到，与直线联立可以解得交点，即可求出弦长，得到；根据交点坐标即可得到中点，进一步得出垂直平分线的方程，可判断；分别求出三条边长即可判断. 【详解】因为直线过抛物线的焦点， 所以，所以，即,故A正确。 所以抛物线的方程为，与直线方程联立可得： ，即，化简得， 解得和，代入直线得，. 交点，所以. 故B错误。 M，N两点的中点为， 直线的斜率为，垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为：，即，所以C正确。 所以，所以△不是等腰三角形，故正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量、的坐标后求出的坐标可得对应的复数所对应的点的坐标. 【详解】因为复数，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，，故， 故向量对应的复数所对应的点的坐标为， 故答案为：. 13. 的二项展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理求常数项即可. 【详解】由展开式的通项公式为，， 令，得，所以中的常数项为. 故答案为： 14. 已知函数（，，且），若恒成立，则=________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，求得极值点和函数的极小值，也是函数的最小值，令最小值为1，即可求得的关系式，然后利用对数的运算进行计算即可. 【详解】由题意知的定义域为， 对函数求导得， 则，即，解得. 因为，所以. 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，也是最小值为， 要使得不等式恒成立，则，即， 由于，即，则，所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得； （2）求得，然后利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 因为，所以， 化简得，所以，所以等比数列的公比. 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 16. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题.已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响. （1）求在三人中恰有两人答对题目的条件下，甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列为 0 3 6 【解析】 【分析】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得，再由条件概率公式计算； （2）确定的所有可能取值为，0，3，6，分别计算出概率得到分布列，然后由期望公式计算出期望. 【小问1详解】 甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件， ， ， 所以． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为，0，3，6， 则， ， ， ． 所以的分布列为 0 3 6 故． 17. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为1的正方形，，，. （1）证明：四棱锥是一个“阳马”； （2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 【答案】（1） 证明： 四边形是正方形，， ，，平面， 平面，平面，， 四边形是正方形，， ，，平面. 平面，平面，， ，平面， 平面， 四棱锥是一个“阳马”； （2） 【解析】 【分析】（1） 利用空间垂直关系可证明线面垂直，即得证阳马； （2）利用空间向量法来求解参数，从而可求线面角正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，， 以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，，，，， 所以 ， 设是平面的一个法向量，则， ，令，则，， 设是平面的一个法向量，则， ，令，则，， ， 或（舍去）. ，， 平面，直线与底面所成角的正切值为. 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围； （3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由. 【答案】（1）极小值，极大值 （2） （3）不能，理由为： 设在的切线平行于轴，其中， 则， 结合题意，；， 相减得， 又， ∴，又，∴， 所以， 设，. 设， ， 所以函数在上单调递增，· 因此，即. 也就是， 所以无解. 所以在处的切线不能平行于轴. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）求出函数的定义域与导函数，依题意，在恒成立，参变分离可得在恒成立，利用基本不等式求出，即可得解； （3）根据题意，将问题转化为方程是否有根的问题，构造函数，利用导数研究其单调性，即可容易判断. 【小问1详解】 函数，则定义域为， 又， 令，得，或， 令，则，令，则， 故在区间，上单调递减，在区间上单调递增， 所以极小值，极大值. 【小问2详解】 因为，则定义域为， 又， 由题意，知，在恒成立，所以在恒成立， 即， 又，，当且仅当时等号成立. 故，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2025-2026学年高三毕业班第二次月考数学试题 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入答题卡相应位置内； 2.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上； 3.考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线被圆C截得的弦长为，则（ ） A. B. C. D. 3. 数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据：） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 6. 若圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为 C. 样本质量指标值的众数大于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为84 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则（ ） A. B. C. 线段MN的垂直平分线为 D. △不是等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为________. 13. 的二项展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 14. 已知函数（，，且），若恒成立，则=________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求的前项和. 16. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题.已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响. （1）求在三人中恰有两人答对题目的条件下，甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望. 17. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为1的正方形，，，. （1）证明：四棱锥是一个“阳马”； （2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围； （3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $