专题02 直线和圆（期末真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02直线和圆的方程 ☆8大高频考点概览 考点01直线的倾斜角与斜率 考点02直线的方程 考点03直线的交点坐标与距离公式 考点04圆的方程 考点05直线与圆的位置关系 考点06圆与圆的位置关系 考点07轨迹问题 考点08范围问题 目 考点01 直线的倾斜角与斜率 一、 单选题 1.(24-25高二上浙江杭州期末)过点(0,0)和点(0,1)的直线倾斜角为() A.45 B.90° C.1359 D.0° 2.(24-25高二上·四川阶段练习)直线x+1=0的倾斜角为() A.0 B. c. D.不存在 3.(24-25高二上浙江金华期末)已知直线1的方程为y=√5x+1,则直线1的倾斜角为() B c 4.(24-25高二上·浙江杭州期末)若一条直线经过两点(L1,0)和(-2，V3),则该直线的倾斜角为() A君 B D.5r 6 5.(24-25高二上·浙江杭州·期末)“m=-3”是“直线2x+(m+1)y-2=0与直线mx+3y-2=0平行”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(24-25高二上浙江宁波期末)已知直线1过点A1,V3和B(-2,0),则1的倾斜角为() A.120 B.90 C.60 D.30 7.(24-25高二上浙江台州期末)台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后， 10米气步枪射击项目引起了大家的关注在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼晴对准靶心，而 是通过觇孔式瞄具来实现这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点A,B),运动员需要确保靶纸 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上的黑色圆心（记为点C)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态若某次射击达到三圆同心， 点B489 (5'50 ,则点C的坐标为() 4(o B.(10,5 c.o4) D.(10,6) 8. (23-24高一下浙江宁波期末)己知点A(2,3),B(3,-1),若直线1过点P(0,1)且与线段AB相交，则 直线I的斜率k的取值范围是(） A.k≤-名或k21 B.k≤-2或0≤k≤1 3 3 2 C.-三≤k≤0或k≥1 2 3 D.号ks1 9.(23-24高一下浙江宁波期末)点P(x,y),Q(x2,y2)为直线x-y+2=0上不同的两点，则直线 1:xx-yy=1与直线2：xx-y2y=1的位置关系是() A.相交 B.平行 C.重合 D.不确定 二、填空题 10.(24-25高二上浙江舟山期末)已知直线1：x+2y+1=0和l2:2x+ay+1=0,若l川2，则 a= 11.(24-25高二上浙江丽水·期末)已知直线:x+y+1=0和2：2x+my+1=0,若1l2,则= 考点02 直线的方程 一、单选题 1.(24-25高二上·浙江舟山期末)已知直线方程x+√3y+√3=0，则倾斜角为() A.150° B.120 C.60° D.30° 2.(24-25高二上浙江台州期末)己知直线1的一般式方程为x-2y+6=0,则() 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.直线1的截距式方程为X+=1 -63 B。直线1的截距式方程为-)=1 63 1 C.直线I的斜截式方程为y=-方r+3 D.直线1的斜截式方程为y=2x-3 3。(2425高二上浙江嘉兴期末)经过点P1,2且倾斜角为的直线方程是（） A.x=1 B.x=2 C.y=1 D.y=2 4.(24-25高二上浙江杭州期末)直线xsina-y-1=0的倾斜角的取值范围是() A. B. π3π C. D. π3π 44 5.(24-25高二上江苏镇江期中)已知在直角坐标系xOy中，点Q(4,0),O为坐标原点，直线1： mx+y+2V5=0上存在点P满足Op.PO>0.则实数m的取值范围是() A.m<-5 B.mx3 C.m> D.m<-3 3 6.(24-25高二浙江湖州期末)过点P(-3,0作直线2x+2+1)y+22=0(2∈R)的垂线，垂足为M ，己知点N(3,2),则当2变化时，MN的取值范围是( ) A.[0,5+v5]B.[5-5,5+V5]C.[5,5+5] D.[5-V5,5] 二、多选题 7.(24-25高二上·浙江杭州期末)下列说法正确的有() A.直线倾斜角越大，斜率越大 B.过点P(,,Q(x,的直线方程是-=)-业 x-x2 y1-y2 C.经过点(L,)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D.直线-)=1在y轴上的截距是-3 23 三、填空题 8.(24-25高二浙江宁波·期末)已知直线l:x+ay+1=0,l2:(a-1)x+2y-2=0.若lWl2,则实数a的值 3/20 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为」 9.(24-25高二上浙江杭州·期末)直线2√3x+2y+3=0的倾斜角为】 四、解答题 10.(24-25高二上浙江宁波期末)已知直线1：(a-1y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线过定点： (2)若直线1不经过第二象限，求实数a的取值范围； (3)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求1的方程 11.(24-25高二上浙江·期末)已知直线l:m+2)x+my-8=0与直线l2:mx+y-4=0,m∈R. (1)若l12,求m的值； (2)若点P1,m在直线上，直线I过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线1的方程 12.(24-25高二·浙江·期末)已知直线1的方程为2x+1y-4m-4=0,m∈R,点P的坐标为(-1,0). (1)求证：直线1恒过定点，并求出定点坐标； (2)设点Q为直线1上的动点，且PQ⊥1，求|PQ的最大值，及取到最大值时m的值. 目目 考点03 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1.(24-25高二上浙江绍兴期末)原点到直线1：1x+y-1+1=0(2∈R)的距离的最大值为() A.② B. 2W2 C.42 D.√2 5 2.(24-25高三上浙江宁波期末)已知点A,B在直线1：x-y-2=0上运动，且AB=2W2,点C在圆 (x+1)2+y2=2上，则ABC的面积的最大值为() A.5+V2 B.5 C.2 D.1 3.（24-25高二上·浙江湖州期末)数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角 形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线己知ABC的顶点分别为 A1,3),B2,4),C(3,2,则ABC的欧拉线方程是() A.x-y+1=0 B.x-y+3=0 C.x+y-5=0 D.3x+y-9=0 4/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25高二上浙江绍兴期末)已知0≤x≤1,0≤y≤1，则 V2+y+√2+1-+V-)2+y+V-)}2+1-的最小值为() A.2 B.2W2 C.2+2 D.3 5.(24-25高二上浙江舟山期末)己知点P在直线y=x+3上，A(1,0),B(3,0),则PA+PB的最小值为() A.V10 B.5 C.√42 D.213 6.(24-25高二上浙江杭州期末)已知点M(x,乃)在直线4：y=x+2,点N(x2,y2)在直线l2y=x上， 且MN11,+(以-4+V:,-5列2+片的最小值为() A.72 B.11W2 C.√4I-√2 D.5 2 二、多选题 7.(24-25高二上浙江温州期末)已知直线l:x+(1+ay=2+a与l2:2ax+4y=-16，,则下列说法正确的 是() A.若a=1时，则411l2 B.若a=-2时，则4与Z重合 c.若a=号时，则1山 2 D.若a=0时，则4与交于点(6，-4 8.(24-25高二上浙江杭州期末)已知直线l:ax+3y-1=0,12:x+(a-2)y+1=0,下列命题中正确的是() A.若12，则a= B.若l1l2,则a=3或a=-1 C.原点到直线的最大距离为， D.若l1,l2的倾斜角分别为4，a2,且a2=2a1,则 a=6±3v7 7 9.（24-25高二上·浙江嘉兴期末)己知直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列结论正确的是() A.直线1过定点(3,1 B.原点O到直线I距离的最大值为√0 。若点4-，0，B0到直线的距离相等，则m 5/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 1 D.若直线I经过一、二、三象限，则- <m<- 1 三、填空题 10.(24-25高二上·浙江杭州期末)在解析几何中，设Px1,),P(x2,y2)为直线1上的两个不同的点， 则我们把P卫，及与它平行的非零向量都称为直线1的方向向量，把与直线1垂直的向量称为直线的法向量， 常用表示，此时PE,·n=0.若点PE1,则可以把PP在法向量上的投影向量的模叫做点P到直线I的距离 现已知平面直角坐标系中，P(-2,-2),P(2,1,P(-1,3),则点P到直线1的距离为 11.(24-25高二上·浙江宁波·期末)已知ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为 2x-y-5=0,边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,则点C坐标为 12.(24-25高二上·浙江台州期末)如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为1和 2,两齿轮中心在同一水平线上，距离为4，标记初始位置A点为左齿轮的最右端，B点为右齿轮的最上端， 试问在履带带动齿轮转动过程中A,B两点之间距离的最小值为」 B 13.（24-25高一浙江杭州期末)己知实数x22满足：x+y=1,x+y=1,x2+y2=0,则 x+y-1+x2+y2-1最大值为 四、解答题 14.(24-25高二上浙江杭州期末)已知直线1：a-1y=2a-3)x+1. (1)求证：直线1过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线1的方程 15.(24-25高二上·浙江宁波·期末)已知直线1经过点A(4,4),且点B(5,0)到直线1的距离为1. (1)求直线1的方程； (2)O为坐标原点，点C的坐标为(6，-3)，若点P为直线OA上的动点，求|PB|+|PCI的最小值，并求出此 6/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时点P的坐标. 16.(24-25高二上浙江宁波期末)已知ABC的三个顶点A(-3,2),B(2,1,C(-2,-3). (1)求BC边上中线AD所在直线的方程： (2)已知点P(x,y)满足S.Pc=4,且点P在线段AC的中垂线上，求点P的坐标. 考点04 圆的方程 一、单选题 1.(24-25高二上浙江杭州期末)在平面直角坐标系中，点E(4,6),直线1：x+y+1=0,圆 C:(x-)2+y-1)=1,点P为直线1上一点，点2为圆C上一点，则EP+Pg的最小值为() A.√7-1 B.√ C.9 D.10 2.(24-25高二上浙江宁波期末)实数x,y满足x2+y2=2x-2y,则1x-y+31的最小值为() A.3 B.7 C.2 D.3+V2 3.(2425高二上浙江绍兴期末)已知点集S={x,yx-cos2a)+(y-sin2a)≤1，a∈R,当a取遍任 何实数时，S所扫过的平面区域面积是() A.2W2+π B.2+π C.1+π D.4+π 二、多选题 4.(2425高二上浙江绍兴期末)己知曲线E的方程为x2+y2=x+y,则() A,曲线E关于直线y=x对称 B.曲线E围成的图形面积为π+2 C.若点(x,y)在曲线E上，则-V2≤x,≤V2 D.若圆？+广=(>0)能覆盖曲线E,则的最小值为1+ 2 三、填空题 5.(24-25高二上·浙江台州期末)己知△ABC的三个顶点分别是点A(4,0)，B(-2,0),C(-2,2), 则△ABC的外接圆的方程为一 7/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高二上浙江·期末)己知C为圆：(x-1)2+y2=1上一动点，点B坐标为1,5)，点A坐标为 (4,0),则AC+3BC的最小值为一 7.(24-25高二上浙江宁波期中)在平面直角坐标系x0y中，直线1：mx-y-2m-1=0(m∈R)过定 点 一，以点(1,0)为圆心且与1相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 8.(24-25高二上浙江宁波期末)在直角坐标系平面内，动直线1：ax+y-1=0与动直线m:x-y+3=0 相交于点M,则点M的轨迹方程是」 四、解答题 9.(24-25高二上浙江金华期末)已知：圆P是ABC的外接圆，边BC所在直线l的方程为 4x-3y-3=0,中线AD所在直线马的方程为8x-y-1=0,直线l:x+y-8=0与圆P相切于点A (1)求点A和点D的坐标； (2)求圆P的方程 10.（24-25高二上浙江宁波期末)已知过点A(3,2)的圆的圆心M在直线y=3x上，且y轴被该圆截得的 弦长为4. (1)求圆M的标准方程； (2)设点N(-2,3),若点P为x轴上一动点，求PM+PW的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标. 11.(24-25高二上浙江宁波期末)已知A1,1,B3,3),动点C在直线1：y=x-4上. B (1)设ABC内切圆半径为r,求，的最大值： (2)设ABC外接圆半径为R,求R的最小值，并求此时外接圆的方程。 12.（24-25高二上·浙江湖州期中)已知命题p:实数m满足(m-3a)(m-4a)<0(a>0),命题9：方程 8/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2+y2+x+V3y+m2=0表示圆 (I)若命题q为真命题，求实数m的取值范围 (Ⅱ)若p是9的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 13.(24-25高二浙江·期末)设曲线C:x2+y2-2+5=0 (1)若曲线C表示圆，求实数a的取值范围： (2)当a=3时，求过点P(5,4)且与圆C相切的直线方程 14.(24-25高二浙江杭州期末)己知圆M过点A(4,0),B(-2,0),C1,3) (1)求圆M的标准方程； (2)过点P(4,5)作圆M的切线，求该切线方程 目目 考点05 直线与圆的位置关系 一、单选题 1.（24-25高二上浙江杭州期末)已知圆C:(x-3)+(y-4)2=8,直线1：mx+y-m-3=0,若直线1被圆 C截得的弦长的最大值为a,最小值为b,则a+b=() A.4W2+23B.42+V5 C.22+2W3 D.22+V5 2.(24-25高二上浙江绍兴期末)已知圆C:x2+y2+2y-1=0,直线1：m(x-1)+ny=0与圆交于两点A,B ,若ABC为直角三角形，则() A.mn=0 B.m+n=0 C.m+n=1 D.m2+n2=1 3.(24-25高二上浙江杭州期末)已知圆C:(x-4)+(y-5)=9,圆C2:(x-1)+(y+1)2=1,点A在圆 G上，点B在圆C:上，点P在X轴上，则AP-BP的最大值为() A.2W5-4 B.2W5+4 C.35+4 D.9 4.(24-25高二上浙江嘉兴期末)已知A,B为圆C:(x-m2+y2=4上的两个动点，且4B=2V3，若直 线y=2x-m上存在点P,且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是() A.[-2,2 B.[-5,5] c.-25,25 D.[-2w5,25 5.(24-25高二上浙江衢州期末)己知圆C:(x-3)2+y-2)=4,直线1：y=k(x-2)+1,则直线1被圆 9/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C截得的最短弦长为() A.√2 B.2 C.2V2 D.4 二、多选题 6.(24-25高二上·浙江绍兴期末)曲线E:x-1+x+1+2y=4,则下列结论中正确的是() A.曲线E关于直线y=x对称 B.曲线E围成的图形面积为6 C.曲线E上存在无数个点到直线y=x的距离为1 D.若圆(c-m2+0y-m2=2在曲线E的内部（含边界），则max=V2-1 7.(24-25高三上浙江宁波期末)己知直线1：x-2y+1=0和圆C:(x-a2+y2=1,则() A.当l与圆C相切时，a=√5-1 B.当1为圆C的一条对称轴时，a=-1 C.当a=2时，1与圆C没有公共点 D.当a=-2时，1被圆C截得的弦长为45 8.(24-25高二上浙江绍兴期末)数学中有许多形状优美的曲线，曲线C:x2+y2=2V3x-2y就是其中 之一，其形状酷似数学符号“。”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是() A,曲线C与直线y=x有3个公共点： B.x+√3y的最大值为4 C.曲线C所围成的图形的面积为经-25 D.x2+(y+3)2的最大值为11+4W7. 三、填空题 10/20 专题02 直线和圆的方程 8大高频考点概览 考点01直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆的位置关系 考点06 圆与圆的位置关系 考点07 轨迹问题 考点08 范围问题 地 城 考点01 直线的倾斜角与斜率 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二上·四川·阶段练习）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【详解】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 3．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【详解】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：当时，直线为与平行. 当直线与直线平行时 且，解得. 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知直线l过点和，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点坐标可求得其斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系可得结果. 【详解】易知直线l的斜率为， 设l的倾斜角为，则，由，可得. 故选：D 7．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 8．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 9．（23-24高一下·浙江宁波·期末）点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定 【答案】A 【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断. 【详解】由点为直线上不同的两点， 则直线与直线的斜率存在时一定为， 可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数， 由已知可得，则，即两直线不可能平行与重合，则只能相交; 若直线与直线的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交； 故选：A. 二、填空题 10．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线和，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于，故，得，检验符合， 故答案为：4 11．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知直线和，若，则 . 【答案】2 【分析】根据两直线平行，则两直线斜率相等，得到，解出即可. 【详解】直线的斜率为，， 直线的斜率，即， 经检验，满足题意. 故答案为：2. 地 城 考点02 直线的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线方程，则倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线一般式求解斜率，即可根据斜率求解倾斜角. 【详解】的斜率为， 故倾斜角为， 故选：A 2．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（    ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【答案】A 【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别. 【详解】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：. 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解. 【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在， 又由直线过点 ， 则其方程为 故选：. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围. 【详解】∵直线的斜率,， 设直线的倾斜角为，则， 解得. 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答. 【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有， 而，因此，， 即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解， 从而有，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：A 6．（24-25高二·浙江湖州·期末）过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 【详解】解：直线，即， 由，求得，直线经过定点． 由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动， 可得圆心为PQ的中点，半径为， 则与M的最大值为， 则与M的最小值为， 故MN的范围为：， 故选B． 【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 二、多选题 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 8．（24-25高二·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）直线的倾斜角为 【答案】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系计算即可得. 【详解】因为直线方程为，即， 所以直线的斜率， 所以倾斜角， 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 11．（24-25高二上·浙江·期末）已知直线与直线． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 【详解】（1）因为，所以，且， 由，得，解得或（舍去） 所以. （2）因为点在直线上， 所以，得，所以点的坐标为， 所以设直线的方程为（）， 令，则，令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 12．（24-25高二·浙江·期末）已知直线的方程为，点P的坐标为． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）设点Q为直线上的动点，且，求的最大值，及取到最大值时m的值． 【答案】（1）定点；（2）的最大值为5，. 【分析】（1）将直线方程化为，由可求出定点； （2）可得当且仅当点Q为定点时，取得最大值，由此即可得出所求. 【详解】（1）将直线方程化为， 由可得，故直线恒过定点； （2）设直线的定点， 则由可得 当且仅当点Q为定点时，取得最大值为5， 此时， ，，解得， 故的最大值为5，取到最大值时m的值为. 【点睛】关键点睛：本题考查定点到动直线距离的最值，解题的关键是得出当且仅当点Q为定点时，取得最大. 地 城 考点03 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用点到直线的距离公式表示出原点到直线的距离，然后化简求出函数最大值即可. 【详解】设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得： ， 显然当时，有最大值，此时， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 故选：D. 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知点，在直线：上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A． B．5 C．2 D．1 【答案】B 【分析】找到动点到直线距离的最大值，再求面积即可. 【详解】设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，易得， 易知当最大时，，此时面积也最大，. 故选：B 3．（24-25高二上·浙江湖州·期末）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，△ABC的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 联立方程可得△ABC的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故△ABC的欧拉线方程为. 故选：C. 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解. 【详解】如图，设，， ， ， 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 所以 ， 其中是以1为边长的正方形内任意一点， ，； 故， 当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为. 故选：B 5．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知点P在直线上,,则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求. 【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点, 取直线上一点,连接, 连接交于点,连接,如图所示: 则有,解得,即, 因为关于直线对称, 所以直线是线段的垂直平分线, 所以,则, 当且仅当点运动到处时, 所以. 故选:D. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 二、多选题 7．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】ACD 【分析】根据两直线垂直和平行的判定，结合选项逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得， 所以与交于点，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 【答案】AC 【分析】根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断AB，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可. 【详解】对A，若，则，解得，故A正确； 对B，若，则且，解得，故B错误； 对C，因为，则过定点， 所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确； 对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以， 而，所以，此时直线的斜率为， 所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在， 即，由得， 所以，得到，解得， 当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误. 故选：AC. 9．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线过定点 B．原点到直线距离的最大值为 C．若点，到直线的距离相等，则 D．若直线经过一、二、三象限，则 【答案】ABD 【分析】求出直线定点可判选项A；当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值，可判选项B；根据两点间的距离公式可判选项C；根据条件列出不等式组求解可判选项D 【详解】将化为， 令，即得，即直线过定点，故A对； 当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值， 即原点到直线距离的最大值为，故B对； 点，到直线的距离相等， 即， 即，解得，或，故C错； 若直线经过一、二、三象限，则直线在x轴的截距为负、y轴的截距为正， 令，则；令，则，则， 即，且或，所以，故D对； 故选：ABD 三、填空题 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】 先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设的斜率为，点到直线的距离为，则，的直线方程为，由点到直线的距离公式得. 故答案为： 11．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为 . 【答案】 【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标即可. 【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为， ∴ ，且，∴ ∵的顶点， ∴直线AC方程：，即， 与联立， ，解得：， 所以顶点C的坐标为， 故答案为：. 12．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心在同一水平线上，距离为，标记初始位置点为左齿轮的最右端，点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中两点之间距离的最小值为 .      【答案】 【分析】以小齿轮的圆心为原点建系，由于点与点处转过的弧长相等,结合半径长的比值及弧长公式可设点与点转过的圆心角分别为、，利用三角函数的定义可以得出点与点的坐标，再用距离公式可构建两点之间距离的函数，求解最值即可. 【详解】设小齿轮和大齿轮圆心分别为, 则以为原点为轴，过点作的垂线为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，    设点转过的圆心角为， 点与点处转过的弧长相等, 点转过的圆心角为， 则，即, 当时取得最小值为， 故答案为：. 13．（24-25高一·浙江杭州·期末）已知实数满足：，则最大值为 ． 【答案】4 【解析】由题意可设，，且，M，N在单位圆上，所求最大值可转化为M，N的中点到直线的距离的和的最大值，运用三角函数的诱导公式，以及余弦函数的值域可得所求最大值. 【详解】由， 可设，，且，可得M，N在单位圆上， ， 所求最大值可转化为M，N到直线的距离的和的最大值的倍， 即M，N的中点到直线的距离的最大值的倍， 设，则，即， 故的中点坐标为， 的中点到直线的距离， 当时，最大，最大值为， 所以最大值为， 故答案为：4. 【点睛】本题考查代数式的最值求法，运用等式的几何意义，结合直线和圆的知识，三角函数的值域是迅速解题的关键，属于较难题. 四、解答题 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 15．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． (1)求直线l的方程； (2)O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)或 (2)10， 【分析】（1）考虑直线l的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案. （2）确定关于直线OA的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案. 【详解】（1）由题意知直线l经过点，当直线斜率不存在时，方程为， 此时点到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率存在时，设方程为，即， 则由点到直线l的距离为1。得， 解得，即得，即， 故直线l的方程为或； （2）由点，可得直线的方程为， 故点关于的对称点为， 连接，则， 则， 当且仅当共线时，等号成立， 即的最小值为10， 此时的方程为，联立， 解得，即. 16．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知的三个顶点，，． (1)求边上中线所在直线的方程； (2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解； （2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解. 【详解】（1）由题意中点， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 即边中线所在直线的方程； （2）因为，，所以， ，所以直线的方程为，即， 设点到直线的距离，则由题意， 所以点到直线的距离， 则点所在直线方程为或， 因为，， 所以，线段中点坐标为， 所以线段的中垂线为，即， 所以联立或， 所以点的坐标为：或. 地 城 考点04 圆的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】C 【分析】设点E关于直线l的对称点为，则可转化为，而，通过求对称点为的坐标结合两点间距离即可求解. 【详解】解：根据题意，设点E关于直线l的对称点为，则， ， 当、P、Q三点共线时，取得最小值， 则， 又由，设点， 则，解得， 则， 圆，其圆心为，半径， 则， 故 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【详解】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知点集，当取遍任何实数时，所扫过的平面区域面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意S中的元素组成以为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当取遍任何实数时，点集S对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 【详解】根据题意，点集， S中的元素组成以为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部， 设M 又由， 则圆心M在线段上， 则点集S对应的图形如图，为矩形ABCD与两个半圆的组合图形， 其中AB＝2，BC＝， 则当取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积S＝； 故选：A． 二、多选题 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若点在曲线上，则 D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答. 【详解】对于A，曲线上任意点有：，该点关于直线的对称点有， 即曲线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确； 对于B，因点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于x轴，y轴对称， 当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图， 所以曲线围成的图形面积是，B正确； 对于C，点在曲线上，则， 则有，即，解得，而，C正确； 对于D，曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，D不正确. 故选：ABC 三、填空题 5．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为 ． 【答案】 【分析】令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程. 【详解】令△的外接圆圆心，又A（4，0），， ∴中点为，则，则， 中点为，则，则， ∴圆心，又外接圆的半径， ∴△的外接圆的方程为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·浙江·期末）已知C为圆：上一动点，点坐标为，点坐标为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设圆心为，由圆的方程得到圆心和半径，取，可证得，得到，可知，利用两点间距离公式可求得最小值. 【详解】设圆：的圆心为，则，半径，取， ，，，， （当且仅当三点共线且在线段上时取等号）， ，， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆部分的最值问题的求解，解题关键是能够利用三角形相似将问题转化为三角形两边之和大于第三边的问题，由此确定三点共线时取得最小值. 7．（24-25高二上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，直线过定点 ，以点为圆心且与相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】 ． 【解析】根据题意，将直线的方程变形可得，进而联立，解可得、的值，即可得定点的坐标，结合直线与圆的位置关系分析可得点为圆心且与相切的所有圆中，半径最大的圆的半径，即可得答案． 【详解】解：根据题意，直线，即， 则有，解可得，即直线经过点； 设为， 则， 以点为圆心且与相切的所有圆中，半径最大的圆的半径； 故半径最大的圆的标准方程为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点的问题，属于中档题． 8．（24-25高二上·浙江宁波·期末）在直角坐标系平面内，动直线与动直线相交于点，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】由动直线过点，动直线过点，且两直线垂直，故两直线的交点是在以为直径的圆上，即可求得点的轨迹方程. 【详解】动直线过定点， 动直线过定点，且两直线垂直， 故两直线的交点是在以为直径的圆上， 因为线段的中点为，， 故以为直径的圆的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，求出两直线所过定点的坐标，以及根据两直线垂直得出点的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 四、解答题 9．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知：圆是的外接圆，边所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，直线与圆相切于点. (1)求点和点的坐标； (2)求圆的方程. 【答案】(1)A（1,7）, (2) 【分析】（1）与的交点为点D, 与的交点为点A,联立解方程即可得出结果. （2）设圆P的圆心P为，由，，计算求解即可得出点坐标，由求得半径，进而可得出圆的方程. 【详解】（1）由题可得：与的交点为点D, 故由，解得：，故 与的交点为点A, ，解得：，故A（1，7） （2）设圆P的圆心P为， 由与圆相切于点A，且的斜率为,则即， 即，① 又圆P为的外接圆，则BC为圆P的弦， 又边BC所在直线的科率为, 故根据垂径定理，有进而， 即②， 联立①②，解得：，即 故，则圆P的方程为：. 10．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4． (1)求圆M的标准方程； (2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可； （2）当三点共线时有最小值，求出直线MN的方程，令y=0即可. 【详解】（1）由题意可设圆心， 因为y轴被圆M截得的弦长为4， 所以， 又， 则， 化简得，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的标准方程为． （2）点关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当M，P，三点共线时等号成立， 因为，则直线的方程为，即， 令，得，则． 11．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知，，动点在直线：上． （1）设内切圆半径为，求的最大值： （2）设外接圆半径为，求的最小值，并求此时外接圆的方程． 【答案】（1）；（2），外接圆方程为． 【分析】（1）利用面积相等可得，只需最小即可，结合平面几何知识可得答案； （2）中垂线方程为，中垂线方程为，求出圆心坐标，可得，换元后利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）因为，到的距离， 所以三角形的面积， 所以 ，只需最小即可， 设关于的对称点为， 则，所以， 最小为， ， （2）中垂线方程为 中垂线方程为圆心坐标为 设 ，此时，圆心坐标为，所以外接圆方程为． 12．（24-25高二上·浙江湖州·期中）已知命题：实数满足，命题：方程表示圆． （Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围； （Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）利用方程表示圆的条件列式可解得结果； （Ⅱ）转化为命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式可解得结果. 【详解】（Ⅰ）因为命题为真命题，所以，得. （Ⅱ）由得，即， 因为是的充分不必要条件所以， 所以， 解得. 【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则转化： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 13．（24-25高二·浙江·期末）设曲线. （1）若曲线C表示圆，求实数a的取值范围； （2）当时，求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】（1）或（2）和 【解析】（1）先化标准形式，再半径大于零列不等式，解得结果； （2）先验证是否与圆C相切，再考虑切线斜率存在的倾斜，根据圆心到切线距离列方程解得结果. 【详解】（1）或 （2）当时， 因为与圆C相切，所以是满足条件的一条切线 当切线斜率存在时，设过点的切线方程为 所以，即切线方程为 综上，切线方程为和 【点睛】本题考查方程表示圆的含义以及圆的切线，考查基本分析求解能力，属基本题. 14．（24-25高二·浙江杭州·期末）已知圆过点，，. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）设圆的一般方程为，将、、三点坐标代入圆的一般方程，得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程，再将圆的方程化为标准方程即可； （2）分两种情况讨论，一种是切线与轴垂直，得出此时切线的方程为，验证此时该直线与圆是否相切，另一种是切线的斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，求出的值，综合可得出切线的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将、、三点坐标代入圆的一般方程，得，解得， 所以，圆的一般方程为，圆的标准方程为； （2）当切线与轴垂直时，则该直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即. 圆心到直线的距离为，解得， 此时，切线的方程为，即. 综上所述，所求切线的方程为或. 【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点引圆的切线的方程的求解，解题时不要忽略了对直线垂直于轴的讨论，从而漏掉答案，考查运算求解能力，属于中等题. 地 城 考点05 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：A 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知圆，直线与圆交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，半径，结合已知有化简整理即可答案. 【详解】由，则，半径， 由为直角三角形，则， 所以. 故选：A 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，圆，点在圆上，点在圆上，点在轴上，则的最大值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】结合图形，先得到，作圆关于轴的对称圆，则得，则，即当三点共线时，取得最大值. 【详解】 如图，由圆，圆可得，两圆半径依次为， 因点是轴上一点，点分别是圆和圆上一点， 则 ， 如图作圆关于轴的对称圆，其圆心为，半径为， 由图知，则， 当且仅当三点共线时，等号成立，即的最大值为9. 故选：D. 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知A，B为圆上的两个动点，且，若直线上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB的中点为，连接 ，由题意可得，即点 在以为圆心，1为半径的圆上，由题意可得，解不等式即可求解. 【详解】圆 C的方程为 ，所以圆心为 ，半径 ， 取AB的中点为 ，连接 ， 由于，则， 因此点 在以为圆心，1为半径的圆上， 又点 在直线 上， 所以直线 与圆 ，有公共点， 则 ，解得 ， 故实数 m的取值范围是 故选：. 5．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线l时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意，直线l：过定点， 圆心，半径， 因为， 所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为 故选：C 二、多选题 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为6 C．曲线E上存在无数个点到直线的距离为1 D．若圆在曲线E的内部含边界，则 【答案】BD 【分析】A选项，分情况得到曲线图象，即可判断对称性；B选项，根据图象计算面积；C选，结合图象求到直线距离为1的点；D选项，根据圆的方程得到圆心在线段BE上，然后再结合对称性列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 得①，时，得， ②，时，得， ③时，得， ④时，得， ⑤时，得， ⑥时，得， 作出曲线图象如图所示，其中，，，，，， 对于A，由图可知，点在曲线E上，但点不在曲线E上，所以曲线E不关于直线对称，故A错误； 对于B，图形为一个边长为2的正方形BCEF和两个底和高分别为2和1的三角形及构成，其面积为，故B正确； 对于C，如图，直线BE就是直线，而直线CD与直线AF均与之平行，两线段AF和CD上的点到直线距离最大， 且直线CD，直线AF与直线BE距离均为，数形结合可得曲线上只四个点到直线距离为1，故C错误； 对于D，易得曲线关于原点对称，圆的圆心在线段BE上， 据对称性可得， （1）当时，须满足，解得， （2）当时，须满足，解得， 由（1）（2）得，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于通过取绝对值得到曲线的解析式，画出图象，然后结合图象解决问题. 7．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知直线：和圆：，则（    ） A．当与圆相切时， B．当为圆的一条对称轴时， C．当时，与圆没有公共点 D．当时，被圆截得的弦长为 【答案】BCD 【分析】根据直线和圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆：的圆心为，半径. A选项，若与圆相切，则，解得， 所以A选项错误. B选项，当为圆的一条对称轴时，在直线上， 所以，所以B选项正确. C选项，当时，到直线的距离为， 所以与圆没有公共点，所以C选项正确. D选项，当时，到直线的距离为， 所以弦长为，所以D选项正确. 故选：BCD 8．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，作出曲线的图形，令，则，确定该直线与相切时直线与轴的截距最大，利用直线与圆的位置关系计算即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，确定可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，利用两点距公式计算即可判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，即， 解得或，所以或或， 即曲线与直线有3个公共点，故A正确； 对于B，， 如图所示： 由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，. 令，则，即， 如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大， 由，得，解得，即的最大值为4，故B正确； 对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 在中，， 所以， 所以扇形的面积， ，所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误； 对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方， 由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和， 即， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题 9．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先求出过的直线方程，然后求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出半径的值. 【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分， 所以该直线经过圆心. 所以该直线的斜率为. 所以该直线的方程为，倾斜角为. 因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为， 中，当时，， 从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点. 所以射出的直线方程为，即. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径， 即. 故答案为：.    四、解答题 10．（24-25高二上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为点时，为定值 【分析】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【详解】（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； （3）直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 11．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知点和圆． (1)过点作直线AC的平行线l，求直线l的方程； (2)过点A的直线与圆C交于P，Q两点，若，求直线PQ的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据已知及斜率两点式可得，结合及点斜式写出直线方程； （2）由题设圆心C到直线PQ的距离为1，讨论斜率的存在性求出对应直线PQ的方程. 【详解】（1）圆，圆心，故， 又，则，即直线方程为； （2）∵，所以圆心C到直线PQ的距离为， 当斜率存在时，设直线PQ的方程为，则， ∴，直线方程为， 当斜率不存在时，，圆心到直线的距离为1显然成立， 综上，符合条件的直线PQ方程为或. 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆可得答案； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； （2）若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为， 即. 综上所述，切线的方程为，或． 13．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点 (1)求直线的方程; (2)求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线斜率公式所求切线的斜率，再运用点斜式直线方程求解. （2）方法一：用待定系数法即可求解； 方法二：根据圆上的弦的垂直平分线经过圆心即可求解. 【详解】（1）把圆化为标准方程，得圆心，， 则直线，即 （2）方法一：设圆的方程为， 则 两式相减得，则，又因为， 所以，故所求圆的方程为 方法二：圆心线段MN的中垂线方程为， 则圆心在直线上， 也在直线上， 解得圆心， 圆的半径， 圆的标准方程 14．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知直线，圆，点在上，点在上. (1)若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求； (2)若，，求点的坐标，使有最小值，并求出这最小值. 【答案】(1) (2)，最小值等于. 【分析】（1）求出反射光线所在直线的方程，求出圆心到反射光线所在直线的距离，即为的值； （2）求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可知，当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，联立直线和直线的方程，可求出点的坐标，即可得出结论. 【详解】（1）由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为，    因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，即. （2）设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 因为，， 所以的最小值等于， 当且仅当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值， 直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，解得， 所以当点时，的最小值等于.    地 城 考点06 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江宁波·期末）若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为（舍去第四象限的点）， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，两圆外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且， 由题意可得，即，解得. 故选：B. 4．（24-25高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 5．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 二、多选题 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列结论正确的是（   ） A．，，若，则或 B．是直线的一个方向向量 C．直线与直线之间的距离是 D．与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条 【答案】BD 【分析】由直线平行的判定求参数判断A；写出直线斜率，结合斜率与方向向量关系确定一个方向向量判断B；将化为，应用平行线的距离公式判断C；两点公式求，转化为判断两个外切的圆的公切线的条数判断D. 【详解】A：若，显然，则，可得，故A错误； B：的斜率为，显然是直线的一个方向向量，故B正确； C：由即，与的距离为，故C错误； D：由，以为圆心，半径分别为的两个圆外切， 所以，只需判断两圆公切线的条数即可，显然一共有3条，故D正确. 故选：BD 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆，恒有公共点 B．圆，至多有三条公切线 C．若圆平分圆的周长，则 D．若圆平分圆的周长，则的最小值为9 【答案】ABD 【分析】由两圆方程的常数项都为0，可知两圆都过原点，且知两圆一定不外离，由此判断A、B；由题中条件，得到公共弦所在直线过点，求出公共弦所在直线方程并代入点列出方程即可判断C；利用C中得到的的关系将转化为二次函数即可求解判断D. 【详解】解：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 对于A，圆和圆都一定过原点，则圆，恒有公共点，故A正确； 对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以公切线至多有三条，所以B正确; 对于C，圆平分圆的周长，则两圆的公共弦必过圆的圆心， 联立，整理可得， 所以，即，所以C不正确; 对于D，由C可得，即， 所以， 当时的最小值为9，所以D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线：和圆：，下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．圆被轴截得的弦长为 C．当时，直线与圆相切 D．当直线与圆相交时，截得的最大弦长为 【答案】ABC 【分析】当时，，可判断A；圆心到轴的距离为，可求得弦长判断B；圆心到：的距离为2，可判断C；当直线：过圆的圆心时，可求最长弦长判断D. 【详解】对于A，直线：，当时，，所以直线过定点，故A正确； 对于B，由圆：，可得圆心为，半径为， 圆心到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； 对于C，当时，直线：，圆心到：的距离为2，故直线与圆相切，故C正确； 对于D，当直线：过圆的圆心时，截得的最大弦长为4，故D错误. 故选：ABC. 9．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）以下四个命题表述正确的是（    ） A．圆与圆恰有三条公切线 B．直线与圆一定相交 C．直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点 【答案】ABD 【分析】利用两圆位置关系可判断A；利用圆心到直线的距离可判断B；利用数形结合可求实数的取值范围进而判断C；由题可求以OP为直径的圆的方程，结合条件可得直线AB的方程，可判断D. 【详解】对于A，由圆，可知圆心，半径为1， 由圆，可知圆心，半径为4， 又，所以两圆外切，即圆与圆恰有三条公切线，故A正确； 对于B，由圆知圆心为，半径为3，又直线，所以圆心到直线的距离为，直线与圆相交，故B正确； 对于C，直线恒过定点，曲线为圆心为，半径为2的半圆，如图所示， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为半径2，即，解得，当直线经过B(-2，1)点时，直线的斜率为， 则直线与曲线有两个不同交点时，实数的取值范围是，故C错误； 对于D，设，则， 以OP为直径的圆的方程为，即，又圆， 两圆方程作差可得直线AB的方程为， 消去n可得，令， 解得，故直线经过定点，故D正确. 故选：ABD. 三、解答题 11．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出以和为端点的线段的垂直平分线，将所得直线与联立，可得圆心坐标，进而得到圆的方程； （2）根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】（1）以和为端点的线段的中点为，斜率为， 所以以和为端点的线段的垂直平分线为：， 即圆心在上， 又圆心在直线上，由，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆M的方程为：； （2）圆，所以圆心，半径， 因为圆M与圆N外切，所以， 所以，所以 12．（24-25高二上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，圆心为的圆C与y轴相切，动直线过点. (1)当时，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程； (2)圆C上存在点满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先利用弦长公式求得圆心到直线的距离，然后根据直线的斜率存在与不存在分类讨论，利用点到直线距离公式列出关于k的方程，求解即可； （2）设，由题意利用数量积的坐标运算求得M的轨迹方程，然后利用两圆有公共点列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，圆心为，圆的方程， 则圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在时，则，此时直线与圆相切，不符合题意； 若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即. 则，得，解得， 所以直线的方程为或. （2）记圆的半径为，因为，则， 设，由得， 化简得：，即， 所以的轨迹为圆，记圆心为，半径为， 圆上存在点满足，即圆和圆有公共点， 所以，所以， 所以， 所以，解得，因为，所以， 所以实数的取值范围为. 13．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知圆M：，圆N经过点，，． (1)求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系； (2)若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程． 【答案】(1)，两圆外离 (2) 【分析】（1）根据题意可知圆N是以为直径的圆，进而可得圆N、圆M的圆心和半径，进而判断两圆位置关系； （2）设，根据切线长性质结合两点间距离公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则圆N是以为直径的圆， 则圆N的圆心，半径， 所以：， 又因为圆M的圆心，半径， 可得， 即，所以两圆外离（相离）. （2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B， 由题意可得：， 设，则， 整理得， 所以点P的轨迹方程为：． 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为． (1)求实数m的取值范围； (2)若直线与圆C相切，求实数m的值； (3)若圆C与圆相切，求实数m的值． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）将化为标准方程，再列不等式求解； （2）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （3）根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果. 【详解】（1）， 可化为， 所以； （2）由（1）知，圆心C(1,2)，半径， 因为圆和直线相切， 所以有， 所以. （3）因为与圆C相切， 所以或， 解得或， 故实数m的值是或. 15．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆及圆内一点，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P． (1)当且P在第一象限时，求圆P的方程； (2)若圆P与圆恒有公共点，求r的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，得出轴，求得，进而得到圆的标准方程； （2）根据题意，得到，结合题意，得到对任意的恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心，半径， 又由且时，， 可得轴，所以，则， 因为P在第一象限，所以， 所以圆P的方程为. （2）解：由圆，可得圆心坐标， 因为，所以， 要使得圆P与圆恒有公共点，且圆心距为， 所以对任意的恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 16．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标； （ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离. 【详解】（1）由题意得，则，设， 则， 化简得 （2）（i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线为：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处的切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线为：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 地 城 考点07 轨迹问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【分析】首先确定的轨迹为圆，再求圆心到直线距离，进而判断圆上点到直线距离的最大值，注意取值条件. 【详解】由题设在以为圆心，为半径的圆上， 又的直线的距离， 则，当且仅当时取等号， 所以点P到直线的距离最大值为5. 故选：D 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，，，然后结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A． 3．（24-25高二上·浙江金华·期末）法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算求得的轨迹方程，从而确定正确答案. 【详解】设，以线段的中点为平面直角坐标系原点，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则， 设，则， 即，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 故选：B    4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线过点交抛物线于两相异点，点关于轴的对称点为，过原点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线恒过的定点，结合圆的定义，即可容易求得结果. 【详解】设抛物线上两点坐标为， 若直线斜率存在，则， 则直线方程为：，， 又，故方程为：； 若直线斜率不存在，则， 此时直线方程为：，显然也可表示这种情况； 综上所述：抛物线上两点，若坐标分别为， 则直线方程可表示为：. 又过点，故； 又为，同理可得直线方程为：， 也即，其恒过定点，记该点为； 根据题意可得，，故点在以为直径的圆上，且不与重合； 容易得该圆圆心为，半径， 故点的轨迹方程为：. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够求得直线恒过的定点，本题采用表达直线方程，可简化运算；属综合困难题. 二、多选题 5．（24-25高二下·浙江湖州·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ） A． B． C．当面积为时，点在圆上运动 D．点的坐标为 【答案】ABD 【分析】结合已知即可判断A与B选项，再利用任意角的三角函数和三角形的面积公式，积化和差公式，即可判断. 【详解】由已知，得，则，依题意为的中点，则，故A正确； 由题意，得，， 则，， 所以，故B正确； 由题意可得，，因为的中点，则，其中， 因 故，故D正确； 由，则，， 设，则，将两式平方相加得，即，即点在园上运动，故C错误. 故选：ABD 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列结论正确的是（    ） A．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为 B．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为 C．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P的轨迹方程为 D．已知，若动点满足，则的轨迹方程是 【答案】AC 【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出答案. 【详解】选项A：由椭圆定义可知，，，，焦点在轴上，， 所以动点P的轨迹方程为，A对； 选项B：由双曲线定义可知，， 所以，，， 所以动点P的轨迹方程为，，B错； 选项C：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，， 所以动点P的轨迹方程为，C对； 选项D：因为， 由圆的定义可知，圆心，半径， 所以动点P的轨迹方程为，D错； 故选：AC. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，过点直线l与圆O交于P，Q两点．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最大值为 D．线段PQ中点的轨迹为圆 【答案】BCD 【分析】根据直线和圆相交所得弦长的最值、向量数量积运算、动点轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A：当轴时，最小， 的最小值为， A错误； 对于B：设是的中点，连接，则， ， 的最小值为，最大值为4，，B正确； 对于C：当直线l的斜率为0时，． 当直线l的斜率不为0时，设，，． 联立，得，， ， ，的最大值为， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D：由于，则点N在以MO为直径的圆上， 圆心为，半径为， 点N的轨迹方程为， 线段PQ中点的轨迹为圆，D正确． 故选：BCD 三、填空题 8．（24-25高三上·浙江丽水·期末）在中，内角的对边分别是，满足.若，则的面积的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由已知利用正弦定理及三角恒等变形，得，通过建立平面直角坐标系,设，求出点的轨迹是圆，将的面积的最大值问题转化为的最大值来解决. 【详解】由题意，根据正弦定理得， ∴ 因为，∴ ∴，即 如图以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 因为，所以 设，由得， 化简，得，即， 所以，点C的轨迹是以，半径为的圆. 的面积. 故答案为：. 9．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 【答案】 【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求. 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为 ． 【答案】3 【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求面积的最大值. 【详解】以所在直线为x轴，以线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 因为，即， 所以，整理为：， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，所以点到距离的最大值是， 所以面积的最大值是. 故答案为：3 11．（24-25高二上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由几何性质计算即可. 【详解】    如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，， 即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上， 所以Q的轨迹方程为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·浙江·期末）已知，满足方程，函数，，记为函数的最大值，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离常数后根据几何意义和均值不等式，以及隐形圆性质即可求解. 【详解】①当时，； ②当时，， 所以， 由知， 所以或 不妨假设，同理可以求； 所以的最大值为， 所以， 所以， 因为，满足， 所以在图像上， ， 而的几何意义是与点 形成的连线的斜率， 又，所以， 设直线， 则， 根据点到直线距离公式有： ， 所以解得（较大，舍）或（较小，保留）， 所以， 所以， 所以； ③当时，同理可证. 综上所述，则的取值范围为； 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·浙江丽水·期末）设圆C的半径为r，圆心C是直线与直线的交点. (1)若圆C过原点O，求圆C的方程； (2)已知点，若圆C上存在点M，使，求r的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，即可求得答案； （2）先求出点M的轨迹方程，判断该轨迹和圆C有交点，即可列出不等关系，求得答案. 【详解】（1）由得， 所以圆心， 又∵圆C过原点O，∴， ∴圆C的方程为. （2）设，由，得， 化简得， ∴点M在以为圆心，半径为2的圆上. 又∵点M在圆上， 故圆与有交点， ∴，即， 即. 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点. (1)求成功点的轨迹方程； (2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解； （2）设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围. 【详解】（1）解：设，，机器人运动速度为， 由题意可得，化简得. 由于点在矩形场地内，则. 所以成功点的轨迹方程为. （2）解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：， 直线与点的轨迹没有公共点， 由直线与圆的位置关系可得，解得. 则点纵坐标， 又因为，所以. 15．（24-25高二上·浙江宁波·期末）①圆与直线相切；②圆被直线截得的弦长为；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解. 已知圆经过点，圆心在直线上，且__________. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆与圆关于直线对称，过原点的直线交圆于两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，设圆心，求出圆心到的距离可得圆的半径，再由可求出圆心坐标，从而可求出圆的方程；若选②，设圆心，求出圆心到的距离，再由弦长，弦心距和半径的关系列方程可求出圆心和半径，从而可求得圆的方程； （2）先利用对称的关系求出圆的方程，再由在以为直径的圆上，从而可求出其轨迹方程. 【详解】（1）选①设圆心， 圆心到的距离， 所以，解得， 所以圆心 所以圆C： 选②设圆心，圆心到的距离 ， 因为圆被直线截得的弦长为， 所以圆的半径为， 因为圆经过点， 所以，解得， 解得，圆C： （2）设圆心（3，2）关于的对称点为，则 ，解得 所以圆， 因为过原点的直线交圆于两点，弦中点为， 所以 所以在以为直径的圆上， 设，则轨迹方程为， 即. 地 城 考点08 范围问题 一、多选题 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知圆，点，点在圆上，为原点，则下列命题正确的是（    ） A．在圆上 B．线段长度的最大值为 C．当直线与圆相切时， D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据点代入圆判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B选项，根据切线长与半径及点与圆心距离的勾股定理判断选C项，设动点，再求向量，应用向量数量积的坐标运算结合条件化简即可判断D选项. 【详解】代入圆的方程, ,不在圆上,A选项错误；; 线段长度的最大值为,B选项正确；; 当直线与圆相切时，,,C选项正确；; 设动点,点P轨迹是圆心为，半径为的圆，， 又， 因为， 所以,且， 则的最大值为，所以D选项正确； 故选：BCD. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，圆，直线：（k，b为常数，且）.点，（    ） A．若点Q在上运动，则的最大值为 B．若l与都相切，则这样的l共有4条，且其中一条的方程是 C．若过P点作的切线，则切线唯一且方程为 D．若，l与都相交且截得的弦长相等，则 【答案】AC 【分析】A选项：圆的半径，则的最大值为，利用两点间距离公式求出答案； B选项：画出图形，由与外离，得到公切线有4条，由点到直线距离得到与外离，不相切，从而判断B； C选项：先得到点P在上，切线唯一，再考虑过的直线斜率不存在和斜率存在两种情况，将直线与椭圆方程联立，结合根的判别式为0，求出斜率，得到切线方程； D选项，利用弦长公式得到l与相交弦长，利用垂径定理得到与的弦长，列出方程，得到. 【详解】A选项，的圆心为，半径， 点Q在上运动，的最大值为， ， 所以，故A正确； B项：的上顶点与的圆心距离为，所以与外离， 所以由图易知l有4条，到距离为， 与外离，不相切，故B错误； C项：满足，故点P在上，所以切线唯一， 当过的直线斜率不存在时，此时直线方程为，此时与不相切，舍去； 设过的切线方程为， 联立，得， 整理，得， 由，解得， 故切线方程为，即，故C正确； D项：分别记l与交点为A，B和C，D， 与，联立，得， 设，则， 则l与截得弦长为， l为圆心距离为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 显然，故D错误. 故选：AC. 【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为； 过圆外一点的切点弦方程为； 过椭圆上一点的切线方程为； 过双曲线上一点的切线方程为. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B． C．的最小值为 D．的最大角为 【答案】ACD 【分析】由动点的轨迹求出方程验证选项A；由圆上的点到直线的最小距离验证选项B；由三点共线求距离之和的最小值验证选项C；由直线与圆的位置关系求的最大值验证选项D. 【详解】设，依题意有，化简得， 所以动点的轨迹方程为，A选项正确； 方程表示圆心为半径为2的圆，圆心到直线的距离， 所以的最小值为，B选项错误； ，当三点共线时，有最小值， 最小值为点到直线的距离，C选项正确； 的最大时，与圆相切，此时，，，D选项正确； 故选：ACD 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点P在圆上，点、，则（    ） A．点P到直线AB的距离小于9 B．点P到直线AB的距离大于1 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】AC 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误． 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最大值为， 点到直线的距离的最小值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，均与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得 ，C选项正确，D选项错误， 故选：AC． 5．（24-25高二上·浙江宁波·期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．题中的“欧拉线”为方程： B．圆M上的点到直线的最小距离为 C．若圆M与圆有公共点，则 D．若点在圆M上，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】A选项，分析得到其欧拉线过线段的中点，且与直线垂直，从而求出的欧拉线方程；B选项，根据的欧拉线与相切，列出方程，求出，得到圆M上的点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径，求出答案；C选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出；D选项，的几何意义为点与两点的斜率，数形结合得到当过的直线与相切，且斜率为正时，取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 因为，所以为等腰三角形， 三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点，且与直线垂直， 故的欧拉线斜率为1，则方程为，即，A正确； 的欧拉线与相切， 故， 圆心到直线的距离为， 则圆M上的点到直线的最小距离为，B正确； 若圆与圆有公共点，则，解得：，C错误； 为点与两点的斜率， 当过的直线与相切，且直线的斜率为正时，取得最大值， 设直线，由，解得：， 故的最大值是，D正确. 故选：ABD 二、填空题 6．（24-25高二上·浙江·期末）已知实数满足：，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，由题意可得可得点圆上，根据结合数量积的坐标公式可得两点重合，则，点到直线和的距离之和的倍，再结合圆上的点到直线和点的最值问题即可得解. 【详解】设， 由， 可得点在以为圆心为半径的圆上， ， 所以，所以， 所以两点重合，故， 则， 表示，点到直线的距离的倍， 表示，点到直线的距离的倍， 故 表示点到直线和的距离之和的倍， 设直线和的交点为，则， 设点到直线和的距离分别为， 则， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号， 而， 所以， 此时，， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值. 7．（2024·浙江台州·一模）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设点，切线的方程为，继而求得切线的斜率，由 可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，继而消参可求得点的轨迹方程，则结合图形可求得得范围. 【详解】因为点为抛物线：上的点（不为原点）， 所以可设点，且 当切线的斜率不存在时，切点为原点不合题意； 当切线的斜率存在时，可设为， 联立，消去可得， 化简可得， 令，可得， 化简可得，即， 又，所以的斜率， 所以的方程， 因为点， 所以的斜率为， 则的方程为， 联立，解得， 即， 当时，的方程为， 的方程 则或，满足 由两式相除可得，即 由，可得 再代入，可得， 化简可得，可得， 可知点轨迹为半径为的圆，圆心为, 结合图形可知， 又，， 则. 故答案为： 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值. 【详解】因为双曲线的焦点为, 圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ， 的最小值为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·浙江金华·期末）老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形ABCD，（单位：m），一边是以CD为直径的半圆，另外一边是以AB为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点M到AB的距离是，要在庭院里种两棵树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是 m． 【答案】/ 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再加上半径即可求得结果. 【详解】根据题意可得，以的中点为坐标原点，所在直线和的垂直平分线分别为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则半圆圆心为，半径； 由椭圆长轴可得，易知，所以椭圆方程为； 根据题意可得当点到圆心的距离最大时，的连线交半圆于，此时距离最大； 设，则, 易知， 当时，取最大值28，所以， 则. 故答案为： 10．（24-25高二下·浙江绍兴·期末）已知两单位向量满足：对任意的，有恒成立. 若，则对任意的，的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及一元二次不等式恒成立得到，即可求出与的夹角，不妨设、，，即可求出点在以坐标原点为圆心，半径的圆上，设，根据共线定理得到在直线上，则，将问题转化为圆上的点与直线上的点的连线段的长度问题，求出圆心到直线的距离，即可求出最小值. 【详解】因为对任意的，有恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 又、为单位向量，所以恒成立， 所以， 所以，所以，设与的夹角为，则， 又，所以， 不妨设、，， 因为，所以，所以点在以坐标原点为圆心，半径的圆上， 设，则在直线上， 又直线的方程为，即， 所以， 所以， 又到直线的距离，所以， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：首先由不等式恒成立求出与的夹角，再者是将向量用坐标表示，最后是将向量模的问题转化为平面几何圆上的点与直线上的点的连线段长度问题. 三、解答题 11．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知过点的直线被圆截得的弦长的最大值为，且点在圆内. (1)求实数的值及圆的标准方程； (2)若点为直线上一动点，点是圆上的动点，求长度的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，根据最长弦为直径可构造方程求得；由点在圆内可得范围，进而确定的值，并得到圆心和半径，由此可写出圆的标准方程； （2）根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线距离减掉半径，结合点到直线距离公式可求得结果. 【详解】（1）由圆的方程可得：圆心，半径， 过点的最长弦为直径，，解得：； 又点在圆内，，即，， 此时圆心，半径，圆的标准方程为. （2）圆心到直线的距离， . 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线和圆． (1)证明：圆C与直线l恒相交； (2)求出直线l被圆C截得的弦长的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）求出直线过的定点A，得到在圆C内，证明出圆C与直线l恒相交； （2）数形结合得到直线l与垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小值. 【详解】（1）变形为， 令，解得， 故直线过定点， 因为，故在圆C内，故圆C与直线l恒相交； （2）因为直线过定点，且在圆C内， 故当直线l与垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小， 其中， 圆的半径为2， 故弦长最小值为. 13．（24-25高二上·浙江·期末）已知圆，直线． （1）直线l一定经过哪一点； （2）若直线l平分圆C，求k的值； （3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）（2）（3）弦长的最小值为,此时直线的方程为 【分析】（1）由可求出结果； （2）转化为圆心在直线上可求出结果； （3）当时，弦长最小，根据垂直关系求出直线的斜率，根据点斜式求出直线的方程，利用勾股定理可求出最小弦长. 【详解】（1）由得得， 所以直线l一定经过点. （2）因为直线l平分圆C，所以圆心在直线上， 所以，解得. （3）依题意可知当时，弦长最小， 此时，所以， 所以，即， 圆心到直线的距离， 所以. 所以弦长的最小值为，此时直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：（3）中，将弦长最小转化为是解题关键. 14．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知圆，动直线 （1）判断直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点； （2）动直线l与圆C所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD的面积. 【答案】（1）过定点，定点；（2）. 【解析】（1）将直线的方程化为，然后可得答案； （2）最长弦为直径，最短弦过P点且与直径AC垂直，然后求出答案即可. 【详解】（1） 直线恒过定点 （2），∴， ∴最长弦为直径，即， 最短弦过P点且与直径AC垂直， ∴， ∴. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $