第十六章 整式的乘法（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

第十六章 整式的乘法 教学目标 1. 熟练掌握全等三角形全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）幂的相关运算； （2）整式的乘（除）法及乘法公式。 2. 难点 （1）幂的运算的相关逆运算； （2）整式的乘（除）法中的无关题型及错解题型； （3）乘法公式的变形求值。 考点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数相同的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 即。（m、n都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 3. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 考点02 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 即：。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 2. 逆运算： 。（a≠0，m、n为正整数）。 3. 零指数幂的计算： 任何不等于0的数的0次幂都等于1。即：1。（a≠0） 考点03 幂的乘方 1. 幂的乘方的运算： 幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘。 即。（m、n都是正整数） 2. 幂的乘方的逆运算： =。（m、n都是正整数） 考点04 积的乘方 1. 积的乘方： 积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：。（m为正整数） 2. 积的乘方的逆运算： 。（m为正整数） 考点05 整式的乘法 1. 单项式乘单项式的运算法则： 把几个单项式的系数相乘作为积的系数，在把同底数幂分别相乘。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式乘多项式的运算法则： 用单项式去乘多项式的每一项，得到单项式乘单项式，再把所得的积相加。若有同类项，则一定要合并同类项。 3. 多项式乘多项式的运算法则： 用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。若有同类项，一定合并同类项。 考点06 整式的除法 1. 单项式除以单项式的运算法则： 单项式除以单项式，系数相除作为商的系数，同底数幂相除。对于只在被除式里面出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 2. 多项式除以单项式的运算法则： 多项式除以单项式，用多项式的每一项去除以单项式，再把得到的商相加。 考点06 乘法公式 1. 平方差公式： ＝。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。 2. 平方差公式的特征： 两个二项式相乘。若他们其中一项相同，另一项互为相反数，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。 3. 平方差公式的几何意义： 如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。 图①的面积为：；图②的面积为：； 图①与图②的面积相等。所以 4. 完全平方公式： ①完全平方和公式： ；两个数的和的平方，等于这两个数的平方的和加上这两个数乘积的两倍。 ②完全平方差公式： ；两个数的差的平方，等于这两个数的平方的和减去这两个数的乘积的两倍。 可以是两个数，也可以是两个式子。 5. 完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的两倍。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 6. 完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 7. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 题型01 幂的有关运算 1．计算（﹣3）0的结果为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．0 2．（π﹣3.14）0＝　 　 ． 3．计算（π+3）0+1的结果是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．计算 （1）a2•a4 （2）22×23×2 （3）4×27×8 （4）（﹣a）2•（﹣a）3 （5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3 （6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3． 5．计算： （1）（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3； （2）（y2）3+（y3）2﹣y•y5； （3）（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2•a4； （4）[（a+b）2]3•[（a+b）2]4． 6．计算： （1）m3•m•（m2）3； （2）（﹣a3）2•（﹣a2）3； （3）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2； （4）． 7．计算 ①（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3 ②（y2）3+（y3）2﹣y•y5 ③（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2a4 ④[（a+b）2]3•[（a+b）2]4 ⑤﹣a6•a5•a+5（a3）4﹣3（a3）3•a2•a． 8．计算： （1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5． （4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2． 题型02 幂的运算的逆运用 1．已知10a＝3，10b＝2，则10a+b的值是（　　） A．1 B． C．5 D．6 2．已am＝2，an＝3，a3m+2n的值是（　　） A．6 B．36 C．72 D．108 3．已知am＝2，an＝3，则a2m+n的值是（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 4．已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．若3m＝6，3n＝2，则32m﹣3n+1＝　 　 ． 6．已知32m＝6，32n＝12，则9m﹣n+1的值是（　　） A． B． C．﹣2 D．4 题型03 比较幂的大小关系 1．已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 2．已知a＝243，b＝422，c＝815，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 3．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 4．已知a＝255，b＝344，c＝533，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 5．3555，4444，5333的大小关系是（　　） A．3555＜4444＜5333 B．5333＜3555＜4444 C．5333＜4444＜3555 D．4444＜5333＜3555 题型04 根据幂探索字母关系 1．若a、b均为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．3a＝b+3 C．a+1＝b3 D．a+1＝3b 2．已知xa＝4，xb＝6，xc＝9，那么a、b、c的等量关系正确的是（　　） A．a+c＝2b B．a+c＝b2 C．ac＝2b D．ac＝b2 3．已知3x＝4，3y＝25，3z＝10，则x、y、z三者之间关系正确的是（　　） A．xy＝2z B．xy＝z2 C．x+y＝z2 D．x+y＝2z 4．设2a＝3，2b＝6，2c＝12．现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+1；④b2﹣ac＝1．其中，正确的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05 0指数幂成立的条件 1．若（x﹣3）0＝1，则x满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3 2．如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 3．若等式（x﹣2）2x＝1，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 4．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 题型06 整式的乘除法计算 1．计算： （1）（n3﹣7mn2n5）n2＝ ； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝ ． 2．计算： （1）（﹣7x2﹣8y2）•（﹣x2+3y2）＝　 ； （2）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）＝　 ． 3．计算： （1）（﹣12a2b2c）•（abc2）2＝ ； （2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）＝　 ． 4．计算： （1）． （2）． （3）2xy2•（﹣3x+2xy）﹣4． 5．计算． （1）（2a2b2c）4z÷（﹣2ab2c2）2； （2） （3） （4）（0.4x3ym）2÷（2x2yn）2． 题型07 整式乘除法的化简求值 1．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 2．先化简，再求值：（2x3y+4x2y2﹣xy3）÷（2xy），其中x＝1，y＝2． 3．先化简，再求值： （1）（x﹣2y）•（x+2y﹣1）+4y2，其中，x，y＝﹣1； （2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b），其中a＝﹣2，b＝3． 题型08 整式乘除法中的无关与不含项问题 1．若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 2．已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 3．若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求p、q的值； 4．已知（x2﹣2）（x3+mx）的结果中不含x3项． （1）求m的值； （2）在（1）的条件下，求（m+1）（m2﹣m+1）的值． 题型09 整式乘除法的错解问题 1．小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2﹣2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果． 2．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘以a，结果是8a4b﹣4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？ 3．小明和小刚共同解一道题（2x+a）（3x+b），由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）计算出正确的结果． 4．在计算（ax﹣1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+2x﹣4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2﹣12x﹣5． （1）求a，b的值； （2）计算（ax﹣1）（2x+b）的正确结果． 题型10 利用乘法公式运算 1．计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3mx2y2）． 2．计算： （1）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）+（z﹣x）（z+x）； （2）（3m2+5）（﹣3m2+5）﹣m2（7m+8）（7m﹣8）﹣（8m）2． 3．计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 4．计算． （1）（5x﹣2y）2+20xy； （2）（x﹣3）2（x+3）2； （3）（3x﹣5）2﹣（2x+7）2； （4）（x+y+1）（x+y﹣1） 题型11 利用乘法公式变形求值及几何意义 1．已知（a+b）2＝25，ab＝6，则a﹣b等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上都不正确 2．若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 3．若已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝5．求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）ab． 4．（1）已知a+b＝3，ab＝﹣23，求a2+b2和a﹣b的值； （2）已知（2025﹣x）（2026﹣x）＝3，求2x﹣4051的值． 5．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将它剪成四个小长方形，然后按图2所示的位置摆放． （1）图2中的阴影部分为正方形，其边长等于 ； （2）观察图2，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2和mn的等量关系：　 ； （3）若x，y都是有理数，且x﹣y＝4，xy＝5，求x+y的值． 6．如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ． （2）请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积： 方法1　 ；方法2　 ． （3）比较（2）中的方法1和方法2，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系：　 ． （4）若（m+n）2＝27，（m﹣n）2＝3，请利用（3）中的结论，求mn的值． 题型12 新定义题型 1．若定义表示2xyz，表示﹣3abcd，则运算×的结果为（　　） A．﹣12m3n4 B．﹣6m4n3 C．12m4n3 D．12m3n4 2．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0；②若log2（3﹣a）＝log39，则a＝﹣1；③log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．0 B．1 C．2 D．3 3．对于整数a，b定义运算：a⊗b＝ambn（其中m，n为常数），如3⊗2＝3m×2n.若存在一个实数k，使得3⊗1＝k，32m+3n＝k5． （1）求3m的值（用含k的代数式表示）； （2）求证：m＝n． 4．阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如：23＝8可以转化为对数3＝log28，对数式2＝1og39，可以转化为指数式32＝9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）理由如下： 设logaM＝m，logaM＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 请解决以下问题： （1）将指数式53＝125转化为对数式 　 　 ； （2）求证：； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62． 5．新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　 ；（﹣3，81）＝　 　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 教学目标 1. 熟练掌握全等三角形全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）幂的相关运算； （2）整式的乘（除）法及乘法公式。 2. 难点 （1）幂的运算的相关逆运算； （2）整式的乘（除）法中的无关题型及错解题型； （3）乘法公式的变形求值。 考点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数相同的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 即。（m、n都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 3. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 考点02 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 即：。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 2. 逆运算： 。（a≠0，m、n为正整数）。 3. 零指数幂的计算： 任何不等于0的数的0次幂都等于1。即：1。（a≠0） 考点03 幂的乘方 1. 幂的乘方的运算： 幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘。 即。（m、n都是正整数） 2. 幂的乘方的逆运算： =。（m、n都是正整数） 考点04 积的乘方 1. 积的乘方： 积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：。（m为正整数） 2. 积的乘方的逆运算： 。（m为正整数） 考点05 整式的乘法 1. 单项式乘单项式的运算法则： 把几个单项式的系数相乘作为积的系数，在把同底数幂分别相乘。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式乘多项式的运算法则： 用单项式去乘多项式的每一项，得到单项式乘单项式，再把所得的积相加。若有同类项，则一定要合并同类项。 3. 多项式乘多项式的运算法则： 用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。若有同类项，一定合并同类项。 考点06 整式的除法 1. 单项式除以单项式的运算法则： 单项式除以单项式，系数相除作为商的系数，同底数幂相除。对于只在被除式里面出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 2. 多项式除以单项式的运算法则： 多项式除以单项式，用多项式的每一项去除以单项式，再把得到的商相加。 考点06 乘法公式 1. 平方差公式： ＝。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。 2. 平方差公式的特征： 两个二项式相乘。若他们其中一项相同，另一项互为相反数，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。 3. 平方差公式的几何意义： 如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。 图①的面积为：；图②的面积为：； 图①与图②的面积相等。所以 4. 完全平方公式： ①完全平方和公式： ；两个数的和的平方，等于这两个数的平方的和加上这两个数乘积的两倍。 ②完全平方差公式： ；两个数的差的平方，等于这两个数的平方的和减去这两个数的乘积的两倍。 可以是两个数，也可以是两个式子。 5. 完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的两倍。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 6. 完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 7. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 题型01 幂的有关运算 1．计算（﹣3）0的结果为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．0 【答案】C 【解答】解：（﹣3）0＝1． 故选：C． 2．（π﹣3.14）0＝　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（π﹣3.14）0＝1． 故本题答案为：1． 3．计算（π+3）0+1的结果是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解答】解：原式＝1+1＝2， 故选：B． 4．计算 （1）a2•a4 （2）22×23×2 （3）4×27×8 （4）（﹣a）2•（﹣a）3 （5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3 （6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a2•a4＝a2+4＝a6． （2）22×23×2＝22+3+1＝26． （3）4×27×8＝22×27×23＝22+7+3＝212． （4）（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）2+3＝（﹣a）5． （5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3＝（x﹣2y）2+3＝（x﹣2y）5． （6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3＝﹣（x﹣2y）2+3＝﹣（x﹣2y）5． 5．计算： （1）（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3； （2）（y2）3+（y3）2﹣y•y5； （3）（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2•a4； （4）[（a+b）2]3•[（a+b）2]4． 【答案】（1）﹣a18； （2）y6； （3）﹣a6； （4）（a+b）14． 【解答】解：（1）（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3＝a6•a6•（﹣a6）＝﹣a18； （2）（y2）3+（y3）2﹣y•y5＝y6+y6﹣y6＝y6； （3）（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2•a4＝﹣a6+a6﹣a6＝﹣a6； （4）[（a+b）2]3•[（a+b）2]4＝（a+b）6•（a+b）8＝（a+b）14． 6．计算： （1）m3•m•（m2）3； （2）（﹣a3）2•（﹣a2）3； （3）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2； （4）． 【答案】（1）m10； （2）﹣a12； （3）2x6； （4）． 【解答】解：（1）m3•m•（m2）3＝m4•m6＝m10； （2）（﹣a3）2•（﹣a2）3＝a6•（﹣a6）＝﹣a12； （3）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6； （4）． 7．计算 ①（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3 ②（y2）3+（y3）2﹣y•y5 ③（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2a4 ④[（a+b）2]3•[（a+b）2]4 ⑤﹣a6•a5•a+5（a3）4﹣3（a3）3•a2•a． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①原式＝a6•a6•（﹣a6） ＝﹣a18； ②原式＝y6+y6﹣y6 ＝y6； ③原式＝﹣a6+a6﹣a6 ＝﹣a6； ④原式＝（a+b）6•（a+b）8 ＝（a+b）14； ⑤原式＝﹣a12+5a12﹣3a12 ＝a12． 8．计算： （1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5． （4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣a5÷3＝﹣a2； （2）原式＝xm﹣1﹣1＝xm﹣2； （3）原式＝﹣x11÷x6•（﹣x5） ＝x11﹣6+5 ＝x10； （4）原式＝（x﹣2y）4÷（x﹣2y）2÷（x﹣2y） ＝（x﹣2y）1 ＝x﹣2y； （5）原式＝a2+a2﹣9a2 ＝﹣7a2． 题型02 幂的运算的逆运用 1．已知10a＝3，10b＝2，则10a+b的值是（　　） A．1 B． C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：根据指数运算的基本性质可得： 10a+b＝10a×10b＝3×2＝6． 故选：D． 2．已am＝2，an＝3，a3m+2n的值是（　　） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】C 【解答】解：∵am＝2，an＝3， a3m+2n＝（am）3×（an）2＝23×32＝8×9＝72． 故选：C． 3．已知am＝2，an＝3，则a2m+n的值是（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 【答案】D 【解答】解：根据幂的乘方、积的乘方的逆用可得： a2m+n＝a2m•an，a2m＝（am）2＝4， ∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝12． 故选：D． 4．已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：∵2m+3n＝3， ∴4m×8n ＝（22）m×（23）n ＝22m×23n ＝22m+3n ＝23 ＝8， 故选：C． 5．若3m＝6，3n＝2，则32m﹣3n+1＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：32m﹣3n+1＝32m÷33n×3， ＝（3m）2÷（3n）3×3， 因为3m＝6，3n＝2， 所以原式， 故答案为：． 6．已知32m＝6，32n＝12，则9m﹣n+1的值是（　　） A． B． C．﹣2 D．4 【答案】A 【解答】解：由题意可得：32m＝6，32n＝12， ． 故选：A． 题型03 比较幂的大小关系 1．已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【解答】解：∵b＝96＝（32）6＝312，a＝313，c＝275＝（33）5＝315且12＜13＜15， ∴c＞a＞b． 故选：A． 2．已知a＝243，b＝422，c＝815，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】D 【解答】解：根据题意，将底数化为相同，然后比较指数可得： a＝243，b＝422＝（22）22＝244，c＝815＝（23）15＝245， ∴c＞b＞a， 故选：D． 3．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【答案】A 【解答】解：∵9＝32，27＝33，81＝34， ∴a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122， ∵124＞123＞122， ∴3124＞3123＞3122， 即a＞b＞c． 故选：A． 4．已知a＝255，b＝344，c＝533，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【答案】C 【解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511， ∵3211＜8111＜12511， ∴255＜344＜533， ∴c＞b＞a． 故选：C． 5．3555，4444，5333的大小关系是（　　） A．3555＜4444＜5333 B．5333＜3555＜4444 C．5333＜4444＜3555 D．4444＜5333＜3555 【答案】B 【解答】解：由3555＝（35）111，4444＝（44）111，5333＝（53）111， 即35＝243，44＝256，53＝125， ∵125＜243＜256， ∴5333＜3555＜4444． 故选：B． 题型04 根据幂探索字母关系 1．若a、b均为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．3a＝b+3 C．a+1＝b3 D．a+1＝3b 【答案】D 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b， ∴a+1＝3b． 故选：D． 2．已知xa＝4，xb＝6，xc＝9，那么a、b、c的等量关系正确的是（　　） A．a+c＝2b B．a+c＝b2 C．ac＝2b D．ac＝b2 【答案】A 【解答】解：∵xa＝4，xb＝6，xc＝9，4×9＝36， ∴xa•xc＝（xb）2， ∴xa+c＝x2b， ∴a+c＝2b， 故选：A． 3．已知3x＝4，3y＝25，3z＝10，则x、y、z三者之间关系正确的是（　　） A．xy＝2z B．xy＝z2 C．x+y＝z2 D．x+y＝2z 【答案】D 【解答】解：由题意可得：3x×3y＝3x+y＝4×25＝100＝102＝（3z）2＝32z， ∴3x+y＝32z， ∴x、y、z三者之间关系为：x+y＝2z． 故选：D． 4．设2a＝3，2b＝6，2c＝12．现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+1；④b2﹣ac＝1．其中，正确的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12， ∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， ∴①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， ∴a+c＝2b，正确，符合题意； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，正确，符合题意； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，错误，不符合题意； ④b2﹣ac＝（a+1）2﹣a（a+2）＝a2+2a+1﹣a2﹣2a＝1，正确，符合题意， 综上所述，正确的结论有：①②④三个， 故选：C． 题型05 0指数幂成立的条件 1．若（x﹣3）0＝1，则x满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3 【答案】C 【解答】解：若（x﹣3）0＝1，则x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选：C． 2．如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵（2a﹣1）0＝1不成立， ∴2a﹣1＝0， ∴a， 故选：D． 3．若等式（x﹣2）2x＝1，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 【答案】D 【解答】解：∵（x﹣2）2x＝1， ∴x＝0时，原式＝1， 当x﹣2＝1时，x＝3，此时（x﹣2）2x＝16＝1， 当x﹣2＝﹣1时，x＝1，此时（x﹣2）2x＝（﹣1）﹣2＝1， 综上所述：x的值为3或1或0． 故选：D． 4．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 【答案】D 【解答】解：当x﹣3＝1时， 解得：x＝4， 符合题意； 当x﹣3＝﹣1时， 解得：x＝2， 此时x+3＝5，（﹣1）5＝﹣1， 不符合题意； 当x+3＝0时， 解得：x＝﹣3， 此时x﹣3＝﹣6≠0， 符合题意； 综上所述，满足条件x值为4或﹣3， 故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 题型06 整式的乘除法计算 1．计算： （1）（n3﹣7mn2n5）n2＝nm+n3 ； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝　3x2y3﹣2y﹣4xy2 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（n3﹣7mn2n5）n2， n3n2﹣7mn2n2n5n2， ＝nm+n3； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3， ＝12x4y6÷4x2y3﹣8x2y4÷4x2y3﹣16x3y5÷4x2y3， ＝3x2y3﹣2y﹣4xy2． 故填空答案：（1）nm+n3；（2）3x2y3﹣2y﹣4xy2． 2．计算： （1）（﹣7x2﹣8y2）•（﹣x2+3y2）＝　7x4﹣13x2y2﹣24y4 ； （2）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）＝　﹣15x2﹣y2+10xy ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣7x2﹣8y2）•（﹣x2+3y2）， ＝7x4﹣21x2y2+8x2y2﹣24y4， ＝7x4﹣13x2y2﹣24y4； （2）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）， ＝3xy﹣9x2﹣2y2+6xy﹣（6x2+2xy﹣3xy﹣y2）， ＝﹣9x2﹣2y2+9xy﹣6x2+xy+y2， ＝﹣15x2﹣y2+10xy． 3．计算： （1）（﹣12a2b2c）•（abc2）2＝　a4b4c5 ； （2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）＝　﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣12a2b2c）•（abc2）2， ＝（﹣12a2b2c）•， ； 故答案为：a4b4c5； （2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）， ＝3a2b•（﹣2ab2）﹣4ab2•（﹣2ab2）﹣5ab•（﹣2ab2）﹣1•（﹣2ab2）， ＝﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2． 故答案为：﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2． 4．计算： （1）． （2）． （3）2xy2•（﹣3x+2xy）﹣4． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式x2y3x3yx2y； （2）原式＝3ab2a2b6+4a2b6 ＝3ab2a2b6； （3）原式＝﹣6x2y2+4x2y3﹣4． 5．计算． （1）（2a2b2c）4z÷（﹣2ab2c2）2； （2） （3） （4）（0.4x3ym）2÷（2x2yn）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2a2b2c）4z÷（﹣2ab2c2）2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z； （2）81x12y12z4÷9x6y4z2x2y6z＝18x4y2z； （3）9ax2（﹣4a5x3）÷（6a2x5）＝﹣6a4； （4）（0.4x3ym）2÷（2x2yn）2＝0.16x6y2m÷4x4y2n＝0.4x2y2m﹣2n； 题型07 整式乘除法的化简求值 1．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4） ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98． 2．先化简，再求值：（2x3y+4x2y2﹣xy3）÷（2xy），其中x＝1，y＝2． 【答案】；3． 【解答】解：原式； 当x＝1，y＝2时， ． 3．先化简，再求值： （1）（x﹣2y）•（x+2y﹣1）+4y2，其中，x，y＝﹣1； （2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b），其中a＝﹣2，b＝3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣（x﹣2y）+4y2 ＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2 ＝x2﹣x+2y， 当x，y＝﹣1时， 原式2＝﹣2； （2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b） ＝2a2﹣ab+2ab﹣b2+2a2﹣4ab+ab﹣2b2 ＝4a2﹣2ab﹣3b2， 当a＝﹣2，b＝3时， 原式＝4×4﹣2×（﹣2）×3﹣3×9 ＝16+12﹣27 ＝1． 题型08 整式乘除法中的无关与不含项问题 1．若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 【答案】A 【解答】解：2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3 ＝2x2﹣（2x2﹣4nx+mx﹣2mn）+3 ＝2x2﹣2x2+4nx﹣mx+2mn+3 ＝（4n﹣m）x+2mn+3， ∵多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关， ∴4n﹣m＝0， ∴m＝4n． 故选：A． 2．已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 【答案】B 【解答】解：∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5， ∴A•B+C ＝（x2+3x﹣a）（﹣x）+（x3+3x2+5） ＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5 ＝ax+5， ∵A•B+C的值与x的取值无关， ∴a＝0， ∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x， 当x＝﹣4时，A＝（﹣4）2+3×（﹣4）＝4， 故选：B． 3．若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求p、q的值； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x2+px）（x2﹣3x+q） ＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p）x2+（qp+1）x+q， ∵积中不含x项与x3项， ∴p﹣3＝0，qp+1＝0， ∴p＝3，q． 4．已知（x2﹣2）（x3+mx）的结果中不含x3项． （1）求m的值； （2）在（1）的条件下，求（m+1）（m2﹣m+1）的值． 【答案】（1）m＝2； （2）9． 【解答】解：（1）（x2﹣2）（x3+mx） ＝x2•x3+x2•mx﹣2•x3﹣2•mx ＝x5+mx3﹣2x3﹣2mx ＝x5+（m﹣2）x3﹣2mx， 由条件可知m﹣2＝0， 解得m＝2； （2）（m+1）（m2﹣m+1） ＝m•m2﹣m•m+m+m2﹣m+1 ＝m3+1， 当m＝2时，原式＝23+1＝9． 题型09 整式乘除法的错解问题 1．小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2﹣2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果． 【答案】6x3﹣7x2+5x﹣2． 【解答】解：∵小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2﹣2x+1， ∴原多项式为： （﹣2x2﹣2x+1）﹣（﹣2x2+x﹣1） ＝﹣2x2﹣2x+1+2x2﹣x+1 ＝﹣3x+2， ∴（﹣3x+2）（﹣2x2+x﹣1） ＝6x3﹣3x2+3x﹣4x2+2x﹣2 ＝6x3﹣7x2+5x﹣2， 所以正确的计算结果是6x3﹣7x2+5x﹣2． 2．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘以a，结果是8a4b﹣4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原多项式为：（8a4b﹣4a3+2a2）a＝16a3b﹣8a2+4a， ∴正确结果为（16a3b﹣8a2+4a）a＝32a2b﹣16a+8 3．小明和小刚共同解一道题（2x+a）（3x+b），由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）计算出正确的结果． 【答案】（1）a＝﹣5，b＝﹣2；（2）6x2﹣19x+10． 【解答】解：（1）∵小明的做法（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab， ∴2b﹣3a＝11①， ∵小刚的做法（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab， ∴2b+a＝﹣9②， ①②两式联立，解得； （2）（2x﹣5）（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 4．在计算（ax﹣1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+2x﹣4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2﹣12x﹣5． （1）求a，b的值； （2）计算（ax﹣1）（2x+b）的正确结果． 【答案】（1）a＝1，b＝5；（2）2x2+3x﹣5． 【解答】解：（1）（ax﹣1）（2x+b） ＝2ax2+abx﹣2x﹣b ＝2ax2+（ab﹣2）x﹣b， ∵小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+2x﹣4， ∴2a＝2，即a＝1． ∵小张同学看错了a的值，计算结果为4x2﹣12x﹣5， ∴﹣b＝﹣5，即b＝5． （2）当a＝1，b＝5时， （ax﹣1）（2x+b） ＝（x﹣1）（2x+5） ＝2x2+5x﹣2x﹣5 ＝2x2+3x﹣5． 题型10 利用乘法公式运算 1．计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3mx2y2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）， ＝（﹣6n）2﹣（5m）2， ＝36n2﹣25m2， （2）（x2y2+3m）（﹣3mx2y2）， ＝（x2y2）2﹣（3m）2， x4y4﹣9m2． 2．计算： （1）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）+（z﹣x）（z+x）； （2）（3m2+5）（﹣3m2+5）﹣m2（7m+8）（7m﹣8）﹣（8m）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣y2）+（y2﹣z2）+（z2﹣x2）＝0 （2）原式＝﹣（3m2+5）（3m2﹣5）﹣m2（7m+8）（7m﹣8）﹣（8m）2， ＝﹣（9m4﹣25）﹣m2（49m2﹣64）﹣64m2， ＝25﹣58m4． 3．计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2 ＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2 ＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc； （2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2 ＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2 ＝﹣5y2﹣2xy+2yz． 4．计算． （1）（5x﹣2y）2+20xy； （2）（x﹣3）2（x+3）2； （3）（3x﹣5）2﹣（2x+7）2； （4）（x+y+1）（x+y﹣1） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（5x﹣2y）2+20xy ＝25x2﹣20xy+4y2+20xy ＝25x2+4y2； （2）（x﹣3）2（x+3）2 ＝（x2﹣9）2 ＝x4﹣18x2+81； （3）（3x﹣5）2﹣（2x+7）2 ＝9x2﹣30x+25﹣（4x2+28x+49） ＝9x2﹣30x+25﹣4x2﹣28x﹣49 ＝5x2﹣58x﹣24； （4）（x+y+1）（x+y﹣1） ＝[（x+y）+1][（x+y）﹣1] ＝（x+y）2﹣1 ＝x2+2xy+y2﹣1． 题型11 利用乘法公式变形求值及几何意义 1．已知（a+b）2＝25，ab＝6，则a﹣b等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上都不正确 【答案】C 【解答】解：∵（a+b）2＝25，ab＝6， ∴a﹣b ＝± ＝± ＝±1， 故选：C． 2．若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【答案】A 【解答】解：∵a2﹣b2＝15， ∴（a+b）（a﹣b）＝15， ∵（a﹣b）2＝9， ∴a﹣b＝±3， ∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴a﹣b＝﹣3， ∴a+b＝﹣5， ∴（a+b）2＝25， ∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝25﹣9＝16， ∴ab＝4， 即ab的值为4， 故选：A． 3．若已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝5．求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）ab． 【答案】（1）8；（2）． 【解答】解：（1）根据题意可知，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝11①， （a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝5②， ①+②得，a2+b2+2ab+a2+b2﹣2ab＝11+5， 2（a2+b2）＝16， 解得：a2+b2＝8； （2）①﹣②得，a2+b2+2ab﹣（a2+b2﹣2ab）＝11﹣5， 4ab＝6， 解得：． 4．（1）已知a+b＝3，ab＝﹣23，求a2+b2和a﹣b的值； （2）已知（2025﹣x）（2026﹣x）＝3，求2x﹣4051的值． 【答案】（1）a2+b2＝55，； （2）． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×（﹣23）＝9+46＝55， ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a2+b2）﹣2ab＝55﹣2×（﹣23）＝55+46＝101， ∴； （2）设u＝2025﹣x，v＝2026﹣x，则u•v＝3，v﹣u＝（2026﹣x）﹣（2025﹣x）＝1， ∵u+v＝2025﹣x+2026﹣x＝4051﹣2x， ∴（4051﹣2x）2＝13， ∴． 5．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将它剪成四个小长方形，然后按图2所示的位置摆放． （1）图2中的阴影部分为正方形，其边长等于m﹣n ； （2）观察图2，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2和mn的等量关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn ； （3）若x，y都是有理数，且x﹣y＝4，xy＝5，求x+y的值． 【答案】（1）m﹣n； （2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （3）±6． 【解答】解：（1）图2中的阴影部分为正方形，其边长等于m﹣n， 故答案为：m﹣n； （2）由图可知，阴影部分的面积为（m﹣n）2，大正方形的面积为（m+n）2，小长方形的面积为mn， ∵大正方形的面积等于阴影部分的面积加上四个小长方形的面积， ∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn， 故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （3）由（2）得，（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy， ∵x﹣y＝4，xy＝5， ∴（x+y）2＝42+4×5， ∴（x+y）2＝36， ∴x+y＝±6． 6．如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n ． （2）请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积： 方法1　（m﹣n）2 ；方法2　（m+n）2﹣4mn ． （3）比较（2）中的方法1和方法2，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系：　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ． （4）若（m+n）2＝27，（m﹣n）2＝3，请利用（3）中的结论，求mn的值． 【答案】（1）m﹣n； （2）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn； （4）6． 【解答】解：（1）由题知， 图2中阴影部分正方形的边长等于m﹣n． 故答案为：m﹣n； （2）图2中阴影部分是一个边长为m﹣n的正方形， 所以阴影部分的面积为（m﹣n）2； 图2中阴影部分的面积可用边长为m+n的正方形面积减去4个长m，宽n的正方形面积， 所以阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （3）由（2）知， （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn； （4）由（3）知， mn[（m+n）2﹣（m﹣n）2]， 所以mn6． 题型12 新定义题型 1．若定义表示2xyz，表示﹣3abcd，则运算×的结果为（　　） A．﹣12m3n4 B．﹣6m4n3 C．12m4n3 D．12m3n4 【答案】A 【解答】解：原式＝4mn×（﹣3m2n3）＝﹣12m3n4， 故选：A． 2．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0；②若log2（3﹣a）＝log39，则a＝﹣1；③log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：因为60＝1，所以log61＝0，则①正确， 因为32＝9，所以log39＝2，则log2（3﹣a）＝2，那么3﹣a＝4，解得a＝﹣1，则②正确， 设log2x＝m，log2y＝n，那么x＝2m，y＝2n，因此log2xy＝log22m•2n＝log22m+n＝m+n，故log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0），则③正确， 综上，正确的个数为3个， 故选：D． 3．对于整数a，b定义运算：a⊗b＝ambn（其中m，n为常数），如3⊗2＝3m×2n.若存在一个实数k，使得3⊗1＝k，32m+3n＝k5． （1）求3m的值（用含k的代数式表示）； （2）求证：m＝n． 【答案】（1）3m＝k； （2）证明：∵32m+3n＝32m×33n＝（3m）2×（3n）3， 32m+3n＝k5＝（3m）5， ∴（3m）2×（3n）3＝（3m）5， ∴（3n）3＝（3m）3， ∴3n＝3m， ∴m＝n． 【解答】（1）解：∵3⊗1＝3m×1n＝k， ∴3m＝k； （2）证明：∵32m+3n＝32m×33n＝（3m）2×（3n）3， 32m+3n＝k5＝（3m）5， ∴（3m）2×（3n）3＝（3m）5， ∴（3n）3＝（3m）3， ∴3n＝3m， ∴m＝n． 4．阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如：23＝8可以转化为对数3＝log28，对数式2＝1og39，可以转化为指数式32＝9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）理由如下： 设logaM＝m，logaM＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 请解决以下问题： （1）将指数式53＝125转化为对数式 　3＝log5125　 ； （2）求证：； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62． 【答案】（1）3＝log5125； （2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴am﹣n， ∴logam﹣n， ∴logalogaM﹣logaN． （3）2． 【解答】解：（1）将指数式53＝125转化为对数式为3＝log5125． 故答案为：3＝log5125． （2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴am﹣n， ∴logam﹣n， ∴logalogaM﹣logaN． （3）原式＝log69×8﹣log62 ＝log672﹣log62 ＝log6 ＝log662 ＝2． 5．新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　2　 ；（﹣3，81）＝　4　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【答案】（1）2，4． （2）见证明过程． （3）e3＝f． 【解答】（1）解：∵22＝4， ∴（2，4）＝2． ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4． 故答案为：2，4． （2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝12×5＝60＝4c， ∴a+b＝c． （3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k， ∴ek＝5，fk＝125＝53， ∵（ek）3＝53， ∴（e3）k＝53， ∴（e3）k＝fk， ∴e3＝f． 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