第九单元 数学百花园（知识清单）数学北京版三年级上册（新教材）

第九单元 数学百花园 单元知识清单讲义 知识点一：合理搭配的含义与核心思想 合理搭配是指在给定的几种物品（如上衣、裤子、食物等）中，按照一定的规则（如“一件上衣配一条裤子” “一种面包配一瓶饮料”），找出所有不重复、不遗漏的组合方式。 核心思想：有序思考，避免重复和遗漏。搭配时可以按“先固定一种物品，再与其他物品逐一搭配”的顺序进行，确保所有可能的组合都能被找到。 适用场景：两类或多类物品之间的组合问题，且组合顺序不影响结果（如“上衣A配裤子1”与“裤子1配上衣A”视为同一种搭配）。 知识点二：合理搭配的常用方法 列举法：将所有可能的搭配一一列出，直观清晰。例如：有2件上衣（A、B）和3条裤子（1、2、3），搭配方式可列举为A1、A2、A3、B1、B2、B3。 画图法：用简单的图形（如圆圈、线段）代表物品，通过连线的方式表示搭配关系。例如：用圆圈代表上衣和裤子，上衣与每条裤子之间画一条线，连线的数量即为搭配总数。 计算法：如果一类物品有m种，另一类物品有n种，且要求“一类选一个与另一类搭配”，则搭配总数为m×n（乘法原理）。例如：3种面包和4种饮料，搭配总数为3×4=12种。 知识点三：搭配问题的拓展（排列与组合的初步区分） 组合：搭配时不考虑顺序，只关注“选哪些物品”，如“从1、2、3中选两个数字组成不重复的两位数”，这里的“12”和“21”是不同的排列，但如果是“选两个数字组成一组”，则“1和2”与“2和1”是同一种组合（本单元重点是组合类搭配，排列仅初步接触）。 排列（初步认识）：当搭配结果与顺序有关时，需考虑排列。例如：用1、2、3三张卡片摆不同的两位数，十位和个位数字交换后是不同的数，属于排列问题，总数为3×2=6个。 知识点四：排鱼求数的核心思路 本质：利用长度单位的进率，将不同单位统一后，通过“总长度÷单个物体长度=物体个数”的数量关系求解。 关键步骤： a.明确古代长度单位的进率（课本规定：1里=360步，1步=5尺，1尺=10寸）。 b.统一单位：将总长度（如“九里”）换算成与单个物体长度（如“三寸”）相同的单位（如寸）。 c.计算个数：用总长度除以单个物体的长度，得到物体的总个数。 知识点五：古代长度单位与现代单位的关联（拓展） 课本涉及的古代长度单位：寸、尺、丈、步、里，其进率为1丈=10尺，1尺=10寸，1步=5尺，1里=360步。 与现代单位的联系：古代单位与现代的厘米、分米、米等单位存在对应关系（如1尺≈33.33厘米），但本单元仅要求掌握课本给定的古代单位进率，无需深入换算现代单位。 考点一：两类物品的合理搭配（乘法原理应用） 【典型例题】：小明去早餐店，有3种面包（维生素面包、奶油面包、牛角面包）和4种饮料（红茶、绿茶、矿泉水、橙汁），每种面包搭配一种饮料，一共有多少种不同的搭配方法？ 【题目解析】：本题考查两类物品的合理搭配，核心是运用乘法原理，先确定每类物品的选择数量，再相乘得到总搭配数。 【规范解答】： 方法一：列举法 维生素面包：搭配红茶、绿茶、矿泉水、橙汁（4种） 奶油面包：搭配红茶、绿茶、矿泉水、橙汁（4种） 牛角面包：搭配红茶、绿茶、矿泉水、橙汁（4种） 总搭配数：4+4+4=12种 方法二：计算法 面包有3种选择，饮料有4种选择，总搭配数=3×4=12种 答：一共有12种不同的搭配方法。 考点二：搭配问题的拓展（三类物品简单搭配） 【典型例题】：妈妈买了2件上衣、2条裤子和2双鞋子，每件上衣搭配一条裤子和一双鞋子，一共有多少种不同的搭配方案？ 【题目解析】：本题考查三类物品的搭配，可先将前两类物品搭配，再与第三类物品搭配，逐步运用乘法原理。 【规范解答】： 第一步：先算上衣和裤子的搭配数，2件上衣×2条裤子=4种搭配； 第二步：每种上衣+裤子的搭配再与2双鞋子搭配，4×2=8种； 总搭配数=2×2×2=8种 答：一共有8种不同的搭配方案。 考点三：用数字卡片摆数（排列问题初步） 【典型例题】：用1、2、3三张数字卡片（数字不重复使用），能摆出多少个不同的两位数？ 【题目解析】：本题考查排列问题，摆两位数时十位和个位数字不同，顺序影响结果，需按顺序列举或用乘法原理计算。 【规范解答】： 方法一：列举法 十位是1：12、13（2个） 十位是2：21、23（2个） 十位是3：31、32（2个） 总个数：2+2+2=6个 方法二：计算法 十位有3种选择（1、2、3），个位有2种选择（剩下的2个数字），总个数=3×2=6个 答：能摆出6个不同的两位数。 考点四：排鱼求数（古代长度单位换算与计算） 【典型例题】：“三寸鱼儿九里沟，口尾相衔直到头”，根据明代长度单位进率（1里=360步，1步=5尺，1尺=10寸），求沟里有多少条鱼？ 【题目解析】：本题考查古代长度单位的换算和除法应用，需先将总长度“九里”换算为“寸”，再用总长度除以单条鱼的长度“三寸”，得到鱼的条数。 【规范解答】： 第一步：统一单位 1里=360步，1步=5尺，1尺=10寸，因此1里=360×5×10=18000寸； 9里=9×18000=162000寸。 第二步：计算鱼的条数 总长度÷单条鱼长度=鱼的条数，即162000÷3=54000条。 答：沟里有54000条鱼。 考点五：搭配问题的实际应用（选择最优方案） 【典型例题】：学校组织活动，要求每人选1份主食和1份配菜。主食有米饭、馒头（2种），配菜有青菜、土豆丝、红烧肉（3种）。小明不喜欢吃红烧肉，他有多少种不同的选择？ 【题目解析】：本题考查搭配问题的实际应用，需排除不喜欢的搭配，先算出总搭配数，再减去不符合要求的搭配数，或直接列举符合要求的搭配。 【规范解答】： 方法一：排除法 总搭配数=2×3=6种； 不符合要求的搭配（选红烧肉）：米饭+红烧肉、馒头+红烧肉（2种）； 符合要求的搭配数=6-2=4种。 方法二：列举法 米饭：搭配青菜、土豆丝（2种） 馒头：搭配青菜、土豆丝（2种） 总搭配数=2+2=4种 答：小明有4种不同的选择。 一、填空题 1．小明有3件上衣和2条裤子，一件上衣和一条裤子搭配，他可以有( )种不同的搭配方法。 答案：6 分析：根据题意，每件上衣都可以搭配2条裤子，有2种搭配方法，有3件上衣，则总的搭配方法是3个2种，由此解答。 详解：3×2＝6（种） 小明有3件上衣和2条裤子，一件上衣和一条裤子搭配，他可以有6种不同的搭配方法。 2．用5把钥匙去开5个房门。已知一把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥匙能开哪个门。如果要保证钥匙和门锁都配起来，最多要试开( )次。 答案：10 分析：第1个房门最多用4把钥匙试开；第2个房门最多用3把钥匙试开；第3个房门最多用2把钥匙试开；第4个房门最多用1把钥匙试开；最后剩的一把钥匙和最后一个房门相匹配，不需要试开，所以最多要试开4＋3＋2＋1＝10（次）；据此解答即可。 详解：据分析可得： 4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（次） 所以最多要试开10次。 3．为参加区校园艺术节，我校需要从2个合唱节目和4个舞蹈节目中，各选一个节目参演，一共会有( )种不同的选择方案。 答案：8 分析：先选择1个合唱节目，就会有4个舞蹈节目与之搭配，因此用合唱节目的个数与舞蹈节目的个数相乘即可求解出选择的方法；据此解答。 详解：根据分析： 2×4＝8（种） 所以一共会有8种不同的选择方案。 4．用8、4、7这三张数字卡片摆成□□×□这样的乘法算式，可以摆( )个这样的乘法算式。 答案：6 分析：用8、4、7这三张数字卡片摆成一个两位数乘一个一位数的形式，可以摆成84作为两位数，7作为一位数；48作为两位数，7作为一位数；74作为两位数，8作为一位数；47作为两位数，8作为一位数；78作为两位数，4作为一位数；87作为两位数，4作为一位数；据此列出所有乘法算式即可解答。 详解：84作为两位数，7作为一位数，即84×7＝588； 48作为两位数，7作为一位数，即48×7＝336； 74作为两位数，8作为一位数，即74×8＝592； 47作为两位数，8作为一位数，即47×8＝376； 78作为两位数，4作为一位数，即78×4＝312； 87作为两位数，4作为一位数，即87×4＝348； 因此，用8、4、7这三张数字卡片摆成□□×□这样的乘法算式，可以摆6个这样的乘法算式。 5．商店现有4节装和6节装两种不同包装的电池，小齐要购买30节这样的电池，有( )种不同的买法。 答案：3 分析：根据题意，要买30节电池，有4节装和6节装两种不同包装，因为30能被6整除，由此可知6节装的可以买5盒；再逐步减少6节装的盒数，增加4节装的盒数，两种包装的电池总和等于30即可。列举出所有不同的选择方法，再数一数，得出一共有几种不同的选择方法。 详解：方法一：6节5盒： 5×6＝30（节） 方法二：6节3盒，4节3盒： 3×6＋3×4 ＝18＋12 ＝30（节） 方法三：6节1盒，4节6盒： 1×6＋6×4 ＝6＋24 ＝30（节） 即商店现有4节装和6节装两种不同包装的电池，小齐要购买30节这样的电池，有3种不同的买法。 6．为落实“双减”政策，丰富校园生活，学校开展了丰富多彩的社团活动。科学社团要求同学们调制一杯符合自己口味的果汁，如下图，一共有( )种调配方法。（每种口味只含一种水果） 答案：6 分析：从题中可知正常冰可以调配3种不同水果，少冰也可以调配3种不同水果，共有2个3种调配方法。用乘法计算。 详解：2×3＝6（种） 一共有6种调配方法。 二、判断题 7．玲玲、乐乐、阳阳每人都想单独和语文老师、数学老师、英语老师分别合影一次，一共要拍6张照片。( ) 答案：× 分析：结合题意可知，3名同学每人都想单独和语文老师、数学老师、英语老师分别合影一次，意味着一名同学要合影3次，也就是一名同学要拍3张照片，则3名同学一共要拍的照片数量为：3×3＝9（张），据此解答即可。 详解：3×3＝9（张） 因此一共要拍9张照片。 故答案为：× 8．有4个人，每2个人握一次手，一共要握12次手。( ) 答案：× 分析：每2个人握一次手，则每个人都需要和其余3个人握手，需要握3次手。那么4个人需要握（3×4）次手。此时每2人握2次手，例如甲和乙握手，乙也和甲握手。因为每2个人之间只需要握1次手，应去掉重复握手次数，实际握手（3×4÷2）次。 详解：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（次） 有4个人，每2个人握一次手，一共要握6次手。原说法错误。 故答案为：× 9．小红买了3本童话书和2本故事书，小丽想两种书各借一本，一共有6种借法。( ) 答案：√ 分析：根据搭配问题，3本童话书都可以和另外2本故事书搭配，则一共有（3×2）种借法，据此判断即可。 详解：3×2＝6（种） 小红买了3本童话书和2本故事书，小丽想两种书各借一本，一共有6种借法。原题说法正确。 故答案为：√ 10．亮亮有4条不同的裤子和2件不同的上衣，选一条裤子和一件上衣搭配。一共有6种不同的搭配方法。( ) 答案：× 分析：从4条裤子中选一条有4种选法、从2件上衣中选一件有2种选法，共有4×2＝8种不同的搭配方法，据此判断即可。 详解：根据分析可知：亮亮有4条不同的裤子和2件不同的上衣，选一条裤子和一件上衣搭配。一共有8种不同的搭配方法，原题说法错误。 故答案为：× 11．丫丫有4件上衣，3条裤子，她有7种不同的搭配方法。( ) 答案：× 分析：从3条裤子中选一条有3种选法、从4件上衣中选一件有4种选法，共有3×4＝12种不同的搭配方法。 详解：根据分析可知：丫丫有4件上衣，3条裤子，她有12种不同的搭配方法，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题 12．用2、5、6、9这四个数组成没有重复数字的两位数，能组成个位是单数（注意是单数哦）的两位数有（    ）。 A．3个 B．6个 C．12个 答案：B 分析：要使两位数的个位是单数，那么两位数的个位只能是5、9。当它的个位分别是5、9时，十位可以是其它3个数中的任意一个，则有（2×3）个。据此可以解答。 详解：2×3＝6（个） 用2、5、6、9这四个数组成没有重复数字的两位数，能组成个位是单数（注意是单数哦）的两位数有6个。 故答案为：B 13．甲、乙、丙和丁4人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。甲已经下了3盘，乙下了2盘，丙下了1盘，这时丁下了（    ）盘。 A．1 B．2 C．3 答案：B 分析：一共4个人，甲已经下了3盘，分别与乙、丙和丁下的，此时丙与甲下了1盘，乙与甲也下了一盘。丙下了1盘，他不在与其他人下。乙下了2盘，那么乙还需要和丁下1盘。即丁分别与甲和乙下了1盘，共下了2盘。 详解：由分析得： 此时甲与乙、甲与丙、甲与丁以及乙与丁各下了1盘，丁一共下了2盘。 故答案为：B 14．2件上衣和3条裤子要配成一套衣服，有（    ）种不同的搭配方法。 A．5 B．4 C．6 答案：C 分析：根据题意，每件上衣都可以有3条裤子来搭配，有3种搭配方法，共有2件上衣，则搭配方法就是2个3种，据此解答。 详解：根据分析可得： 2×3＝6（种） 2件上衣和3条裤子要配成一套衣服，有6种不同的搭配方法。 故答案为：C 15．张叔叔早餐要喝一种饮品，吃一种主食，如右图所示，有（    ）种不同的搭配方法。 营养早餐 饮品：牛奶  豆浆 主食：面包  鸡蛋饼  包子  馒头 A．8 B．10 C．12 答案：A 分析：根据题意，饮品有2种（牛奶、豆浆），主食有4种（面包、鸡蛋饼、包子、馒头）。张叔叔需要选择一种饮品和一种主食，所有搭配均无限制。根据乘法原理，不同搭配方法的总数为饮品数量乘主食数量，即2×4＝8（种）。 详解：根据分析可知： 2×4＝8（种） 张叔叔早餐要喝一种饮品，吃一种主食，如右图所示，有8种不同的搭配方法。 故答案为：A 16．把5个苹果分给2个小朋友，两人都要有苹果，有（    ）种不同的分法。 A．3 B．4 C．5 答案：B 分析：根据题目意思将5个苹果分给2个小朋友，且每人至少1个；那么可以列举出所有可能的情况解答即可。 详解：根据分析可知，当甲分到1个时，乙会分到（个）；当甲分到2个时，乙会分到（个）；当甲分到3个时，乙会分到（个）；当甲分到4个时，乙会分到（个）；甲不可能分到的是0个。 故答案为：B 四、解答题 17．小军想从下面4本书中任选2本，共有多少种不同的选法？用线连一连。 一共有（    ）种不同的选法。 答案：连线见详解；6 分析：第1本书与其余3本书可以搭配选择，要搭配3次，第2本书已经和第1本书搭配过，所以只需要和第3、4本书搭配，要搭配2次，第3本书已经和第1、2本书搭配过，只需要与第4本书搭配，要搭配1次，第4本书已经和其他书都搭配过，据此将所有搭配次数相加即可；据此解答。 详解：连线如下： （次） 所以一共有6种不同的选法。 18．小明、小丽、小青三人每两人通一次电话，要通几次电话？ 小明        小丽         小青 答案：3次 分析：3个人每两人通一次电话，则每人都要和其他2个人通一次电话，即每个人要打2次电话，共有3个人，所以共打3×2＝6（次），打电话是在两个人之间进行的，所以他们互通电话共6÷2＝3（次）。 详解：3×（3－1）÷2 ＝3×2÷2 ＝6÷2 ＝3（次） 答：小明、小丽、小青三人每两人通一次电话，要通3次电话。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九单元 数学百花园 单元知识清单讲义 知识点一：合理搭配的含义与核心思想 合理搭配是指在给定的几种物品（如上衣、裤子、食物等）中，按照一定的规则（如“一件上衣配一条裤子” “一种面包配一瓶饮料”），找出所有不重复、不遗漏的组合方式。 核心思想：有序思考，避免重复和遗漏。搭配时可以按“先固定一种物品，再与其他物品逐一搭配”的顺序进行，确保所有可能的组合都能被找到。 适用场景：两类或多类物品之间的组合问题，且组合顺序不影响结果（如“上衣A配裤子1”与“裤子1配上衣A”视为同一种搭配）。 知识点二：合理搭配的常用方法 列举法：将所有可能的搭配一一列出，直观清晰。例如：有2件上衣（A、B）和3条裤子（1、2、3），搭配方式可列举为A1、A2、A3、B1、B2、B3。 画图法：用简单的图形（如圆圈、线段）代表物品，通过连线的方式表示搭配关系。例如：用圆圈代表上衣和裤子，上衣与每条裤子之间画一条线，连线的数量即为搭配总数。 计算法：如果一类物品有m种，另一类物品有n种，且要求“一类选一个与另一类搭配”，则搭配总数为m×n（乘法原理）。例如：3种面包和4种饮料，搭配总数为3×4=12种。 知识点三：搭配问题的拓展（排列与组合的初步区分） 组合：搭配时不考虑顺序，只关注“选哪些物品”，如“从1、2、3中选两个数字组成不重复的两位数”，这里的“12”和“21”是不同的排列，但如果是“选两个数字组成一组”，则“1和2”与“2和1”是同一种组合（本单元重点是组合类搭配，排列仅初步接触）。 排列（初步认识）：当搭配结果与顺序有关时，需考虑排列。例如：用1、2、3三张卡片摆不同的两位数，十位和个位数字交换后是不同的数，属于排列问题，总数为3×2=6个。 知识点四：排鱼求数的核心思路 本质：利用长度单位的进率，将不同单位统一后，通过“总长度÷单个物体长度=物体个数”的数量关系求解。 关键步骤： a.明确古代长度单位的进率（课本规定：1里=360步，1步=5尺，1尺=10寸）。 b.统一单位：将总长度（如“九里”）换算成与单个物体长度（如“三寸”）相同的单位（如寸）。 c.计算个数：用总长度除以单个物体的长度，得到物体的总个数。 知识点五：古代长度单位与现代单位的关联（拓展） 课本涉及的古代长度单位：寸、尺、丈、步、里，其进率为1丈=10尺，1尺=10寸，1步=5尺，1里=360步。 与现代单位的联系：古代单位与现代的厘米、分米、米等单位存在对应关系（如1尺≈33.33厘米），但本单元仅要求掌握课本给定的古代单位进率，无需深入换算现代单位。 考点一：两类物品的合理搭配（乘法原理应用） 【典型例题】：小明去早餐店，有3种面包（维生素面包、奶油面包、牛角面包）和4种饮料（红茶、绿茶、矿泉水、橙汁），每种面包搭配一种饮料，一共有多少种不同的搭配方法？ 考点二：搭配问题的拓展（三类物品简单搭配） 【典型例题】：妈妈买了2件上衣、2条裤子和2双鞋子，每件上衣搭配一条裤子和一双鞋子，一共有多少种不同的搭配方案？ 考点三：用数字卡片摆数（排列问题初步） 【典型例题】：用1、2、3三张数字卡片（数字不重复使用），能摆出多少个不同的两位数？ 考点四：排鱼求数（古代长度单位换算与计算） 【典型例题】：“三寸鱼儿九里沟，口尾相衔直到头”，根据明代长度单位进率（1里=360步，1步=5尺，1尺=10寸），求沟里有多少条鱼？ 考点五：搭配问题的实际应用（选择最优方案） 【典型例题】：学校组织活动，要求每人选1份主食和1份配菜。主食有米饭、馒头（2种），配菜有青菜、土豆丝、红烧肉（3种）。小明不喜欢吃红烧肉，他有多少种不同的选择？ 一、填空题 1．小明有3件上衣和2条裤子，一件上衣和一条裤子搭配，他可以有( )种不同的搭配方法。 2．用5把钥匙去开5个房门。已知一把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥匙能开哪个门。如果要保证钥匙和门锁都配起来，最多要试开( )次。 3．为参加区校园艺术节，我校需要从2个合唱节目和4个舞蹈节目中，各选一个节目参演，一共会有( )种不同的选择方案。 4．用8、4、7这三张数字卡片摆成□□×□这样的乘法算式，可以摆( )个这样的乘法算式。 5．商店现有4节装和6节装两种不同包装的电池，小齐要购买30节这样的电池，有( )种不同的买法。 6．为落实“双减”政策，丰富校园生活，学校开展了丰富多彩的社团活动。科学社团要求同学们调制一杯符合自己口味的果汁，如下图，一共有( )种调配方法。（每种口味只含一种水果） 二、判断题 7．玲玲、乐乐、阳阳每人都想单独和语文老师、数学老师、英语老师分别合影一次，一共要拍6张照片。( ) 8．有4个人，每2个人握一次手，一共要握12次手。( ) 9．小红买了3本童话书和2本故事书，小丽想两种书各借一本，一共有6种借法。( ) 10．亮亮有4条不同的裤子和2件不同的上衣，选一条裤子和一件上衣搭配。一共有6种不同的搭配方法。( ) 11．丫丫有4件上衣，3条裤子，她有7种不同的搭配方法。( ) 三、选择题 12．用2、5、6、9这四个数组成没有重复数字的两位数，能组成个位是单数（注意是单数哦）的两位数有（    ）。 A．3个 B．6个 C．12个 13．甲、乙、丙和丁4人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。甲已经下了3盘，乙下了2盘，丙下了1盘，这时丁下了（    ）盘。 A．1 B．2 C．3 14．2件上衣和3条裤子要配成一套衣服，有（    ）种不同的搭配方法。 A．5 B．4 C．6 15．张叔叔早餐要喝一种饮品，吃一种主食，如右图所示，有（    ）种不同的搭配方法。 营养早餐 饮品：牛奶  豆浆 主食：面包  鸡蛋饼  包子  馒头 A．8 B．10 C．12 16．把5个苹果分给2个小朋友，两人都要有苹果，有（    ）种不同的分法。 A．3 B．4 C．5 四、解答题 17．小军想从下面4本书中任选2本，共有多少种不同的选法？用线连一连。 一共有（    ）种不同的选法。 18．小明、小丽、小青三人每两人通一次电话，要通几次电话？ 小明        小丽         小青 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $