专题02数列错位相减法求和讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题2 错位相减法求和 一般地，若数列{cn}的通项公式为，其中{an}是公差为d等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，我们可以用错位相减法求{cn}的前n项和。 具体方法：① ①式两边同乘等比数列的公比q，得: ② ①－②，得：,化简求出。 例1.已知数列{an}的前n项和为，。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn。 解：(1)∵。 ∴当n≥2时，。 ∴。 可得。 ∴。 当n=1时，可得：。 ∴数列{an}是首项，公比q=2的等比数列，所以。 (2)由。 可得。 ∴①。 ②。 ①-②得。 ∴。 例2.若数列{an}满足，，。 (1)求{an}的通项公式。 (2)若，求数列的前n项和。 解：(1)∵数列{an}满足，，。 ∴数列{an}为等比数列，设其公比为q（q≠0） ∴，解得：q=3。 ∴。 ∴数列{an}的通项公式为。 (2)由（1）可知：。 ∴。 ∴①。 ①×3得：②。     ①-②得：。 ∴。 ∴。 专题专练 1.求和：。 解：①。 ①×得：②。 ①-②得：。 化简得：。 ∴。 2.已知等差数列{an}的前n项和为，数列{bn}为等比数列，且，。 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式。 (2)若，求数列{cn}的前n项和。 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q。 由题意得：，解得：d=3。 ∴。 由可得：。 ∴。 ∴。 (2)。 则①。 ②。 ①-②得： 。 ∴。 3.已知数列{an}为等差数列，，，数列{bn}的前n项和为，满足。 (1)求{an}和{bn}的通项公式。 (2)若，求数列{cn}的前n项和为。 解：(1)等差数列{an}中，设公差为d。 则由得。 解得：。 ∴数列{an}的通项公式为。 数列{bn}中的前n项和为，且①。 当n≥2时，②。 ②－①得：。 当n=1时，。 故数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以。 (2)数列{cn}中，。 则①。 ①×3得：②。 ①-②得： 。 ∴。 4.设是数列{an}的前n项和，已知，。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)求数列{nan}的前n项和。 解：（1）令n=1,得，即。 ∵ ∴。 令n=2，得。 解得：。 ∵①。 ∴当n≥2时，②。 ①-②得：，即。 ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列。 ∴数列{an}的通项公式为。 （2）由（1）知，。 设数列的前n项和为。 则①。 ①×2得：②。 ①-②得：。 ∴。 5.已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前n项和。 解：(1)设等差数列{an}的公差为d。 由数列的前n项和为，可得：。 化为：①，②。 ∵，由①②式可得:。 ∴。 (2)∵。 ∴数列{bn}的前n项和①。 ①×2得：②。 ①-②得：。 ∴。 6.已知数列{an}是首项，公比的等比数列，设，数列{cn}满足。 (1)求数列的通项公式。 (2)求数列的前n项和。 解：(1)∵数列{an}是首项，公比的等比数列。 ∴。 ∵。 ∴。 (2)∵。 ∴数列的前n项和①。 ②。 ①-②得：。 化简可得：。 7.数列{an}满足，。 (1)证明：数列是等差数列。 (2)设，求数列的前n项和。 解：(1)证明：由已知可得：，即。 ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列。 (2)由(1)可知：。 ∴，∴。 ∴数列的前n项和①。 ∴②。 ①-②得：。 ∴。 学科网（北京）股份有限公司 $专题2错位相减法求和 一般地，若数列{c}的通项公式为cn=an·bn,其中{an}是公差为d等差数列，{bn}是 公比为g的等比数列，我们可以用错位相减法求{c}的前n项和。 具体方法：Sn=a1b1+a2b2十…十ab① ①式两边同乘等比数列的公比9，得： qSn=a1b2+a2b3+…+am-1bn+ab+1② ①-②，得：(1-g)Sn=ab1+db2+b3十…+bn-ab#1,化简求出Sn。 例1.己知数列{an}的前n项和为Sn'Sn=2an-1。 (I)求数列{am}的通项公式。 (2)若数列b,满足anbn=log,2n'求数列b的前n项和T 例2若数列{om}满足an+2=a品+1'a1=3,a2ag=243。 (1)求{an}的通项公式。 ②)若bn=logm'求数列{a,bn}的前n项和Sn 专题专练 1求和：Sn=+争+子+…+学 2.已知等差数列{am的前n项和为Sn'数列{bm}为等比数列，且a1=b1=1, S3=3b2=12。 (I)求数列{an},bm}的通项公式。 (②)若cn=aba+1'求数列{cn的前n项和Tn 3.已知数列{am}为等差数列，a2=3,a14=3a5:数列{b,的前n项和为Sm'满足 2Sn=3bm-1。 (I)求{am}和bm}的通项公式。 (2)若cn=abn'求数列{cm的前n项和为Tn° 4.设Sn是数列{am}的前n项和，已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn (1)求数列{an}的通项公式。 (2)求数列{nam}的前n项和。 5.已知数列{an是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为。 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=(an十1)·2”，求数列{bm}的前n项和Tn 6.已知数列{am}是首项a1=寺，公比g=的等比数列，设bm+3l0g4an+2=0,数列{cm} 满足cn=an'bn (1)求数列{bn}的通项公式。 (2)求数列{Cn}的前n项和Sn 7.数列{an}满足a1=1,na#1=(a+1)an十n(a+1) (1)证明：数列{晋}是等差数列。 ②)设bn=3,Van,求数列{bn}的前n项和Sn