专题01 勾股定理 8大高频考点（期末真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

专题01 勾股定理 8大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02以直角三角形三边为边长的图形面积 考点03 勾股定理与折叠（翻折）问题 考点04 以弦图为背景的计算与证明 考点05 几何图形中的综合问题 考点06 立体图形中的最短路径问题 考点07 勾股定理中的实际问题 考点08 探索规律与勾股数 一、单选题地 城 考点01 用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可 【详解】解：A．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．，，满足，是直角三角形，故本选项符合题意；   C．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意；   D．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意；   故选：B． 二、填空题 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积列出方程求解． 利用勾股定理求出，再利用面积法得到，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为． 4．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理， 首先求出，然后证明出，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E．已知，，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）连接BE，根据线段的和差关系求得，由线段垂直平分线的性质求得，然后利用勾股定理逆定理分析判断； （2）利用勾股定理解直角三角形． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由如下：如图，连接． ，， ． 垂直平分， ． 在中，，，， ，． ． ． 是直角三角形． （2）解：在中，，，， ． 垂直平分AB， ，． 在中，， ． 地 城 考点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 1、 单选题 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西忻州·期末）“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 二、填空题 3．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，然后由，列式计算即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得：， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 答：这块四边形空地的面积为． 5．（24-25八年级下·山西朔州·期末）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用网格计算三角形的面积，利用勾股定理及格点确定三个顶点的位置是解题的关键． （1）根据，，，利用格点作图即可； （2）利用割补法计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 地 城 考点03 勾股定理与折叠（翻折）问题 一、 单选题 1．（24-25八年级上·忻州·期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用，先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故选：B． 二、填空题 2．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求得，由折叠的性质，得，，，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 在中，， 由折叠的性质，得，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质、解一元二次方程，证明得出是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出值，即可得答案． 【详解】解：如图，设与轴交于点，， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查折叠性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键． 三、解答题 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 地 城 考点04 以弦图为背景的计算与证明 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质；利用全等三角形的性质得到，再根据正方形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵，，，是四个全等的直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图1，用五个边长均为1的小正方形拼成了一个“T”字型图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的面积、边长，即可解题． 【详解】解： “T”字型图形由五个边长均为1的小正方形组成， “T”字型图形面积为5， 大正方形的面积是5， 大正方形的连长是， 故选A． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）人类一直在探索“外星人”的奥秘，数学家曾建议用如图1所示的图形作为与“外星人”联系的信号．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形．这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是（   ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理， 故选：A． 6．（22-23八年级上·山西运城期末）如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y．已知，大正方形边长为5，则小正方形的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的面积． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 即小正方形的面积为9． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山西晋城·期末）弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方式，运用了恒等的变形的解题方法．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 9．（19-20八年级上·山西太原·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 . 【答案】12 【分析】欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】   解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x， ∵， ∴AB=x+3， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2， 整理得，x=2， ∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键． 三、解答题 10．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 11．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 【答案】(1)角边角 （ASA）；全等三角形的对应边相等 (2)详见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据全等三角形的判定方法与全等三角形的性质可得答案； （2）令 与 交于点 ，证明 ，可得 ，再进一步可得结论； （3）如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 【详解】（1）解：上述材料中的依据1是指角边角 （）， 依据2是指全等三角形的对应边相等 （2）解：令 与 交于点 ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键. 地 城 考点05 几何图形中的综合问题 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____． 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，， 且______， ∴____________． 整理，得， ∴． 任务： (1)补全材料中的填空． (2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用． （1）根据题意得到，则．整理得，即可得到结论； （2）利用勾股定理得到，得到，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵，，， 且， ∴． 整理，得， ∴． （2）解：由题意可得，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 即 解得 2．（24-25八年级上·山西运城期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即    ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法即可求解； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 4．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握利用尺规作角平分线及勾股定理和折叠的性质． （1）以点B为圆心，为半径画弧，与交于点，即为点，连接，作的平分线，交于点E，折痕即为点； （2）先根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：即为所求 （2）解：∵纸四边形为长方形， ∴, ，， 连接， 根据折叠可知，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可知，， 即， 解得：， ∴， 故答案为． 5．（24-25八年级上·山西大同期末）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设． ①求证四边形为菱形； ②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②满足条件的的值为或2 【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； （2）①首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据邻边相等推出四边形是菱形； ②是直角三角形，，只有或．分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 四边形是矩形，，， ，，， 由翻折可知：．， 设，则． 在中，， ， 在中，则有：， ， ； （2）①证明：如图2中， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ②是直角三角形，， 只有或． 如图中，当时， 由（1）得，,， ∴, ， ∴， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 如图中，当时， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标都是整数，请完成下列解答： (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)画出关于y轴对称的； (3)点D在x轴上运动，当的周长最小时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)点，点； (2)见解析 (3)点D的坐标为． 【分析】本题是三角形综合题，考查轴对称的性质，线段的基本事实，解决本题的关键是掌握两点之间线段最短． （1）根据平面直角坐标系即可写出点B和点C的坐标； （2）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，根据两点之间线段最短可知：最短，此时的周长最小，直接写出点D的坐标． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知：点，点； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点D， 根据两点之间线段最短可知：最短，此时的周长最小， ∴点D的坐标为． 地 城 考点06 立体图形中的最短路径问题 一、 单选题 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A． 2．（山西省晋中市祁县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用勾股定理求展开图中的最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：根据题意，该圆柱的侧面展开图如图所示：    可转化为下图求解：    则，， ∴， ∴装饰带的最短长度为， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出的长，比较即可获得答案． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图， 此时； ②如图， 此时， ③如图， 此时， 又∵， ∴需要爬行的最短路程为． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25山西长治期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 6．（24-25山西长治期末）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版））如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解图示，掌握勾股定理求最短路径的计算是解题的关键． 根据题意，将长方体盒子展开，可得为最短路径，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短长度为 ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． 要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山西晋中介休期末）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 地 城 考点07 勾股定理中的实际问题 一、 单选题 1．（24-25山西运城八年级上学期期末数学试卷）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（    ） A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2 C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2 【答案】A 【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程． 【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺， 由题意得：（x-1）2+52=x2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由，则，设米，则米，然后由勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， 故选：． 3．（23-24八年级上·山西晋中期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，故，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知 ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故选：B． 二、解答题 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，证明结论． 【详解】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 5．（23-24八年级上·山西朔州·期末）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】绿化这块空地所需的费用为元 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 6．（24-25八年级上·山西临汾·期末）项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为8.5米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米． （2）解：米 由题意可得：米 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）小雪与爸妈在公园里荡秋千．如图，小雪坐在秋千的起始位置点A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，妈妈在点B处接住她后用力一推，爸爸在点C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求秋千绳子的长． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明，则，由勾股定理得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 即秋千绳子的长为． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了米 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理和∠BCD=90°，，，可以先求出的长；再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 （2）在中， ∵米，米 ∴米 ∵米 ∴米 米 ∴船向岸边移动了米 9．（24-25八年级上·山西晋中·期末）某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 成员 组长：×××，组员×××、×××、×××， 材料准备 皮尺、纸、笔等 测量示意图 测量步骤 如图，线段表示学校旗杆， 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握绳梢在地面移动，从旗杆底部起，逐步远离，直到绳子拉直，不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离的长度； 步骤三：用皮尺测量C点与旗杆之间的距离的长度． 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 的长度 的长度 2米 1米 9米 任务一：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校旗杆高度； 任务二：写出你在活动中的收获、反思或困惑（写出一条即可） 【答案】任务一：13；任务二：答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理测旗杆高．熟练掌握勾股定理，测量方法步骤，增大测量结果的精确度，是解题的关键． 任务一：解：设，则，连同，代入，解方程即得； 任务二：由于测量数据存在误差，不知道哪一次测量误差小，为了减小误差，可以测多次，取几次测量结果的平均值． 【详解】任务一：解：设， 在中，， 即：，解得：． 答：旗杆的高度为13米． 任务二：答案不唯一．举例：测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果等． 地 城 考点08 探索规律与勾股数 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．需逐一验证选项中的数是否与6、10构成勾股数． 【详解】勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）． A：三个数为6、6、10，最大数为10．，不符合条件． B：三个数为6、8、10，最大数为10．，符合条件． C：三个数为6、10、10，最大数为10．，不符合条件． D：三个数为6、10、12，最大数为12．，不符合条件． 综上，只有选项B满足勾股数的条件， 故选B． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（　　） A．3，4，4 B．5，12，13 C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．利用勾股数的定义进行分析即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、，，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． 根据勾股数的定义，分当第三个数为最大数，或当8为最大数，求出两种情况下的第三数，验证是否满足正整数，即得． 【详解】解：当第三个数为最大数，第三数为 ，与6，8能构成勾股数． 当8为最大数，第三数为 ，不是勾股数． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股定理；由勾股定理可知正方形A、B、C、D面积之和为下面最大的正方形面积，即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据勾股定理可知，，，， ∴ 又正方形，，的面积之和为， ∴正方形的面积为. 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形，，按此规律，如果图①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，图形类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．根据题意设，，由勾股定理的得到，再结合周长得到三边长，分别计算出图①、图②和图③的面积，得出次操作后图形中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：， 设，， ， ， 图①中直角三角形的周长为12， ， ， ，，， 图①中所有正方形的面积和为，且直角三角形两直角边向外作的小正方形面积之和等于斜边向外作的小正方形面积， 1次操作后，图②中所有正方形的面积和为， 2次操作后图③中所有正方形的面积和为， …… 观察发现，次操作后图形中所有正方形的面积和为， 10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 8大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02以直角三角形三边为边长的图形面积 考点03 勾股定理与折叠（翻折）问题 考点04 以弦图为背景的计算与证明 考点05 几何图形中的综合问题 考点06 立体图形中的最短路径问题 考点07 勾股定理中的实际问题 考点08 探索规律与勾股数 一、单选题地 城 考点01 用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，于点，，，则 ． 4．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 三、解答题 5．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E．已知，，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 地 城 考点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 1、 单选题 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 2．（24-25八年级下·山西忻州·期末）“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 二、填空题 3．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 5．（24-25八年级下·山西朔州·期末）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 地 城 考点03 勾股定理与折叠（翻折）问题 一、 单选题 1．（24-25八年级上·忻州·期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 地 城 考点04 以弦图为背景的计算与证明 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C． D． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图1，用五个边长均为1的小正方形拼成了一个“T”字型图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）人类一直在探索“外星人”的奥秘，数学家曾建议用如图1所示的图形作为与“外星人”联系的信号．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形．这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是（   ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 6．（22-23八年级上·山西运城期末）如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y．已知，大正方形边长为5，则小正方形的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 二、填空题 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 8．（24-25八年级下·山西晋城·期末）弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是 ． 9．（19-20八年级上·山西太原·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 . 三、解答题 10．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 11．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 地 城 考点05 几何图形中的综合问题 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____． 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，， 且______， ∴____________． 整理，得， ∴． 任务： (1)补全材料中的填空． (2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值． 2．（24-25八年级上·山西运城期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即    ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 4．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 5．（24-25八年级上·山西大同期末）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设． ①求证四边形为菱形； ②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标都是整数，请完成下列解答： (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)画出关于y轴对称的； (3)点D在x轴上运动，当的周长最小时，直接写出点D的坐标． 地 城 考点06 立体图形中的最短路径问题 一、 单选题 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 2．（山西省晋中市祁县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25山西长治期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 6．（24-25山西长治期末）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版））如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 7．（24-25八年级上·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山西晋中介休期末）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 地 城 考点07 勾股定理中的实际问题 一、 单选题 1．（24-25山西运城八年级上学期期末数学试卷）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（    ） A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2 C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 3．（23-24八年级上·山西晋中期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 5．（23-24八年级上·山西朔州·期末）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 6．（24-25八年级上·山西临汾·期末）项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）小雪与爸妈在公园里荡秋千．如图，小雪坐在秋千的起始位置点A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，妈妈在点B处接住她后用力一推，爸爸在点C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求秋千绳子的长． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 9．（24-25八年级上·山西晋中·期末）某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 成员 组长：×××，组员×××、×××、×××， 材料准备 皮尺、纸、笔等 测量示意图 测量步骤 如图，线段表示学校旗杆， 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握绳梢在地面移动，从旗杆底部起，逐步远离，直到绳子拉直，不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离的长度； 步骤三：用皮尺测量C点与旗杆之间的距离的长度． 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 的长度 的长度 2米 1米 9米 任务一：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校旗杆高度； 任务二：写出你在活动中的收获、反思或困惑（写出一条即可） 地 城 考点08 探索规律与勾股数 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（　　） A．3，4，4 B．5，12，13 C．，， D．，， 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是 ． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形，，按此规律，如果图①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $