精品解析：北京市第一六一中学2025-2026学年高三上学期期中阶段测试数学试题

北京一六一中学2025－2026学年度第一学期期中阶段测试 高三数学试卷 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 考生须知： 1.本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟. 2.试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答. 4.考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（ ） A. 2 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算以及复数的几何意义逐一验证求解即可. 【详解】不妨设，则， 结合题意可知：，逐一考查所给的选项： 对于选项A：，不合题意； 对于选项B：，符合题意； 对于选项C：，不合题意； 对于选项D：，不合题意； 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数的几何意义，属于基础题. 2. 已知直线，点和点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出直线的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数的值. 【详解】，由于，则直线的斜率为 即， 故选：B 3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得. 【详解】由三角函数的定义可知， 所以. 故选：A. 4. 展开式中的系数为10，则实数a等于【】 A. -1 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵Tr+1=C5r•x5-r•（a /x ）r=arC5rx5-2r， 又令5-2r=3得r=1， ∴由题设知C51•a1=10⇒a=2． 故选D 5. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 最小正周期为，且作上为增函数 D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】， 对于A，因为，所以不是函数图象的对称轴，所以A错误， 对于B，因为，所以点不是函数图象的对称中心，所以B错误， 对于C，的最小正周期为 ，当即 时，单调递增，所以 在上单调增，所以C正确； 把的图象向右平移 个单位得到函数的图象，没有奇偶性，所以D错误， 故选：C 6. 在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂径定理直接求解即可. 【详解】由题意知：坐标原点到直线的距离； 圆的圆心为，半径，被圆截得的弦长为. 故选：D. 7. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为为锐角三角形，所以且，所以， 其中， 因为在上单独递增，所以，充分性成立， 若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立. 故选：A 8. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”， 则集合中恰有个元素. 当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾， 当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即； 当时，函数，的取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件. 综上，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，进而根据方程有两个解或求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题. 9. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ） 3 5 7 11 13 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出，然后两边取以10为底的对数，再对比参考数据可得出. 【详解】由题意知，， 即，， 而，，，， ，，正整数的值为14. 故选：B. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 11. 若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的定义可得，解得. 故答案为：2. 12. 函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为_______； _______． 【答案】 ①. ②. ##0.5 【解析】 【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果. 【详解】由图表知，当时，，当时，，所以，即, 又，，所以得到，又由，得到，又，所以， 故，所以， 故答案为：，. 13. 已知向量，，满足，与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量向量垂直的坐标关系求解的值，再根据向量坐标运算与夹角余弦公式即可得与的夹角. 【详解】向量，，满足， 则，所以，则， 所以与的夹角余弦值为， 又，所以，故与的夹角为. 故答案为：. 14. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】第一空，根据双曲线的渐近线方程求解即可；第二空，分析可得，进而解不等式求解即可. 【详解】当时，双曲线为，此时， 则双曲线的渐近线方程为. 双曲线，即， 其渐近线方程为， 要使双曲线上存在四个点满足四边形正方形， 根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等， 则，解得，可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 15. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④． 【详解】对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案填在答题卡中相应黑色框区域内. 16. 在中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 不能选①， 选条件②或③：， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【小问1详解】 方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. 【小问2详解】 若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 17. 四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧面是矩形，且平面平面. （1）证明：平面平面； （2）设，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面平面.得到平面.进而求证平面，即可； （2）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解； （3）由点到面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 因为侧面是矩形，所以， 又平面平面.，两平面交线为，在平面内， 所以平面.又在平面内， 所以， 又底面为正方形，所以，且为平面内两条相交直线， 所以平面， 又在平面内， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知：四棱柱为直四棱柱，如图建系： 则， 设平面的法向量为，， 所以， 令，得，即 易知平面的法向量为， 所以， 解得：； 【小问3详解】 ， 所以点到平面的距离 18. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下 日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上 日营业额 11.5 9 12 17 19 23 215 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）. 【解析】 【分析】（1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可. （2）由二项分布的概率公式运算即可得解； （3）根据数据进行计算然后直接判断即可. 【详解】（1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7 所以所求的概率为 （2）由题意，日营业总额达标的概率为， 的所有可能取值为：0，1，2，3， 所以，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （3） 所以 所以 所以 19. 已知椭圆的长轴长为，且. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】（1），； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）椭圆的长轴长和、的关系求出椭圆方程和离心率； （2）再利用直线与椭圆相交，通过联立方程求出相关点的坐标，进而证明三点共线. 【小问1详解】 已知椭圆长轴长为，得， 因为，所以， 因此，椭圆方程为， 由，得离心率； 【小问2详解】 设直线的方程为，如下图所示： 联立，消去得， 由韦达定理得， 直线的方程为，令，得， 要证三点共线，只需证， 因为，所以需证，即证， 将代入，化简得， 即，整理为， 代入韦达定理结果：左边，右边，等式成立，故三点共线. 20. 已知函数. （1）当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； （2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 【答案】（1）①证明如下： 当时，. 记，则. 所以在上是增函数. 所以当时，. 所以当时，. ②证明如下： 由得，且. 当时，. 因为，， 所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，. 所以0是的唯一极值点. （2） 【解析】 【分析】（1）①当时，得，故只需证明当时，即可，利用导数即可求解. ②求导得，由此可得当时，，结合即可得证. （2）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则.再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则. 因为， 所以. 所以. 不妨设，则. 因， 由“优切线”的定义可知. 所以. 由“优切线”的定义可知， 所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以. 【点睛】关键点睛：第一问②的关键是，求导得，然后以为分界点讨论即可；第二问的关键是结合“优切线的定义”以及导数即可顺利得解，综合性比较强. 21. 已知为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的，在中存在，使得，则称为－连续可表数列. （1）判断是否为5－连续可表数列？是否为6－连续可表数列？说明理由； （2）若为8－连续可表数列，求证：； （3）若为20－连续可表数列，且，求的最小值. 【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列 （2）证明见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）直接利用定义验证即可； （2）先考虑不符合，再列举一个合题即可； （3）先证明，再说明时不合题意，找出且满足题意的数列即可得解． 【小问1详解】 ，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列． 【小问2详解】 若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，， ，，，， ． 所以； 【小问3详解】 先证明. 从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字， 取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字， 取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字， 所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即. 若，最多可以表示个正整数， 由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数， 既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插人一个负数项，更不能连续表示的正整数. 所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故. 当时，数列满足题意， 即的最小值为7 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一六一中学2025－2026学年度第一学期期中阶段测试 高三数学试卷 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 考生须知： 1.本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟. 2.试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答. 4.考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（ ） A. 2 B. -1 C. D. 2. 已知直线，点和点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 展开式中的系数为10，则实数a等于【】 A. -1 B. C. 1 D. 2 5. 已知函数，则下列命题正确是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 最小正周期为，且作上为增函数 D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 6. 在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ） 3 5 7 11 13 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 11. 若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________. 12. 函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为_______； _______． 13. 已知向量，，满足，与的夹角为__________. 14. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______． 15. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案填在答题卡中相应黑色框区域内. 16. 在中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧面是矩形，且平面平面. （1）证明：平面平面； （2）设，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 18. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下 日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 205 12.5 线上 日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的长轴长为，且. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 20. 已知函数. （1）当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； （2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 21. 已知为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的，在中存在，使得，则称为－连续可表数列. （1）判断是否为5－连续可表数列？是否为6－连续可表数列？说明理由； （2）若8－连续可表数列，求证：； （3）若为20－连续可表数列，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $