第二章 直线和圆的方程（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3．能根据斜率判定两条直线平行或垂直 4．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 5．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 6．探索并掌握两点间的距离公式. 7．探索并掌握点到直线的距离公式. 8．会求两条平行直线间的距离. 9．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学重难点 1.重点 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想 2.难点 确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 知识点01 直线的倾斜角和斜率 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角 ②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线 3．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα. 4．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 【即学即练】 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点02 直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 不表示垂直于轴的直线 两点式 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 不表示垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b ＋＝1 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 一般式 A，B，C为系数 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 任何位置的直线 【即学即练】 1．我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 2．已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ． 知识点03 两条直线平行和垂直 1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔ . 注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合． （2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. （3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔ . 注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0. （2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． （3）判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　 5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． （2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； ②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 【即学即练】 1．已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 2．若直线与直线垂直，则 ． 知识点04 两直线的交点坐标及两点间的距离公式 1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解． 2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 【即学即练】 1．在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 2．已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 知识点05 直线系过定点问题 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 【即学即练】 1．已知：直线，圆，则直线过定点 ；若直线与圆恒有公共点，则的取值范围是 . 2．已知直线，圆的方程为：，则直线恒过定点 ；若直线与圆相较于，两点，则弦长度的最小值 ； 知识点06 圆的方程 一、圆的标准方程 1．圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：是 和 ，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是 . 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以 为圆心、半径为r的圆． 二、圆的标准方程 1．圆的一般方程的概念 当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0. 3．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 【即学即练】 1．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 2．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点07 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二、直线与圆相交的相关问题 1．解决圆的弦长问题的方法 几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 注：直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 3．设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为 三、直线与圆相切的相关问题 1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 4.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为 . (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为 . (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 . 5.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 6.设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为 四、直线与圆相离的相关问题 设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； 【即学即练】 1．已知圆的圆心在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 知识点08 圆与圆的位置关系 一、圆与圆位置关系的判定 1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 二、圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解． 三、圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 有2条外公切线和2条内公切线，共4条 有2条外公切线和1条内公切线，共3条； 只有2条外公切线 只有1条外公切线 无公切线 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【即学即练】 1．已知点，，若圆上存在点满足，则实数的值不可能为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 题型01 直线的倾斜角与斜率 【典例1】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例2】某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． （5）由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式1】已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型02 两条直线的平行和垂直 【典例1】已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 1、判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 2、判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 3、利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式1】若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【变式2】已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    题型03 求直线的方程 【典例1】若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 1、点斜式求直线方程 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 2、斜截式求直线方程 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 3、两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 4、截距式求直线方程 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式1】已知的顶点，线段的中点为，且. (1)求的值； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求边上的高所在直线方程. 【变式2】直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式3】已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 题型04 直线的交点坐标和距离问题 【典例1】设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【典例2】已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1、两点间的距离公式为 2、点到直线的距离为． 3、直线与直线的距离为． 【变式1】点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【变式3】已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 题型05 求圆的方程 【典例1】已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1】已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 【变式2】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【变式3】若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 题型06 直线和圆的位置关系 【典例1】关于下列命题，正确的是（   ） A．若点在圆外，则或 B．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形的面积的最小值为 【典例2】已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1】已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【变式3】已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 题型07 圆的切线问题 【典例1】已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【典例2】过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法：一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式1】已知圆O的半径为3，弦，D为圆O上一动点，则的最大值为（   ） A． B．9 C． D．18 【变式2】已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【变式3】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 题型08 圆的弦长问题 【典例1】若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【典例2】已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长： 【变式1】设a ，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程及过点的切线方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 【变式3】已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 题型09 圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【典例2】圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 【变式1】在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点，    (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 【变式3】（1）已知圆和．求证：圆和圆相交； （2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程． 题型10 与圆有关的轨迹问题 【典例1】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【典例2】已知圆． (1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 (2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【变式1】已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【变式2】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【变式3】已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 题型11 与圆有关的最值问题 【典例1】一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【典例2】已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式1】已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【变式2】已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【变式3】已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 题型12 公切线问题 【典例1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 利用几何法进行转化． 【变式1】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【变式3】已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 1．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 3．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 4．直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 5．过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 6．已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 7．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 9．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 12．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 13．已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 14．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 15．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 16．已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围； (3)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3．能根据斜率判定两条直线平行或垂直 4．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 5．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 6．探索并掌握两点间的距离公式. 7．探索并掌握点到直线的距离公式. 8．会求两条平行直线间的距离. 9．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学重难点 1.重点 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想 2.难点 确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 知识点01 直线的倾斜角和斜率 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角 ②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线 3．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα. 4．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 【即学即练】 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 2．已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 知识点02 直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 不表示垂直于轴的直线 两点式 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 不表示垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b ＋＝1 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 一般式 A，B，C为系数 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 任何位置的直线 【即学即练】 1．我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 【答案】 【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形， 则图形为正方形，边长为， 点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下： 则其面积. 故答案为：. 2．已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】. 【详解】设直线的倾斜角为，由题意知， 则， 所以， 又直线过点， 所以直线方程为， 即直线方程为. 故答案为： 知识点03 两条直线平行和垂直 1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合． （2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. （3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0. （2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． （3）判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　 5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． （2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； ②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 【即学即练】 1．已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 2．若直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【详解】直线与直线垂直，则，解得. 故答案为：2. 知识点04 两直线的交点坐标及两点间的距离公式 1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解． 2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 【即学即练】 1．在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 2．已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 知识点05 直线系过定点问题 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 【即学即练】 1．已知：直线，圆，则直线过定点 ；若直线与圆恒有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据，令，得，所以直线过定点； 直线与圆恒有公共点，等价于点在圆内或圆上， 所以有，即， 故答案为：①；②. 2．已知直线，圆的方程为：，则直线恒过定点 ；若直线与圆相较于，两点，则弦长度的最小值 ； 【答案】 【详解】， ， 则 所以直线恒过定点. 当直线与垂直时， 弦最短，最小值 故答案为：，. 知识点06 圆的方程 一、圆的标准方程 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 二、圆的标准方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0. 3．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 【即学即练】 1．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即， 因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径， 所以外接圆方程是，即. 故选：A 2．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 知识点07 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二、直线与圆相交的相关问题 1．解决圆的弦长问题的方法 几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 注：直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 3．设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为 三、直线与圆相切的相关问题 1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 4.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 6.设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为 四、直线与圆相离的相关问题 设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； 【即学即练】 1．已知圆的圆心在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：由题设，故圆心， 因为圆心在直线上，所以，即， 因为， 所以当时，有最大值，即的取值范围为； 法二：因为圆心在直线上，所以，即， 又因为，当且仅当，即时取等号. 故选：B 2．经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 知识点08 圆与圆的位置关系 一、圆与圆位置关系的判定 1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 二、圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解． 三、圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 有2条外公切线和2条内公切线，共4条 有2条外公切线和1条内公切线，共3条； 只有2条外公切线 只有1条外公切线 无公切线 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【即学即练】 1．已知点，，若圆上存在点满足，则实数的值不可能为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】设，因为，，， 所以，即， 所以点的轨迹是圆，方程为. 由题意知，圆与圆有公共点， 所以，解得， 故A不满足． 故选：A． 2．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 题型01 直线的倾斜角与斜率 【典例1】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边与直线平行， 即角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 【典例2】某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得的方程为，而点在的侧取决于的符号. 所以条件等价于，即，此即或. 故选：B. （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． （5）由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式1】已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 【变式2】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式3】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有公共点， 结合图可知，. 故选：C 题型02 两条直线的平行和垂直 【典例1】已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【典例2】下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【详解】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确； 当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误； 根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确； 当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直， 但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 故选：B 1、判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 2、判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 3、利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式1】若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 【变式2】已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 【变式3】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 题型03 求直线的方程 【典例1】若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 【典例2】，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 1、点斜式求直线方程 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 2、斜截式求直线方程 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 3、两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 4、截距式求直线方程 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式1】已知的顶点，线段的中点为，且. (1)求的值； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求边上的高所在直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为，所以点， 因为，且直线斜率存在， 则，即，则. （2）设线段的中点为，则点，则， 则直线的方程为，整理得：， 即边上的中线所在直线的方程为. （3）根据题意可知，， 则直线的方程为，整理得：， 即边上的高所在直线方程为. 【变式2】直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式3】已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 题型04 直线的交点坐标和距离问题 【典例1】设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 【典例2】已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 1、两点间的距离公式为 2、点到直线的距离为． 3、直线与直线的距离为． 【变式1】点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 【变式2】已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 【变式3】已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 题型05 求圆的方程 【典例1】已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)圆，圆． (2)是定值． 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则解得 所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为. （2）如图，点到直线的距离， 又圆的半径，所以， 所以. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1】已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【详解】（1）设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. （2）先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. （3）. 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 【变式2】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【变式3】若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. （2）    由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 题型06 直线和圆的位置关系 【典例1】关于下列命题，正确的是（   ） A．若点在圆外，则或 B．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形的面积的最小值为 【答案】C 【详解】对于A：若点在圆外， 所以或，故A错误； 对于B：圆心，所以圆心到直线的距离为， 当时，，所以， 即此时不存在使直线与圆相切，故B错误； 对于C：对于任意的，令， 所以，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确； 对于D：圆心，半径，圆心到直线的距离为， 即的最小值，由，所以的最小值为， 四边形的面积最小值为，故D错误， 故选：C. 【典例2】已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1】已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 【变式2】已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)或. (2)直线与圆相交，理由见解析 【详解】（1）由圆可得，圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为. 因为，所以.所以. 解得.所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. （2）法一：因为直线过定点， 又因为， 所以点在圆内. 所以直线与圆相交. 法二：圆心到直线的距离， 因为，所以. 所以. 所以直线与圆相交. 【变式3】已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)13 【详解】（1）由可得， 当时，解得，故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离，即圆的半径为2, 所以圆的方程为：，故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 题型07 圆的切线问题 【典例1】已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】 如图，当的最大值为时，， 当时，最小时，最大. 由题得，所以，则； 故选：A. 【典例2】过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值.故选：A. 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法：一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式1】已知圆O的半径为3，弦，D为圆O上一动点，则的最大值为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】C 【详解】设与的夹角为，根据向量数量积的定义可得.要使最大，只需要，也就是在方向的投影最大，如图所示，D为圆O上一动点(如等位置)， 过点作于点，则，所以.    已知，则. 最大即可.此时,且切于圆. 过点作于点，此时的最大值为（为圆的半径）. 将的最大值代入，可得的最大值为. 故选：C. 【变式2】已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由已知得圆心的坐标为，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得或． 故直线的方程为或． （2）在直角中，因为，所以，则为等腰直角三角形， 因此直线与圆所截的弦长， 所以，圆心到直线的距离为， 显然，当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设它的方程为，即， 所以， ，解得，则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为.    【变式3】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）依题意，当时，圆过点，当时，圆过点， 设圆的一般式方程为， 则，解得，因此， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径为， 由为正三角形，得，解得， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. （3）圆心到直线的距离，设， ，则， ， 设，则，， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为. 题型08 圆的弦长问题 【典例1】若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 【典例2】已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，且， 由可得，即， 将代入圆方程可得， 即，化简可得， 将代入可得，解得， 则， 所以. 故选：D 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长： 【变式1】设a ，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 由直线被圆截得弦长为4，得直线过圆心， 因此，而，则，AB错误； 又，即，当且仅当时取等号，C错误； 又，当且仅当时取等号，D正确． 故选：D 【变式2】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程及过点的切线方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 【答案】(1)，或； (2)或 【详解】（1）由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为， 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即，则，解得或， 所以实数的值为或. 【变式3】已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 【答案】(1)7 (2)是， 【详解】（1）已知圆，则圆心为，. 设直线，圆心到直线的距离， 则. 直线与直线垂直，则直线. 当时，. 当且仅当时S取到最大值7. 当时，，， 综上，当时S取到最大值7. （2） 设，记，，直线，. 联立直线和圆，得. 恒成立，，，， 可得直线 ，解得， 所以点N恒在定直线. 题型09 圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 【典例2】圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【详解】因为圆，所以， 因为圆，所以圆，所以， 所以， 又因为，所以， 所以两圆相外切， 故选：C. 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 【变式1】在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：关于原点的对称圆为：， 则， 由已知得与无公共点，所以或， 所以或，解得：或， 又因为，所以，故C正确. 故选:C. 【变式2】在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点，    (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值 【详解】（1）解：因为，，所以圆的半径， 又圆与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以，所以的取值范围为； （2）证明：设，圆的半径， 则圆方程为， 整理得，又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线的方程为， 所以到直线的距离, 因为在圆O上，所以，所以到直线的距离， 即点到直线的距离为定值． 【变式3】（1）已知圆和．求证：圆和圆相交； （2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，即， 所以圆和圆相交. （2）由，解得，即点， 设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 依题意，点在直线上，得， 化简得：，所以直线的方程为. 题型10 与圆有关的轨迹问题 【典例1】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 【典例2】已知圆． (1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 (2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 【答案】(1) (2)两圆相离 【详解】（1）解：由点在直线上，可设， 又由圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为，可得，则直线与圆相离， 因为两条切线的夹角是，所以， 则，即，解得， 所以点的坐标为. （2）解：设，且，， 因为，可得，化简得， 可得圆心距，此时， 所以圆与圆相离. 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【变式1】已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【详解】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 【变式2】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)相离，理由见解析. 【详解】（1）令为线段的中点，又，则， 又在圆上运动，故， 所以，故点的轨迹方程为. （2） 由（1）知圆心，且半径， 所以圆心到的距离， 所以直线与曲线相离. 【变式3】已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设，由题意得，即，化简得， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径， 当斜率不存在时，，此时直线与圆相切； 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，因为直线与圆相切， 所以，解得， 所以直线的方程为； 综上，切线方程为或. 题型11 与圆有关的最值问题 【典例1】一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由.所以四边形面积的最小值为. 【典例2】已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. （3）圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式1】已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 【变式2】已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【变式3】已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)的面积的取值范围为 【详解】（1）设圆的方程为， 因为点在圆上，圆心在直线上， 所以，解得，，， 所以圆的方程为，即． （2）设所求直线方程为，且,即，    由圆心到直线的距离为，所以 由垂径定理有， 由于，且直线与圆交于两点，因此，又，即， 所以， 由于，则，因此， 所以的取值范围为． 题型12 公切线问题 【典例1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 【典例2】已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 利用几何法进行转化． 【变式1】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式2】已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. （2）如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为.    【变式3】已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 1．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 2．若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【详解】过两点，的直线的倾斜角为， 则有， 即， 即且， 解得， 故选：D. 3．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 4．直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 5．过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 【答案】B 【详解】   .由已知得l1⊥l2，∴×k＝－1，∴k＝3． 6．已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以直线的方程为：， 即， 当时，， 所以点在直线上. 故选：A. 7．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 8．已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 9．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 10．已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当两直线都与垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：B. 11．点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 12．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 13．已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 因为圆与圆关于原点对称， 所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为， 最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 14．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 15．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①7 ；②证明见解析 【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且， 所以， 整理得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）①如图，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为， 即，则直线GH的方程为． 由（1）知轨迹为圆，圆的半径为， 设圆的圆心到直线和直线GH的距离分别为， 则， 所以， 所以． 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7． ②设，联立得， 则． 因为曲线与轴交于P，Q两点，所以不妨取（如图）， 则直线PE的方程为， 直线QF的方程为． 联立两直线方程得， 所以在定直线上，得证． 16．已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围； (3)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆． (2) (3)证明见解析，定点． 【详解】（1）设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． （2）设圆C：，将点代入圆C的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，，所以，所以， 当直线过圆心时，，此时最大， 故的取值范围为． （3）如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：  ②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点．    2 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $$