专题02 特殊三角形 8大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题02 特殊三角形 8大高频考点概览 考点01 概念综合辨析；逆命题和逆定理 考点02 特殊三角形的性质的简单应用 考点03 特殊三角形的性质或判定的结合应用 考点04 尺规作图；弘图有关的计算题 考点05 特殊三角形的综合应用 考点06 网格问题；满足条件的点 考点07 折叠问题 考点08 解答题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ）地 城 考点01 概念综合辨析；逆命题和逆定理 A． 握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．，，3 C．2，4，5 D．6，8，10 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ） A．对应角相等的两个三角形是全等三角形 B．一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 7．（24-25八年级上·浙江·期末）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ． 地 城 考点02 特殊三角形的性质的简单应用 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（　　） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 地 城 考点03 特殊三角形的性质或判定的结合应用 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，是斜边上的中线，若，则的长为（    ） A． B．5 C．10 D．15 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，，．则的面积为（   ）． A．9 B．10 C． D． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，为的垂直平分线．若，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在和中，，，，则点A，D距离是 ． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ． 地 城 考点04 尺规作图；弘图有关的计算题 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，连接、．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交、于点E、F，则的长度为 ． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）用“几何画板”软件探索等腰三角形的性质时，小明同学经过如下操作： ①画直线及，使点A，B在直线上，点C在直线外； ②再画的高线，角平分线和中线； ③测量，的长度，并拖动点C． 得到以下结论，其中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D．5 地 城 考点05 特殊三角形的综合应用 1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，则的长度为 ．    2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在斜边的同侧作三个正和．这三个正三角形构成的图形中，已知．则 ． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为 ． 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在中，已知，，，D是上一点，且，则的长是 ． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为 ． 地 城 考点06 网格问题；满足条件的点 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为 ． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点在格点上，点在网格线上，线段的垂直平分线恰好经过格点，则的长是 ． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ． 地 城 考点07 折叠问题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，于点A，于点D，且，．求证：．地 城 考点08 解答题 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点是的中点，，，求的长． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在中，，点是的中点．尺规作图：在上确定点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： (1)做法正确的同学有________． (2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰板材，，，数学小组准备将这样的两块等腰直角三角形板材进行裁剪和拼接，尝试拼成一个长是宽两倍的长方形．要求两块等腰直角三角形板材裁出的图形全等，下列是数学小组给出的两种裁、拼方案． 方案1 方案2 根据上述材料，回答下列问题： (1)分别计算这两种方案所拼成的长方形的面积：________，________； (2)请尝试设计一种比方案1、2所得长方形面积更大的裁拼方案，在图1中画出裁剪线，在图2中画出长方形的拼接线，并计算出此时长方形的面积． 8．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)已知， ，求的值． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的度数； (3)在（）的条件下，若为中点，，求的面积． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点． (1)①求证：≌； ②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______． (2)如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系． (3)如图，延长到点，当，时，则______． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊三角形 8大高频考点概览 考点01 概念综合辨析；逆命题和逆定理 考点02 特殊三角形的性质的简单应用 考点03 特殊三角形的性质或判定的结合应用 考点04 尺规作图；弘图有关的计算题 考点05 特殊三角形的综合应用 考点06 网格问题；满足条件的点 考点07 折叠问题 考点08 解答题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ）地 城 考点01 概念综合辨析；逆命题和逆定理 A．握手B．您好C．拜托 D．谢谢 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的定义即可判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．，，3 C．2，4，5 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此依次验证各选项即可． 【详解】A、，而 ， ， 不能构成直角三角形； B、 ，而 ， ， 不能构成直角三角形； C、 ，而 ， ， 不能构成直角三角形； D、，而 ， ， 能构成直角三角形， 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； B、，，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意． D、，， 不能得出是直角三角形，本选项符合题意， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ） A．对应角相等的两个三角形是全等三角形 B．一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相关性质和判定定理逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：对应角相等且对应边相等的两个三角形是全等三角形，故A选项说法错误，不合题意； 有两个角等于的三角形是等边三角形，故B选项说法错误，不合题意； 等腰三角形两腰相等，因此两腰上的高也相等，故C选项说法正确，符合题意； 等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线和高重合，故D选项说法错误，不合题意； 故选C． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题，三角形内角和定理、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故不是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； B、∵，， ∴，则，角度不确定，则不一定是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； C、∵，令，，， ∴，故是直角三角形，说法正确，是真命题，符合题意； D、∵，令，， ∴， ∴，则故不是直角三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级上·浙江·期末）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”， ∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 地 城 考点02 特殊三角形的性质的简单应用 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况进行分析，分别根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的三边长为，为斜边，利用勾股定理可得，据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边长为，为斜边， 由勾股定理得，， ∵一个直角三角形的三边长的平方和为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即斜边长为， 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的三线合一性质进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴ 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，能够分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8， 4、8、8可以构成三角形， 故周长为20； ②当4为腰时， 其它两边为4和8， ， 不能构成三角形，故舍去， 故答案为：20． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，先对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理，即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据勾股定理，求得，进而求得的长度，进而求解即可； 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 的周长为； 故选：A 地 城 考点03 特殊三角形的性质或判定的结合应用 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，牢记相关性质是解题关键，先证明是等边三角形，得出，作，分当垂足在延长线上或当垂足在上时，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， 作，垂足为E，当垂足在延长线上时，如下图： ，， ， ， ， ； 当垂足在上时，如下图： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定；分为腰和底两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】解：当为腰时，如图所示， 依题意， ∴ ∴等腰是等边三角形， ∴ 当为底时，如图所示， 依题意，，， ∴ ∴等腰是等边三角形， ∴， 综上所述，边的长为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，是斜边上的中线，若，则的长为（    ） A． B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，根据，是斜边上的中线，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，，是斜边上的中线， ∴， 故选：C 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，，．则的面积为（   ）． A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为点；过点作延长线的垂线，垂足为点，利用三角形外角的性质求出的度数，从而求出，为等腰直角三角形，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可推出，设，根据等腰三角形的性质和勾股定理将用含的代数式表示出来，从而得到，最后在中利用勾股定理，得到关于的方程，并将它代入即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为点；过点作延长线的垂线，垂足为点，如图， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； 设， 在中，， ， ，， ， ， 在中，， ，，， ， ， ； 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形折叠．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质，平角性质，是解题的关键． 根据轴对称知，由三角形外角性质得，由轴对称得，由平角性质即得． 【详解】解：由轴对称知，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用． 先由等边三角形的性质得出，，再由直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，为的垂直平分线．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到 【详解】解：，， ， ∴， 为的垂直平分线， ， ， 故选：C． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在和中，，，，则点A，D距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．根据证明，过点A作，根据勾股定理求出，运用等积法求出，由全等三角形的性质可得A，D之间的距离． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图，过点A作于点E， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴A，D之间的距离． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识．由等腰三角形的性质得到，，是直角三角形，由得到，则，得到，根据直角三角形斜边中线性质得到． 【详解】解：∵，，是边上中线， ∴，， ∴是直角三角形， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2 地 城 考点04 尺规作图；弘图有关的计算题 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，作图－复杂作图，解题的关键是掌握等边三角形的判定． 判断出是等边三角形可得结论． 【详解】解：由作图可知， 是等边三角形， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键． 连接，过点作于点H，过点作于点M，根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线，可知，再结合，可得，接下来根据三角形内角和定理得，利用等积法求得，在中，求出，设，则，，在中，，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】如图所示，连接，过点作于点H，过点作于点M， 根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵ ∴ 解得 在中， 设，则， 在中，， ∴ 解得， 即的长为， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，连接、．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，所以可知，根据等边对等角可知，利用三角形内角和定理可以求出的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到，所以可知，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、解决本题的关键是根据尺规作图判断直线是线段的垂直平分线，再利用线段的垂直平分线的性质找边和角之间的关系． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交、于点E、F，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线．由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得． 【详解】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线， ，，， ， ， ． 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）用“几何画板”软件探索等腰三角形的性质时，小明同学经过如下操作： ①画直线及，使点A，B在直线上，点C在直线外； ②再画的高线，角平分线和中线； ③测量，的长度，并拖动点C． 得到以下结论，其中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及垂线段最短，熟知垂线段最短及等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质及三角形中线、高线和角平分线的定义，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为是的高线，是角平分线，是中线， 由垂线段最短可知，是三条线段中最短的一个， 当拖动点C的时候，与的长短关系不定， 即当时，与的 长短关系不定， 所以A、B选项不符合题意； 当时，是等腰三角形， 由“三线合一”可知，， 所以C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 7．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形是解题的关键．根据正方形的面积公式求出，，，，所以，从而得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：正方形的面积， ∴， 正方形的面积， ∴， ∴， 正方形的面积的， ， ∴， ∴ ， 是中点， ， 故选：A． 地 城 考点05 特殊三角形的综合应用 1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，则的长度为 ．    【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解答本题的关键．首先由勾股定理求得，然后根据等腰三角形的性质和判断方法进行计算即可． 【详解】解：如图，在△中，，，，    由勾股定理得：， 在△中，，， ，， ， 又，， ， ， ． 故答案为：11． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在斜边的同侧作三个正和．这三个正三角形构成的图形中，已知．则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握等边三角形面积公式．由图形得到，设直角三角形三边长为，由等边三角形面积等于边长的平方代入求解． 【详解】解：由图可知，，过点作于点， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， 同理，，， ∵，， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线与面积的关系，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等腰三角形的性质，且通过证明，，因为，再类比中线与面积的关系，推出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴和的面积之比为 故答案为： 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在中，已知，，，D是上一点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，能根据题意对点D的位置进行分类讨论是解题的关键． 根据题意画出示意图，先求出的长，进而得出的长，再对点D为位置进行分类讨论即可解答． 【详解】在中， ． ， ． 当点在中点处时，如图所示， ，且点为中点， ． 当点不在中点处时，过点作的垂线，垂足为，如图所示， ， ． 在中， ． 在中， ． ． 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点，连接，由角平分线的性质得，可证明，得，求得，再证明，得，由，得，则，所以，则． 【详解】解：如图，作交的延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，分、、三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，； 如图，当时， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故答案为：或或． 地 城 考点06 网格问题；满足条件的点 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点到表示数1的点的距离，然后结合点在数轴上的位置即可得出答案． 【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点到表示数1的点的距离是， ∴点表示的数是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点在格点上，点在网格线上，线段的垂直平分线恰好经过格点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及勾股定理与网格，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直平分线的性质得，再结合网格特征以及勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ 线段的垂直平分线恰好经过格点， ∴， 在中，， ∴则的长是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查构造轴对称图形，根据轴对称图形的定义，画出相应的图形，进行判断即可． 【详解】解：如图，点四个点满足题意； 故选C． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据图形找出临界位置进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，如图， ∴点构成等腰三角形的点恰好有一个； 当时，如图， ∴点构成等腰三角形的点恰好有两个； 当时，如图， ∴点构成等腰三角形的点恰好有三个； 当时，如图， ∴点构成等腰三角形的点只有一个； 当时，如图， ∴点构成等腰三角形的点恰好有四个． 故答案为：． 地 城 考点07 折叠问题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得，由折叠得，，，由，求得，所以，则，，勾股定理求出，，，求出，作于点H，则，求出，然后利用求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得，，， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；过作于，连接，由，设，，由折可得，，，，得到，推出，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：过作于，连接， ∵， ∴设，则， ∵在长方形中， ∴，，， ∵将沿折叠，使得点C落在上， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∴，， 在中， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，于点A，于点D，且，．求证：．地 城 考点08 解答题 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，利用证明即可． 【详解】证明：， . . ，， ， 在和中， ， ． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，然后根据含角的直角三角形的性质依次求出，即可． 【详解】解：在中，，， ，    3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理证得，，进而可得，最后依据等腰三角形的判定，即可得证； （2）过点作于点，根据点是的中点，可得，在中，根据勾股定理可得，进而证得，最后根据是等腰三角形，，即可求的长． 【详解】（1）证明：， ， 是的高线， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：过点作于点， ， 点是的中点，， ， ，， ， ，，， ， ， 是等腰三角形，， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、对顶角的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，可得，再进一步证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在中，，点是的中点．尺规作图：在上确定点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： (1)做法正确的同学有________． (2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 【答案】(1)甲、丙 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查尺规作图，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据等腰三角形的性质，结合作图分析判定即可； （2）根据圆的定义作图即可． 【详解】（1）解：甲：根据作图可知，甲同学作的是的 角平分线， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∵点是中点， ∴在中，，符合题意； 乙：根据作图可知，， ∵点是中点， ∴，即，不符合题意； 丙：根据作图可知，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴在中，，符合题意； 综上所述，做法正确的同学有甲、丙； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴以点为圆心，以为半径画弧交于于点，连接，如图所示， ∴， ∴点即为所求点的位置． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰板材，，，数学小组准备将这样的两块等腰直角三角形板材进行裁剪和拼接，尝试拼成一个长是宽两倍的长方形．要求两块等腰直角三角形板材裁出的图形全等，下列是数学小组给出的两种裁、拼方案． 方案1 方案2 根据上述材料，回答下列问题： (1)分别计算这两种方案所拼成的长方形的面积：________，________； (2)请尝试设计一种比方案1、2所得长方形面积更大的裁拼方案，在图1中画出裁剪线，在图2中画出长方形的拼接线，并计算出此时长方形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）方案1：首先求出，然后根据长方形面积公式求解；方案2：首先得到，是等腰直角三角形，勾股定理求出，得到，进而求解即可； （2）首先画出图形，设，然后根据列方程求出，，进而求解即可． 【详解】（1）方案1：如图，由题意可知， ∴， ∴； 方案2：如图，由题意可知， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）方案如下： 设， ∵ ∴， ∴在长方形中，，， 由得，， 解得， ∴， ∴长方形的面积为． 8．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)已知， ，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）图下图，过C作于E， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵ ， ∴，        ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的度数； (3)在（）的条件下，若为中点，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先证明，可得，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得结论； （2）求解，证明，结合，再进一步可得结论； （3）过点作，为垂足，连接，证明，设，可得，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵为边上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作，为垂足，连接， ∵ ∴， ， ∵为中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中用勾股定理得， 解得，（负根舍去） ∴，， ∴的面积为． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点． (1)①求证：≌； ②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______． (2)如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系． (3)如图，延长到点，当，时，则______． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) (3) 【分析】（）①由等边三角形的性质可得，，进而即可求证；②由全等三角形的性质得，进而可得，即可得，再根据直角三角形的性质即可求解； （）证明可得，进而由（）可得，即得点为的中点，据此即可求解； （）过作交的延长线于，过作于，由直角三角形的性质可得，再证明，得到，进而可得，设，，可得，，即可得，最后代入计算即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴点为的中点， ∴， ∴； （3）解：过作交的延长线于，过作于， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $