专题02 不等式性质与基本不等式（期末真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

专题02 不等式性质与基本不等式 8大高频考点概览 考点01由不等式性质比较大小 考点02 由不等式性质求范围 考点03 由基本不等式证明不等关系 考点04 由基本不等式求最值 考点05 条件等式求最值 考点06 基本不等式恒成立问题 考点07 基本不等式的实际应用 考点08 基本不等式“1”的妙用 地 城 考点01 由不等式性质比较大小 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·浙江金华·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一上·浙江·期末）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·浙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江·期末）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示 13．（24-25高一上·浙江·期末）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过，乙车刹车距离略超过，又甲、乙车型的刹车距离与车速之间分别有如下函数关系：，，计算知，甲与乙的车速分别大于 ，超速行驶应负主要责任． 14．（24-25高一上·浙江·期末） （用不等号“”或“”填空） 地 城 考点02 由不等式性质求范围 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）若，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则的范围为 B．若在第一象限，则在第一、二象限 C．要得到函数的图像，只需将函数向右平移个单位 D．在中，若，则的形状一定是钝角三角形 4．（24-25高一上·浙江·期末）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求不等式的解集为 . 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 7．（24-25高一上·浙江温州·竞赛）设.若当时，恒有，则的取值范围是 . 8．（24-25高一上·浙江·期末）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 10．（24-25高一上·浙江·期末）已知实数，且满足，则 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·浙江台州·期末）一家农产品网店要对指定的四件商品进行优惠促销活动，商品原价分别为110元､75元､50元､m元.促销方案如下：若购买的商品总价超过100元，则可享受8折优惠；享受8折优惠后，若满200元可再减免x元（）；但顾客享受的优惠总额不得超过所购商品原总价的30%. (1)若m=200，x=25，且顾客只选购了其中的两件商品，求优惠总额最多时顾客支付的金额； (2)若顾客支付220元恰好买齐这四件商品，求m的最小值. 地 城 考点03 由基本不等式证明不等关系 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，.则下列选项一定正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为2 D． 5．（24-25高一上·浙江·期末）已知，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一上·浙江·期末）若，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，，，均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 三、解答题 9．（24-25高一上·浙江·期末）已知正数a，b，c满足． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）求证：． 地 城 考点04 由基本不等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江台州·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知实数，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．若x，，则的最小值为2 B．若，则的最小值为8 C．若，则的最大值为1 D．若，则函数的最小值为 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列结论中正确的结论是（    ） A．时，最小值是2 B．的最小值为 C．正数，满足，则的最大值为 D．，，，则的最小值为2 8．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，.若，则（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为9 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 9．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 10．（24-25高一上·浙江温州·期末）若正数a，b满足，则的最小值是 ． 11．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知正实数，满足：，则的最大值为 ；的最小值为 ． 地 城 考点05 条件等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 3．（24-25高一上·浙江台州·期末）已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，，则（    ） A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0 C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0 7．（24-25高一上·浙江·期末）正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知a，b均为正实数且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知正实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 . 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数满足：则最小值是 . 地 城 考点06 基本不等式恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江·期末）若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ） A．4 B． C． D．8 4．（24-25高一上·浙江台州·期中）当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的值可以为（    ） A． B． C．1 D．3 三、填空题 6．（24-25高一上·浙江·期末）已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·浙江·期末），，且，不等式恒成立，则的范围为 . 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，，且，则的最大值为 ． 9．（24-25高一上·浙江·期中）若对任意恒成立，则a的最小值是 ． 10．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 11．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 四、解答题 12．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知正实数x，y满足． （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 地 城 考点07 基本不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（    ） A．等于2 B．小于2 C．大于2 D．不确定 二、多选题 3．（24-25高一上·浙江·期末）记，已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 4．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是 . 5．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知实数a，b，c满足，则abc的最小值是 ． 6．（24-25高一上·浙江金华·期中）设，则的最小值是 . 7．（24-25高一上·浙江·期末）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是 ，y的最小值是 ． 四、解答题 8．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 9．（24-25高一上·浙江·期末）某公司生产的某批产品的销售量（万件）（生产量与销售量相等）与促销费用（万元）满足（其中，为正常数）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不包含促销费用）.产品的销售价格定为元/件. （1）将该产品的利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数； （2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 地 城 考点08 基本不等式“1”的妙用 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 2．（24-25高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 4．（24-25高一上浙江杭州·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江·期末）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C．13 D．25 二、多选题 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值是2 C．若，则的最大值为 D．若正实数x，y满足，则的最小值为6 三、填空题 7．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 9．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）若正数x，y满足，则的最小值为 . 10．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 11．（24-25高一上·浙江舟山·期末）已知实数，，且，则的最小值为 . 12．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值 ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式性质与基本不等式 8大高频考点概览 考点01由不等式性质比较大小 考点02 由不等式性质求范围 考点03 由基本不等式证明不等关系 考点04 由基本不等式求最值 考点05 条件等式求最值 考点06 基本不等式恒成立问题 考点07 基本不等式的实际应用 考点08 基本不等式“1”的妙用 地 城 考点01 由不等式性质比较大小 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·浙江金华·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据反例可判断ABC的正误，根据不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：当时，，因此A不是真命题; 对于B：取，，但是，因此B不是真命题， 对于C：取，，此时，但是，因此C不是真命题; 对于D：若，则恒成立，即， 因此D正确 故选：D. 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质，举例说明判断AB；作差判断CD. 【详解】函数的图象关于直线对称，在上递减，在上递增， 对于AB，当在对称轴两侧时，的大小与的大小无关， 因此大小关系不确定，故AB错误； 对于CD， ，即，故C正确，D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】通过举反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正确. 【详解】对于A，因，取，则，有，故A是假命题； 对于B，当时，，故B是假命题； 对于C，取，，满足，但，故C是假命题； 对于D，由，由，所以，故D是真命题. 故选：D. 5．（24-25高一上·浙江·期末）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：A. ， 与1的大小不定，故错误； ，故正确； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：B 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 9．（24-25高一上·浙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】，充分性成立； 若，比如，此时不存在，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】BCD 【分析】根据不等式的基本性质判断ABC，利用作差法判断D即可. 【详解】A：由，得， 若，，得，则，即； 若，，得，则不成立，故A错误； B：若，则，故B正确； C：由，，得， 则，所以，即，故C正确； D：若，则， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，时，，不满足，故A错误， 对于B，由于，，故，B正确， 对于C，若，则，又，故，C正确， 对于D，若，则，结合，则，故，D错误， 故选：BC 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江·期末）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示 【答案】 【分析】运用不等式的性质可得答案. 【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：， 因为，所以成立. 故答案为：. 13．（24-25高一上·浙江·期末）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过，乙车刹车距离略超过，又甲、乙车型的刹车距离与车速之间分别有如下函数关系：，，计算知，甲与乙的车速分别大于 ，超速行驶应负主要责任． 【答案】； 【解析】根据题意，只需，解不等式组即可求解. 【详解】根据题意列出不等式组， 解得， 由于， 从而可得，. 故答案为：； 14．（24-25高一上·浙江·期末） （用不等号“”或“”填空） 【答案】 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】， 所以. 故答案为： 地 城 考点02 由不等式性质求范围 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质求解即可 【详解】, ， ， ， ， 又可得， 所以， 所以的取值范围是 故选：A 2．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）若，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 故选：B 二、多选题 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则的范围为 B．若在第一象限，则在第一、二象限 C．要得到函数的图像，只需将函数向右平移个单位 D．在中，若，则的形状一定是钝角三角形 【答案】ACD 【分析】A选项：利用不等式的性质求范围即可； B选项：根据题意将的范围表示出来，再通过的范围得到的范围，即可判断的位置； C选项：根据函数图象平移的结论平移即可； D选项：利用正切的和差公式表示出来，再分类讨论即可. 【详解】A选项：因为，所以，又，，所以，所以，故A正确； B选项：因为在第一象限，所以，所以，在第一、二象限或轴正半轴上，故B错； C选项：因为，所以向右平移个单位得到，故C正确； D选项：，因为，所以，由题意知，当时，则或小于零，此时或为钝角，为钝角三角形；当时，，所以为锐角，为钝角，为钝角三角形，故D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高一上·浙江·期末）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据x，y的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可. 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，，则，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由题知，则，故D错误； 故选：AC 三、填空题 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】根据题意求解不等式即可. 【详解】由题意可得或， 解得或 则不等式的解集为或. 故答案为：或. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的加法性质可求. 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·浙江温州·竞赛）设.若当时，恒有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，则将题目转化为当时， 恒有，分，，，讨论，即可得到结果. 【详解】设函数，则当时，恒有. 当时，在上递增， 则，且， 从而，则，于是，矛盾； 同理，当，在上递减， 则，且， 从而，则，于是，矛盾； 当，,则， 当，，则， 由此得，的取值范围是. 当且仅当，时，，当且仅当时，. 故答案为: 8．（24-25高一上·浙江·期末）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由不等式的性质运算即可求得结果. 【详解】，即，，， 又，，； 又，，又，. 综上所述：的取值范围为；的取值范围为. 故答案为：；. 9．（24-25高一上·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围，利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】，，两个不等式相加可得，解得， 设， 所以，，解得，， 因为，， 由不等式的基本性质可得. 故答案为：；. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，一般而言，不等式次数用得越多，所得代数式的取值范围越不准确，本题在求的取值范围时，可充分利用待定系数法得出，进而利用不等式的基本性质求解. 10．（24-25高一上·浙江·期末）已知实数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】先分析当时，推出，不符合题意；再分析时，将已知条件变形为关于的一元二次方程，即，由已知该方程有解，可求出的值，代入求出的值，进而求得结果. 【详解】当时，，又，，则，不符合题意； 当时， 整理成关于的一元二次方程，即① 判别式 当时，， 要使方程有解，则不符合，，即，即 又， 将代入方程①得，，解得： 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析不符合题意，再看时，将已知条件转化成关于的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题. 四、解答题 11．（24-25高一上·浙江台州·期末）一家农产品网店要对指定的四件商品进行优惠促销活动，商品原价分别为110元､75元､50元､m元.促销方案如下：若购买的商品总价超过100元，则可享受8折优惠；享受8折优惠后，若满200元可再减免x元（）；但顾客享受的优惠总额不得超过所购商品原总价的30%. (1)若m=200，x=25，且顾客只选购了其中的两件商品，求优惠总额最多时顾客支付的金额； (2)若顾客支付220元恰好买齐这四件商品，求m的最小值. 【答案】(1)223元 (2)52.5 【分析】（1）根据题意，求得2件商品的原总价为250元时、2件商品的原总价为275元时和当2件商品的原总价为310元时的优惠总额，即可求解； （2）由题意得到买齐这四种商品的原总价为，以及付款金额，列出不等式组，求得的取值范围，即可求解. 【详解】（1）解：因为m=200，x=25，所以顾客选购的2件商品的原总价可能为250，275，310（元） 当2件商品的原总价为250元时，，， 优惠总额为元； 当2件商品的原总价为275元时，，，优惠总额为元； 当2件商品的原总价为310示时，，，优惠总额为元 所以优惠总额最大为87元，此时顾客需支付的金额为223元. （2）由题意得，买齐这四种商品的原总价为，超过了100元，享受8折优惠后应付款金额为， 因为求m的最小值，所以m应满足， 解得，所以m的最小值为52.5. 地 城 考点03 由基本不等式证明不等关系 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断AC，举反例判断BD. 【详解】由于，可得，当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误； 若可得则，可知选项B错误； 由于，可得，可知选项C正确； 若可得则，可知选项D错误； 故选：C. 二、多选题 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可依次求解 【详解】对于:已知，,所以, 当且仅当时, ,故有可能; 对于:已知，,所以, 不成立,故没有可能; 对于:已知，，且，所以 当且仅当时取等号 所以,即得,所以不成立,故没有可能; 对于:因为,所以, 所以,不成立,故没有可能; 故选: . 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于C：因为，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：BCD 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，.则下列选项一定正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为2 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件利用均值不等式、二次函数性质逐项分析即可判断作答. 【详解】因，，则， ，当且仅当，即时取“=”，A正确； 因，，则，当且仅当时取“=”，即的最大值为，B正确； 因，，则，，C不正确； 因，，则， 当且仅当，即时取“=”，D正确. 故选：ABD 5．（24-25高一上·浙江·期末）已知，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于AB选项，构造合适的表达式，利用基本不是求最值即可；而对于CD选项，需要消元，将表达式化简成关于或的表达式，接着整理化简，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则，当且仅当时等号成立，所以成立，故A正确； 若，则，又因为， 所以，当且仅当即时等号成立.故B错误； 若，则, 因为， 令，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立，故C正确； ，则， 即，显然，所以，又 ，所以， 若 所以， 当且仅当时等号成立，故D错误； 故选：AC 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 6．（24-25高一上·浙江·期末）若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】将变形为和，借助基本不等式与1的代换可解. 【详解】，，， ，且. 则，且. 对A： ，当时等号成立，A正确； 对B： ，解得，B正确； 对C：，则，当时等号成立，C正确； 对D：，当时等号成立，D正确. 故选：ABCD. 【点睛】二元条件最值问题的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，消元，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法，根据已知条件，构造和或积为常数的式子, 然后利用均值不等式求解最值. 7．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【解析】根据题意，求得a，b的范围，即可求得的范围，即可判断A的正误；整理可得，利用基本不等式可判断B、C的正误；根据重要不等式，可得，根据b的范围，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 对于A：因为，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C： ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以，当时取最大值， 此时， 此时两次取等条件不一致，故，故D正确 故选：ACD 【点睛】解题的关键是熟练掌握基本不等式及四个重要不等式，并灵活应用，易错点为：应注意取等号条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，，，均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】对于A，，若，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，显然， ，因此，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：BCD 三、解答题 9．（24-25高一上·浙江·期末）已知正数a，b，c满足． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）求证：． 【答案】（I）2；（II）证明见解析. 【分析】（I）利用常量代换法有，结合基本不等式求得问题的最小值. （II）观察多项式的每两项的乘积得到的结果，利用基本不等式的性质，求得多项式的最小值. 【详解】（I）∵ ∴ ，当且仅当时，取得等号， 即的最小值为2. （II） 当且仅当时等号成立. 【点睛】方法点睛：常量代换结合不等式基本性质解决分式不等式的最值问题. 地 城 考点04 由基本不等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江台州·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立. 【详解】若，， ，当且仅当等号成立，A选项错误； ，当且仅当等号成立，B选项正确； ，得，当且仅当等号成立，C选项错误； ，得，当且仅当等号成立，D选项错误. 故选：B 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，代入三角形的面积公式可得，再结合利用基本不等式可得. 【详解】根据题意可知，所以， 由，所以，同理可得； 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立；即； 即此三角形面积的最大值为. 故选：D 3．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件由可求出，又由完全平方公式可得，即可判断A、B；由已知条件可知，则，因此，可判断C；由平方差公式可得，与联立可求出满足条件的a、b，故D可能成立. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，则不可能成立； ，当且仅当时等号成立，故不可能成立； ，，， （由A可知），则不可能成立； ，联立，解得，满足条件，D成立. 故选：D 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知实数，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】举反例即可求解A，根据基本不等式即可求解BD，根据不等式的性质即可求解C. 【详解】对于A，取，满足，，且，不符合，故A错误， 对于B，由，，且，由基本不等式可得，当且仅当取到等号，故B正确， 对于C，由可得，结合，故，，则，故C正确， 对于D， ，结合，故，当且仅当取到等号，故D错误. 故选：BC 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】本题首先可根据判断出A，然后根据判断出B，再然后根据判断出C ，最后根据判断出D. 【详解】因为、是正实数，所以，当且仅当时取等号. 因为，所以，故A不正确. 因为. 当且仅当，即等号成立，故B不正确. ，当且仅当时取等号. 即，故C正确. ，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：CD. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．若x，，则的最小值为2 B．若，则的最小值为8 C．若，则的最大值为1 D．若，则函数的最小值为 【答案】BC 【分析】利用基本不等式结合指数幂的运算即可判断A；根据，可得，且，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用基本不等式可将已知转化为，从而可判断C；利用配凑法结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，由x，， 得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，因为，所以，且， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8，故B正确； 对于C，由， 则，即，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1，故C正确； 对于D，若，则，则， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最大值为，故D错误. 故选：BC. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列结论中正确的结论是（    ） A．时，最小值是2 B．的最小值为 C．正数，满足，则的最大值为 D．，，，则的最小值为2 【答案】CD 【分析】运用基本不等式求解.对于正数，，有，当且仅当时取得等号，也可变形成.在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”这三个方面. 【详解】A.  时，，有最大值，无最小值.故选项A错误； B.  ，当且仅当时，等号成立，即.而，故无解，即该式无法取得等号. 故选项B错误； C. 对于正数，，有，当且仅当时，取得等号，即.故选项C正确； D. ，，，当且仅当时，取得等号，则.故选项D正确. 故选：CD 8．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，.若，则（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为9 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【解析】利用“1”的变形，得，，展开后利用基本不等式求最值，判断AB选项；利用，变形构造基本不等式求最值 【详解】A.，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，故的最小值是4，故A不正确； B. ，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，的最小值为9，故B正确； C.，当时等号成立，即 时等号成立，故C正确； D.，当且仅当时等号成立，又因为，解得：时，等号成立，但，所以等号不能成立，故D不正确. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 三、填空题 9．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解． 【详解】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为． 故答案为：． 10．（24-25高一上·浙江温州·期末）若正数a，b满足，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】利用基本不等式可得：，将转化成；进而 ，解得，检验等号成立即可． 【详解】因为为正数，所以成立，所以 因为，所以， 由为正数，得， 所以， 当且仅当即等号成立， 即，解得，所以的最小值为3. 故答案为：3 11．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知正实数，满足：，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 ； 【分析】第一空根据基本不等式，直接求出的最大值；第二空根据题中条件，变形代数式结合运用“1”妙用可求出结果. 【详解】因为正实数、满足， 所以，当且仅当时，等号成立； 又 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：；. 地 城 考点05 条件等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江台州·期末）已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 【答案】A 【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得. 【详解】因a，b为正实数，由可得， 即得，当且仅当时取等号， 即时，ab的最小值为4. 故选：A. 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 5．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将条件等式变形得，进一步结合基本不等式即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，，则（    ） A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0 C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0 【答案】C 【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值. 【详解】利用，则，整理得， 当且仅当，即时取得等号，即的最小值为； 利用，，即，整理得，即， 当且仅当时取得等号，故的最大值为. 故选：C 7．（24-25高一上·浙江·期末）正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是. 故选:B. 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以，令，则且 ，代入中得： 当即时取“=”, 所以最小值为1. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】A：因为， 所以由， 当且仅当取等号，因此本选项正确； B：当时， 显然成立，但是不成立，因此本选项不正确； C：因为， 所以由， 当且仅当取等号，因此本选项正确； D：因为， 所以由， 因此有， 当且仅当时取等号，即，因此本选项正确， 故选：ACD 10．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知a，b均为正实数且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】取特殊值判断A；由基本不等式结合“1”的代换判断判断BC，由基本不等式结合换元法判断D. 【详解】A项：取得，错误； B项：，当且仅当时，取等号，正确； C项：记，则，从而，当且仅当，即时，取等号，正确； D项：由，得，从而， 令，则，则 ，当且仅当，即时，取等号，正确． 故选：BCD 11．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知正实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，运用基本不等式得，得，求解即可判断；对于B，由题得，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断；对于C，由题得，得，结合基本不等式即可判断；对于D，由选项A得， 又即可判断. 【详解】由题知，正实数满足， 所以， 对于A，因为， 所以， 所以，即，故A正确； 对于B，， 当且仅当且，即时取等号，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以 所以， 当且仅当，且，即时取等号，故C错误； 对于D，由选项A得， 所以 ， 当且仅当，且，即时取等号，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数满足：则最小值是 . 【答案】 【分析】根据三元均值不等式求最值. 【详解】因为 所以，（当且仅当，即时取等号） 因此即 即当时，取最小值，为， 故答案为：. 地 城 考点06 基本不等式恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 3．（24-25高一上·浙江·期末）若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】已知正数、满足，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， . 因此，实数的最大值为. 故选：A. 4．（24-25高一上·浙江台州·期中）当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分离参数化为恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】不等式恒成立化为恒成立， 因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以，所以的最大值为. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二、多选题 5．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的值可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BC 【分析】参变分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】∵， ∴ 而， 则， 故选：BC. 三、填空题 6．（24-25高一上·浙江·期末）已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为、为两个正实数，由可得， 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·浙江·期末），，且，不等式恒成立，则的范围为 . 【答案】 【解析】由可得，然后利用基本不等式可求出，而不等式恒成立，等价于小于等于最小值，从而可求出的范围 【详解】解：因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 因为不等式恒成立， 所以小于等于最小值， 所以， 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由，， 利用均值不等式得， 解得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】由，，得， 即 又， 当且仅当，即时，取等， 故， 解得或（舍） 故，即的最大值为， 故答案为：. 9．（24-25高一上·浙江·期中）若对任意恒成立，则a的最小值是 ． 【答案】 【解析】不等式变形为，然后利用基本不等式求得的最大值，可得的最小值． 【详解】原不等式可化为， 因为，所以，即，时等号成立． 又，所以，时等号成立． 所以的最大值是，，即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 10．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】9. 【分析】将题目所给不等式分离常数，利用基本不等式求得的最大值. 【详解】由得恒成立，而，故，所以的最大值为. 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】先将对任意，恒成立，转化为，利用基本不等式和函数单调性，分别研究对任意恒成立，和对任意恒成立，即可求出结果. 【详解】等价于，即， ①先研究对任意恒成立，即对任意恒成立， ∵，当且仅当“”时取等号， ∴； ②再研究对任意恒成立，即对任意恒成立， ∵函数在上单调递增， ∴， ∴； 综上，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的范围，熟记基本不等式以及函数单调性即可，属于常考题型. 四、解答题 12．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知正实数x，y满足． （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据直接求解出的最大值，注意取等条件； （2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出的取值范围. 【详解】（1），解得， 当且仅当，取等号， ∴最大值为． （2）， 当且仅当，取等号， ∴，解得． 【点睛】本题考查利用不等式求解最大值以及利用基本不等式解决恒成立问题，其中涉及到“”的代换求最小值，难度一般. 地 城 考点07 基本不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（    ） A．等于2 B．小于2 C．大于2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】设天平左臂长，右臂长，且， 设草莓有，草莓有千克， 所以， 所以. 故选：C 二、多选题 3．（24-25高一上·浙江·期末）记，已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合基本不等式有，解不等式可得的最值，进而由可知的最值情况，又，可得，可得最小值，而可确定最小值，进而判断各选项. 【详解】由题意，结合基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，设，则，解得，即有，故A选项正确； 而，故B选项错误； 又，所以，当且仅当时，等号成立，故C选项正确； 又，所以当时，有最小值为，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 4．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是 . 【答案】 【分析】根据题意设，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果 【详解】由题意可知，矩形的周长为，    设，则， 设，则，,故， 而为直角三角形， ∴， ∴，∴， ∴ . 当且仅当，即时，此时，满足， 即时，的面积取最大值，最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知实数a，b，c满足，则abc的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】由可得， 当时，，； 当时，，所以， 令，则，该方程有正根， 则，即，解得， 因为函数的对称轴为，开口朝下， 所以当时，取最小值，最小值为 因此abc的最小值是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用基本不等式，结合二次函数的性质是解题的关键. 6．（24-25高一上·浙江金华·期中）设，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】先对化简得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：4 7．（24-25高一上·浙江·期末）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是 ，y的最小值是 ． 【答案】 30 240 【分析】根据题意得到总运费与总存储费用之和的表达式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然， 则，当且仅当，即时取等号， 故要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则， 故答案为：30，240 【点睛】易错点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 四、解答题 8．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 9．（24-25高一上·浙江·期末）某公司生产的某批产品的销售量（万件）（生产量与销售量相等）与促销费用（万元）满足（其中，为正常数）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不包含促销费用）.产品的销售价格定为元/件. （1）将该产品的利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数； （2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 【答案】（1），；（2）见解析. 【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本，建立函数关系； （2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件． 【详解】解：（1）由题意知，， 将代入化简得：，； （2），当且仅当时，上式取等号； 当时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大； 当时，函数在，上单调递增， 时，函数有最大值．即促销费用投入万元时，该公司的利润最大． 综上：当时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大； 当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大． 地 城 考点08 基本不等式“1”的妙用 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 4．（24-25高一上浙江杭州·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】设，则，且， 题目转化为已知，求的最小值， 即， 而， 当且仅当，即时等式成立. 所以. 故选：C. 5．（24-25高一上·浙江·期末）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C．13 D．25 【答案】B 【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式求解即可. 【详解】由于，故，即， 从而，当且仅当时，等号成立， 则的最小值是9． 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值是2 C．若，则的最大值为 D．若正实数x，y满足，则的最小值为6 【答案】CD 【分析】A选项，分与时，利用基本不等式求解；B选项通过使用基本不等式，一正二定三相等，发现等号不成立；C选项，先判断出，，再基本不等式进行求解；D选项，1的妙用，使用基本不等式进行求解 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 则有最大值为，当时，，当且仅当，即时取等号， 则的最小值为2，故A错误； 因为，，所以， 等号成立的条件是，即，方程无解，即最小值不为2，B错误； 若，故，，则， 当且仅当即时取等号，此时取得最大值，C正确； 正实数满足，则， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为6，D正确. 故选：CD 三、填空题 7．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】由基本不等式即可得. 【详解】，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号，即的最小值为6. 故答案为：6 9．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）若正数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】根据“”的代换以及基本不等式来求得正确答案. 【详解】正数x，y满足，， 则， 当且仅当时，时等号成立. 所以的最小值为 故答案为：16 10．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，则， 因为，故，则. 故， ， 当且仅当，即，结合可得， ， 即，，，时取等号. 故答案为： 11．（24-25高一上·浙江舟山·期末）已知实数，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，利用“1”的代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 12．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $