专题13.3 分式的加减（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题13.3 分式的加减（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 同分母分式的加减】 2 【题型2 最简公分母】 2 【题型3 通分】 2 【题型4 异分母分式的加减】 3 【题型5 整式与分式的加减】 3 【题型6 已知分式恒等式确定分子或分母】 4 【题型7 分式的加减混合运算】 4 【题型8 分式加减的实际应用】 5 知识点1 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 知识点2 分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 【题型1 同分母分式的加减】 【例1】若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 【变式1-1】（2025·河南三门峡·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则 ， ． 【变式1-3】若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【题型2 最简公分母】 【例2】的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式，，的最简公分母是 ． 【变式2-2】分式与的最简公分母是（    ） A．x4-y4 B．(x2+y2)(x2﹣y2) C．(x﹣y)4 D．(x+y)2(x﹣y) 【变式2-3】（24-25八年级下·河南周口·期末）分式，，的最简公分母是 ． 【题型3 通分】 【例3】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】把，通分，则= ， = . 【变式3-2】分式与通分后的结果是 ． 【变式3-3】通分： (1)，，； (2)，，． 【题型4 异分母分式的加减】 【例4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（   ）         ①     ②         ③         ④ A．运算完全正确 B．第①②两步都有错 C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错 【变式4-1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·天津河西·期末）已知，则 ， ． 【变式4-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果，那么式子与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【题型5 整式与分式的加减】 【例5】已知，则的值为 ． 【变式5-1】计算，结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算的结果是 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【题型6 已知分式恒等式确定分子或分母】 【例6】阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【变式6-1】若，则K＝ ． 【变式6-2】已知，则 ， ， . 【变式6-3】已知，其中，，，为常数，则 ． 【题型7 分式的加减混合运算】 【例7】（2025·江西赣州·一模）计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】计算： (1)． (2)． 【题型8 分式加减的实际应用】 【例8】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【变式8-2】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（   ） A．甲方案实惠 B．乙方案实惠 C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠 【变式8-3】（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 分式的加减（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 同分母分式的加减】 2 【题型2 最简公分母】 3 【题型3 通分】 4 【题型4 异分母分式的加减】 6 【题型5 整式与分式的加减】 8 【题型6 已知分式恒等式确定分子或分母】 11 【题型7 分式的加减混合运算】 13 【题型8 分式加减的实际应用】 16 知识点2 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 知识点2 分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 【题型1 同分母分式的加减】 【例1】若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出关于的等式，求出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B． 【变式1-1】（2025·河南三门峡·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母分式的减法计算即可． 本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1-2】若，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 【变式1-3】若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】 ，互为倒数， 故选：D． 【题型2 最简公分母】 【例2】的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式，，最简公分母是． 故答案为：． 【变式2-2】分式与的最简公分母是（    ） A．x4-y4 B．(x2+y2)(x2﹣y2) C．(x﹣y)4 D．(x+y)2(x﹣y) 【答案】D 【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答． 【详解】解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）， ∴（x+y）2与x2-y2的最简公分母为（x+y）2（x-y）， 故选D． 【点睛】本题考查了最简公分母的确定，关键在于对分母正确分解因式． 【变式2-3】（24-25八年级下·河南周口·期末）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母． 根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：，， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 【题型3 通分】 【例3】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案． 【详解】． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键． 【变式3-1】把，通分，则= ， = . 【答案】 【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式3-2】分式与通分后的结果是 ． 【答案】， 【分析】根据分式通分的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴分式， 分式． 故答案为，． 【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法． 【变式3-3】通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查通分，找到各分母的最简公倍数是解题的关键． （1）根据，，的最简公倍数为进行通分即可； （2）根据，，的最简公倍数为进行通分即可． 【详解】（1）解：，，的最简公分母为， ； ； ； （2）解：，，的最简简公分母为， ； ； ． 【题型4 异分母分式的加减】 【例4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（   ）         ①     ②         ③         ④ A．运算完全正确 B．第①②两步都有错 C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是需正确进行通分和符号处理，并保持分母的存在． 先进行通分再进行同分母分式的加减运算即可． 【详解】解： ① ② ③ ④ 综上，第②步和第③步均存在错误， 故选：D． 【变式4-1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母分式的减法，关键是掌握异分母分式的减法的计算法则． 首先通分变成同分母，再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减进行计算，即可解题． 【详解】解：， 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级上·天津河西·期末）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法运算，等式右边进行通分运算后得，即可求解；掌握分式减法运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 故答案：，． 【变式4-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果，那么式子与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，把与相减，然后根据运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型5 整式与分式的加减】 【例5】已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 【变式5-1】计算，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式进行通分化简，然后进一步计算出答案即可. 【详解】由题意得：==， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握相关方法是解题关键. 【变式5-2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【变式5-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解： ， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 【题型6 已知分式恒等式确定分子或分母】 【例6】阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 【变式6-1】若，则K＝ ． 【答案】1 【分析】根据分式的加减和恒等关系即可求解． 【详解】解：原式变形，得 ＝, ∴3K＝3，4K＝4， 解得K＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了分式的加减，解决本题的关键是恒等关系变形． 【变式6-2】已知，则 ， ， . 【答案】 1 0 【分析】通过通分，把等式右边的分式相加求和，再根据分式恒等原理，比较各项系数，即可求解. 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴ ，解得：， 故答案是：1，，0. 【点睛】本题主要考查异分母分式的加法法则，通过通分把等式右边分式相加求和，是解题的关键. 【变式6-3】已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 【题型7 分式的加减混合运算】 【例7】（2025·江西赣州·一模）计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 【答案】(1)；； (2)1． 【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果； （2）先把分子分母因式分解，约分，再计算加减即可． 【详解】（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分， 故答案为：；； （2）解： ． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型8 分式加减的实际应用】 【例8】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 【详解】解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（   ） A．甲方案实惠 B．乙方案实惠 C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，设两次加油的油价分别为a，且将两次加油的平均油价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小． 【详解】解：设两次加油的油价分别为a，且， 甲方案：设每次加油总金额为W，则平均油价； 乙方案：设每次加油量为N，则平均油价， 则， 因为，a，且， 所以，，， 所以，， 所以，，甲方案实惠． 故选：A． 【变式8-3】（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 【答案】(1) (2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即可； （2）先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析（1）中求出的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ； （2）解：机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高；理由如下： 机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ， ∵， ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∴机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送效率更高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $