第三章 一次方程（组）（举一反三讲义）数学湘教版2024七年级上册

第三章 一次方程（组）（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版2024】 【基础巩固】 1 【题型1 一元一次方程的定义】 1 【题型2 一元一次方程的解】 2 【题型3 等式的基本性质】 2 【题型4 解一元一次方程】 3 【题型5 二元一次方程（组）的定义】 3 【题型6 二元一次方程（组）的解】 4 【题型7 解二元一次方程组】 4 【题型8 解三元一次方程组】 5 【能力提升】 5 【题型9 根据一元一次方程解的关系求参数】 5 【题型10 整体思想求一元一次方程的解】 6 【题型11 一元一次方程的应用】 6 【题型12 二元一次方程（组）的整数解】 8 【题型13 二元一次方程组的错解问题】 8 【题型14 二元一次方程组的遮挡问题】 9 【题型15 二/三元一次方程（组）的应用】 9 【思维拓展】 10 【题型16 解含绝对值的一元一次方程】 10 【题型17 利用一元一次方程解决规律问题】 11 【题型18 含字母系数的一元一次方程的解法】 11 【题型19 根据二元一次方程组解的关系求参数】 12 【题型20 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 12 【题型21 构造二元一次方程组求解】 13 【基础巩固】 【题型1 一元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·河南·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．2 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【变式1-3】在已知下列方程： ， ， ， ， ， ，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2 一元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【题型3 等式的基本性质】 【例3】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【变式3-1】已知，利用等式的性质比较与的大小关系：          填“”“”或“” 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【题型4 解一元一次方程】 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或 【变式4-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 【题型5 二元一次方程（组）的定义】 【例5】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】 （24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（    ） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【题型6 二元一次方程（组）的解】 【例6】关于的二元一次方程和的解如下表，则二元一次方程组的解为 ． 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 4 5 … 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 … 【变式6-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【题型7 解二元一次方程组】 【例7】（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则 ， 【变式7-1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】解方程组： ； ． 【变式7-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【题型8 解三元一次方程组】 【例8】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式8-1】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式8-3】我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 【能力提升】 【题型9 根据一元一次方程解的关系求参数】 【例9】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为 ． 【变式9-1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为 ． 【变式9-2】关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【题型10 整体思想求一元一次方程的解】 【例10】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【变式10-1】整体法解方程∶． 【变式10-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）整体法解方程：． 【变式10-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【题型11 一元一次方程的应用】 【例11】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【变式11-1】某服装厂生产一种型号的服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装 套． 【变式11-2】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【变式11-3】如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形的边长是1米； （1）若设图中最大正方形的边长是米，请用含的代数式分别表示出正方形的边长 （2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的(即， )请根据以上结论，求出的值 （3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙工程队单独铺设分别需要10天、15天完成，如果两队从同一位置开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，还要多少天完成? 【题型12 二元一次方程（组）的整数解】 【例12】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【变式12-1】写出二元一次方程的一个正整数解：          ． 【变式12-2】若关于，的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为          ． 【变式12-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【题型13 二元一次方程组的错解问题】 【例13】甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【变式13-1】已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为 ． 【变式13-2】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则的解是（   ） A． B． C． D 【变式13-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型14 二元一次方程组的遮挡问题】 【例14】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【变式14-1】（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ． 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【变式14-3】《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【题型15 二/三元一次方程（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【变式15-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【变式15-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 【变式15-3】（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 【思维拓展】 【题型16 解含绝对值的一元一次方程】 【例16】已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【变式16-1】解方程． 【变式16-2】解方程：． 【变式16-3】已知关于x的方程有三个解，则 . 【题型17 利用一元一次方程解决规律问题】 【例17】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，第3个图形中面积为1的正方形有19个，…，按此规律，则有1104个面积为1的正方形的是（    ） A．第190个图形 B．第200个图形 C．第210个图形 D．第220个图形 【变式17-1】一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到……若按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是 ． 【变式17-2】如图，是用小圆点按一定的规律组成的“七”字，第1个图形有7个小圆点，第2个图形有12个小圆点，第3个图形有17个小圆点，…，按照这样的规律，有252个小圆点的是第 个图形． 【变式17-3】（2025·河北邯郸·模拟预测）将正整数1至2025按一定规律排列．如图所示．平移表中带阴影的矩形框．矩形框中三个数的和可能是（    ） A．2024 B．2022 C．2019 D．2040 【题型18 含字母系数的一元一次方程的解法】 【例18】（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【变式18-1】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式18-2】若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【变式18-3】如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型19 根据二元一次方程组解的关系求参数】 【例19】已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【变式19-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式19-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【变式19-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型20 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 【例20】（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【变式20-1】若下列三个二元一次方程：；；有公共解，那么的取值应是（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【变式20-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么 ； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ． 【题型21 构造二元一次方程组求解】 【例21】（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 【变式21-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【变式21-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若，则的值为 ． 【变式21-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程（组）（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版2024】 【基础巩固】 1 【题型1 一元一次方程的定义】 1 【题型2 一元一次方程的解】 3 【题型3 等式的基本性质】 5 【题型4 解一元一次方程】 7 【题型5 二元一次方程（组）的定义】 9 【题型6 二元一次方程（组）的解】 11 【题型7 解二元一次方程组】 13 【题型8 解三元一次方程组】 15 【能力提升】 17 【题型9 根据一元一次方程解的关系求参数】 17 【题型10 整体思想求一元一次方程的解】 19 【题型11 一元一次方程的应用】 22 【题型12 二元一次方程（组）的整数解】 25 【题型13 二元一次方程组的错解问题】 27 【题型14 二元一次方程组的遮挡问题】 29 【题型15 二/三元一次方程（组）的应用】 32 【思维拓展】 36 【题型16 解含绝对值的一元一次方程】 36 【题型17 利用一元一次方程解决规律问题】 38 【题型18 含字母系数的一元一次方程的解法】 41 【题型19 根据二元一次方程组解的关系求参数】 43 【题型20 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 45 【题型21 构造二元一次方程组求解】 48 【基础巩固】 【题型1 一元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·河南·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义，求参数的值，根据一元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：，整理，得：， ∵方程为一元一次方程， ∴且， 解得：； 故选C． 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程，根据一元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 有两个未知量，该方程不是一元一次方程，故不符合题意； B． 未知量的最高次项是2，该方程不是一元一次方程，故不符合题意； C． 含有分式，不是整式方程，该方程不是一元一次方程，故不符合题意； D． 是一元一次方程，故符合题意； 故选：D． 【变式1-2】关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， 由题意得：． 故答案为：． 【变式1-3】在已知下列方程： ， ， ， ， ， ，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数的次数为，且为整式方程）逐一判断各方程即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解： ，右边为分式，不是整式方程，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，含未知数、，不符合题意； 综上，符合条件的有，共个， 故选：． 【题型2 一元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解． 把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 故选B． 【变式2-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 【题型3 等式的基本性质】 【例3】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】已知，利用等式的性质比较与的大小关系：          填“”“”或“” 【答案】  【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 得， 两边除以， 得， 所以． 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 【变式3-3】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 【题型4 解一元一次方程】 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可． 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得． 故选：A 【变式4-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图的含义，一元一次方程的应用，正确理解程序是解题的关键．根据输入x的值是3，则输出y的值为1，得到，求得b，具体化后，分别令式子值为3，求得x的值，符合范围的就是所求． 【详解】解：∵输入x的值是3，则输出y的值为1， ，解得：， 当时，， 当时，， 当时，解得：，符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 故选：A． 【变式4-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将方程变形为，即可得到答案，正确的运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为： ． 【题型5 二元一次方程（组）的定义】 【例5】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键：含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义得到，由此求出a、b的值进一步即可得到答案． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得， ∴， 故答案为：1． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B、：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C、：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D、：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】 （24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（    ） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故（1）不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故（2）符合题意； 方程组中不是整式方程，故（3）不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故（4）不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 【变式5-3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【题型6 二元一次方程（组）的解】 【例6】关于的二元一次方程和的解如下表，则二元一次方程组的解为 ． 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 4 5 … 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 … 【答案】 【分析】本题主要考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，关键是能通过两个表格找到两个方程的公共解．分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解． 【详解】解：由两个表格可知： 是关于的二元一次方程和的公共解， 则二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入法、加减消元法是解题的关键．先求出题干中方程组的解，再分别求出各选项方程组的解，对比后即可解题． 【详解】解方程组，得， A、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； B、解方程组，得，与原方程组的解相同，故本选项符合题意； C、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； D、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-3】已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．将方程组变形为，根据关于x，y的方程组的解是，得到，解之即可． 【详解】解：方程组变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴，解得：， 故选：B． 【题型7 解二元一次方程组】 【例7】（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入中，进而利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 得，， 解得：， 将代入，可得， 解得：， 故答案为：；． 【变式7-1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可． 本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解： 将方程①变形为： 将③代入方程②得： 整理，得： 即：， 故选：A． 【变式7-2】解方程组： ； ． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 应用代入消元法，求出方程组的解即可． 应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【答案】解：， 由，可得：， 代入，可得：， 解得， 把代入，可得：， 原方程组的解是． ， 由可得：， ，可得， 解得， 把代入，可得：， 解得， 原方程组的解是．  【变式7-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型8 解三元一次方程组】 【例8】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过①+②得到与的关系式，再与③联立求解； （2）通过②-①，③-②，得到与二元一次方程组达到消元的目的即可求解． 【详解】（1）解：由①+②，得．④ 由④-③，得，解得． 把代入③，解得． 把代入①，解得． 故原方程组的解为 （2）解：由②-①，得．④ 由③-②，得．⑤ 由⑤-④，得，解得． 将代入④，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 【变式8-1】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键． 根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解． 【详解】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【变式8-3】我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故答案为：． 【能力提升】 【题型9 根据一元一次方程解的关系求参数】 【例9】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的问题及参数的求解，解题的关键是分别求出两个方程的解，根据互为相反两个数和为，列新方程求解． 分别解出两个方程的解用含的字母表示，再根据互为相反数列式即可得到答案． 【详解】解：由题意得：解方程， 解得； 解方程， 解得； ∵两个方程的解互为相反数， ， 解得：； 故答案为： 【变式9-1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查同解方程，求出的解，将解代入中，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：5． 【变式9-2】关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次的步骤是解题的关键； 根据题意解方程和，得，解方程即可； 【详解】解：解方程得， 解方程得， 根据题意得， 解得． 故选：A． 【变式9-3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 【题型10 整体思想求一元一次方程的解】 【例10】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．把看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： 令，则原方程变为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故， 解得：． 【变式10-1】整体法解方程∶． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即把和分别当作一个整体来合并．移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】解∶将都看成整体进行移项、合并同类项，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式10-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）整体法解方程：． 【答案】 【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键． 利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值． 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 【变式10-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 【题型11 一元一次方程的应用】 【例11】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 【变式11-1】某服装厂生产一种型号的服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装 套． 【答案】240 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设一共能加工服装套，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设一共能加工服装套， 根据题意可得， 解得， ∴一共能加工服装240套． 故答案为：240． 【变式11-2】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 【变式11-3】如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形的边长是1米； （1）若设图中最大正方形的边长是米，请用含的代数式分别表示出正方形的边长 （2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的(即， )请根据以上结论，求出的值 （3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙工程队单独铺设分别需要10天、15天完成，如果两队从同一位置开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，还要多少天完成? 【答案】（1）F的边长为（x-1）米；C的边长为米；E的边长为（x-2）米；（2）7；（3）10 【分析】（1）若设图中最大正方形B的边长是x米，最小的正方形的边长是1米，从图中可看出F的边长为（x-1）米，C的边长为，E的边长为（x-1-1），即可得到答案； （2）根据长方形相对的两边是相等的（如图中的MN和P Q）．请根据这个等量关系，求出x的值； （3）根据工作效率×工作时间=工作量这个等量关系且完成工作，工作量就为1，可列方程求解． 【详解】解：（1）若设图中最大正方形B的边长是x米，最小的正方形的边长是1米． ∴F的边长为：（x-1）米， ∴C的边长为：米， ∴E的边长为：x-1-1=（x-2）米； （2）∵MQ=PN， ∴x-1+x-2=x+， 解得：x=7， ∴x的值为7； （3）设余下的工程由乙队单独施工，还要x天完成． ∴（+）×2+x=1， 解得：x=10． 答：余下的工程由乙队单独施工，还要10天完成． 【点睛】本题考查理解题意能力和看图的能力，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解是解题的关键． 【题型12 二元一次方程（组）的整数解】 【例12】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【变式12-1】写出二元一次方程的一个正整数解：          ． 【答案】答案不唯一  【分析】先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的值，然后再求出另一个未知数的值． 本题考查了二元一次方程的解．掌握二元一次方程的整数解的求法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得． 要使，都是正整数， 则，， 故答案可以是：答案不唯一． 【变式12-2】若关于，的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为          ． 【答案】   【详解】解：  得，， 解得． 关于，的方程组的解为整数， ，，，，，， 满足条件的所有的值的和为． 【变式12-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可；结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 满足条件的x和y的非负整数解有或或，共3组， 即不论m，n取何值，的值一定为4，且满足条件的x和y的非负整数解有3组，故结论Ⅱ正确， 故选：D． 【题型13 二元一次方程组的错解问题】 【例13】甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果． 【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解， ∴， 即， 即第一个方程为； 乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得， 因， 故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为， 把代入中，得； 故答案为：5． 【变式13-1】已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为 ． 【答案】-40 【分析】把甲的结果代入方程组求出c的值，得到关于a与b的方程，将乙结果代入第一个方程得到a与b的方程，联立求出a与b的值,再计算abc的值即可． 【详解】解：由甲运算结果得，， 解得， 由乙运算结果得， 得， 解得． = 故答案为：-40 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式13-2】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则的解是（   ） A． B． C． D 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题、解一元二次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得， ∴方程可化为， 解得， 故选：A． 【变式13-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 【题型14 二元一次方程组的遮挡问题】 【例14】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【答案】 【分析】本题考查平均数，设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y，根据平均数列二元一次方程，根据，y是正数且，，求出x和y的值解答即可． 【详解】解：设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y， ， 解得， ∵，y是正数且，， ∴，， ∴小马的数学成绩是， 故答案为：． 【变式14-1】（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，由题意可得，从而得出，将，代入可得，解关于的一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的一个解为的解， ∴， ∴， 将，代入可得， 解得：， 故答案为：． 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【详解】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 【变式14-3】《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 【题型15 二/三元一次方程（组）的应用】 【例15】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【答案】(1)种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人 (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设种客车可坐人，种客车可坐人，根据“3 辆客车和1辆客车可以坐 220 人， 2 辆客车和 3 辆客车坐的人数一样多”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆种客车，辆种客车，根据租用的客车恰好坐下300人，可列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人； （2）解：设租用辆种客车，辆种客车， 根据题意，得， ， 又 ∵均为非负整数， 或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用1辆种客车，6辆种客车； 方案2：租用3辆种客车，3辆种客车； 方案3：租用5辆种客车，0辆种客车． 【变式15-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 【变式15-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 【答案】(1)牛奶每箱30元，咖啡每箱50元， (2)6箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱，根据此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元， 由题意得，， 解得， ∴牛奶每箱30元，咖啡每箱50元； （2）解：设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n、z都是非负整数， ∴是5的倍数，即z是5的倍数， 当时，（此时花费超过1200，舍去） 当时，（此时花费超过1200，舍去）； 当时，，符合题意； 当时，（舍去）； 综上所述，， 答：此次按原价采购的咖啡有6箱． 【变式15-3】（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 【答案】(1)设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元 (2)有两种进货方案：方案一：购进设备台，设备台；方案二：购进设备台，设备台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列方程（组）并求解是解题的关键． （1）设出、设备的进价，根据已知的两种采购情况列出二元一次方程组，求解得出进价． （2）根据投入资金列出方程，结合正整数条件，对未知数取值讨论，得出进货方案． 【详解】（1）解：设设备每台的进价为万元，设备每台的进价为万元． 解得 答：设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元． （2）解：已知企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台 得 因为、均为正整数，所以对进行取值讨论： 当时，； 当时，； 当时，（为正整数，故舍去） ∴有两种进货方案： 方案一：购进设备台，设备台； 方案二：购进设备台，设备台． 【思维拓展】 【题型16 解含绝对值的一元一次方程】 【例16】已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 【变式16-1】解方程． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：， 根据绝对值的意义，得：或， 解得：或． 【变式16-2】解方程：． 【答案】时，；时 【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值. 【详解】 解：①当时，， ，不存在； ②当时，，； ③当时，，， 的解是时，；时． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程． 【变式16-3】已知关于x的方程有三个解，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．根据题意得：，根据绝对值的定义，结合已知条件列出关于a的一元一次方程，求解之后判断答案即可； 【详解】解；根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∵关于x的方程有三个解，则有两个相等， 显然，不成立， 若，得到（舍去）； 若，得到，，（舍去）； 若，得到，，，（符合题意）； 若，得到，，（舍去）； 故答案为：． 【题型17 利用一元一次方程解决规律问题】 【例17】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，第3个图形中面积为1的正方形有19个，…，按此规律，则有1104个面积为1的正方形的是（    ） A．第190个图形 B．第200个图形 C．第210个图形 D．第220个图形 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律探究及解一元一次方程，熟练掌握通过分析前几个图形的数量关系得出规律是解题的关键．先找出图形中正方形个数的规律，得出第个图形中正方形个数的表达式，再据此列方程求解． 【详解】解：第个图形中面积为的正方形有个，即； 第个图形中面积为的正方形有个，即； 第个图形中面积为的正方形有个，即； ； 所以第个图形中面积为的正方形有个． 令 故选：D． 【变式17-1】一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到……若按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设初始位置点所表示的数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设初始位置点所表示的数为， 依题意得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式17-2】如图，是用小圆点按一定的规律组成的“七”字，第1个图形有7个小圆点，第2个图形有12个小圆点，第3个图形有17个小圆点，…，按照这样的规律，有252个小圆点的是第 个图形． 【答案】50 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，总结归纳第n个图形中的小圆点数量即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个小圆点， 第2个图形有个小圆点， 第3个图形有个小圆点， … 第n个图形有个小圆点， 当时，， 故答案为：50． 【变式17-3】（2025·河北邯郸·模拟预测）将正整数1至2025按一定规律排列．如图所示．平移表中带阴影的矩形框．矩形框中三个数的和可能是（    ） A．2024 B．2022 C．2019 D．2040 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型的数字变化类、一元一次方程的应用等知识点，根据题意恰当地表示出三个数的和并结合中间数所处的位置分析是解题的关键． 设中间数为x，则另外两个数分别为：、，方框中三个数的和为：，分别令等于四个选项中的数字得到一元一次方程并求解，并结合能否形成三个相连的正整数依次分析即可． 【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为：、， ∴方框中三个数的和为：， 若，则，不是正整数，舍去，故A不符合题意； 若，则，，则674在第85行第2列， ∴674的前后都可以有数，形成三数相连：673，674，675，故B符合题意； 若，则，， ∴673在第85行第1列，故C不符合题意； 若，则，， ∴680在第85行第8列，故D不符合题意． 综上，只有B符合题意． 故选：B． 【题型18 含字母系数的一元一次方程的解法】 【例18】（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 【变式18-1】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式18-2】若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式18-3】如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的化简和一元一次方程的解法，解题的关键是设出合理的未知数；先设定大长方形的宽为x，根据题目条件建立方程，解方程求得a和b的关系，进而求得答案即可； 【详解】解：设大长方形的宽为x， 由题意得：左下方阴影部分的面积为，右上方阴影部分的面积为， ∵左下方与右上方阴影部分面积的差为， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型19 根据二元一次方程组解的关系求参数】 【例19】已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 【变式19-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，以及代数式求值，将两方程相加得到，然后代入求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：，即 ， ， 解得：， 故选：B． 【变式19-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A. 【变式19-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解∶ ，得， ∵方程组有无数组解， ∴，， ∴，， 故选∶D． 【题型20 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 【例20】（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 【变式20-1】若下列三个二元一次方程：；；有公共解，那么的取值应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值． 【详解】解：， 由，得， ∴ 把代入①得， ∴， 把，代入，得 ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握用加减法和代入法解二元一次方程组是解题的关键． 【变式20-2】已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据题意①②得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法． 【详解】解：①②得， ， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ， 解得． 故答案为：． 【变式20-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么 ； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ． 【答案】 12 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程的解，解二元一次方程，关键是熟练掌握新定义运算． （1）根据新定义代入数据计算即可求解； （2）根据新定义可得，代入方程得到，则，根据当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，且 ∴， 解得； 故答案为：12； （2）∵，且 ∴， ∴， ∵， ∴ 则 ∴ ∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得， 故这个公共解为． 故答案为：． 【题型21 构造二元一次方程组求解】 【例21】（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义问题，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．根据新定义可得，，分别整理联立方程解出即可． 【详解】解：根据新运算可得：，即， 整理得：， ，即， 整理得：， 联立，得， ①+②，得， 解得：， 将代入②，得， 即； 所以． 故答案为：． 【变式21-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 【变式21-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据题意可得，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴， 故答案为： 【变式21-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组． 由题意得解出x，y的值，即可解答． 【详解】解：由题意得 ， 即， ∴，． 故答案为，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $