2026年中考数学第一轮复习专题09 二元一次方程组(全国通用版)

专题09 二元一次方程组 考点一：二元一次方程组之相关概念： (基础知识) 1.二元一次方程：含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为 1 的整式方程，叫做二元一次方程。它可化为 ax+by+c=0（a、b 不同时为 0）的一般式或 ax+by=c（a、b 不同时为 0）的标准式。 2.二元一次方程组：由两个含有相同未知数的二元一次方程组合而成的方程组，叫做二元一次方程组。 3.二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一组解。由于给定其中一个未知数的任意值，都能求出对应的另一个未知数的值，因此二元一次方程的解成对出现，且有无数组，这些解的集合称为该方程的解集。 4.二元一次方程组的解：能同时满足二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。方程组的解通常有唯一解、无数组解或无解三种情况。 (练习题) 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 3．晓丹老师为了奖励期中考试中本班成绩优异的学生，准备购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元，则共有（   ）种不同的购买方案． A．5 B．4 C．3 D．2 4．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．把一根长16米的钢管截成2米长或3米长规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6．如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为 ． 7．在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）．例如，当，且时，．若，当 ． 8．如果是二元一次方程，那么 ． 9．满足等式（其中x，y均为正整数）的有序数对为 ． 10．已知关于x、y的方程组：的解为请直接写出关于m、n的方程组：的解是 ． 考点二：二元一次方程组之解二元一次方程组： (基础知识) 解二元一次方程组:核心思想与方法(精准使用) 1. 核心解题思想:消元思想 *消元思想是解二元一次方程的根本思路,核心是将“二元”转化为已学的“一元”.通过消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程,先求出一个未知数的值,再逐步求得另一个未知数的值,实现“由多化少.逐一解决”的目标. 2. 两大核心解题方法(含使用场景+关键步骤) 1.代入消元法 定义：把方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，进而求出方程组的解。 适用场景：更适合方程组中有未知数系数为 ±1 的情况，或某未知数系数较简单（如 2、-2）的情况，变形过程更简便。 关键步骤：先变形（用一个未知数表示另一个未知数）→ 再代入（消去一个未知数）→ 解一元一次方程→ 回代求另一个未知数→ 联立写解（可检验）。 2. 加减消元法（简称 “加减法”） 定义：当方程组中两个方程的同一个未知数，系数相等或互为相反数时，把两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，转化为一元一次方程求解。 适用场景：适合方程组中同一未知数系数的绝对值相等，或容易通过乘系数转化为绝对值相等的情况，消元效率更高。 关键步骤：观察系数（找同一未知数系数关系）→ 凑系数（必要时乘适当数，使系数相等或相反）→ 加减消元→ 解一元一次方程→ 回代求另一个未知数→ 联立写解（可检验）。 (练习题) 11．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 12．若、满足方程组，则的值等于（   ） A． B．1 C．2 D． 13．若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 14．已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 15．已知二元一次方程组，则的值为 ． 16．已知方程组，则 ． 17．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 18．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 19.．解方程组：． 20．解下列方程组： (1) (2) 21．用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 22．解方程组：． 考点三：二元一次方程组之实际应用 (基础知识) 列二元一次方程组解实际应用题:标注步骤+实用技巧 列二元一次方程组解应用题的核心是 “把实际问题转化为数学问题”，以下优化后的步骤更贴合解题逻辑，同时补充关键技巧和易错点，帮你精准得分。 1. 七大步骤(流程化解题,不遗漏关键) 1. 审题(核心前提) 重点梳理两个及以上等量关系. 2. 设未知数(规范表达) 根据未知量的数量和等量关系,设两个未知数(通常用x.y表示). 3. 列方程组(关键环节) 根据找到的等量关系,分别列出两个二元一次方程,组成方程组. 4. 解方程(精准运算) 选择代入法或加减消元法,求方程组,得出两个未知数的具体值. 5. 检验(必做步骤) 6. 整理答案(规范作答) 7. 作答(完整收尾) (练习题) 23．三月八日是国际妇女节，这天花店的鲜花特别畅销．鲜花主要有玫瑰．百合、康乃馨等．已知1枝玫瑰和1枝百合需要22元，刘老师用116元买了8枝玫瑰和3枝百合，若设每枝玫瑰x元，每枝百合y元，由题意可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 24．小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 25．为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间15分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，实验中学计划出资5000元全部用于采购A，B，C三种健身器材，A种健身器材每个300元，B种健身器材每个250元，C种健身器材每个200元，其中A种健身器材至少买5个，最多买6个（三种健身器材都要买），则此次采购的方案有（   ）种． A．8 B．7 C．6 D．526．《九章算术》中有一数学问题，其大意是：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，小星用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（   ） A． B． C． D． 27．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 28．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 29．萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 30．《九章算术》是我国古代一部著名数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 31．设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 32．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 33．学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 34．王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 35．如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ． 36．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是 ． 37．若能被整除，则 ． 38．为了同学们的身体健康，学校初、高中部分别购买了A、B、C三种健身器材．已知初中部购买A、B、C的数量之比为，A、B、C的单价之比为；高中部购买A种器材比初中部购买A种器材多出的费用占高中部购买三种器材总费用的，高中部购买A种工具的单价比初中部少，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用之比为；高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为；那么初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为 ． 39．一个棱长为的立方体，把它切成个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为的小立方体的个数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组 考点一：二元一次方程组之相关概念： (基础知识) 1.二元一次方程：含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为 1 的整式方程，叫做二元一次方程。它可化为 ax+by+c=0（a、b 不同时为 0）的一般式或 ax+by=c（a、b 不同时为 0）的标准式。 2.二元一次方程组：由两个含有相同未知数的二元一次方程组合而成的方程组，叫做二元一次方程组。 3.二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一组解。由于给定其中一个未知数的任意值，都能求出对应的另一个未知数的值，因此二元一次方程的解成对出现，且有无数组，这些解的集合称为该方程的解集。 4.二元一次方程组的解：能同时满足二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。方程组的解通常有唯一解、无数组解或无解三种情况。 (练习题) 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义． 根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是一次方程），逐一判断各选项． 【详解】解：选项A中第一个方程含有项，为二次方程，不符合一次方程定义； 选项B中第一个方程左边为二次，不符合一次方程定义； 选项C中含有三个未知数a、b、c，不符合两个未知数的定义； 选项D中只含两个未知数m、n，且每个方程均为一次方程； 故选：D． 3．晓丹老师为了奖励期中考试中本班成绩优异的学生，准备购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元，则共有（   ）种不同的购买方案． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程求解是解题的关键． 设购买笔记本为x本，钢笔为y支，则根据“购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元”列出方程并解答即可． 【详解】解：设购买了笔记本x本，钢笔y支， 根据题意得出：， ∴， ∵x，y为正整数， ∴是正整数， ∴x一定要是5的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴有两种购买方案：购买笔记本5本，钢笔4支或购买笔记本10本，钢笔1支； 故选D． 4．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 5．把一根长16米的钢管截成2米长或3米长规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出a，b的值是解本题的关键，注意a，b只能取正整数． 截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长16米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管a根，3米长的b根，由题意得到关于a与b的方程，求出方程的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设2米长的a根，3米长的b根， 根据题意，得． ∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴共有3种可能， 故选：B． 6．如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程中即可求出m的值． 【详解】解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为： 7．在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）．例如，当，且时，．若，当 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组．根据新定义运算和解二元一次方程组列式计算即可． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故答案为：． 8．如果是二元一次方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据二元一次方程的定义即可求出a与b的值即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， ∴． 故答案为：0． 9．满足等式（其中x，y均为正整数）的有序数对为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，正确变形是解答本题的关键．用含y的代数式表示出x，然后根据是正整数，分别验证即可． 【详解】解：∵， ∴． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 因此原方程的正整数解为：和． 故答案为：或． 10．已知关于x、y的方程组：的解为请直接写出关于m、n的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的特殊解法，灵活应用整体思想是解题的关键； 把所求的方程组变形为，再对照已知的方程组的解即得所求方程组的解是，即得答案． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解为， ∴关于m、n的方程组，即的解是：， 解得：； 故答案为：． 考点二：二元一次方程组之解二元一次方程组： (基础知识) 解二元一次方程组:核心思想与方法(精准使用) 1. 核心解题思想:消元思想 *消元思想是解二元一次方程的根本思路,核心是将“二元”转化为已学的“一元”.通过消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程,先求出一个未知数的值,再逐步求得另一个未知数的值,实现“由多化少.逐一解决”的目标. 2. 两大核心解题方法(含使用场景+关键步骤) 1.代入消元法 定义：把方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，进而求出方程组的解。 适用场景：更适合方程组中有未知数系数为 ±1 的情况，或某未知数系数较简单（如 2、-2）的情况，变形过程更简便。 关键步骤：先变形（用一个未知数表示另一个未知数）→ 再代入（消去一个未知数）→ 解一元一次方程→ 回代求另一个未知数→ 联立写解（可检验）。 2. 加减消元法（简称 “加减法”） 定义：当方程组中两个方程的同一个未知数，系数相等或互为相反数时，把两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，转化为一元一次方程求解。 适用场景：适合方程组中同一未知数系数的绝对值相等，或容易通过乘系数转化为绝对值相等的情况，消元效率更高。 关键步骤：观察系数（找同一未知数系数关系）→ 凑系数（必要时乘适当数，使系数相等或相反）→ 加减消元→ 解一元一次方程→ 回代求另一个未知数→ 联立写解（可检验）。 (练习题) 11．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的正确运用，通过变形方程进行消元求解是解题的关键． 根据解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的思路，对每个选项进行分析，判断其解法是否正确． 【详解】解：A、由，应变形为，而不是，所以该解法错误，符合题意； B、由，变形为，代入，是正确的代入消元法，不符合题意； C、用，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意； D、得，再减，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意． 故选：A． 12．若、满足方程组，则的值等于（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及代数式求值，解题的关键是通过消元法求出方程组的解，再代入计算的值，或直接利用方程组中两个方程相减快速得到的结果． 可通过两种方法求解：一是用代入消元法或加减消元法求出方程组中和的具体值，再计算；二是观察方程组中两个方程的系数特点，用第二个方程减去第一个方程，直接得到的结果，后者更为简便． 【详解】解：已知方程组 用方程②减去方程①，得： 去括号： 合并同类项： 由此可知的值为，对应选项D． 故选：D． 13．若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的意义． 整理方程组，从形式上和原方程组相同，然后根据方程组的解进行求解即可． 【详解】解：， 整理得， 对照得，， 解得， 故选：A． 14．已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法求出，，代入，根据不论m取何有理数，的值始终不变，列出关于n的方程，解方程求出n，再代入化简后的进行计算即可． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴， ∵不论m取何有理数，的值始终不变， ∴， 解得：， ∴这个值为：， 故选：C． 15．已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 16．已知方程组，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法解方程组，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， ∴． 故答案为：． 17．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键在于灵活运用整体思想，消元思想．将代入得，由①②得关于的代数式⑤，再利用整体思想，设，可将原方程化简为：，由③④得关于的代数式⑥，由⑤、⑥消元即可得出m、n的值，即可求出方程的解． 【详解】解：将代入， 得， 由①②得， 设，原方程化简为：， 由③④得：， 将⑤代入⑥得：， 整理得：； ∴ ，即， 解得：． 故答案为：． 18．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的值，弄清题中方程组解的特征是解题的关键． 根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 19.．解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解是． 20．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得， 将代入①得，， ∴该方程组的解为； （2）解： 得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴该方程组的解为． 21．用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）将方程组整理后，运用加减消元法求解即可； （2）将方程组化简后，运用代入消元法求解即可； （3）运用换元法求解即可； （4）将方程组化简后，运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组可化为， 由②得，③， 把③代入①，得， 解． 把代入③得，， 则方程组的解为． （3）解： 令，， 方程组可化为， 化简为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得 ∴， 解得． （4）解： 将原方程组化简，得 ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 22．解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设，进行换元构造新的方程组，求解后再求原方程组的解． 【详解】解：设，，则原方程组变形为， ， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 解得， 原方程组的解为． 考点三：二元一次方程组之实际应用 (基础知识) 列二元一次方程组解实际应用题:标注步骤+实用技巧 列二元一次方程组解应用题的核心是 “把实际问题转化为数学问题”，以下优化后的步骤更贴合解题逻辑，同时补充关键技巧和易错点，帮你精准得分。 1. 七大步骤(流程化解题,不遗漏关键) 1. 审题(核心前提) 重点梳理两个及以上等量关系. 2. 设未知数(规范表达) 根据未知量的数量和等量关系,设两个未知数(通常用x.y表示). 3. 列方程组(关键环节) 根据找到的等量关系,分别列出两个二元一次方程,组成方程组. 4. 解方程(精准运算) 选择代入法或加减消元法,求方程组,得出两个未知数的具体值. 5. 检验(必做步骤) 6. 整理答案(规范作答) 7. 作答(完整收尾) (练习题) 23．三月八日是国际妇女节，这天花店的鲜花特别畅销．鲜花主要有玫瑰．百合、康乃馨等．已知1枝玫瑰和1枝百合需要22元，刘老师用116元买了8枝玫瑰和3枝百合，若设每枝玫瑰x元，每枝百合y元，由题意可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设每枝玫瑰x元，每枝百合y元，再建立方程组即可． 【详解】解：∵1枝玫瑰和1枝百合需要22元， ∴， ∵8枝玫瑰和3枝百合需要116元， ∴， ∴． 故答案为：A 24．小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据总路程为可得；根据总时间为2小时，利用时间=路程/速度，可得乘车时间与步行时间之和为2． 【详解】∵ 总路程为， ∴ ； ∵ 总时间为，且时间=路程速度， ∴ 乘车时间，步行时间， ∴， 故方程组正确为． 故选：B． 25．为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间15分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，实验中学计划出资5000元全部用于采购A，B，C三种健身器材，A种健身器材每个300元，B种健身器材每个250元，C种健身器材每个200元，其中A种健身器材至少买5个，最多买6个（三种健身器材都要买），则此次采购的方案有（   ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买B种健身器材x个，C种健身器材y个，分购买A种健身器材5个和购买A种健身器材6个两种情况，列出关于的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：设购买B种健身器材x个，C种健身器材y个， 当购买A种健身器材5个时，则， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材5个时，共有3种方案； 当购买A种健身器材6个时，则， ∴ ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材6个时，共有3种方案； 综上所述，一共有种方案， 故选：C． 26．《九章算术》中有一数学问题，其大意是：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，小星用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，设有辆车，人数为，根据题意列出方程即可，理解题意确定等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有辆车，人数为， 根据题意得，， ∴另一个方程是， 故选：． 27．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 28．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 29．萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每个小长方形的长为，宽为，根据拼图，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 则每个小长方形的面积为． 故选：D． 30．《九章算术》是我国古代一部著名数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“每人出9元，多4元；每人出8元，少4元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵每人出9元，多4元， ∴； ∵每人出8元，少4元， ∴， ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 31．设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，设这一列数中有个，个3，其余为0，根据题意，建立关于和的方程组，解出和的值，再代入立方和的表达式即可求解． 【详解】解：设数列中有个，个3，则0的个数为个， 根据题意得：， 解得：， ∴ ， 故选：D． 32．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组． 分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案． 【详解】设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得， 解得：． 即甲队分到28人，乙队分到62人． 故选A． 33．学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和所列方程得到为每个足球的价格，为每个篮球的价格，进而得到的意义即可． 【详解】解：由题意和所列方程组可知：为每个足球的价格，为每个篮球的价格， ∴表示每个篮球比足球贵10元； 故选B． 34．王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分，根据王林得23分和李华得19分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求解． 【详解】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分， 根据题意，得， 解得：， ∴， 即张明得分为21分， 故选：C． 35．如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】40 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出与的值，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形得：， ②①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则图中阴影部分面积为． 故答案为：． 36．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程解应用题，读懂题意，准确用方程表示出题中相关数量关系是解决问题的关键． 设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，将题中数量关系表示为，变形得到，从而确定这四人中最大年龄与最小年龄，作差变形即可得到答案． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，则由题意可得 ， ， 比较上述四个式子可知，， ， 即， 解得， 这四人中最大年龄与最小年龄的差是， 故答案为：． 37．若能被整除，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的整除，首先把分解因数可得：，再根据能被、、整除的数的特点，得到关于、的方程组，解方程组求出于、的值即可． 【详解】解：分解因数可得：， 一个数能被整除，则这个数的末三位数能被整除， 一定能被整除， 将0-9的数分别代到z的位置，可得， 只有当时，符合题意， 此时， 能被整除，则各个数位上的数字之和能被整除， 一定能被整除， 又，， ， 或， 一个数能被整除，则奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差为或的倍数， 或， 又，， ， 可得：或，(不符合题意，舍去)， 当时， 解得：， 、不是整数， 不符合题意，舍去； 当时， 解得：； 当时， 解得：， ， 不符合题意，舍去； 当时， 解得：， 、不是整数， 不符合题意，舍去； ，，， ． 故答案为：． 38．为了同学们的身体健康，学校初、高中部分别购买了A、B、C三种健身器材．已知初中部购买A、B、C的数量之比为，A、B、C的单价之比为；高中部购买A种器材比初中部购买A种器材多出的费用占高中部购买三种器材总费用的，高中部购买A种工具的单价比初中部少，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用之比为；高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为；那么初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为 ． 【答案】 【分析】设初中部购买A、B、C的数量分别为、、，A、B、C的单价分别为、y、y，则初中部购买A、B、C的费用分别为、、，设高中部购买三种工具的总费用为a元，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用分别为，，根据高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为列出方程，解方程得出，求出高中部购买的A种工具的数量为：，最后求出比值即可． 【详解】解：设初中部购买A、B、C的数量分别为、、，A、B、C的单价分别为、y、y，则初中部购买A、B、C的费用分别为、、，高中部购买三种工具的总费用为a元，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用，高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用分别为，，根据题意得： ， 解得：， 高中部购买的A种工具的数量为：， ∴初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方程组的应用，解题的关键是设出未知数，根据等量关系列出方程． 39．一个棱长为的立方体，把它切成个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为的小立方体的个数为 ． 【答案】26 【分析】由小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，从最长棱长，开始分析，得出符合要求的答案． 【详解】解：棱长为的立方体中的体积为， 若最大的立方体是一个棱长为的立方体， 则棱长为的立方体只有1个，则其余的只能切成棱长为1cm的立方体， 即棱长为的立方体的体积为， 则剩余的体积为：， 则可切成个棱长为的立方体， 此时正方体的总数为：，不符合要求； 若最大的立方体是一个棱长为的立方体， 则的立方体只有1个，则设y个棱长为的立方体，z个棱长为的立方体， 根据题意有：， 解得：， 则有9个棱长为的立方体，26个棱长为的立方体； 若最大的立方体是一个棱长为的立方体， 设y个棱长为的立方体，z个棱长为， 根据题意有：， 解得：， 方程组的解不为整数，不符合题意，舍去； 综上：有26个棱长为正方体， 故答案为：26． 【点睛】此题主要考查了图形的规律知识，得出所有立方体棱长的关系是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $