导数与函数单调性、极值、最值导学案-2026届高三数学二轮复习

专题六 函数与导数 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 一、考点透析 考点1 导数与函数单调性 1．（25-26高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 考点2 导数与函数极值 1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 2．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为 . 3.（2025·浙江宁波·三模）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点3 恒成立与能成立问题 1.若函数h（x）＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（） A.[－1，＋∞）　　　　　B.（－1，＋∞） C.（－∞，－］ D.（－∞，－） 2.（2025·昆明三诊一模）已知函数f（x）＝.当x≥1时，f（x）≤a（x－1），求a的取值范围. 3.（2025·上海·高考真题）已知． (1)略 (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 考点4 切线问题 1.（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 2.若曲线y＝（x－a）ex有两条过点（1，0）的切线，则a的取值范围是　 　. 3.（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　　 ； 考点5 导数与其他知识综合 1． （25-26高三上·吉林长春·月考）等差数列的前项和为，，是函数的极值点，则 2．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，其中. (1)当时，求证：是函数的极小值点； (2)求在上的最小值； (3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 二、跟踪练习 1.（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　　. 3.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝　5　. 4.（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知，函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在使得对任意成立，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 函数与导数 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 一、考点透析 考点1 导数与函数单调性 1．（25-26高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，即． 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 故时满足题意，所以的最大值为1． 故选：B． 考点2 导数与函数极值 1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 2．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意的两个根为与， 即，所以， 同理，即， 令，则为方程的两个不相等实根， ，则， 所以判别式，解得. 又 ，所以， 综上，实数的取值范围. 故答案为： 3.（2025·浙江宁波·三模）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， 由，所以， 当或时，，即在、上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以极小值点为，极大值点为， 而， 且， 所以，只需，即， 所以. 故选：D 考点3 恒成立与能成立问题 1.若函数h（x）＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（） A.[－1，＋∞）　　　　　B.（－1，＋∞） C.（－∞，－］ D.（－∞，－） 【答案】D 【详解】　因为函数h（x）＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间， 所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝－ax－2＞0成立， 即存在x∈[1，4]，使a＜－成立，令G（x）＝－，x∈[1，4]， 变形得G（x）＝（－1）2－1， 因为x∈[1，4]，所以∈［，1］， 所以当＝，即x＝4时，G（x）max＝－，所以a＜－， 故选D. 2.（2025·昆明三诊一模）已知函数f（x）＝.当x≥1时，f（x）≤a（x－1），求a的取值范围. 【答案】a的取值范围为［，＋∞） 【详解】当x∈[1，＋∞）时，f（x）≤a（x－1）等价于ln x≤a（x2－1）， 令g（x）＝a（x2－1）－ln x，x∈[1，＋∞），则ln x≤a（x2－1）在[1，＋∞）上恒成立，即g（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立. g'（x）＝2ax－＝， 当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在[1，＋∞）上单调递减， 所以g（x）≤g（1）＝0，不符合题意； 当0＜a＜时，由g'（x）＝0得，x＝＞1， x∈［1，）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， 所以x∈［1，）时，g（x）≤g（1）＝0，不符合题意； 当a≥时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g'（x）≥0， g（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，符合题意. 综上所述，a的取值范围为［，＋∞）. 3.（2025·上海·高考真题）已知． (1)略 (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1)略 (2)且. 【详解】（1）略 （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 考点4 切线问题 1.（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 2.若曲线y＝（x－a）ex有两条过点（1，0）的切线，则a的取值范围是　 　. 【答案】（－∞，1）∪（5，＋∞）. 【详解】由y＝（x－a）ex得y'＝（x－a＋1）ex， 设切点坐标为（x0，（x0－a）），则切线斜率k＝（x0－a＋1）， 切线方程为y－（x0－a）＝（x0－a＋1）（x－x0）， 又因为切线过（1，0），所以0－（x0－a）＝（x0－a＋1）（1－x0）， 整理得－（a＋1）x0＋2a－1＝0，又曲线有两条过点（1，0）的切线， 所以该方程有两个实数解，所以Δ＝（a＋1）2－4（2a－1）＞0，解得a＜1或a＞5， 所以a的取值范围是（－∞，1）∪（5，＋∞）. 3.（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　　 ； 【答案】ln 2 【详解】（1）由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1， 由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝， 设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a）， 由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为（－，a＋ln）， 由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln＝0，故a＝ln 2. 考点5 导数与其他知识综合 1．（25-26高三上·吉林长春·月考）等差数列的前项和为，，是函数的极值点，则 【答案】45 【详解】， 令，可得或， 由二次函数图象与性质可知，在2和8两侧函数值符号相反， 所以2和8是函数的极值点， 所以， 所以， 故答案为： 2．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，其中. (1)当时，求证：是函数的极小值点； (2)求在上的最小值； (3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 则， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵， ∴当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增， ∴是函数的极小值点. （2），则， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， ，，， ∴在上的最小值为. （3）由（2）可知，当时，. 对任意，总存在，使得成立， 即对任意，使得恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 由（1）可知在上单调递增， 又∵时，，时，， 故一定存在，使得， 即当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴， 又∵，即， 则恒成立. 令，， 则，， ∴，∴， 即函数在上单调递减，且， ∴， 则 令，，故函数在上单调递减， ∴. 二、跟踪练习 1.（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得在上恒成立， 则. 因为， 要使得不等式恒成立，则． 故选：D. 2.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　　. 【答案】[0，1） 【详解】由f（x）＝－x2－3x＋4ln x（x＞0），得f'（x）＝－x－3＋， ∵函数f（x）在（t，t＋2）上不单调， ∴f'（x）＝－x－3＋在（t，t＋2）上有变号零点， ∴＝0在（t，t＋2）上有解， ∴x2＋3x－4＝0在（t，t＋2）上有解，由x2＋3x－4＝0，得x＝1或x＝－4（舍去）， ∴1∈（t，t＋2），∴t∈（－1，1），又f（x）的定义域为（0，＋∞）， ∴t≥0，∴t∈[0，1），故实数t的取值范围是[0，1）. 3.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝　5　. 【答案】5 【详解】依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同. ∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x， ∴f'（x）＝2x，h'（x）＝－4， ∴即 ∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5. 4.（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设，， 设切点为，根据切线斜率为1，则， 解得，则，则切点坐标为，则，解得. 故选：C. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知，函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在使得对任意成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）， 则，可得切线方程为：， 即； （2）证明函数存在唯一的极值点，即证明在上存在唯一变号零点； ，设， 求导得，则在上单调递减， 而， ， 在上存在唯一变号零点，所以存在唯一的极值点； （3）根据题意，存在，对任意， 考虑到， 令，则其导函数为：， 由（2），设的变号零点为， 即， 可得，则有， 并且可知在上，得在上递增， 在上，得在上递减， 则, 命题转化为：存在， 令， ， 当时，在上递减； 当时，在上递增； 则， ，即. 学科网（北京）股份有限公司 $