期末专题02 直线与圆的方程9大考点（期末真题汇编，湖南专用）高二数学上学期人教A版

期末专题02 直线与圆的方程 9大高频考点概览 考点01 倾斜角与斜率及直线的方向向量 考点02 直线中的平行与垂直问题 考点03 求直线方程 考点04 表示圆的条件 考点05 求圆的方程 考点06 直线与圆的位置关系 考点07 圆与圆的位置关系 考点08 距离、弦长、面积 考点09 最值 地 城 考点01 倾斜角与斜率及直线的方向向量 1．(24-25高二上·湖南益阳·期末)直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．(24-25高二上·湖南益阳·期末)（多选）已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 地 城 考点02 直线中的平行与垂直问题 5．(24-25高二上·湖南益阳·期末)过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知直线和相互垂直，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·湖南衡阳第一中学·期末)已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 地 城 考点03 求直线方程 9．(24-25高二上·湖南·期末)过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为 ． 11．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 13．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程． 14．(24-25高二上·湖南邵阳邵东·期末)已知圆过点，，且直线平分圆的周长. (1)求圆的方程； (2)过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程. 地 城 考点04 表示圆的条件 15．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)（多选）已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（     ） A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆 C．曲线C可以表示抛物线 D．若曲线C为双曲线，则或 地 城 考点05 求圆的方程 16．(24-25高二上·湖南永州·期末)圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知的三个顶点分别为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 18．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)已知长为2的线段的两个端点和分别在x轴和y轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若是直线上的动点，过点向曲线C引两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的最小值． 19．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 地 城 考点06 直线与圆的位置关系 20．(24-25高二上·湖南郴州·期末)（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 21．(24-25高二上·湖南名校联考联合体·期末)（多选）已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．到直线的距离的最小值为1 C．的最小值为 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 22．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点07 圆与圆的位置关系 23．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 24．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 地 城 考点08 距离、弦长、面积 =25．已知，两点到直线的距离相等，则 . 26．(24-25高二上·湖南永州·期末)直线与圆相交于，两点，若，则实数 ． 27．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 . 28．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)直线：与椭圆：交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 . 地 城 考点09 最值 29．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为 . 30．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题02 直线与圆的方程 9大高频考点概览 考点01 倾斜角与斜率及直线的方向向量 考点02 直线中的平行与垂直问题 考点03 求直线方程 考点04 表示圆的条件 考点05 求圆的方程 考点06 直线与圆的位置关系 考点07 圆与圆的位置关系 考点08 距离、弦长、面积 考点09 最值 地 城 考点01 倾斜角与斜率及直线的方向向量 1．(24-25高二上·湖南益阳·期末)直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一般式中斜率的计算公式即可求解. 【详解】的斜率为， 故选：B 2．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线一般式方程求出斜率，即可计算得出倾斜角. 【详解】易知直线的斜率， 设倾斜角为，易知, 所以，可得. 故选：D. 3．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到直线的斜率，从而求出直线的方向向量. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线的方向向量为，所以. 故选：C 4．(24-25高二上·湖南益阳·期末)（多选）已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【分析】选项A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项B，利用直线的截距求解即；选项C，利用点到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可. 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 地 城 考点02 直线中的平行与垂直问题 5．(24-25高二上·湖南益阳·期末)过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与直线平行的直线可设为，带点即可解出. 【详解】设与直线平行的直线可设为，因为点在上， 所以，所以方程为. 故选：A. 6．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知直线和相互垂直，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据直线垂直列方程计算求参. 【详解】直线和相互垂直， 则，则. 故选：D. 7．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直列式求解. 【详解】由直线与垂直， 得，即，解得， 而，所以. 故选：B 8．(24-25高二上·湖南衡阳第一中学·期末)已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 地 城 考点03 求直线方程 9．(24-25高二上·湖南·期末)过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 10．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】将两圆相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】设两圆交点为，， 则两点坐标是方程组的解， 两式相减得，即， 所以两点坐标均满足此方程， 所以即为两圆的公共弦所在直线的方程， 故答案为： 11．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当直线时，弦的长最短，利用即可求出直线的斜率. 【详解】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有， 可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为， 则有，因为，所以，所以， 直线的方程为. 故选：D. 12．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆的弦的中垂线经过圆心，结合题设求出圆心和半径，即得圆的方程； （2）由弦长求出圆心到弦的距离，设直线的方程为，由点到直线的距离公式列方程，解之即得. 【详解】（1）因为点，，所以直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为1.因线段的中点为， 则线段的垂直平分线的方程为. 由解得故圆心，半径， 故圆的标准方程为. （2） 如图，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，则点到直线的距离. 由，解得或， 所以直线的方程为或. 13．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据已知条件，联立方程组，求出圆的一般方程，即可得到圆的标准方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，再根据圆的弦长公式，即可求得斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为，将三点坐标代入得： ，解得 所以圆的一般方程为：， 则圆的标准方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：， 此时直线与圆有两个交点，则被圆截得的弦长为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 即： 由（1）圆心，圆心C到直线的距离为， 由得：，解之得 所以直线的方程为：，即： 综上所述，直线的方程为：或. 14．(24-25高二上·湖南邵阳邵东·期末)已知圆过点，，且直线平分圆的周长. (1)求圆的方程； (2)过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆心在线段的中垂线上，且在直线上，可得圆心坐标，进而求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分直线斜率是否存在讨论，转化为圆心到直线的距离列式求直线的斜率. 【详解】（1）由，为线段的垂直平分线的方程. 由，即圆心. 又 所以圆的标准方程为. （2）过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得弦长为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，过点的直线的斜率为，则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 因为直线和圆交于，两点. 若，由圆的弦长公式，可得， 解得或， 所以直线的方程为或. 地 城 考点04 表示圆的条件 15．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)（多选）已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（     ） A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆 C．曲线C可以表示抛物线 D．若曲线C为双曲线，则或 【答案】AD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断． 【详解】对于A，若曲线C是圆，则，解得，A正确； 对于B，由选项A知，当时，曲线C是圆，不是椭圆，B错误； 对于C，曲线C有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误； 对于D，若曲线C为双曲线，则，解得或，D正确. 故选：AD 地 城 考点05 求圆的方程 16．(24-25高二上·湖南永州·期末)圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 17．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知的三个顶点分别为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 【答案】(1)1 (2)，圆心坐标是，半径为 【分析】（1）运用两点间距离公式计算，求出边所在直线的方程，再用点到直线距离公式计算高，最后算出面积即可； （2）设圆的方程为，运用待定系数法，代入点计算即可. 【详解】（1）， 边所在直线的方程为，即， 点到直线：的距离为， 所以. （2）设圆的方程为， 由题意得，，， 所求圆的方程为， 即， 所求圆的圆心坐标是，半径. 18．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)已知长为2的线段的两个端点和分别在x轴和y轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若是直线上的动点，过点向曲线C引两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用两点间距离公式及中点坐标公式列式化简即得. （2）利用切线长定理，结合面积公式列出函数关系，进而求出最小值. 【详解】（1）设，，由，得，设的中点为， 依题意，，则，即； 所以所求曲线C的方程为. （2）由、为圆的两条切线，得，， 则四边形的面积， 设，，则， 所以四边形的面积的最小值为1. 19．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 【答案】(1)的坐标为， (2) 【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解， （2）设圆的一般式方程，代入三点坐标即可求解. 【详解】（1）由题意可得焦点的坐标为. 点在上，. 解得（舍去），. （2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知. 设过三点的圆的方程为， 代入点得， 解得. 所以，过三点的圆的方程为（或者）. 地 城 考点06 直线与圆的位置关系 20．(24-25高二上·湖南郴州·期末)（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ACD 【分析】求出直线所过定点判断A；由直线与圆相切判断B；求出圆心到直线距离判断CD. 【详解】对于A，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆的圆心，半径，点到直线的距离为2， 即直线过点与圆相切，因此直线可以是，B错误； 对于C，当时，直线，点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C正确； 对于D，点到直线距离的最大值为， 因此圆上的一点到直线的最大距离是，D正确. 故选：ACD 21．(24-25高二上·湖南名校联考联合体·期末)（多选）已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．到直线的距离的最小值为1 C．的最小值为 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】ACD 【分析】由得，可知其图象为抛物线的上半部分，故D正确，由抛物线的焦半径公式可判断A正确，选项C可转化为到焦点与的距离和，进而可知其最小值为到准线的距离，选项B由点到直线的距离公式，结合的取值范围可得. 【详解】选项A：由得，其图象为抛物线的上半部分，焦点为， 为点到焦点的距离，故，故A正确； 选项B：到直线的距离为， 又，故，故，故B错误； 选项C：即为到焦点与的距离和，    由抛物线的定义可知，其最小值为到准线的距离，即为，故C正确； 选项D：由抛物线的定义可判断到与直线的距离相等，故D正确， 故选：ACD. 22．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对各内角为直角进行分类讨论，分析可知直线与圆相切，结合点到直线的距离公式可求得的值. 【详解】当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点， 当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点， 由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角， 此时，，则点在以线段为直径的圆上， 且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为， 所以，直线与圆相切， 直线的一般方程为，则，解得. 故选：B. 地 城 考点07 圆与圆的位置关系 23．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，结合椭圆的定义判断点的轨迹形状及位置，利用待定系数法求其方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，设动圆的半径为， 由动圆与圆内切，且与圆外切，得， 则，因此点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆， 而焦距，即，则短半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：B. 24．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 地 城 考点08 距离、弦长、面积 =25．已知，两点到直线的距离相等，则 . 【答案】0或 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解. 【详解】依题意，，所以或. 故答案为：0或 26．(24-25高二上·湖南永州·期末)直线与圆相交于，两点，若，则实数 ． 【答案】2 【分析】计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得或（舍去）， 故答案为：2 27．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 . 【答案】 【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解. 【详解】的圆心为半径为， 故圆心到直线的距离为， 弦长， 故， 故答案为： 28．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)直线：与椭圆：交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 . 【答案】 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离求高，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设点，.由消去，整理得，，所以，， 所以. 椭圆的上顶点，点到直线的距离， 所以的面积. 故答案为：. 地 城 考点09 最值 29．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】求出当位于第一象限且与圆相切时的大小进而即可得的最小值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为（如图）. 由图可知，当与圆相切，且位于第一象限时最小， 此时，即，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 30．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，：，：，此时交点为； 当时，由直线：，斜率为， 由直线：，斜率为，， 又：，直线恒过， ：，直线恒过， 若为，的交点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点、点； 综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为，即， 又，，易知，在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ， ， 又， ， 如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立， 即的最小值为. 故选： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $