专题02 直线和圆的方程（期末真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 8大高频考点概览 考点01直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆的位置关系 考点06 圆与圆的位置关系 考点07 轨迹问题 考点08 范围问题 地 城 考点01 直线的倾斜角与斜率 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量求斜率，再求倾斜角. 【详解】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为． 故选：D 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）若直线与平行，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行的等价条件计算即可求参． 【详解】由题意可得，解得． 故选：A. 5．（24-25高二上·安徽·期末）平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角为，求出直线的斜率；再根据两直线与垂直，斜率积为，从而求出的斜率. 【详解】因，所以， 易知，故直线的斜率为. 故选：B. 6．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线与平行，则（    ） A．或3 B．0或3 C．0或 D．或0或3 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的条件，列式计算并验证得解. 【详解】由直线与平行，得， 解得或或，当时，两直线重合，不符合题意； 或符合题意，所以或. 故选：B 7．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）斜率为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率定义和倾斜角的范围易得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故得. 故选：D. 8．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）直线的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可． 【详解】由，得， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 9．（24-25高二上·安徽黄山·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， 所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得. 故选：C. 11．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 12．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知直线与直线互相平行，则实数a为（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】进出两条直线不相交时的值，再验证即得. 【详解】当直线与直线不相交时，， 解得或，当时，直线与平行， 当时，直线与平行， 所以实数a为0或. 故选：C 13．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】因为，，故或． 故选：A． 二、填空题 14．（24-25高二上·安徽滁州·期末）若直线与直线互相垂直，则 . 【答案】 【分析】利用直线垂直的定义计算即可. 【详解】由题意知直线的斜率为， 若，则一条直线的斜率为，另一条直线垂直于轴，此时两直线不垂直. 故，所以直线的斜率为，且两直线相互垂直， 故有，解得. 故答案为： 地 城 考点02 直线的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，先根据对称得到方程，求出点坐标，数形结合得到，直线垂直于直线时，点到直线的距离最大，根据的斜率求出直线的斜率为，得到直线方程. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，解得，即 设点到直线的距离为， 又直线经过点，所以当垂直于直线时，取得最大值， 而， 因此直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 故选：B 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两条直线垂直得出斜率，再应用点斜式求解直线即可. 【详解】由题意可知，直线与垂直，直线的斜率为，所以的斜率为5， 又因为过点，所以直线的方程为，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·安徽六安·期末）直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先求出两直线垂直时的值，进而可判断充分必要条件． 【详解】直线， 当时，有，解得或. 所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的方向向量坐标可求出直线斜率，利用点斜式方程即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，故其斜率为，又直线过点， 故其方程为：，即. 故选：A. 5．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线：在轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解. 【详解】令，代入，得， 故选：B 6．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 7．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的方向向量可得其斜率为，进而得到与直线垂直的直线的斜率为，分别计算各选项的斜率即可判断. 【详解】因为直线的方向向量是，所以直线斜率， 所以与直线垂直的直线的斜率为. 对于选项A:由，可得斜率为，故选项A正确； 对于选项B:由，可得斜率为，故选项B错误； 对于选项C:由，可得斜率为，故选项C错误； 对于选项D:由，可得斜率为，故选项D错误. 故选：A. 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知直线 和直线 互相平行，则实数 的值为（    ） A．或2 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行关系列式求的值，并代入检验即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 若，则两直线分别为，符合题意； 若，则两直线均为，不符合题意； 综上所述：. 故选：D. 9．（24-25高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 二、多选题 10．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点． B．截距相等的直线都可以用方程表示 C．直线的倾斜角为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】AD 【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用截距的定义可判定B，利用斜率与倾斜角的关系可判定C，利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定D. 【详解】对于A，由直线方程有 ，故必过点，故A正确； 对于B，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为，如， 所以不能用方程表示，故B错误； 对于C，直线的斜率为，则倾斜角为，故C错误； 对于D，由直线和的斜率分别为，则有，故相互垂直， 将代入方程，则成立，故D正确． 故选：AD. 11．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【分析】由题意知三条直线中，有两条直线相互平行，讨论平行和平行，求解即可. 【详解】由题意可得，三条直线中，有两条直线相互平行， l1：的斜率为，l2：的斜率为， 所以不平行， 若平行，则，解得：， 若平行，则，解得：， 综上：实数a的值为或. 故选：BD. 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末）下列说法正确的是（    ） A．点是直线l上不同的两点，则直线l可以表示为 B．若直线与直线平行，则实数 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．直线的斜率分别是方程的两根，则 【答案】BD 【分析】对于A，根据两点的横坐标，纵坐标是否相等进行讨论，可得答案；对于B，利用直线与直线平行的性质直接求解，可得答案；对于C，分截距为和截距不为两种情况，进行求解，可得答案；对于D，利用根与系数的关系可进行判断得到答案. 【详解】对于A，当,时，由斜率公式，可得，可整理为， 当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，则， 解得：或，当时，两直线重合，舍去，故时，两直线平行，B正确； 对于C，当直线在坐标轴上截距为时，设，将代入得，此时直线方程为， 当直线在坐标轴上截距不为时，设直线方程为，把代入得，解得. 此时直线方程为，即， 故过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为和，故C错误； 对于D，设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 所以利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 13．（24-25高二上·安徽·期末）若直线与直线平行，则实数 . 【答案】2 【分析】根据直线平行的判定列方程求参数即可，注意排除两直线重合的情况. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故答案为：2 四、解答题 14．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式来求得正确答案. （2）求的直线的方程，通过联立方程组来求得的坐标. 【详解】（1）中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般方程为. （2）由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即 联立和方程，解得垂足. 15．（24-25高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 地 城 考点03 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 2．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，则得到答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得． 【详解】由已知，可设所求直线的方程为：， 即， 又因为此直线与直线平行， 所以：， 解得：， 所以所求直线的方程为：，即． 故选：A． 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）若平面内两定点间的距离为，动点满足，则到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动点的坐标，以及,，根据建立等量关系，化简即可求得最值. 【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则,，设， ， ， 整理得：， 则点的运动轨迹为一个圆，圆心为，落在轴上， 所以点P到轴的距离最大即为圆的半径，故为． 故选：A 二、多选题 5．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】BD 【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果. 【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可. 故选：BD 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 【答案】ACD 【分析】结合直线平行、垂直、相交的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：，一定不重合，若，则，解得或，故A正确； 对B：若，则，整理得，， 此方程无解，故不存在a，使得，故B错误； 对C：若，的交点横坐标为，则交点为，代入， 得，所以或1，故C正确； 对D：若且，则的斜率存在且不为零，在x轴上的截距， 所以一定经过第一象限，故D正确． 故选：ACD. 7．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知直线：，：（），则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为3 【答案】ABD 【分析】将直线变形为，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D. 【详解】：（）变形为， 由 则因此直线过定点，故A正确； 当时，：，：， 所以，故两直线平行，故B正确； 当时，：，：， 因为，故两直线不垂直，故C错误； 当时，则满足，解得，此时：，：，即，则两直线间的距离为，故D正确． 故选：ABD． 8．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线l经过点和，则下列说法正确的是（    ） A．直线l在两坐标轴上的截距相等 B．直线l的斜率为1 C．原点到直线l的距离为 D．直线l的一个方向向量为 【答案】BC 【分析】由直线l经过的两点坐标，可以求出直线的斜率、直线的方程，利用直线的方程判断选项的正误. 【详解】直线l经过点和，所以直线的斜率，故B正确； 易得直线的方程为，即， 令，得，即纵截距为1，令，得，即横截距为，故A错误； 原点到直线l的距离，故C正确； 因为，所以不是直线l的一个方向向量，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点为，再利用点斜式方程即可得答案. 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 10．（24-25高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果. 【详解】由题意可知：直线的斜率为，过定点； 直线的斜率为，过定点； 可知，所以两直线之间距离的最大值为． 故答案为：. 11．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知直线与直线，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即为， 又直线， 根据两平行线间距离公式知，两条平行直线之间的距离为， 故答案为： 12．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】题中算式表示动点到的距离之和，根据平面内到两定点距离之和大于等于两定点间的距离，可得结论. 【详解】的最小值，即动点到的距离之和最小， 由平面内到两定点距离之和大于等于两定点间的距离， 为正方形的四个顶点，当为正方形对角线交点时，取最小值4. 故答案为：4 13．（24-25高二上·安徽六安·期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为 ． 【答案】 【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案. 【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知, 设关于直线的对称点，，解得； 由反射光线性质知 所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度， . 故答案为：. 四、解答题 14．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【详解】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 15．（24-25高二上·安徽铜陵·期末）已知△ABC三个顶点的坐标分别为，线段AC的垂直平分线为l.    (1)求直线l的方程; (2)点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线AC的斜率，再确定l的斜率，最后应用点斜式写出直线方程； （2）应用点关于直线对称转化距离和，三点共线求出最小值，联立方程求出点的坐标. 【详解】（1）因为直线AC的斜率为，所以直线l的斜率为. 因为AC的中点为，所以直线l的方程为，即. （2）点A与点C关于直线l对称，又点P在线段AC垂直平分线上， 所以，当点P位于直线BC与l交点处时，取最小值，则取最小值. 由得直线BC的方程为，即， 联立方程，解得， 所以点P的坐标为. 地 城 考点04 圆的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【详解】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为． 故选：B 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【详解】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C 4．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：D. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：A 6．（24-25高三上·安徽六安·期末）圆上一点关于x轴的对称点为B，点E，F为圆O上的两点，且满足，则直线的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可. 【详解】由知， 所以，而，∴. 故选：B. 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 二、多选题 8．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 9．（24-25高二上·安徽·期末）已知直线，其中为常数，与的交点为，则（    ） A．对任意实数 B．不存在点，使得为定值 C．存在，使得点到原点的距离为3 D．到的最大距离为 【答案】ACD 【分析】对于A，由即可判断得；对于B，结合选项A中的结论，得到M在圆上，由此可求得点P使得为定值；对于C，利用选项B中的结论，结合点到圆上的点的距离的最小值即可判断；对于D，利用直线到圆上点的距离的最大值即可判断. 【详解】对于A，因为，则，故A正确； 对于B，因为，即， 易得直线过定点，直线过定点， 因为与的交点为M，则M在以AB为直径的圆上， 而AB的中点为，且，故点M在圆：上， 故取点P坐标为，此时为定值，故B错误； 对于C，因为，圆的半径为， 故M到原点取值范围为，且， 所以存在实数a，使得M到原点的距离为3，故C正确； 对于D，因为过原点O，所以当， 且M在直线OC上时，点M到的距离最大且最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、解答题 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. (1)求顶点和的坐标； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标； （2）设圆的一般方程为，将三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解. 【详解】（1）由，解得，所以， ∵，且， ∴，∴，又， ∴直线的方程是，， 由，解得， 所以， 所以，； （2）设的外接圆的方程是， 将，，三点坐标分别代入，得 ，， 的外接圆的方程是. 11．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 地 城 考点05 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 2．（24-25高二上·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 4．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）从点射出的一束光线在轴上反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设反射光线与轴的交点为，因为反射光线与直线关于直线对称，则反射光线的斜率与直线的斜率互为相反数，表示出反射光线的方程，由反射光线与已知圆相切，可得出圆心到反射光线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出反射光线所在直线的方程． 【详解】 由圆的方程化为, 则圆心为，半径为， 设反射光线与轴的交点为，则直线的斜率为， 因为反射光线与直线关于直线对称， 所以反射光线的斜率为， 则反射光线所在的直线方程为，即． 因为反射光线与圆相切，所以， 化简可得，解得经检验，不满足条件，舍去或， 所以反射光线方程为． 故选:B. 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线与圆相交于点P，Q，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求得圆心到直线的距离，进而可求得. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：B. 二、填空题 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知过点有两条直线与圆相切，切点分别为，，则 ． 【答案】 【分析】由切线的性质及正切的二倍角公式即可求解； 【详解】根据题意，圆心，半径为， 设直线与圆相切于点，如图， 易知，，则， 所以， 则． 故答案为：. 7．（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【分析】写出直线方程，求出圆心到直线l的距离，由垂径定理求得弦长. 【详解】由题意可得直线l的方程为，即，即， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l被圆所截得的弦长为 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知直线与直线平行. (1)求这两条平行线间的距离； (2)若以点为圆心，为半径的圆，与直线相切，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线平行求得，根据平行线间的距离公式即可求解； （2）根据圆心到直线的距离等于半径即可列方程求解. 【详解】（1）直线，即与直线平行， 则，解得 则直线为， 所以这两条平行线间的距离； （2）由题意知点到直线的距离为， 由（1）知直线为，则， 解得或. 9．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上． (1)求圆的方程； (2)设过点的直线与圆交于两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，再设出圆的一般式方程，代入坐标求解参数即可. （2）利用勾股定理求出点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式建立方程，求解参数，得到直线方程即可. 【详解】（1）曲线和轴的交点为和，和轴的交点为. 设圆的方程为，则代入以上三点坐标可得，，. 所以， ， . 从而圆的方程为. （2）圆的方程化为标准方程即为，从而圆心为，半径. 设圆心到直线的距离为，由勾股定理得，解得. 再设直线的方程为，即，则. 从而，即. 所以或，故直线的方程为或. 整理可得直线方程为或者. 10．（24-25高二上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心所在直线，解方程组求得圆心坐标，继而求得半径，即可求得圆的方程； （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离的表达式，根据弦长列式计算，求得斜率，即可得答案. 【详解】（1）易知过点且与直线垂直的直线斜率为， 故圆心与切点连线方程为， 联立，解得， 所以； 所以圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）由（1）可知圆的方程为， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，符合题意， 若直线的斜率存在，设方程为，即 则，即，解得， 所以直线的方程为或. 地 城 考点06 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知点，，点满足，同时满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆；再由点满足，得到轨迹方程为圆，点是两个曲线的公共点，联立求出直线方程，得解. 【详解】根据题意可知，点满足，设， 因为，所以可得，计算可得，， 又因为点满足，所以， 计算可得，，所以点是两个曲线的公共点， 联立两式相减可得， 代入圆可得，，所以点到轴的距离为． 故选：D. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 6．（24-25高二上·安徽·期末）若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个圆的圆心，利用相交两圆的对称性即可求得相交弦的中垂线方程. 【详解】由可得，，圆心为， 由可得，，圆心为， 根据圆的对称性可知，即线段的中垂线， 故其方程为：，即. 故选：B. 7．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径； 圆：可化为， 可得圆心，半径， 所以， 由圆圆内切，所以，即， 解得：. 故选：C. 8．（24-25高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 9．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等，再利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】结合题意：圆的标准方程为，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等， 所以，， 此时，的半径都是， 又， 所以，外切． 故选: C. 二、多选题 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 【答案】ACD 【分析】根据圆的半径为，求得的值，可判定A正确；根据点与圆的位置关系的判定方法，可判定B不正确；根据圆圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；根据平分圆C的周长时，得到圆心在直线上，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D正确． 故选：ACD. 11．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．过点作直线与圆交于两点，则范围为 B．圆上有4个点到直线的距离等于1 C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为 D．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点 【答案】ABC 【分析】对于A选项 : 确定 点位置, 然后分析圆心 到过点 的直线的距离 , 结合 确定出的范围;对于B选项: 先确定圆心到直线 的距离然后结合图示进行说明；对于C选项:先确定出两圆的位置关系, 然后得到两圆的半径与圆心距的关系, 由此求解出结果; 对于 D选项: 设出 点坐标, 表示出以 为圆心, |QC| 为半径的圆的方程,根据相交圆的公共弦所在直线的方程确定出 CD的方程, 由此确定出所过的定点; 【详解】圆的圆心为，半径， 对于选项：因为， 可知点在圆内，可得圆心到过点的直线的距离， 所以，故正确； 对于选项B：因为圆心到直线的距离， 作且与的距离均为1，如下图所示： 由图可知此时到的距离均为1，所以圆上有4个点 到直线的距离等于1，故B正确； 对于选项C：圆的圆心，半径为，则， 若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，则，即 ，解得，所以实数的取值范围为，故C正确； 对于选项D：设，则， 可得， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 整理得， 由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 可得，整理得， 令，解得，所以直线必过定点，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二上·安徽合肥·期末）年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：  是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ．    【答案】 【分析】利用圆、圆均与圆外切，分别求出圆、圆的方程，直线的方程为，由圆的弦长公式建立方程组，求解即得. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为3. 设圆的标准方程为，圆心为，半径为 因为圆与圆外切，所以，解得， 根据对称性得圆、圆的标准方程分别为，. 直线过点，且与三个圆都相交， 设直线的方程为，且存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： ， 依题意，， 可得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 求出三个圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用弦长相等，结合点到直线距离公式和弦长公式列等式求. 地 城 考点07 轨迹问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知四边形的外接圆的直径为，设圆的圆心为,半径为，则，进而可求四边形的外接圆的面积的最大值. 【详解】圆，即为，圆心， 圆即为，设圆心为,半径为，则，， 因为是圆上一动点， 所以. 因为 为四边形的外接圆的直径. 所以四边形的外接圆的面积的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知圆，过圆外一点作圆的切线，切点为，为坐标原点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出方程，得到的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得到的最小值. 【详解】设，因为圆，则圆心，半径为， 故， 根据题意有，即 即 整理得， 即的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以 故选:A 3．（24-25高二上·安徽六安·期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点Р满足，若点Р不在直线AB上，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹方程，再求出点P到直线AB距离的最大值即可计算作答. 【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则，设点，由得：，即， 整理得：，因此点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则P到直线AB距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 故选：B 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）若平面上两点，，动点满足，则动点的轨迹与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．与实数的取值有关 【答案】C 【分析】设出点，直接法求出点的轨迹方程，再联立直线方程，用根的判别式判断公共点的个数. 【详解】设点，由题意：得：， 整理得到点的轨迹方程为，即， 联立，得：， 则，故直线和圆2个交点， 故选：C． 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24 C．当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 【答案】C 【分析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假． 【详解】对A，由可得，化简得， 即，A错误； 对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误； 对C ，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确； 对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误． 故选：C． 6．（2019·安徽蚌埠·二模）过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线恒过可得点轨迹为圆，由圆上点到直线距离的最小值的求法可求得结果. 【详解】恒过点，， 点轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， 到直线的距离的最小值为. 故选：. 【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最小值的求解，关键是能够根据垂直关系求得动点的轨迹为圆，进而利用圆上的点到直线距离的最小值为求得结果. 二、多选题 7．（24-25高二上·安徽铜陵·期末）下列关于圆锥曲线的说法中，正确的是（    ） A．设为两个定点，为常数，，则动点的轨迹为双曲线的一支 B．在圆上一点作圆的动弦,为原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 【答案】CD 【分析】对于A，取排除A项；对于B，先推出点为弦的中点，再利用相关点法求出的轨迹方程即可判断；对于C，求出方程的两根，再由椭圆和双曲线的离心率范围即可判断；对于D，根据椭圆和双曲线的方程，确定焦点位置和焦距即可判断. 【详解】对于A，，当时，动点的运动轨迹为线段的垂直平分线， 而非双曲线的一支，故A错误； 对于B，由，可得点为弦的中点， 不妨设在圆中，定点，动点，则（*）， 设，则，得到， 代入（*），可得：，即， 故的轨迹方程是，即点的轨迹不是椭圆，故B错误； 对于C，方程的两根是和，因椭圆的离心率范围是， 双曲线的离心率范围是，故C正确； 对于D，由双曲线，可得其焦点在轴上，，故其焦点为； 而由椭圆，可得其焦点在轴上，，故其焦点为，故 D正确． 故选：CD. 8．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）平面直角坐标系数Oxy中，已知，则使得动点P的轨迹为圆的条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，根据选项中的条件列出方程，化简，结合化简结果可判断动点轨迹是否为圆，即可判断A，B，C；结合椭圆定义可判断D. 【详解】设，则， 对于A，由得， 此时动点P的轨迹为圆，A正确； 对于B，由得， 则，该式无意义，此时点P不存在，B错误； 对于C，由得， 整理得，即， 此时动点P的轨迹为圆，C正确； 对于D，由可知，动点P到两定点的距离之和为3， 且，此时动点P的轨迹为椭圆，D错误， 故选：AC 9．（24-25高二上·安徽·期末）点，为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当，且为圆的直径时，面积的最大值为3 B．从点向圆引两条切线，切点分别为，，的最小值为 C．，为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得 D．当，时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B；由B项可判定C项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D. 【详解】对A：当，为直径时，（其中为点的纵坐标）， 所以当点为或时，三角形的面积最大， ，所以A正确；    对B：设，交与点， 由圆的切线性质， 则， 所以，越大，越小， 当点在处时，最大， 此时，，，即，B正确；    对C：当点在处，且，为切线时，最大， 此时，即，， 所以不存在符合的点，C错误； 对D：设的中点，则，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，， 设小圆半径为，则， 则的最大值为，D正确．    【点睛】思路点睛：选项D中根据圆的弦长公式求出点D轨迹为圆，问题转化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值. 三、填空题 10．（22-23高二下·安徽滁州·开学考试）已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】 由已知条件可求得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的最大值为两圆圆心距加两圆半径. 【详解】 设点坐标，，， ，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点是圆上的动点，如图， 由图可知，的最大值为两圆圆心距加两圆半径，即． 故答案为：． 四、解答题 11．（24-25高二上·安徽宣城·期末）若平面内动点P到两定点距离的比值为常数且，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知两定点的坐标分别为，，动点M满足 (1)求动点M的阿波罗尼斯圆方程； (2)过点作该圆的切线l，求切线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点M坐标为，由两点间距离公式结合即可求解； （2）分直线l的斜率存在与不存在两种情况，由圆心到直线的距离等于半径即可求解； 【详解】（1）设动点M坐标为，则，， 由条件，得， 化简得 （2）当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，即， 由l与圆相切，得圆心到直线的距离，解得， 此时l的方程为 综上，l的方程为或 12．（24-25高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）点与点关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标； （2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可. 【详解】（1）设，，因为点与点关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点的坐标 （2）设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆由公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程． 【答案】(1)，C表示以为圆心，为半径的圆 (2)和 【分析】（1）设，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设切线方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设，由，可得，即， 整理得，即方程可化为， 所以曲线表示以为圆心，为半径的圆． （2）解：由题意，两切线的斜率均存在，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 所以两条切线方程为和． 14．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知在平面直角坐标系中，点，直线：.圆的半径为1，圆心在直线上. （1）若直线与圆相切，又圆C的圆心坐标都是整数，求圆的标准方程； （2）已知动点，满足，求动点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设圆心为，利用直线与圆相切，求解，得到圆心坐标，求出圆的方程． （2）由，求出动点的轨迹方程即可． 【详解】（1）因为圆心C在直线l上，所以圆心C可设为， 由题意可得，即， 所以， 解得或(舍)， 所以圆心C的坐标为， 所以圆C的标准方程为 （2）由，得， 化简得：，即， 所以动点M的轨迹方程是. 15．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知动点P到两定点M（﹣3，0），N（3，0）的距离满足|PM|＝2|PN|. （1）求证：点P的轨迹为圆； （2）记（1）中轨迹为⊙C，过定点（0，1）的直线l与⊙C交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】（1）证明见解析（2）S△ABC最大值为8，直线l的方程为或. 【分析】（1）设，由已知结合两点间的距离公式，即可证明结论； （2）根据题意所求直线的斜率存在且不为零，设直线l的方程为：y＝kx+1，求出圆心到直线的距离，进而用弦长公式将弦长用表示，将S△ABC表示为关于的关系式，运用基本不等式，即可得到结论. 【详解】（1）设，则由|PM|＝2|PN|， 得， 化简得， 即，所以点P的轨迹为圆； （2）由（1）得， 因为直线l与⊙C交于A，B两点，故直线斜率存在且不为0， 不妨设直线l的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0， 则圆心C到直线l的距离， ， 当且仅当时，等号成立， 所以当d＝2时，S△ABC有最大值为8， 此时，化简得 解得或 则直线l的方程为或. 【点睛】本题考查圆的轨迹方程、直线与圆的位置关系以及三角形面积最大值，解题时要注意函数与方程思想的合理应用，属于中档题. 地 城 考点08 范围问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】先求得定点A的坐标，再去求点关于直线的对称点的坐标，再去求点到圆上一点N距离的最小值即为的最小值. 【详解】圆的圆心，半径 直线可化为， 令，解得，所以定点A的坐标为. 设点关于直线的对称点为， 由，解得，所以点B坐标为. 由线段垂直平分线的性质可知，， 所以 （当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立）， 所以的最小值为6. 故选：A 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．7 D． 【答案】B 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． ， 又，， ． 点关于轴的对称点为， ， 所以，， 故选：B． 3．（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为2，若点 在上，则点 到点距离的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据抛物线焦半径得到，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离加上半径即为答案. 【详解】，焦点， 依题意，，故，则； 由对称性，不妨设， ，圆心为，， 故到点距离的最大值为. 故选：B. 4．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点A，B在直线上运动，且，点C在圆上，则面积的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】求出圆心到直线l的距离，进而得到点C到直线l的最大距离，得到三角形面积最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线l的距离为， 则点C到直线l的最大距离为， 则面积的最大值为 故选：A 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知动直线恒过定点为圆上一动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A． B．4 C．6 D．24 【答案】C 【分析】首先求点的坐标，再利用数形结合，求圆上点到直线距离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】由，整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 如图，，直线的方程为，则圆心到直线的距离， 则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 所以面积的最大值为.    故选：C 二、多选题 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件的几何意义，结合圆与直线位置关系，逐项求解判断. 【详解】方程为，表示以为圆心，为半径的圆， 对于AB，设，直线与圆有公共点，由，解得，A正确，B错误； 对于C，表示圆上的点到原点的距离的平方， 又，因此，C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点， 由，解得，则的最大值为，D正确. 故选：ACD 7．（24-25高二下·安徽黄山·期末）已知点在圆上，点，，则（    ） A．直线与圆相离 B．点到直线的距离可能大于 C．当最大时， D．满足的点有且仅有个 【答案】AC 【分析】对A：用圆心到直线的距离与半径相比即可判断；对B：求出圆心到直线的距离加上半径是否大于5即可判断；对C：过点做圆靠下方的切线，求出此时的即可判断；对D：以为直径作圆，看该圆与圆有几个交点即可判断. 【详解】    对A：直线的方程为， 则点到直线的距离，所以A正确； 对B：点到直线的距离的最大值为，所以B错误； 对C：过点做圆靠下方的切线，此时，所以C正确；    对D：以为直径作圆，易知圆与圆有2个交点，故D错误.    故选：AC 8．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在圆外 B．圆与轴相切 C．若圆截轴所得弦长为，则 D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为 【答案】AD 【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项；求出圆心到轴的距离，可判断B选项；利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值，可判断C选项；对原点在圆上、圆外进行分类讨论，求出点到圆上一点的最大距离和最小距离，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，若，则有，即点在圆外，A对； 对于B选项，因为圆心到轴的距离为，而与的大小关系不确定， 所以，圆与轴不一定相切，B错； 对于C选项，若圆截轴所得弦长为，则，解得，C错； 对于D选项，当时，点在圆上， 点到圆上一点的最大距离为，点到圆上一点的最小距离为，则； 当时，则点在圆外，且， 所以，点到圆上一点的最大距离为，最小距离为， 则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为. 综上所述，点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D对. 故选：AD. 9．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为（   ） A．6 B．3 C．9 D．11 【答案】AC 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，判断点在圆内，即可求出，，即可判断. 【详解】圆，即， 则圆心为，半径，又， 所以点在圆内，所以，，即， 又，即， 所以符合题意的有A、C. 故选：AC 三、填空题 10．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知是以点为圆心，为半径的圆上的点，则点到原点的最小距离为 . 【答案】4 【分析】先判断点与圆的位置关系，然后根据点到圆心距离结合几何性质求解最值即可. 【详解】原点到圆心的距离为，因此点在圆外， 故点到原点的最小距离为. 故答案为： 11．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，A是圆上的一点，点M在双曲线的右支上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，于是，转化求解即可． 【详解】 ∵双曲线的方程为， 右焦点坐标为，连接， 由双曲线的定义，得， ∴， 因为点是圆上的点，设圆心为，则，半径为2， ∴， ∴， 当点M，A在线段上时上式取等号，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题． 12．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ． 【答案】24 【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值. 【详解】由题意， 实数，，，满足，，， 设，， ∴,是圆：上两点，且，， ， ∴， 记：，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为． 设的中点为，过作的垂线，垂足为，如图所示． 表示的是,两点到直线的距离之和的倍， 又， ∴表示的是到直线的距离的倍． ∵是直角三角形， ∴， ∴在圆上运动， ∴到直线的距离最大值为， 又， ∴的最大值是24． 故答案为：24. 13．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知直线，当直线l被圆截得的弦长最短时，实数m的值为 . 【答案】2 【分析】分析题意找到直线必过的定点，并判断直线与圆的半径垂直，利用点线距离相等建立方程，求解即可. 【详解】易知圆心为，，而l可化为， 故l必过，易得在圆内，即直线l与圆相交， 若直线l被圆截得的弦长最短， 则与圆的半径必定垂直，设圆心到l的距离为， 则，故，解得. 故答案为：2. 四、解答题 14．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知圆，直线：， (1)求证：直线与圆C相交； (2)直线 与圆C交于A，B两点，判断何时最长，何时最短？当最短时，求m的值以及最短长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先求出直线l过定点，再验证点在圆内，从而可证明. (2) 由题意当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，从而可得答案. 【详解】（1）证明：直线l的方程可化为， 联立解得 所以直线恒过定点． 因为，所以点在圆C内部，所以直线l与圆C相交． （2）令，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l的斜率为，． 由．解得． 此时直线l的方程是． 圆心到直线的距离为， ．所以最短弦长是． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $null