专题02 一元二次函数、方程和不等式（期末真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02不等式性质与基本不等式 ☆8大高频考点概览 考点01由不等式性质比较大小 考点02由不等式性质求范围 考点03由基本不等式证明不等关系 考点04由基本不等式求最值 考点05条件等式求最值 考点06基本不等式恒成拉问题 考点07基本不等式的实际应用 考点08基本不等式“1”的妙用 目 考点01 由不等式性质比较大小 一、单选题 1.(24-25高一上安微淮北期末)若a<b<0<c,则下列不等式一定成立的是() A.1-c< B. b.c-b a b a c-a C.ab>c2 D.acxbe 11 2425高一十安徽鼻阳期末)已正实数a,6,设甲：号6十：乙：G6则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 3.(24-25高一上安微蚌埠期末)已知0<x<1,则下列不等式成立的是() A.21zx B.12x>x C.x2I>x 1 D.->x>x2 4.(24-25高一上安徽合肥期末)已知a,b,c是实数， (1)a>b是a2>b2的充分条件；(2)a>b是a2>b2的必要条件； (3)a>b是ac2>bc2的充分条件；(4)a>b是ac2>bc2的必要条件. 上述四个命题中真命题的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 二、多选题 5.(24-25高一上安微期末)已知a>b>0,则下列结论成立的是() A.a2>ab>b2 B.若ceR.则ac2>bc2 1/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.若m>0,则b+m>b D.2a+b>a+26 a+m a a b 6.(24-25高一上：安徽毫州期末)对于实数a、b、c、d,下列命题是真命题的是() A.若a>b,c<d,则a-c>b-d B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b>0,c<0,则e>9 a b D.若a>b,则ac<bc 7.(24-25高一上·安微六安期末)若a>b>0,c<0,则下列不等式中正确的是() B.ac bc C.bteb D.b+>2 a+c a a b 8.(24-25高一上·安微合肥期末)下列命题为真命题的是() A.若-2<a<3,1<b<2,则-4<a-b<2 B.若a>b,则ac2>bc2 C.若b<a<0,m<0,则”>m a b D.若a>b,c>d,则ac>bd 9.(24-25高一上安微黄山期末)已知a,b,c,d是实数，则下列说法错误的有() A.a2+b2≥a+b2 B.a+1≥2 2 c.若>， a>6’则a<b D.若a<b<0,c<d<0,则ac>bd 10.(24-25高一上·安徽合肥阶段练习)已知a,b,c∈R,则() A若0>0，则哈分 B.若ac2>bc2,则a-c>b-c D.若a<b<1,则a, b C.若a>b>0,则a>√ab>b 9a-1b-1 11.(24-25高一上·安徽毫州期末)已知a>b>0>c>d,则() A.a-cxb-d B.a+cxb+d C.ad<be D.bc+cd>bd+c2 12.(24-25高一上·安徽安庆期末)已知-1<a<0,b>0,则() A.a+b>0 B.b+abx0 D.b-ab>0 a+lb 13.(24-25高一上·安徽阜阳·期末)己知实数a,b,c满足a>b>c>0,则() A.a2+c2>2b:B.1<11 一> D.a2+bc<ab+ac a b c a-b a-c 2/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 由不等式性质求范围 一、单选题 1.(24-25高一上·安微芜湖期末)已知-3≤a+b≤-2,1≤a-b≤4，则3a+b的取值范围是() A.[-3,0] B.[-5,3] C.[-5,0] D.[-2,5] 2.(24-25高一上·安微马鞍山期末)已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-y+y2≥0恒成立，则 实数m的取值范围是() A.m≤6 B.-6≤m≤0 C.m≥0 D.0≤m≤6 「-1≤a+B≤1 3.（24-25高一上安徽六安期末)已知0，B满足1≤a+2B≤3，则a+3B的取值范围是 A.[1,7] B.[-5,13] C.[-5,7] D.1,13] 二、解答题 4.(24-25高一上·安微滁州期末)设二次函数fx)=ax2+bx. (1)若1≤-1)2,2≤1)上4，求尤-2)的取值范围： (2)当b=1时，若对任意x∈[0,1]，一1≤fx)1恒成立，求实数a的取值范围. 目目 考点03 由基本不等式证明不等关系 一、单选题 1. (24-25高一上·安徽省六安二中·期末)下列结论表述正确的是() A.若a,b∈R,则a2+b2>2ab恒成立 B.若a,beR,则9+b≥2恒成立 b a C.若a>0,b>0,则a+b Q+b成立 ≤V2 D.函数y=x+1 +x-x≥3到的最小值为3 2.(24-25高一上·安微省六安一中阶段练习)甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师 傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次 与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相 同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算() 3/12 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.甲更合算 B.乙更合算 C.甲乙同样合算 D.无法判断谁更合算 二、多选题 3.(24-25高一上·安微期中)己知正实数a、b满足a+b=2,则下列结论正确的是() A.ab≤1 B.Va+Vb≥2 C.a3+b3≤2 D.a2+b2≥2 4.(24-25高一上，安徽省六安市舒城中学期末)已知3°=5=15，则α，b可能满足的关系是() A.a+b>4 B.abx4 C.（a-1)2+(b-12>2D.a2+b2<8 5.(24-25高一上·安微省黄山市重点学校·期中)《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题） 成了后世西方数学家处理问题的重要依据根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明， 并称之为“无字证明”如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A,B,O),点D在半 圆O上，且CD⊥AB,CE⊥OD于点E.设|AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为() D A.Jab<a 2(a>0b>0a≠b) B.a+b 2ab 2 (a>0,b>0,a≠b) a+b 2ab <√ab(a>0,b>0,a≠b) a+b D. 回2+b,a+ 2(a>0,b>0,a≠b) 2 三、解答题 6.(24-25高一上·安徽滁州定远县名族中学)己知函数f(x)=m-x-2,m∈R,且fx+2)≥0的解集为 [-1, (1)求m的值； 111 (2)若a,b,c∈R,且-+ =m,求证a+2b+3c≥9 a 2b 3c 7.(24-25高一上·安微省准南市·期末)(1)已知a,b是正常数，且a≠b,x,y∈(0，+∞)，求证： 4/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 a2b2、(a+b > 指出等号成立的条件： x y x+y 29 (2)求函数f(x)=二+ (0<x<二)的最小值，指出取最小值时的值. x1-2x 目目 考点04 由基本不等式求最值 一、单选题 1.(24-25高一上安徽期末)若正数x,y满足V+2下=23，则y的最大值为（) A.6 B.9 2.(24-25高一上·安微宿州期末)已知a>0,b>0,a+2b=1,则下列选项错误的是() A0<b月 B.24+4≥22 C.ab的最大值是日 D.a2+b的最小值是 6 3.(24-25高一上安微蚌埠期末)已知a>0,b>0,若ab=4,则a+b的() A.最小值为4B.最大值为4 C.最小值为8 D.最大值为8 11 4.(24-25高一下·安微合肥期末)已知x+y=4,且x>0,y>0,则二+二的最小值是() A.1 B.√2 C.2 D.2W2 二、多选题 5.（24-25高一上安微徽马鞍山期末)若m,n均为正数，且满足m+2n=2,则（) A.mm的最大值为) B.1+的最小值为3+25 m n C.2"+4的最小值为4 D.2+m的最小值为1+2N5 m n 6.（24-25高一上·安微滁州期末)已知正数a,b满足a+b=1,则() A.b的最大值为} B.上+的最小值为4 a b C.√a+b的最小值为√2 D.a-的最大值为-1 7.(24-25高一上·安微期末)已知x>0,y>0,且x+y=1,则下列说法中正确的是() A.0有最大值为 B.上+4有最小值为9 x y C+2r有最小值为2 上+上有最小值为3 D. x y 8.(24-25高一上·安微池州期末)已知正数m,n满足m+n=6,则下列说法正确的是() 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m2+m2≥18B.1og,m+1og,ns2C.1+≥2 D.m(n+3)≤20 m n 3 9.(24-25高一上安徽蚌埠期末)己知x>0,y>0,且x+y=2,则下列结论中正确的是() A.有最小值1 B.x2+y2有最小值2 +2有最小值4 C. D.√x+y有最小值4 x y 三、填空题 10.（24-25高一上·安徽六安期末)已知x2+y2-xy=1,则x+y的最大值为 11.(24-25高一上安微蚌埠期末)已知实数a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1,则(c-2a)(c-2b)的最大值 为」 ,最小值为 12.(24-25高一上·安微池州期末)已知0<x<1,则函数f(x)=x3(1-x)的最大值为 四、解答题 13.(24-25高一上安徽准南期末)已知x>0,y>0,且x+4y=y. (1)求的最小值； (2)求x+4y的最小值； (3)求x+y的最小值 目目 考点05 条件等式求最值 一、单选题 1.(24-25高一上·安微六安期末)已知正实数x,y满足x2+4y-2=0,则x+y的最小值为() A.5 B.3 C.6 D.6 2 2 2.(24-25高一上安徽宣城期末)已知x+y=1,且x>0,y>0,则2+y 1.2 ，的最小值是() A B.g C.1 D. 2V3 3 3.(24-25高一上·安微芜湖期末)若实数x,y满足y=1,则x2+2y2的最小值为() A.1 B.√2 C.2 D.2W2 4.(2425高一上安微毫州期末)已知x>0,y>0,2x+y=y,则2x+y的最小值为() 6/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.4 C.82 D.42 5.(2425高一上安微阜阳期末)已知a>0,b>0且a+6=1,则+：5的最小值为() 4a 2a+b B C.2 9 D.4 6.(24-25高一上：安微毫州期末)己知正实数m,n满足m+n=1,则√m+√n的最大值是() A.2 B.√2 C.② 2 D. 二、多选题 7.（24-25高一上·安微铜陵·期末)已知正数4，b满足a+2b=1,则下面不等式正确的是（) 1 A.ab≤。 B.a2+4b2≥1 8 c.8+218 D.a2+4b≥2 a b 21 8(2425高-上安徽合肥期末)已知正数ab满足a21+2b2。+6则C a b' A.ab23 B.(a+b)2≥12 C.1+l25 一十 D.+<2 a b 3 9.(24-25高一上·安微期末)若x>0,y>0,且2x+y=y,则() 2+2>1 B.x+2y+xy≥9+6V2 C.y≤8 三、填空题 10.(24-25高一上·安徽合肥期末)若a>0,b>0,且(4a-1(b-1=4,则4a+b的最小值为 11.(24-25高一上·安徽安庆期末)已知x,y∈R且2x2+2y2=1+xy,则x2+y2的最大值为，最小 值为一 12.(2425高一上安徽安庆期末)已知a,b,c均为正实数，且a+b=1,则3c+c+24的最小值 b ab c+l 为」 13.（24-25高一上·安徽芜湖期末)已知正数x,y满足xy=x+y+8,则x+y的最小值为. 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 基本不等式恒成立问题 一、单选题 425高一上安徽宣城期末)己知a>0，b>0，若不等式。+片≥，6恒成立，则实数m的最大 为() A.10 B.9 C.8 D.7 2。（(24,25高一上安微合肥期末)已知xye(0+网，且+y=1,若不等式+户+>m+m恒 成立，则实数m的取值范围是() B[别 C.（-2,1 D（}+ 3.(2425商-上安髓六安开学考试)已知>0，少>0，且十号2若4红+y>1m-m恒成立则m的 3 取值范围为() A.(-0,3)U(4,+00) B.(-0,1)U(2,+∞) C.(-0,2)U(3,+0) D 4.(2425高一上安搬合肥期未)若正实数x,y满足上+41，且x+之4-30恒成立，则实数a的取值 x V 范围为() A.[-1,4] B.(-1,4) C.[-4, D.(4,1) 二、填空题 5.(2425高一上安徽期未)已知a>0,b>0,若3+之m恒成立，则m的取值范围是」 a b a+3b 6.(24-25高一上·安徽毫州期末)已知不等式 ,≤a对任意的x∈1,3)恒成立则实数a的范围为 x2+4 三、解答题 7.（24-25高一上·安微安庆期末)己知正实数x,y满足4x+4y=1. (1)求xy的最大值： (2)若不等式4+上≥a+5a恒成立，求实数a的取值范围 x y 8。(2425高一上安徽池州期末)已知命题p:x(2,+o,+号m,命题9：方程，+上-1表示 2x-42 2m+13 8/12 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 焦点在x轴上的椭圆， (1)若p为真，求实数m的取值范围； (2)若pA9是假命题，pv9是真命题，求实数m的取值范围. 9 pvq p∧q 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 目目 考点07 基本不等式的实际应用 一、 单选题 1.(24-25高一上安徽六安期末)己知A、B两地的距离是200km,根据交通法规，两地之间的公路车速 x2 应限制在50~100km/h.假设油价是8元L,以xkm/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 3+ L/h,司 360 机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是()km/h. A.245 B.55 C.60 D.80 2.(24-25高一上·安微黄山期末)我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对 话，商高提出了“勾三股四弦五”特例后来古希腈的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方 等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于10，则这个直角三角形周长的最大值为() A.24 B,10W3+10 C.102+10 D.20 3.(24-25高一上·安微池州期末)如图，矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成 的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的() 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.最大长度为8米 B.最大长度为4√2米 C.最小长度为8米 D.最小长度为4√2米 4.(24-25高一上·安微毫州阶段练习)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价 为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为() A.1120元 B.1280元 C.1760元 D.1960元 二、填空题 5.（24-25高一上·安微铜陵·期末)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下 10 列信息：仓库每月土地占地费片万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为，中：每月库存货 物贵%万元与x的函数关系近似为⅓专x,这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使 两项费用之和最少， 6.(24-25高一上·安徽宿州期末)某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年次进货，每次购 买x件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为)，每件商 品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费+库存费）最低，则每年进货次数为 三、解答题 7.(24-25高一上安微期中)如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园设菜园 的长为x米，宽为y米 (1)若菜园面积为36平方米，则x,y为何值时，所用篱笆总长最小？ (②若使用的篱笆总长为30米，求2x+上的最小值 8.(24-25高一上·安徽宣城期末)某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃 保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比 保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费 用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18000元.（长方体保护罩最大容积为10 立方米) 10/12 专题02 不等式性质与基本不等式 8大高频考点概览 考点01由不等式性质比较大小 考点02 由不等式性质求范围 考点03 由基本不等式证明不等关系 考点04 由基本不等式求最值 考点05 条件等式求最值 考点06 基本不等式恒成立问题 考点07 基本不等式的实际应用 考点08 基本不等式“1”的妙用 地 城 考点01 由不等式性质比较大小 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可求解AD,利用作差法即可求解B，举反例即可求解C. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； ，因为，所以，即，所以，故B正确； C项中,取，则不满足，故C错误， D项中应是．D错误， 故选：B． 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，， 若，则，可得， 则，所以成立，即甲是乙的充分条件； 若，可知，则，即， 可得，即，即甲是乙的必要条件． 综上可知：甲是乙的充要条件． 故选：C． 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，则，所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：D 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是实数， （1）是的充分条件；（2）是的必要条件； （3）是的充分条件；（4）是的必要条件． 上述四个命题中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用特殊值判断（1）（2）（3）的正确性，根据不等式的性质可判断（4）的正确性. 【详解】对（1）：取，，则，但不成立，所以不是的充分条件，故（1）错误； 对（2）：取，，则，但不成立，故不是的必要条件，故（2）错误； 对（3）：当 时，不能推出，所以不是的充分条件，故（3）错误； 对（4）：由，可得，所以，所以是的必要条件，故（4）正确. 故选：B 二、多选题 5．（24-25高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；对于D,用作差法比较即可. 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）对于实数、、、，下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用不等式的基本性质可判断AB选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，，则，所以，，C对； 对于D选项，当时，，D错. 故选：ABC. 7．（24-25高一上·安徽六安·期末）若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式的基本性质看判断B选项；利用作差法可判断ACD选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，所以，，A错； 对于B选项，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，， 的符号不确定，无法得出与的大小关系，C错； 对于D选项，，则，D对. 故选：BD. 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；取可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以. 因为，利用同向不等式相加，则有，故A正确； 对于B：因为时显然不成立，故B错误； 对于C：因为，，则，即，故C正确； 对于D：取，，，，满足，，， 但是，所以不成立，故D错误. 故选：AC. 9．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知，，，是实数，则下列说法错误的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】作差可得A；举反例判断B，C；由不等式的性质判断D. 【详解】A：，故A中说法正确； B：当时，，故B中说法错误； C：当，时，，但，故C中说法错误； D：若，，则，，所以，又，所以，故D中说法正确． 故选：BC. 10．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误. 【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误； 对于B，显然，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，同理可得， 即，故C正确； 对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误． 故选：BC 11．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案. 【详解】对于A，不妨设满足条件，则，故A错误； 对于B，因为，，故，故B正确； 对于C，由条件可知：，，所以，故，故C正确 对于D，因为，，所以，即，故D正确． 故选：BCD． 12．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法取可排除；利用不等式的性质可判断. 【详解】对于：取，则，，故错误； 对于：因为，所以 ，故正确； 对于：因为，所以， 所以  故正确. 故选：BD. 13．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知实数a，b，c满足，则（    ） A． B．<< C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断AD；利用正数越大的数倒数越小可判断B；由已知易得，进而可得，可判断C. 【详解】对于A，令，可得，故A错误； 对于B，由，可得<<，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，又， 所以，所以，又，所以，故C正确； 对于D，令，可得，故D错误. 故选：BC. 地 城 考点02 由不等式性质求范围 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 3．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知，满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决． 详解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β） =（λ+v）α+（λ+2v）β． 比较α、β的系数，得， 从而解出λ=﹣1，v=2． 分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6， 两式相加，得1≤α+3β≤7． 故α+3β的取值范围是[1，7]． 故选A 点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题． 二、解答题 4．（24-25高一上·安徽滁州·期末）设二次函数f(x)＝ax2＋bx. (1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围； (2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0). 【分析】(1)用和表示 ，再根据不等式的性质求得. (2)对进行参变分离，根据 和求得. 【详解】解 (1)方法一　⇒ ∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10. 方法二　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， 即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒ ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)， 下同方法一． (2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1， 即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立； 当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立； 当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋， 而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2； 当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－， 而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0， ∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)． 地 城 考点03 由基本不等式证明不等关系 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽省六安二中·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．函数的最小值为3 【答案】C 【解析】根据基本不等式成立的条件可判断ABC的正误，根据双勾函数的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，若，则恒成立，错； 对于B，若，则恒成立，若，则，错； 对于D，函数，， 令，则且， 因为在上为增函数，故， 对于C，因为， 而，，故成立. 故选：C． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据“一正二定三相等”来检验，另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求. 2．（24-25高一上·安徽省六安一中·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【答案】A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【详解】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 二、多选题 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项. 【详解】因为正实数、满足， 对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，因为，则， 当且仅当时，等号成立，B错； 对于C选项，当，时，，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，D对. 故选：AD. 4．（24-25高一上·安徽省六安市舒城中学·期末）已知则可能满足的关系是（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】利用指数运算法则可得，结合基本不等式，对选项逐个分析，可得到结果. 【详解】由，可得，， ∴，， ∴，即， ∴， 依题意知为不相等的正数，∴， ∴，解得， ∴，故AB正确； 又， ∵，而，∴， 即，故C正确； ∵∴，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查指数幂的运算法则与性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 5．（24-25高一上·安徽省黄山市重点学校·期中）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，），点D在半圆O上，且，于点设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知，根据题意，借助射影定理和勾股定理，表示出各边关系，即，，，然后根据四边长度关系即可比较大小. 【详解】连接AD，BD，在上取一点，使得，连接， 由， 根据图像，在中，由射影定理可知：， 即， 又， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， 因为 由勾股定理可知：， 选项A，由图像可知，，所以，选项A正确； 选项B，由图像可知，，所以，选项B错误； 选项C，由图像可知，，所以，选项C正确； 选项D，由图像可知，，所以，选项D正确； 故选：ACD. 三、解答题 6．（24-25高一上·安徽滁州定远县名族中学）已知函数，，且的解集为 （1）求的值； （2）若，且，求证 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】（1）由条件可得，故有的解集为，即的解集为，进而可得结果；（2）根据利用基本不等式即可得结果. 【详解】（1）函数，，故，由题意可得的解集为，即的解集为，故． （2）由，，，且， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． 所以. 【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题． 7．（24-25高一上·安徽省淮南市·期末）（1）已知，是正常数，且，，求证：，指出等号成立的条件； （2）求函数（）的最小值，指出取最小值时的值． 【答案】（1）证明见解析；（2），. 【分析】（1）可等价于，再展开，根据基本不等式即可证出，并得到等号成立的条件； （2）因为，由（1）中结论，即可解出． 【详解】（1）∵， ∴， 故，当且仅当，即时等号成立． （2）由（1）可得， 当且仅当，即时上式取最小值，即． 地 城 考点04 由基本不等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：C． 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】D 【分析】根据题意求出b的范围可以判断A，然后结合基本不等式判断B,C，最后消元通过二次函数的角度判断D. 【详解】对A，，正确； 对B，，当且仅当时取“=”，正确； 对C，，当且仅当时取“=”，正确； 对D，由题意，，由A可知，所以，错误. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知，，若，则的（   ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为8 D．最大值为8 【答案】A 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：A 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）若均为正数，且满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，逐项计算判断即可. 【详解】正数满足， 对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当，即取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 6．（24-25高一上·安徽滁州·期末）已知正数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【详解】对于选项A，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则A正确； 对于选项B，，当且仅当时取等号，则B正确； 对于选项C，，当且仅当时取等号，即，则C错误； 对于选项D，，则， ， 当且仅当，即时，取等，但，故等号无法取到，故D错误． 故选：AB. 7．（24-25高一上·安徽·期末）已知，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为9 C．有最小值为 D．有最小值为3 【答案】ABD 【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为 ，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D. 【详解】由，，且，可知，即， 当且仅当 时取等号，故A正确； ， 当且仅当 即 时取等号，故B正确； 由，，且，可知，故， 当时，取得最小值为 ，故C错误； ，当且仅当，即时取等号， 故D正确， 故选：ABD 8．（24-25高一上·安徽池州·期末）已知正数m，n满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】因为，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B正确； ， 当且仅当时等号成立，故C正确； ，故D错误； 故选：ABC. 9．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知，且，则下列结论中正确的是（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值4 D．有最小值4 【答案】BC 【分析】利用基本不等式逐一判断即可. 【详解】因为，且， 所以由可得，当且仅当时等号成立，故A错误； 由可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 因为 所以，当且仅当即时等号成立，故C正确 因为 所以，当且仅当时等号成立，故D错误 故选：BC 三、填空题 10．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用配方法，结合基本不等式求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 11．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值. 【详解】已知实数且， 则， ， 当或时等号成立，即的最大值为1； ，当，或时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值. 12．（24-25高一上·安徽池州·期末）已知，则函数的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】由基本不等式即可求出答案. 【详解】解：由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，即最大值为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·安徽淮南·期末）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1)16； (2)16； (3)9. 【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值. （3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （2），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （3），由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9. 地 城 考点05 条件等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用的表达式表示，再代入，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得. 【详解】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 5．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，当且仅当， 即，时取得等号． 故选：B． 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选:B． 二、多选题 7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，逐项判定，即可求解. 【详解】因为正数满足，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，因为，由， 可得，所以，当且仅当时，等号成立， 所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，因为，可得，且， 则，所以D不正确. 故选：AC. 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质可判定A项，结合基本不等式可判定B项，利用特殊值可判定C项，根据条件放缩得出，即可得出判定D项. 【详解】对于A，， 所以选项正确； 对于B，由题， 当且仅当等号成立，故B选项正确； 对于C，可取特殊值满足题意，则，故C选项错误； 对于D，， 即，则，故D正确. 故选：ABD 9．（24-25高一上·安徽·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得，根据可判断A；，利用“乘1法”可判断B；根据可判断C；可化为，利用基本不等式可判断D. 【详解】 ∴，A正确； ，当且仅当时等号成立，B正确； ，解得错误； ，由题意知，，则，当且仅当时等号成立，D正确. 故选:ABD. 三、填空题 10．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】由， 得，整理得， 当且仅当时等号成立. 则，故， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为6. 故答案为：6 11．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 /0.4 【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由,可得， 当且仅当，即时取到等号, 即的最大值为； ，可得， 当且仅当，即或时取到等号， 即的最小值为； 故答案为：； 12．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【详解】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为 【答案】8 【分析】将等式转化为，再解不等式即可求解． 【详解】由题意，正实数， 由（时等号成立）， 所以， 所以，即， 解得（舍），，（取最小值） 所以的最小值为. 故答案为： 地 城 考点06 基本不等式恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案. 【详解】因为，，则， 所以， 当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以 所以实数的最大值为8. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题中条件，利用基本不等式，求出的最小值；得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时，等号成立； 又不等式恒成立， 所以只需，即，解得. 故选：A. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．（24-25高一上·安徽六安·开学考试）已知，，且若恒成立则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据恒成立得到不等式，即可得答案； 【详解】因为 当且仅当，时，取等号， 由题意得，解得或. 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用、恒成立问题求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出a的范围． 【详解】因为正实数x，y满足， ， 当且仅当，即时取等号， 恒成立，所以只需， ，， 的取值范围为， 故选：A. 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题. 二、填空题 5．（24-25高一上·安徽·期末）已知，若恒成立，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，，若恒成立等价于恒成立， 由于，， 当且仅当，即时等号成立. 所以 故答案为： 【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题. 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知不等式对任意的恒成立,则实数的范围为 ． 【答案】. 【分析】利用基本不等式求得在的最大值，即可求得实数的范围. 【详解】因为，则，当且仅当时，即等号成立， 即在的最大值为， 又由不等式对任意的恒成立，所以 即实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三、解答题 7．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知正实数x，y满足. （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据直接求解出的最大值，注意取等条件； （2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出的取值范围. 【详解】（1），所以，解得， 当且仅当取等号，∴的最大值为. （2）， 当且仅当，取等号， ∴，解得. 即a的取值范围是. 8．（24-25高一上·安徽池州·期末）已知命题，命题方程表示焦点在x轴上的椭圆． （1）若p为真，求实数m的取值范围； （2）若是假命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）求出在上的最小值后可得的范围； （2）求出命题为真时的范围，由是假命题，是真命题，知一真一假，由此可求得的范围． 【详解】（1）若p为真，则， 而， 当且仅当，即时等号成立； 故，即实数m的取值范围为； （2）若q为真，则，故； 若p真q假，则则， 若p假q真，则则， 综上所述，实数m的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表： 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 地 城 考点07 基本不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出行车的总费用为，其中，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结果. 【详解】由题意可知，行车的总费用为，其中， 由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，经济的车速是. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽黄山·期末）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理和基本不等式可求得的最大值，由此可得出该直角三角形周长的最大值. 【详解】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，所以， 即，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽池州·期末）如图，矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的（    ） A．最大长度为8米 B．最大长度为4米 C．最小长度为8米 D．最小长度为4米 【答案】D 【分析】根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】设米，米，则， 所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为， 当且仅当，即时取等号． 故选：D． 4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为 （    ） A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元 【答案】C 【解析】先设长，则宽，然后列出总造价关于的函数关系式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可，注意等号成立的条件． 【详解】容积是，深， 底面积为， 设长，则宽，无盖长方体水池有一个底面和四个侧面 侧面面积为 造价， 当且仅当：，即时取等号． 故选：C 二、填空题 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 【答案】4 【分析】先根据题意找到两项费用与的关系，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以总费用为 当且仅当时等号成立，解得或（舍） 故答案为：4. 6．（24-25高一上·安徽宿州·期末）某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年次进货，每次购买件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费+库存费)最低，则每年进货次数为 . 【答案】10 【解析】根据题意可得总费用为，利用基本不等式可求出. 【详解】由题可得，每年的手续费为元，库存费为元， 则总费用为， ，， 当且仅当，即时，总费用最低为6000元. 故答案为：10. 三、解答题 7．（24-25高一上·安徽·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 【答案】(1)菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 8．（24-25高一上·安徽宣城·期末）某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18000元.（长方体保护罩最大容积为10立方米） （1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用与保护罩容积之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积. 【答案】（1）；（2）23000元；6立方米. 【解析】（1）根据题意先表示出保险费用，再计算总费用即得函数关系式； （2）利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）设保险费用为，代入，，解得， 则总费用， 即. （2）由基本不等式可得 ， 当且仅当立方米，在定义域范围内. 故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小值为23000元. 9．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价供货价格. （1）求每套丛书利润与售价的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1），总利润为(万元)；（2）当元时，每套利润最大为元. 【解析】（1）首先据销售量求得的范围，然后计算出供货价格，可得利润函数，令代入计算出每套书的利润，再乘以销量可得总利润； （2）利用基本不等式可得最值． 【详解】（1）∵∴ 当时，(元) 此时销量为(万件) 总利润为(万元) （2） ∵ ∴ ∴ 当且仅当，即元时，每套利润最大为元.． 【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是确定利润函数，并凑出应用基本不等式的条件“一正二定”，然后再考虑“三相等”． 10．（24-25高一上·安徽合肥·期末）如图，是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在上的一点的正北方向的处建一仓库，设，并在公路同侧建造边长为的正方形无顶中转站（其中边在上），现从仓库向和中转站分别修两条道路，，已知，且． （1）求关于的函数； （2）如果中转站四周围墙造价为1万元，两条道路造价为3万元，问：该公司建中转站围墙和两条道路总造价最低为多少？ 【答案】（1）；（2）49万元． 【分析】（1）根据题意得且，在中，．然后在中利用余弦定理的式子建立关于、的等式，解出用表示的式子，即可得到关于的函数解析式； （2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价．然后换元：令，化简得到，利用基本不等式算出当时，的最小值为49．由此即可得出当总造价最低时，相应的值． 【详解】解：（1）在中，，，， 所以． 在中，，，， 由余弦定理，得， 即， 所以． 由，得，． 又因为，所以． 所以函数的定义域是． （2）． 因为，所以 即 令，，于是，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号． ∴当时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为49万元． 【点睛】本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案．着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题． 地 城 考点08 基本不等式“1”的妙用 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知实数，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据基本不等式利用“1”的代换法求解． 【详解】∵，，且， ∴，当且仅当，即时等号成立， 故选：A． 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 3．（24-25高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．16 C．20 D．18 【答案】D 【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 4．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 故选：D 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最小值即可. 【详解】由题意，，当且仅当时等号成立. 故选：C 6．（24-25高一上·安徽六安·期末）设，为正数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，再利用基本等式“1”的代换进行求解. 【详解】由得， ， 当且仅当，即时取等号， 故选：D. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 7．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【解析】由已知条件通过“1”的代入，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，时等号成立， 故选:A． 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题. 二、填空题 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，且，结合基本不等式中“1”的妙用运算求解. 【详解】因为，，且，则，，且， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 三、解答题 9．（24-25高一上·安徽·期末）（1）已知正数a，b满足，若．求的最小值； （2）求的解集． 【答案】（1）16；（2） 【分析】（1）根据题意，由基本不等式利用1的代换，即可得到结果．（2）由题意分类讨论去掉绝对值，把原不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即可得出结论． 【详解】（1）因为，均为正数，，所以，即，． 所以可转化， 当且仅当，即，且 时，等号成立． 所以的最小值为16． （2）原不等式等价于①或 ②． 解①求得或，解②求得． 所以原不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $